2025年高考科学复习创新方案数学提升版第三章第7讲含答案

2025年高考科学复习创新方案数学提升版第三章第7讲含答案第7讲函数的图象[课程标准]在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．1．利用描点法作函数图象的步骤2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up9(a>0，右移a个单位),\s\do9(a<0，左移|a|个单位))y＝f(x－a)的图象；y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up9(b>0，上移b个单位),\s\do9(b<0，下移|b|个单位))y＝eq\x(\s\up1(01))f(x)＋b的图象．(2)伸缩变换y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up18(0<ω<1，横向伸长为原来的\f(1,ω)倍),\s\do18(ω>1，横向缩短为原来的\f(1,ω)倍))y＝eq\x(\s\up1(02))f(ωx)的图象；y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up9(A>1，纵向伸长为原来的A倍),\s\do9(0<A<1，纵向缩短为原来的A倍))y＝Af(x)的图象．(3)对称变换y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up9(关于x轴对称))y＝－f(x)的图象；y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up9(关于y轴对称))y＝f(－x)的图象；y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up9(关于原点对称))y＝eq\x(\s\up1(03))－f(－x)的图象．(4)翻折变换y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up9(去掉y轴左边图，保留y轴右边图),\s\do9(作其关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)的图象；y＝f(x)的图象eq\o(→,\s\up9(保留x轴上方图),\s\do9(将x轴下方图翻折上去))y＝|f(x)|的图象．1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．2．上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作．但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”．3．函数图象的对称性(1)函数图象自身的轴对称若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．(2)函数图象自身的中心对称函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．(3)两个函数图象之间的对称关系①函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝eq\f(b－a,2)对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；②函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．1．函数f(x)的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝()A．ex＋1 B．ex－1C．e－x＋1 D．e－x－1答案D解析与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x，再向左平移1个单位，可得函数f(x)的图象，故f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.2．(2024·石家庄模拟)函数f(x)＝eq\f(x3,2x＋2－x)的部分图象大致是()答案A解析根据题意，函数f(x)＝eq\f(x3,2x＋2－x)，其定义域为R，有f(－x)＝－eq\f(x3,2x＋2－x)＝－f(x)，函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D；当x→＋∞时，f(x)→0，排除C.故选A.3．下列函数中，其图象与函数f(x)＝ln(x＋1)的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(3－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(3＋x)答案B解析根据题意，设y＝g(x)的图象与函数f(x)＝ln(x＋1)的图象关于直线x＝1对称，则有g(x)＝f(2－x)，即g(x)＝ln[(2－x)＋1]＝ln(3－x)．故选B.4．(人教A必修第一册3.2.2练习T1改编)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则在下列给出的四个选项中，图②中的图象对应的函数只可能是()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)答案C解析由图②知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数．对于A，当x>0时，y＝f(|x|)＝f(x)，其图象在y轴右侧与图①的相同，不符合，故A错误；对于B，当x>0时，对应的函数是y＝f(x)，显然B错误；对于D，当x<0时，y＝－f(－x)，其图象在y轴左侧与图①的不相同，不符合，故D错误；对于C，y＝f(－|x|)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－x），x≥0，,f（x），x<0，))其图象关于y轴对称，在y轴左侧与f(x)的图象相同，符合题意，故C正确．5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个实数解，则实数a的取值范围是________．答案(0，＋∞)解析在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示，由图象知，当a＞0时，y＝|x|与y＝a－x的图象只有一个交点，方程|x|＝a－x只有一个实数解．考向一画函数图象例1作出下列函数的图象：(1)y＝|x－2|·(x＋2)；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝x2－4|x|.解(1)函数解析式可化为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4，x≥2，,－x2＋4，x<2，))其图象如图①实线所示．(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②所示．(3)函数解析式可化为y＝2＋eq\f(1,x－1)，故函数图象可由函数y＝eq\f(1,x)的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③所示．(4)y＝x2－4|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＝（x＋2）2－4，x<0，,x2－4x＝（x－2）2－4，x≥0，))作出图象如图④所示．函数图象的常见画法(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时，可根据这些函数的特征描出图象的关键点，进而直接作出函数图象．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图．提醒：①画函数的图象一定要注意定义域；②利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本初等函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．作出下列各函数的图象：(1)y＝x－|x－1|；(2)y＝|x2－4x＋3|；(3)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x＋2|)；(4)y＝sin|x|.解(1)根据绝对值的意义，可将函数解析式化为分段函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x≥1，,2x－1，x<1，))其图象如图①所示．(2)函数解析式可化为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≤1或x≥3，,－x2＋4x－3，1<x<3，))其图象如图②实线所示．(3)作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的图象，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的图象中x≥0的部分，加上y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)的图象，再向左平移2个单位，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x＋2|)的图象，如图③所示．(4)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，故图象如图④所示．考向二识图与辨图例2(1)(2024·南通模拟)函数f(x)＝cosx·ln(eq\r(x2＋1)－x)的图象大致为()答案B解析f(x)＝cosx·ln(eq\r(x2＋1)－x)，f(－x)＝cos(－x)·ln(eq\r(x2＋1)＋x)＝－cosx·ln(eq\r(x2＋1)－x)＝－f(x)，函数为奇函数，排除A，D；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，cosx>0，ln(eq\r(x2＋1)－x)＝－ln(eq\r(x2＋1)＋x)<－ln1＝0，故f(x)<0，排除C.故选B.(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是()A．y＝eq\f(－x3＋3x,x2＋1) B．y＝eq\f(x3－x,x2＋1)C．y＝eq\f(2xcosx,x2＋1) D．y＝eq\f(2sinx,x2＋1)答案A解析设f(x)＝eq\f(x3－x,x2＋1)，则f(1)＝0，故排除B；设h(x)＝eq\f(2xcosx,x2＋1)，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，0＜cosx＜1，所以h(x)＝eq\f(2xcosx,x2＋1)＜eq\f(2x,x2＋1)≤1，故排除C；设g(x)＝eq\f(2sinx,x2＋1)，则g(3)＝eq\f(sin3,5)＞0，故排除D.故选A.函数图象的识辨(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．1.(2023·天津高考)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2) B．f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)C．f(x)＝eq\f(5（ex＋e－x）,x2＋2) D．f(x)＝eq\f(5cosx,x2＋1)答案D解析解法一：由题图可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2)，定义域为R，f(－x)＝eq\f(5（e－x－ex）,x2＋2)＝－f(x)，所以函数f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2)是奇函数，所以排除A；f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)，定义域为R，f(－x)＝eq\f(5sin（－x）,x2＋1)＝－eq\f(5sinx,x2＋1)＝－f(x)，所以函数f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)是奇函数，所以排除B；f(x)＝eq\f(5（ex＋e－x）,x2＋2)，定义域为R，f(－x)＝eq\f(5（e－x＋ex）,x2＋2)＝f(x)，所以函数f(x)＝eq\f(5（ex＋e－x）,x2＋2)是偶函数，又x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)>0恒成立，不符合题意，所以排除C.故选D.解法二：由题图可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．因为y＝x2＋2是偶函数，y＝ex－e－x是奇函数，所以f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2)是奇函数，故排除A；因为y＝x2＋1是偶函数，y＝sinx是奇函数，所以f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)是奇函数，故排除B；因为x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)＝eq\f(5（ex＋e－x）,x2＋2)>0恒成立，不符合题意，故排除C.故选D.2．(2023·黄山二模)函数y＝eq\f(x,|x|ex)的图象大致是()答案C解析∵y＝eq\f(x,|x|ex)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))\s\up12(x)，x>0，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))\s\up12(x)，x<0，))∴根据指数函数图象即可判断C符合题意．故选C.多角度探究突破考向三函数图象的应用角度利用函数图象研究函数的性质例3(多选)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1－x)，则下列结论正确的是()A．2是函数f(x)的周期B．函数f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增C．函数f(x)的最大值是1，最小值是0D．当x∈(3，4)时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－3)答案ABD解析由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，A正确；当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1＋x)，画出函数y＝f(x)的部分图象如图所示．由图象知B正确，C不正确；当3<x<4时，－1<x－4<0，f(x)＝f(x－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－3)，D正确．故选ABD.利用函数图象研究函数性质的策略对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．(多选)定义一种运算：a⊗b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，a<b，))设f(x)＝(5＋2x－x2)⊗|x－1|，则下列结论中正确的是()A．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称B．函数f(x)的图象与直线y＝5有三个公共点C．函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－1)和[1，3]D．函数f(x)的最小值是2答案ACD解析由题意，f(x)＝(5＋2x－x2)⊗|x－1|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5＋2x－x2，－1≤x≤3，,|x－1|，x<－1或x>3，))作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；函数f(x)的图象与直线y＝5有四个公共点，故B错误；函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－1)和[1，3]，故C正确；函数f(x)的最小值是2，故D正确．角度利用函数图象解决方程根的问题例4(2023·洛阳第一次联考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x<2，,\f(3,x－1)，x≥2，))若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A．(1，3) B．(0，3)C．(0，2) D．(0，1)答案D解析画出函数f(x)的图象，如图所示，方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有三个不同的交点，由图可知，实数a的取值范围为(0，1)．故选D.利用函数图象解决方程根的问题的思路当方程与基本初等函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．函数f(x)的定义域为[－1，1]，图象如图1所示，函数g(x)的定义域为[－1，2]，图象如图2所示．若集合A＝{x|f(g(x))＝0}，B＝{x|g(f(x))＝0}，则A∩B中有________个元素．答案3解析若f(g(x))＝0，则g(x)＝0，－1或1，∴A＝{－1，0，1，2}，若g(f(x))＝0，则f(x)＝0或2，∴B＝{－1，0，1}，∴A∩B＝{－1，0，1}，有3个元素．角度利用函数图象解决不等式问题例5若关于x的不等式4ax－1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，则a的取值范围为________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析不等式4ax－1<3x－4等价于ax－1<eq\f(3,4)x－1.令f(x)＝ax－1，g(x)＝eq\f(3,4)x－1，当a>1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图①所示，由图知不满足条件；当0<a<1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图②所示，由题意知，f(2)≤g(2)，即a2－1≤eq\f(3,4)×2－1，解得a≤eq\f(1,2).综上，a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).利用函数图象解决不等式问题的思路当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解．(2023·北京市平谷区模拟)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(x)>|x|，则x的取值范围是________．答案(0，1)解析作出函数y＝log2(x＋1)和函数y＝|x|的图象，如图所示．两个函数的图象相交于点(0，0)和(1，1)，当且仅当x∈(0，1)时，y＝log2(x＋1)的图象在y＝|x|的图象的上方，不等式f(x)>|x|的解集为(0，1)，即x的取值范围是(0，1)．课时作业一、单项选择题1．(2024·山东师范大学附属中学月考)函数y＝－ex的图象()A．与y＝ex的图象关于y轴对称B．与y＝ex的图象关于坐标原点对称C．与y＝e－x的图象关于y轴对称D．与y＝e－x的图象关于坐标原点对称答案D解析由点(x，y)关于原点的对称点是(－x，－y)，可知D正确．2．把函数y＝2x的图象向右平移t个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝eq\f(2x,3)，则t的值为()A.eq\f(1,2) B．log23C．log32 D.eq\r(3)答案B解析函数y＝2x的图象向右平移t个单位长度得y＝2x－t＝eq\f(2x,2t)，所以2t＝3，得t＝log23.3．(2023·海口模拟)函数f(x)＝eq\f(ln|x－1|,|x－1|)的部分图象大致是()答案B解析由解析式可知x≠1，取x＝0.5，则f(0.5)＝eq\f(ln0.5,0.5)＝－2ln2<0，排除A，C；f(x)＝eq\f(ln|x－1|,|x－1|)可看成是由g(x)＝eq\f(ln|x|,|x|)向右平移1个单位得到，而g(x)＝eq\f(ln|x|,|x|)＝g(－x)是偶函数，即f(x)＝eq\f(ln|x－1|,|x－1|)的图象关于直线x＝1对称，再取x＝1.5，则f(1.5)＝eq\f(ln0.5,0.5)＝－2ln2<0，排除D.故选B.4．(2024·西宁海湖中学质检)下列函数中，其图象与函数f(x)＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)答案B解析解法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝lnx的图象上，所以y＝ln(2－x)．故选B.解法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y＝lnx的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数解析式逐一检验，排除A，C，D.故选B.5．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()答案C解析要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先作出y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象y＝－f(x)，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．6．(2024·烟台爱华高级中学阶段考试)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为()A．3 B．4C．6 D．8答案C解析作出函数f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)的图象，如图中实线部分所示，则f(x)的最大值为y＝x＋2与y＝10－x的图象的交点的纵坐标，令x＋2＝10－x，解得x＝4，此时y＝6，即f(x)的最大值为6.7．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1，3)上的解集为()A．(1，3) B．(－1，1)C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)答案C解析作出函数f(x)的图象如图所示，由图可知，xf(x)>0在(－1，3)上的解集为(－1，0)∪(1，3)．8．(2023·惠州一模)岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图1是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为()A．y＝|x|eq\r(4－x2) B．y＝xeq\r(4－x2)C．y＝eq\r(－x2＋2|x|) D．y＝eq\r(－x2＋2x)答案C解析对于A，∵y＝|x|eq\r(4－x2)＝eq\r(x2（4－x2）)≤eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋4－x2,2)))\s\up12(2))＝2(当且仅当x2＝4－x2，即x＝±eq\r(2)时取等号)，∴y＝|x|eq\r(4－x2)在(－2，2)上的最大值为2，与图象不符，A错误；对于B，当x∈(－2，0)时，y＝xeq\r(4－x2)<0，与图象不符，B错误；对于C，∵y＝eq\r(－x2＋2|x|)＝eq\r(－（|x|－1）2＋1)，∴当x＝±1时，ymax＝1.又y＝eq\r(－x2＋2|x|)过点(－2，0)，(2，0)，(0，0)．由－x2＋2|x|≥0得|x|(|x|－2)≤0，解得－2≤x≤2，即函数的定义域为[－2，2]．又eq\r(－（－x）2＋2|－x|)＝eq\r(－x2＋2|x|)，∴y＝eq\r(－x2＋2|x|)为定义在[－2，2]上的偶函数，图象关于y轴对称．当x∈[0，2]时，y＝eq\r(－x2＋2x)＝eq\r(－（x－1）2＋1)，则函数在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．综上所述，y＝eq\r(－x2＋2|x|)与图象相符，C正确；对于D，由－x2＋2x≥0得0≤x≤2，∴y＝eq\r(－x2＋2x)不存在x∈(－2，0)部分的图象，D错误．故选C.二、多项选择题9．已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x，－1≤x≤0，,\r(x)，0<x≤1，))则下列函数的图象正确的是()答案ABC解析先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；y＝f(x)的值域是[0，2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1，1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝eq\r(x)，相应这部分图象不是一条线段，因此D不正确．故选ABC.10．(2023·保定模拟)已知a，b分别是方程2x＋x＝0，3x＋x＝0的实数根，则下列关系式中正确的是()A．－1＜b＜a＜0 B．－1＜a＜b＜0C．b·3a＜a·3b D．a·2b＜b·2a答案BD解析函数y＝2x，y＝3x，y＝－x在同一坐标系中的图象如图，所以－1＜a＜b＜0，所以2a＜2b，3a＜3b，0＜－b＜－a，所以－b·2a＜(－a)·2b，－b·3a＜(－a)·3b，所以a·2b＜b·2a，a·3b＜b·3a.故选BD.11.如图，在等边三角形ABC中，AB＝6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记点P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f(x)，则下列结论正确的是()A．函数f(x)的最大值为12B．函数f(x)的最小值为3C．函数f(x)图象的对称轴方程为x＝9D．关于x的方程f(x)＝kx＋3最多有5个实数根答案ABC解析由题意可得函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＋（x－3）2，0≤x<6，,3＋（x－9）2，6≤x<12，,3＋（x－15）2，12≤x≤18，))作出图象如图所示，则当点P与△ABC顶点重合，即x＝0，6，12，18时，f(x)取得最大值，为12，当点P位于三角形的三个边的中点时，f(x)取得最小值，为3，故A，B正确；又f(x)＝f(18－x)，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝9，故C正确；由图象可知，函数f(x)的图象与直线y＝kx＋3的交点个数最多为6，故方程f(x)＝kx＋3最多有6个实数根，故D错误．故选ABC.三、填空题12．已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则eq\f(n,m)＝________．答案9解析如图，作出函数f(x)＝|log3x|的图象，观察可知0<m<1<n，则－log3m＝log3n，得mn＝1.若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，∵m2<m，∴从图象分析应有f(m2)＝2，即log3m2＝－2，∴m2＝eq\f(1,9).从而m＝eq\f(1,3)，n＝3，故eq\f(n,m)＝9.13.已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1，2)，则实数t的值为________．答案1解析由图象可知不等式－2<f(x＋t)<4，即f(3)<f(x＋t)<f(0)．又y＝f(x)在R上单调递减，所以0<x＋t<3，不等式的解集为(－t，3－t)．依题意，得t＝1.14．函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－1）2，x≥0，,|ex－2|，x<0，))则f(－1)＝________；若方程f(x)＝m有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为________．答案2－eq\f(1,e)(0，2)解析f(－1)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)－2))＝2－eq\f(1,e).作出函数f(x)的图象，如图所示，若方程f(x)＝m有两个不同的实数根，则0<m<2，即实数m的取值范围是(0，2)．四、解答题15．(2024·台州质检)已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤0，,log2（x＋1），x>0.))(1)作出函数f(x)的图象；(2)写出函数f(x)的单调区间；(3)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝m有两个不同的公共点，求实数m的取值范围．解(1)画出函数f(x)的图象，如图所示．(2)由图象得，f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，(0，＋∞)，无单调递减区间．(3)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝m有两个不同的公共点，则结合图象得1<m≤2，即实数m的取值范围为(1，2]．16．已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a>0.(1)作出函数f(x)的图象；(2)写出函数f(x)的单调区间；(3)当x∈[0，1]时，由图象写出f(x)的最小值．解(1)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（x－a），x≥0，,－x（x－a），x<0，))其图象如图所示．(2)由图可知，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，＋∞))，单调递减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2))).(3)由图象知，当eq\f(a,2)>1，即a>2时，f(x)min＝f(1)＝1－a；当0<eq\f(a,2)≤1，即0<a≤2时，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝－eq\f(a2,4).综上，f(x)min＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,4)，0<a≤2，,1－a，a>2.))第8讲函数零点与方程[课程标准]1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路及其程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．1．函数的零点(1)函数零点的定义对于一般函数y＝f(x)，把使eq\x(\s\up1(01))f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与eq\x(\s\up1(02))x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有eq\x(\s\up1(03))零点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有eq\x(\s\up1(04))f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间eq\x(\s\up1(05))(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得eq\x(\s\up1(06))f(c)＝0，这个eq\x(\s\up1(07))c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且eq\x(\s\up1(08))f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．有关函数零点的结论(1)若图象连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．(4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．(5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示，所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．1．(人教B必修第一册习题3－2BT5改编)函数y＝lnx－eq\f(2,x)的零点所在的大致区间是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1)) B．(1，2)C．(2，e) D．(e，＋∞)答案C解析y＝f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的定义域为(0，＋∞)，因为y＝lnx与y＝－eq\f(2,x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝lnx－eq\f(2,x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝ln1－2＝－2<0，f(2)＝ln2－1<0，f(e)＝lne－eq\f(2,e)＝1－eq\f(2,e)>0，所以f(2)f(e)<0，所以f(x)在(2，e)上存在唯一的零点．故选C.2．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的零点是2，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是()A．2 B．0和2C．0 D．－2和0答案B解析由条件知f(2)＝0，∴b＝－2a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x－2)的零点为0和2.故选B.3．(2023·海口第二次联考)函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数即函数f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象交点的个数，作图容易判断，两图象有两个交点，故原函数有2个零点．4．(人教A必修第一册习题4.5T13改编)若函数y＝ax2－2x＋1只有一个零点，则实数a的值为________．答案0或1解析当a＝0时，y＝－2x＋1，有唯一零点；当a≠0时，由题意可得Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.综上，实数a的值为0或1.5．若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,x2－1，x＞0，))则函数y＝f(x)－1的零点是________．答案0和eq\r(2)解析要求函数y＝f(x)－1的零点，则令y＝f(x)－1＝0，即f(x)＝1，①当x≤0时，f(x)＝ex，由ex＝1，解得x＝0；②当x＞0时，f(x)＝x2－1，由x2－1＝1，解得x＝eq\r(2)(负值舍去)．综上可知，函数y＝f(x)－1的零点是0和eq\r(2).考向一函数零点所在区间的判断例1(1)(2023·梅州二模)用二分法求方程log4x－eq\f(1,2x)＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)答案B解析令f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)，因为函数y＝log4x，y＝－eq\f(1,2x)在(0，＋∞)上都是增函数，所以函数f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝－eq\f(1,2)<0，f(2)＝log42－eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)>0，所以函数f(x)＝log4x－eq\f(1,2x)在区间(1，2)上有唯一零点，所以用二分法求方程log4x－eq\f(1,2x)＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(1，2)．故选B.(2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案A解析函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)·(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．判断函数零点所在区间的常用方法(1)定义法利用函数零点存在定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)解方程法当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(3)数形结合法画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．1.已知x0是函数f(x)＝eq\r(x)＋log2(x＋1)－4的零点，则(x0－1)(x0－2)(x0－3)·(x0－4)的值()A．为正数 B．为负数C．等于0 D．无法确定正负答案B解析由题意可知f(x)单调递增且f(3)＝eq\r(3)＋log24－4<0，f(4)＝2＋log25－4>0，则x0∈(3，4)，所以x0－1>0，x0－2>0，x0－3>0，x0－4<0，所以(x0－1)(x0－2)(x0－3)(x0－4)<0.故选B.2．已知函数f(x)＝20×3－x－x的零点x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________．答案2解析因为函数y＝3－x为R上的减函数，故函数f(x)＝20×3－x－x为R上的减函数，又f(2)＝20×3－2－2＝eq\f(20,9)－2＝eq\f(2,9)>0，f(3)＝20×3－3－3＝eq\f(20,27)－3＝－eq\f(61,27)<0，故f(x)＝20×3－x－x在(2，3)上有唯一零点，结合题意可知k＝2.考向二函数零点个数的判定例2(1)(2024·潍坊模拟)函数f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数是()A．3 B．4C．5 D．6答案A解析求函数f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数，转化为求方程(x2－x)ln|2x－3|＝0在区间[－2，2]上的根的个数．由(x2－x)ln|2x－3|＝0，得x2－x＝0或ln|2x－3|＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以函数f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数为3.故选A.(2)(2023·长郡中学模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x)，x>0，,x2＋2x，x≤0，))则函数y＝f(f(x)＋1)的零点个数是()A．2 B．3C．4 D．5答案D解析令t＝f(x)＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x)＋1，x>0，,（x＋1）2，x≤0.))①当t＞0时，f(t)＝lnt－eq\f(1,t)，则函数f(t)在(0，＋∞)上单调递增，由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln2－eq\f(1,2)>0，由零点存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f(t1)＝0；②当t≤0时，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函数t＝f(x)＋1，直线t＝t1，t＝－2，t＝0的图象如图所示，由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝0与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只有一个交点．综上所述，函数y＝f(f(x)＋1)的零点个数为5.故选D.判定函数零点个数的方法及思路(1)解方程法f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)函数零点存在定理法利用定理不仅要求函数f(x)的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所满足的条件．(3)数形结合法转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1.函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析由2x|log0.5x|－1＝0得|log0.5x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，作出y＝|log0.5x|和y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的图象，如图所示，则两个函数图象有2个交点，故函数f(x)＝2x|log0.5x|－1有2个零点．2．函数f(x)＝eq\r(36－x2)·cosx的零点个数为________．答案6解析令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f(x)的定义域为[－6，6]．令f(x)＝0，得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0得x＝±6，由cosx＝0得x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，又x∈[－6，6]，∴x为－eq\f(3π,2)，－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)，eq\f(3π,2).故f(x)共有6个零点．多角度探究突破考向三函数零点的应用角度利用零点比较大小例3(1)设函数f(x)＝ex－1＋4x－4，g(x)＝lnx－eq\f(1,x).若f(x1)＝g(x2)＝0，则()A．0<g(x1)<f(x2) B．g(x1)<0<f(x2)C．f(x2)<0<g(x1) D．f(x2)<g(x1)<0答案B解析∵f(x)＝ex－1＋4x－4为增函数，g(x)＝lnx－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(0)＝eq\f(1,e)－4<0，f(1)＝1>0，g(1)＝－1<0，g(2)＝ln2－eq\f(1,2)>0，又f(x1)＝g(x2)＝0，∴0<x1<1，1<x2<2，∴g(x1)<0<f(x2)．故选B.(2)(多选)(2023·苏北七市三模)已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋lnx的零点为x2，则()A．x1＋x2＞0 B．x1x2＜0C．ex1＋lnx2＝0 D．x1x2－x1＋x2＜1答案BCD解析∵函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋lnx的零点为x2，∴函数y＝－x与函数y＝ex图象的交点的横坐标为x1，函数y＝－x与函数y＝lnx图象的交点的横坐标为x2，作函数y＝－x，y＝ex，y＝lnx的图象如图，故点A的横坐标为x1，点B的横坐标为x2，∵函数y＝ex与函数y＝lnx的图象关于直线y＝x对称，函数y＝－x的图象关于直线y＝x对称，∴点A，B关于直线y＝x对称，又点A，B在直线y＝－x上，∴点A，B关于原点对称，∴x1＋x2＝0，故A错误；易知x1x2＜0，故B正确；∵ex1＝－x1，lnx2＝－x2，x1＋x2＝0，∴ex1＋lnx2＝0，故C正确；易知－1＜x1＜0，0＜x2＜1，∴(x1＋1)·(x2－1)＜0，即x1x2－x1＋x2＜1，故D正确．故选BCD.在同一平面直角坐标系内准确作出已知函数的图象，数形结合，对图象进行分析，找出零点的范围，进行大小比较．(2024·河南重点中学联考)已知a，b，c均大于1，满足eq\f(2a－1,a－1)＝2＋log2a，eq\f(3b－2,b－1)＝3＋log3b，eq\f(4c－3,c－1)＝4＋log4c，则下列不等式成立的是()A．c<b<a B．a<b<cC．a<c<b D．c<a<b答案B解析∵eq\f(2a－1,a－1)＝2＋log2a⇒eq\f(1,a－1)＝log2a，eq\f(3b－2,b－1)＝3＋log3b⇒eq\f(1,b－1)＝log3b，eq\f(4c－3,c－1)＝4＋log4c⇒eq\f(1,c－1)＝log4c，∴考虑y＝eq\f(1,x－1)和y＝logmx的图象相交，根据图象可知a<b<c.故选B.角度由函数零点存在情况或个数求参数范围例4(1)“a≤0”是“函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0，,－2x＋a，x≤0))有且只有一个零点”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析当x>0时，令f(x)＝0，则lnx＝0，∴x＝1，∴当x>0时，f(x)有一个零点为1，∵函数f(x)只有一个零点，∴当x≤0时，f(x)＝－2x＋a无零点，即a>2x或a<2x，∵当x≤0时，2x∈(0，1]，∴a>1或a≤0，∴“a≤0”是“函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0，,－2x＋a，x≤0))有且只有一个零点”的充分不必要条件．故选A.(2)(多选)(2023·中山模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|3x－1|，x<1，,－4x2＋16x－13，x≥1，))函数g(x)＝f(x)－a，则下列结论正确的是()A．若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1，2)B．若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0，1)C．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，则x3＋x4＝4D．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，则x3x4的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,4)，\f(7,2)))答案BCD解析令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，所以g(x)的零点个数为函数y＝f(x)与y＝a图象的交点个数，作出函数y＝f(x)的图象如图，由图可知，若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1，2)∪{0}，故A错误；若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0，1)，故B正确；若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，此时x3，x4关于直线x＝2对称，所以x3＋x4＝4，故C正确；由C项可知x3＝4－x4，所以x3x4＝(4－x4)x4＝－xeq\o\al(2,4)＋4x4，由于g(x)有4个不同的零点，a的取值范围是(0，1)，故0<－4xeq\o\al(2,4)＋16x4－13<1，所以eq\f(13,4)<－xeq\o\al(2,4)＋4x4<eq\f(7,2)，故D正确．故选BCD.已知函数零点求参数范围的常用方法1.(2023·济南模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）2，x≤0，,|lgx|，x>0，))若函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为()A．(0，1] B．[0，1]C．(0，1) D．(1，＋∞)答案A解析依题意，函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，即f(x)＝b有四个解，转化为函数y＝f(x)与y＝b的图象有四个交点，由函数y＝f(x)可知，当x∈(－∞，－1]时，函数单调递减，y∈[0，＋∞)；当x∈(－1，0]时，函数单调递增，y∈(0，1]；当x∈(0，1)时，函数单调递减，y∈(0，＋∞)；当x∈[1，＋∞)时，函数单调递增，y∈[0，＋∞)．结合图象可知，实数b的取值范围为(0，1]．故选A.2．(2023·郑州质检)高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的美誉，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，其中的一个成果是：设x∈R，则y＝[x]称为高斯函数，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，并用{x}表示x的非负纯小数，即{x}＝x－[x]，若方程{x}＝1－kx有且仅有4个实数根，则正实数k的取值范围为________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))解析根据题意可得函数y＝{x}在x轴正半轴的部分图象如图所示，函数y＝1－kx的图象为过定点P(0，1)的直线，所以要使方程{x}＝1－kx有且仅有4个实数根，则直线y＝1－kx应在PA，PB之间或恰好在PA处，所以－eq\f(1,3)≤－k<－eq\f(1,4)，即正实数k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3))).课时作业一、单项选择题1．(2023·焦作一模)设函数f(x)＝2x＋eq\f(x,3)的零点为x0，则x0∈()A．(－4，－2) B．(－2，－1)C．(1，2) D．(2，4)答案B解析因为y＝2x与y＝eq\f(x,3)在R上均为增函数，所以f(x)＝2x＋eq\f(x,3)在R上为增函数，又因为f(0)＝1＞0，f(－1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)>0，f(－2)＝eq\f(1,4)－eq\f(2,3)＝－eq\f(5,12)<0，因为f(－2)f(－1)<0，所以f(x)＝2x＋eq\f(x,3)的零点在区间(－2，－1)内．故选B.2．(2024·鹰潭模拟)函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(－x)－1，x≤0，,log3x－2，x>0))的零点是()A．(－1，0)，(9，0) B．－1，9C．(9，0) D．9答案B解析当x≤0时，f(x)＝eq\r(－x)－1＝0，解得x＝－1；当x>0时，f(x)＝log3x－2＝0，解得x＝9，所以函数f(x)的零点为－1，9.故选B.3．(2024·长郡中学月考)设函数f(x)＝x＋log2x－m，则“函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))上存在零点”是“m∈(1，6)”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析函数f(x)＝x＋log2x－m在(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))上存在零点，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)－m＜0，f(4)＝6－m＞0，解得－eq\f(1,2)＜m＜6，故“函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))上存在零点”是“m∈(1，6)”的必要不充分条件．故选B.4．(2024·惠州质检)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝lnx(x>0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex＋a，x≤0，,3x－1，x>0))(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－∞，1)C．(－1，0) D．[－1，0)答案D解析当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝eq\f(1,3).因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.6．(2023·海南华侨中学一模)关于函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x＋2）－a，0≤x<3.5，,b－x，x≥3.5，))其中a，b∈R，给出下列四个结论：甲：5是该函数的零点；乙：4是该函数的零点；丙：该函数的所有零点之积为0；丁：方程f(x)＝1有两个不等的实根．若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁答案B解析当x∈[3.5，＋∞)时，f(x)＝b－x为减函数，故5和4只有一个是函数的零点，即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确．由所有零点之积为0，结合分段函数的性质知，必有一个零点为0，则f(0)＝log22－a＝0，可得a＝1.①若甲正确，则f(5)＝b－5＝0，则b＝5，可得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x＋2）－1，0≤x<3.5，,5－x，x≥3.5，))由f(x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或5－x＝1，x≥3.5，解得x＝2或x＝4，方程f(x)＝1有两个不等的实根，故丁正确；②若乙正确，则f(4)＝0，即b－4＝0，则b＝4，可得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x＋2）－1，0≤x<3.5，,4－x，x≥3.5，))由f(x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或4－x＝1，x≥3.5，解得x＝2，方程f(x)＝1只有一个实根，故丁错误，不满足题意．综上，甲正确，乙错误．故选B.7．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－logeq\s\do7(\f(1,2))x，h(x)＝log2x－eq\r(x)(0<x<10)的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为()A．x1>x2>x3 B．x2>x1>x3C．x1>x3>x2 D．x3>x2>x1答案D解析由f(x)＝2x＋x＝0，g(x)＝x－logeq\s\do7(\f(1,2))x＝0，h(x)＝log2x－eq\r(x)＝0，得2x＝－x，x＝logeq\s\do7(\f(1,2))x，log2x＝eq\r(x)，在平面直角坐标系中分别作出y＝2x与y＝－x的图象，y＝x与y＝logeq\s\do7(\f(1,2))x的图象，y＝log2x与y＝eq\r(x)的图象，由图可知，－1<x1<0，0<x2<1，x3>1.所以x3>x2>x1.8．(2023·天津静海区模拟)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lgx|的零点个数是()A．9 B．10C．11 D．18答案B解析F(x)＝f(x)－|lgx|的零点个数就是y＝f(x)，y＝|lgx|图象的交点个数，作出y＝f(x)，y＝|lgx|的图象，如图所示，由图可得有10个交点，故F(x)＝f(x)－|lgx|有10个零点．故选B.二、多项选择题9．某同学求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：f(2)≈－1.307f(3)≈1.099f(2.5)≈－0.084f(2.75)≈0．512f(2.625)≈0．215f(2.5625)≈0．066则方程lnx＋2x－6＝0的近似解(精确度为0.1)可取为()A．2.52 B．2.56C．2.66 D．2.75答案AB解析由表格可知方程lnx＋2x－6＝0的解在(2.5，2.5625)内，又|2.5625－2.5|＝0.0625<0.1，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合．故选AB.10．(2024·海南川绵中学月考)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是()A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3C．f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2－1，x≤1，,|2－x|，x＞1)) D．f(x)＝eq\f(1,x)－x答案BCD解析根据定义可知，若f(x)为“不动点”函数，则f(x)＝x有解．对于A，令2x＋x＝x，得2x＝0，此时无解，故f(x)不是“不动点”函数；对于B，令x2－x－3＝x，得x＝3或x＝－1，所以f(x)是“不动点”函数；对于C，当x≤1时，令2x2－1＝x，得x＝－eq\f(1,2)或x＝1，所以f(x)是“不动点”函数；对于D，令eq\f(1,x)－x＝x，得x＝±eq\f(\r(2),2)，所以f(x)是“不动点”函数．故选BCD.11．(2024·江西重点中学联考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3