2025年高考科学复习创新方案数学提升版第三章第5讲含答案

2025年高考科学复习创新方案数学提升版第三章第5讲含答案第5讲指数与指数函数[课程标准]1.通过对有理数指数幂aeq\f(m,n)(a>0，且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．1．根式的概念根式的概念符号表示备注如果eq\x(\s\up1(01))xn＝a，那么x叫做a的n次方根—n>1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次方根是一个eq\x(\s\up1(02))正数，负数的n次方根是一个eq\x(\s\up1(03))负数eq\r(n,a)零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有eq\x(\s\up1(04))两个，它们互为eq\x(\s\up1(05))相反数±eq\r(n,a)(a＞0)负数没有偶次方根2.分数指数幂(1)aeq\s\up7(\f(m,n))＝eq\x(\s\up1(06))eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．(2)a－eq\s\up7(\f(m,n))＝eq\x(\s\up1(07))eq\f(1,a\s\up7(\f(m,n)))＝eq\x(\s\up1(08))eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．3．有理数指数幂的运算性质(1)aras＝eq\x(\s\up1(09))ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝eq\x(\s\up1(10))ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝eq\x(\s\up1(11))arbr(a>0，b>0，r∈Q)．4．指数函数的概念函数eq\x(\s\up1(12))y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．说明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数．5．指数函数的图象和性质底数a>10<a<1图象性质函数的定义域为R，值域为eq\x(\s\up1(13))(0，＋∞)函数图象过定点eq\x(\s\up1(14))(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，恒有y>1;当x<0时，恒有0<y<1当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1eq\x(\s\up1(15))增函数eq\x(\s\up1(16))减函数1．(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*且n>1)．2.eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数且n>1，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0，))n为偶数且n>1.))3．底数对函数y＝ax(a>0，且a≠1)的函数值的影响如图(a1>a2>a3>a4)，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．当a>0，且a≠1时，函数y＝ax与函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的图象关于y轴对称．1．(人教A必修第一册习题4.1T1改编)化简eq\r(4,16x8y4)(x<0，y<0)得()A．2x2y B．2xyC．4x2y D．－2x2y答案D解析因为x<0，y<0，所以eq\r(4,16x8y4)＝eq\r(4,24·（x2）4y4)＝|2x2y|＝－2x2y.2．(人教A必修第一册习题4.1T7(1)改编)已知5m＝10，5n＝2，则5eq\s\up7(\f(3m-2n,2))＝()A．2eq\r(10) B．3eq\r(10)C．20 D．5eq\r(10)答案D解析5eq\s\up7(\f(3m-2n,2))＝eq\r(\f(53m,52n))＝eq\r(\f(（5m）3,（5n）2))＝eq\r(\f(103,22))＝eq\r(52×10)＝5eq\r(10).3．函数f(x)＝ax－2023＋2023(a＞0，且a≠1)的图象过定点A，则点A的坐标为________．答案(2023，2024)解析令x－2023＝0，得x＝2023，又f(2023)＝2024，故点A的坐标为(2023，2024)．4．(人教A必修第一册习题4.2T6改编)设a＝0.993.3，b＝0.994.5，c＝1.10.99，则a，b，c的大小关系为________．答案b<a<c解析因为函数y＝0.99x在R上单调递减，所以0.993.3>0.994.5，即a>b，又因为0.993.3<0.990＝1，1.10.99>1.10＝1，所以0.993.3<1.10.99，即a<c.综上可知，b<a<c.5．已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大eq\f(a,2)，则a的值为________．答案eq\f(1,2)或eq\f(3,2)解析当0＜a＜1时，a－a2＝eq\f(a,2)，∴a＝eq\f(1,2)；当a＞1时，a2－a＝eq\f(a,2)，∴a＝eq\f(3,2).综上所述，a＝eq\f(1,2)或eq\f(3,2).考向一指数幂的运算例1求值与化简：(1)8eq\s\up7(\f(2,3))×100－eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,81)))－eq\s\up7(\f(3,4))；(2)eq\f((a\s\up7(\f(2,3))b－1)－\s\up7(\f(1,2))a－\s\up7(\f(1,2))b\s\up7(\f(1,3)),\r(6,ab5))(a>0，b>0)；(3)eq\r(3,a\s\up7(\f(9,2))\r(a－3))÷eq\r(\r(3,a－7)\r(3,a13))(a>0)；(4)已知a>0，aeq\s\up7(\f(1,2))＋a－eq\s\up7(\f(1,2))＝3，求eq\f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1)的值．解(1)原式＝(23)eq\s\up7(\f(2,3))×(102)-eq\s\up7(\f(1,2))×(2－2)－3×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(4)))-eq\s\up7(\f(3,4))＝22×10－1×26×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－3)＝eq\f(432,5).(2)原式＝eq\f(a－\s\up7(\f(1,3))b\s\up7(\f(1,2))a－\s\up7(\f(1,2))b\s\up7(\f(1,3)),a\s\up7(\f(1,6))b\s\up7(\f(5,6)))＝a－eq\s\up7(\f(1,3))－eq\s\up7(\f(1,2))－eq\s\up7(\f(1,6))beq\s\up7(\f(1,2))＋eq\s\up7(\f(1,3))－eq\s\up7(\f(5,6))＝eq\f(1,a).(3)原式＝(aeq\s\up7(\f(9,2))a－eq\s\up7(\f(3,2)))eq\s\up7(\f(1,3))÷(a－eq\s\up7(\f(7,3))aeq\s\up7(\f(13,3)))eq\s\up7(\f(1,2))＝(a3)eq\s\up7(\f(1,3))÷(a2)eq\s\up7(\f(1,2))＝a÷a＝1.(4)将aeq\s\up7(\f(1,2))＋a－eq\s\up7(\f(1,2))＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7.将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47，所以eq\f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1)＝eq\f(47＋1,7＋1)＝6.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\r(6,a9))))eq\s\up12(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6,\r(3,a9))))eq\s\up12(4)＝________．答案a4解析原式＝[(aeq\s\up7(\f(9,6)))eq\s\up7(\f(1,3))]4[(aeq\s\up7(\f(9,3)))eq\s\up7(\f(1,6))]4＝a2·a2＝a4.2．已知3a＋2b＝1，则eq\f(9a·3b,\r(3a))＝________．答案eq\r(3)解析因为3a＋2b＝1，所以eq\f(3,2)a＋b＝eq\f(1,2)，所以原式＝eq\f(（32）a·3b,（3a）\s\up7(\f(1,2)))＝32a＋b－eq\s\up7(\f(1,2))a＝3eq\s\up7(\f(2,3))a＋b＝3eq\s\up7(\f(1,2))＝eq\r(3).3．化简：eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\s\up7(\f(1,4))b\s\up7(\f(1,2))）4a－\s\up7(\f(1,3))b\s\up7(\f(1,3)))(a>0，b>0)．解原式＝eq\f(（a3b2a\s\up7(\f(1,3))b\s\up7(\f(2,3))）\s\up7(\f(1,2)),ab2a－\s\up7(\f(1,3))b\s\up7(\f(1,3)))＝aeq\s\up7(\f(3,2))＋eq\s\up7(\f(1,6))－1＋eq\s\up7(\f(1,3))·b1＋eq\s\up7(\f(1,3))－2－eq\s\up7(\f(1,3))＝ab－1＝eq\f(a,b).4．计算：0.027－eq\f(1,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))eq\s\up7(\f(1,2))－(eq\r(2)－1)0.解原式＝(0.33)－eq\s\up7(\f(1,3))－72＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))eq\s\up7(\f(1,2))－1＝eq\f(10,3)－49＋eq\f(5,3)－1＝－45.考向二指数函数的图象及其应用例2(1)(多选)已知实数a，b满足等式2023a＝2024b，则下列关系式有可能成立的是()A．0<b<a B．a<b<0C．0<a<b D．a＝b答案ABD解析在同一坐标系下画出y＝2023x与y＝2024x的图象，结合图象可知A，B，D可能成立．故选ABD.(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析①当0<a<1时，y＝|ax－1|的图象如图1.因为y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，所以0<2a<1，所以0<a<eq\f(1,2)；②当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图2，而此时直线y＝2a不可能与y＝|ax－1|的图象有两个交点．综上，a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).处理指数图象问题的策略(1)抓住特殊点指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，与直线x＝1的交点坐标为(1，a)．(2)巧用图象变换常见的变换有：①函数y＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象可由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到；②函数y＝ax＋b的图象可由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到；③函数y＝a|x|的图象关于y轴对称，当x≥0时，其图象与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[0，＋∞)的图象相同；当x<0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称．1.(2023·天津滨海七校二模)函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x＋1|)的图象大致为()答案B解析作出函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x≥0，,2x，x<0))的图象，如图所示，将y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)的图象向左平移1个单位得到f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x＋1|)的图象．故选B.2．定义区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2答案B解析如图是函数y＝2|x|在值域为[1，2]上的图象．使函数y＝2|x|的值域为[1，2]的定义域区间中，长度最小的区间为[－1，0]或[0，1]，长度最大的区间为[－1，1]，从而由定义可知区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为2－1＝1.故选B.多角度探究突破考向三指数函数的性质及其应用角度比较指数幂的大小例3(1)(2023·淮南一模)设a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))eq\s\up7(\f(３,７))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)))eq\s\up7(\f(4,７))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))eq\s\up7(\f(4,７))，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．b>c>a D．b>a>c答案A解析∵函数y＝xeq\s\up7(\f(4,７))是(0，＋∞)上的增函数，eq\f(3,7)<eq\f(4,7)，∴b<c.∵函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)))eq\s\up12(x)是R上的减函数，eq\f(3,7)<eq\f(4,7)，∴a>c.综上，a>c>b.故选A.(2)(2023·沈阳模拟)若p：0<a<b；q：4a－4b<5－a－5－b，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析设f(x)＝4x－5－x，则函数f(x)为增函数，则由4a－4b<5－a－5－b，即4a－5－a<4b－5－b可得a<b，所以0<a<b是4a－4b<5－a－5－b的充分不必要条件．故选A.比较指数式大小的方法比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．1.下列各式比较大小正确的是()A．1.72.5>1.73 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(2,3))<2－eq\s\up7(\f(4,3))C．1.70.3<0.93.1 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(3,4))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up7(\f(2,3))答案D解析∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.5<1.73，故A不正确；∵2－eq\s\up7(\f(4,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(4,3))，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)为减函数，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(2,3))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(4,3))＝2－eq\s\up7(\f(4,3))，故B不正确；∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0，1)，∴1.70.3>0.93.1，故C不正确；∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(x)为减函数，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(3,4))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(2,3))，又y＝xeq\s\up7(\f(2,3))在(0，＋∞)上单调递增，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(2,3))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up7(\f(2,3))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(3,4))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(2,3))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up7(\f(2,3))，故D正确．2．(2024·宿迁模拟)设eq\f(1,2)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)<1，那么()A．aa<ab<ba B．aa<ba<abC．ab<aa<ba D．ab<ba<aa答案C解析∵eq\f(1,2)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)<1且y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在R上是减函数，∴0<a<b<1，∴指数函数y＝ax在R上是减函数，∴ab<aa，∴幂函数y＝xa在R上是增函数，∴aa<ba，∴ab<aa<ba.故选C.角度解简单的指数方程或不等式例4(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．答案eq\f(1,2)解析①当a<1时，由f(1－a)＝f(a－1)得41－a＝2a－(a－1)，即22－2a＝2，所以2－2a＝1，解得a＝eq\f(1,2)；②当a>1时，由f(1－a)＝f(a－1)得2a－(1－a)＝4a－1，即22a－1＝22a－2，所以2a－1＝2a－2，无解．综上可知，a＝eq\f(1,2).(2)(2023·邯郸一模)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x－6x－3x≥1，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(x)≤1，令f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(x)，因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(x)均为R上的减函数，则f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，所以x≥1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞)．1．解指数方程的依据af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)⇔f(x)＝g(x)．2．解指数不等式的思路方法对于形如ax>ab(a>0，且a≠1)的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0<a<1两种情况讨论；而对于形如ax>b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解．1.若x满足不等式2x2＋1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x－2)，则函数y＝2x的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8))) D．[2，＋∞)答案B解析将2x2＋1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x－2)化为x2＋1≤－2(x－2)，即x2＋2x－3≤0，解得x∈[－3，1]，所以2－3≤2x≤21，所以函数y＝2x的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)).2．方程4x＋|1－2x|＝11的解为________．答案x＝log23解析当x≥0时，原方程化为4x＋2x－12＝0，即(2x)2＋2x－12＝0，∴(2x－3)(2x＋4)＝0，∴2x＝3，即x＝log23；当x<0时，原方程化为4x－2x－10＝0，令t＝2x，则t2－t－10＝0(0<t<1)．由求根公式得t＝eq\f(1±\r(41),2)均不符合题意，故x<0时，方程无解．综上，原方程的解为x＝log23.角度指数函数性质的综合应用例5(1)(2023·大庆二模)已知函数f(x)＝eq\f(4x,2＋4x)，则()A．f(0.1)>f(0.2)B．函数f(x)有一个零点C．函数f(x)是偶函数D．函数f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))对称答案D解析函数f(x)＝eq\f(4x,2＋4x)的定义域为R.对于A，函数f(x)＝eq\f(4x,2＋4x)＝1－eq\f(2,2＋4x)，函数y＝4x在R上为增函数，易得f(x)在R上为增函数，则有f(0.1)<f(0.2)，A错误；对于B，f(x)＝eq\f(4x,2＋4x)，有4x>0，则有f(x)>0，所以f(x)没有零点，B错误；对于C，f(1)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，f(－1)＝eq\f(4－1,2＋4－1)＝eq\f(1,9)，所以f(1)≠f(－1)，f(x)不是偶函数，C错误；对于D，因为f(x)＝eq\f(4x,2＋4x)，所以f(1－x)＝eq\f(41－x,2＋41－x)＝eq\f(4,2·4x＋4)＝eq\f(2,4x＋2)，所以f(x)＋f(1－x)＝1，所以函数f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))对称，D正确．故选D.(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(ax2－4x＋3)(a∈R)．若a＝－1，则函数f(x)的单调递增区间为________；若f(x)的值域是(0，＋∞)，则a＝________．答案[－2，＋∞)0解析当a＝－1时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－x2－4x＋3)，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2]上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(t)在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是[－2，＋∞)．令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(h（x）)，由指数函数的性质知，要使f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(h（x）)的值域为(0，＋∞)．应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能a＝0(因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R)，故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0.指数函数综合问题的处理策略(1)涉及最值(或值域)的问题，通常要先对函数解析式进行变形，然后逐步求函数的最值．(2)涉及单调性的问题，一方面要注意底数对指数函数单调性的影响；另一方面要注意借助“同增异减”这一性质分析判断．1.若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝eq\f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]答案B解析由f(1)＝eq\f(1,9)，得a2＝eq\f(1,9)，所以a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,3)(舍去)，即f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(|2x－4|)，由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.2．(2023·银川校联考二模)已知函数f(x)＝4x－2x＋2－1，x∈[0，3]，则其值域为________．答案[－5，31]解析令t＝2x，∵x∈[0，3]，∴1≤t≤8，∴g(t)＝t2－4t－1＝(t－2)2－5，t∈[1，8]，又y＝g(t)的图象关于直线t＝2对称，开口向上，∴g(t)在[1，2)上单调递减，在(2，8]上单调递增，且|8－2|>|2－1|，∴当t＝2时，函数取得最小值，即g(t)min＝－5，当t＝8时，函数取得最大值，即g(t)max＝31，∴f(x)的值域为[－5，31]．课时作业一、单项选择题1．化简eq\f(2c,3a)eq\r(4,\f(81a5b2,16c4))(a>0，c<0)的结果为()A．±eq\r(4,ab2) B．－eq\r(4,ab2)C．－eq\r(ab2) D.eq\r(ab2)答案B解析原式＝eq\f(2c,3a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(81a5b2,16c4)))eq\s\up7(\f(1,4))＝eq\f(2c,3a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(34a5b2,24c4)))eq\s\up7(\f(1,4))＝eq\f(2c,3a)·eq\f(3a（ab2）\s\up7(\f(1,4)),－2c)＝－eq\r(4,ab2).故选B.2．(a2－a＋2)－x－1<(a2－a＋2)2x＋5的解集为()A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)答案D解析∵a2－a＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(7,4)>1，∴－x－1<2x＋5，∴x>－2.故选D.3．(2024·滁州模拟)函数f(x)＝xa－2与g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))eq\s\up12(－x)在(0，＋∞)上均单调递减的一个充分不必要条件是()A．a∈(0，2) B．a∈[0，1)C．a∈[1，2) D．a∈(1，2]答案C解析函数f(x)＝xa－2在(0，＋∞)上单调递减，可得a－2<0，即a<2；函数g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))eq\s\up12(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)))eq\s\up12(x)在(0，＋∞)上单调递减，可得0<eq\f(a,4)<1，解得0<a<4，若函数f(x)＝xa－2与g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))eq\s\up12(－x)均单调递减，可得0<a<2，由题意可得所求区间真包含于(0，2)，结合选项，函数f(x)＝xa－2与g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))eq\s\up12(－x)均单调递减的一个充分不必要条件是a∈[1，2)．故选C.4．(2023·南昌模拟)草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x(x＝1，2，3，4)与其对应等级的市场销售单价y(单位：元/千克)近似满足函数关系式y＝eax＋b.若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为24元/千克，则3级草莓的市场销售单价最接近(参考数据：eq\r(3,2)≈1.26，eq\r(3,4)≈1.59)()A．30.24元/千克 B．33.84元/千克C．38.16元/千克 D．42.64元/千克答案C解析由题意可知eq\f(e4a＋b,ea＋b)＝e3a＝2，ea＝eq\r(3,2)，由ea＋b＝24，则e3a＋b＝ea＋b·e2a＝24e2a＝24×eq\r(3,4)≈38.16.故选C.5．(2023·唐山模拟)不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≤eq\r(x)的解集是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))答案B解析在同一坐标系中作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，y＝eq\r(x)的图象，如图所示，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＝eq\r(x)得x＝eq\f(1,2)，结合图象知，不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≤eq\r(x)的解集是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).6．(2024·盐城模拟)设函数f(x)＝3x＋b，函数f(x)的图象经过第一、三、四象限，则g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,9))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,9)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))答案A解析由函数f(x)＝3x＋b的图象经过第一、三、四象限，可得b<－1，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)＝3b－3b－1＝3b·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(2,3)·3b<eq\f(2,3)×3－1＝eq\f(2,9)，又因为eq\f(2,3)·3b>0，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,9))).故选A.7．若关于x的方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(|x|)＋a－2＝0有解，则a的取值范围是()A．[0，1) B．[1，2)C．[1，＋∞) D．(2，＋∞)答案B解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(|x|)＋a－2＝0有解等价于2－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(|x|)有解．因为函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(|x|)的值域为(0，1]，所以0<2－a≤1，解得1≤a<2.8．(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))，则()A．b＞c＞a B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．c＞a＞b答案A解析函数f(x)＝e－(x－1)2是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(6),2)))，又eq\f(\r(2),2)＜2－eq\f(\r(6),2)＜eq\f(\r(3),2)＜1，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(6),2)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))，所以b＞c＞a.故选A.二、多项选择题9．(2024·福建师大附中高三月考)已知函数f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0C．若x＜y＜0，则f(x)＜f(y)D．f(x)的值域为[0，2)答案ABD解析∵f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋b的图象过原点，∴a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)＋b＝0，∴a＋b＝0，故A正确；由f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则b＝2，又a＋b＝0，则a＝－2，则f(x)＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋2，其定义域为R，∵f(－x)＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋2＝f(x)，则f(x)是偶函数，∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数，∴若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＝－y，x＋y＝0，故B正确；∵f(x)在(－∞，0)上为减函数，∴当x＜y＜0时，f(x)＞f(y)，故C错误；∵0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)≤1，∴－2≤－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)<0，∴0≤－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋2＜2，∴f(x)的值域为[0，2)，故D正确．故选ABD.10．(2023·淄博模拟)关于函数f(x)＝eq\f(1,4x＋2)的性质，下列说法中正确的是()A．函数f(x)的定义域为RB．函数f(x)的值域为(0，＋∞)C．方程f(x)＝x有且只有一个实根D．函数f(x)的图象是中心对称图形答案ACD解析函数f(x)＝eq\f(1,4x＋2)的定义域为R，所以A正确；因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)＝eq\f(1,4x＋2)在定义域内单调递减，所以函数f(x)的值域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以方程f(x)＝x只有一个实根，所以B不正确，C正确；因为f(x＋1)＋f(－x)＝eq\f(1,4x＋1＋2)＋eq\f(1,4－x＋2)＝eq\f(1,4·4x＋2)＋eq\f(4x,2·4x＋1)＝eq\f(1,2)，所以f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))对称，所以D正确．故选ACD.11．(2024·武汉质量评估)若实数a，b满足2a＋3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是()A．0<a<b<1 B．b<a<0C．1<a<b D．a＝b答案ABD解析设f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均为增函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．当x∈(－∞，0)时，f(x)<g(x)；当x∈(0，1)时，f(x)>g(x)；当x∈(1，＋∞)时，f(x)<g(x)．由函数f(x)与g(x)的图象可知(图略)，若f(a)＝2a＋3a＝3b＋2b＝g(b)，则b<a<0或0<a<b<1或1＜b＜a或a＝b.故选ABD.三、填空题12．(2023·长沙一模)使得“2x>4x2”成立的一个充分条件是________．答案0<x<eq\f(1,4)(答案不唯一)解析由于4x2＝22x2，故2x>4x2等价于x>2x2，解得0<x<eq\f(1,2)，使得“2x>4x2”成立的一个充分条件只需为集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))))的子集即可，故答案可以为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,4))))).13．(2024·皖江名校模拟)已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．答案(1，＋∞)f(－4)>f(1)解析因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(－3)＝f(1)．14．已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为________．答案(－∞，－18]解析设t＝3x，则y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3.因为x∈[－2，2]，所以t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，9)).又函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，即y＝t2＋mt－3在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，9))上单调递减，故有－eq\f(m,2)≥9，解得m≤－18.所以m的取值范围为(－∞，－18]．四、解答题15．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))x3(a>0，且a≠1)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．解(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，对于定义域内任意x，有f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－x－1)＋\f(1,2)))(－x)3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ax,1－ax)＋\f(1,2)))(－x)3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))(－x)3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))x3＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x>0时的情况．当x>0时，要使f(x)>0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))x3>0，即eq\f(1,ax－1)＋eq\f(1,2)>0，即eq\f(ax＋1,2（ax－1）)>0，则ax>1.又x>0，∴a>1.∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)>0在定义域上恒成立．16．(2024·莆田模拟)已知函数f(x)＝eq\f(3x＋b,3x＋1)是定义域为R的奇函数．(1)求实数b的值，并证明函数f(x)在R上单调递增；(2)已知a>0且a≠1，若对于任意的x1，x2∈[1，3]，都有f(x1)＋eq\f(3,2)≥ax2－2恒成立，求实数a的取值范围．解(1)因为函数f(x)＝eq\f(3x＋b,3x＋1)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝eq\f(1＋b,2)＝0，解得b＝－1，此时f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＝1－eq\f(2,3x＋1).对任意的x∈R，3x＋1>0，即函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝eq\f(3－x－1,3－x＋1)＝eq\f(3x（3－x－1）,3x（3－x＋1）)＝eq\f(1－3x,1＋3x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，符合题意．任取t1，t2∈R且t1<t2，则0<3t1<3t2，所以f(t1)－f(t2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3t1＋1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3t2＋1)))＝eq\f(2（3t1－3t2）,（3t1＋1）（3t2＋1）)<0，则f(t1)<f(t2)，所以函数f(x)在R上单调递增．(2)由(1)可知，函数f(x)在[1，3]上为增函数，对于任意的x1，x2∈[1，3]，都有f(x1)＋eq\f(3,2)≥ax2－2，则ax2－2－eq\f(3,2)≤f(1)＝eq\f(1,2)，所以ax2－2≤2，因为x2∈[1，3]，所以x2－2∈[－1，1]．当0<a<1时，则有a－1≤2，解得eq\f(1,2)≤a<1；当a>1时，则有a≤2，此时1<a≤2.综上所述，实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，2]．第6讲对数与对数函数[课程标准]1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1)．1．对数的定义如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作eq\x(\s\up1(01))x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的运算法则如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么(1)loga(MN)＝eq\x(\s\up1(02))logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝eq\x(\s\up1(03))logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．3．对数函数的定义函数eq\x(\s\up1(04))y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．4．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域eq\x(\s\up1(05))(0，＋∞)值域R定点过点eq\x(\s\up1(06))(1，0)单调性eq\x(\s\up1(07))增函数eq\x(\s\up1(08))减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞05.反函数指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝eq\x(\s\up1(09))logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线eq\x(\s\up1(10))y＝x对称．1．对数的性质(a＞0，且a≠1)(1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaN＝N.2．换底公式及其推论(1)logab＝eq\f(logcb,logca)(a，c均大于0且不等于1，b＞0)；(2)logab·logba＝1，即logab＝eq\f(1,logba)(a，b均大于0且不等于1)；(3)logab·logbc·logcd＝logad；(4)logambn＝eq\f(n,m)logab.3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1．(人教A必修第一册习题4.3T5改编)设alog34＝2，则4－a＝()A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,6)答案B解析由alog34＝2可得log34a＝2，所以4a＝9，所以4－a＝eq\f(1,9).故选B.2．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝eq\f(1,2)，则下列判断正确的是()A．c<b<a B．b<a<cC．a<c<b D．a<b<c答案C解析a＝log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)＝log82eq\r(2)<log83＝b，即a<c<b.故选C.3．函数f(x)＝loga(x＋2)－2(a>0，且a≠1)的图象必过定点________．答案(－1，－2)解析由loga1＝0(a>0，且a≠1)知，f(－1)＝loga(－1＋2)－2＝0－2＝－2，所以函数f(x)的图象必过定点(－1，－2)．4．(人教B必修第二册4.2.2练习BT3改编)求值：lg5×lg20＋(lg2)2＝________．答案1解析原式＝lg5×lg(22×5)＋(lg2)2＝lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝(lg5)2＋2lg2×lg5＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝[lg(5×2)]2＝1.5．(人教A必修第一册习题4.4T1(2)改编)函数y＝eq\r(log\s\do9(\f(2,3))（2x－1）)的定义域是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析由logeq\s\do7(\f(2,3))(2x－1)≥0得logeq\s\do7(\f(2,3))(2x－1)≥logeq\s\do7(\f(2,3))1，所以0<2x－1≤1，解得eq\f(1,2)<x≤1.故函数y＝eq\r(log\s\do7(\f(2,3))（2x－1）)的定义域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).考向一对数的化简与求值例1(1)下列运算正确的是()A．2logeq\s\do7(\f(1,5))10＋logeq\s\do7(\f(1,5))0.25＝2B．log427×log258×log95＝eq\f(8,9)C．lg2＋lg50＝10D．log(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))－(log2eq\r(2))2＝－eq\f(5,4)答案D解析对于A，2logeq\s\do7(\f(1,5))10＋logeq\s\do7(\f(1,5))0.25＝logeq\s\do7(\f(1,5))(102×0.25)＝logeq\s\do7(\f(1,5))52＝－2，A错误；对于B，log427×log258×log95＝eq\f(lg33,lg22)×eq\f(lg23,lg52)×eq\f(lg5,lg32)＝eq\f(3×3,2×2×2)＝eq\f(9,8)，B错误；对于C，lg2＋lg50＝lg100＝2，C错误；对于D，log(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))－(log2eq\r(2))2＝－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝－eq\f(5,4)，D正确．(2)(2024·银川模拟)设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋log2（2－x）（x≤1），,2x－1（x>1），))则f(1)＋f(log26)＝()A．4 B．5C．6 D．7答案A解析因为log26>1，所以f(1)＋f(log26)＝1＋log2(2－1)＋2log26－1＝1＋0＋2log23＝1＋3＝4.故选A.(3)(多选)(2023·海南华侨中学模拟)已知a＝lg2，b＝lg3，则()A．102a＋b＝7 B．2a＋b＝lg12C.eq\f(1,a＋2b)＝log1810 D．log365＝eq\f(1－a,2a＋2b)答案BCD解析因为a＝lg2，b＝lg3，所以10a＝2，10b＝3，所以102a＋b＝(10a)2×10b＝4×3＝12，A错误；2a＋b＝lg4＋lg3＝lg12，B正确；eq\f(1,a＋2b)＝eq\f(1,lg2＋2lg3)＝eq\f(1,lg18)＝log1810，C正确；log365＝eq\f(lg5,lg(4×9))＝eq\f(lg5,2lg2＋2lg3)＝eq\f(1－a,2a＋2b)，D正确．故选BCD.对数运算的策略1.(2023·衡水中学模拟)在某款计算器上计算logab时，需依次按下“log”“(”“a”“，”“b”“)”6个键．某同学使用该计算器计算logab(a>1，b>1)时，误将“log”“(”“b”“，”“a”“)”这6个键依次按下，所得到的值是正确结果的eq\f(4,9)，则()A．2a＝3b B．a3b2＝1C．a2＝b3 D．a3＝b2答案D解析由题意可知logba＝eq\f(4,9)logab，∴(logba)2＝eq\f(4,9)，又a>1，b>1，∴logba>0，logba＝eq\f(2,3)，∴a＝beq\s\up7(\f(2,3))，即a3＝b2.故选D.2．(2024·广东重点中学联考)已知4a＝3b＝6，则eq\f(2a＋b,ab)＝________．答案2解析由题意可得a＝log46，b＝log36，则eq\f(1,a)＝log64，eq\f(1,b)＝log63，故eq\f(2a＋b,ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝log64＋2log63＝log64＋log69＝log636＝2.考向二对数函数的图象及其应用例2(1)(2024·潍坊模拟)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是()答案A解析由于f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝k－1－1＝0，k＝2，因为f(x)＝ax－eq\f(1,ax)为减函数，所以0<a<1，所以g(x)＝loga(x＋2)，x>－2，g(x)为(－2，＋∞)上的减函数，g(－1)＝0，排除B，C，D，故选A.(2)若方程4x＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内有解，则实数a的取值范围为________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))解析构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax.当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数的大致图象，如图所示．可知，只需两图象在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有交点即可，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≥geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即2≥logaeq\f(1,2)，则0<a≤eq\f(\r(2),2)，所以实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型函数的图象，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合思想求解．1.函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为()答案A解析由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称，画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移1个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.2．设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝lnx1，e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lgx3，则()A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1 D．x2<x1<x3答案D解析画出函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))eq\s\up12(x)，y＝lnx，y＝ln(x＋1)，y＝lgx的图象，如图所示，由图象知x2<x1<x3.多角度探究突破考向三对数函数的性质及其应用角度比较对数值的大小例3(1)(2024·安徽A10联盟模拟)设a＝2log3eq\f(1,2)，b＝log25，c＝log35，则()A．c<a<b B．b<c<aC．a<b<c D．a<c<b答案D解析因为log3eq\f(1,2)<0，所以0<a<1，又b＝log25>log24＝2，1＝log33<c＝log35<log39＝2，所以a<c<b.故选D.(2)(多选)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，则下列关系中可能成立的是()A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b答案BCD解析由loga2<logb2<logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.作出函数的图象(如图所示)．由图象可知B，C，D可能成立．(3)(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2答案ACD解析解法一：由题意可知，Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，对于A，Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p0)－20×lgeq\f(p2,p0)＝20×lgeq\f(p1,p2)，因为Lp1≥Lp2，则Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p2)≥0，即lgeq\f(p1,p2)≥0，所以eq\f(p1,p2)≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确；对于B，Lp2－Lp3＝20×lgeq\f(p2,p0)－20×lgeq\f(p3,p0)＝20×lgeq\f(p2,p3)，因为Lp2－Lp3＝Lp2－40≥10，则20×lgeq\f(p2,p3)≥10，即lgeq\f(p2,p3)≥eq\f(1,2)，所以eq\f(p2,p3)≥eq\r(10)且p2，p3>0，可得p2≥eq\r(10)p3，当且仅当Lp2＝50时，等号成立，故B错误；对于C，因为Lp3＝20×lgeq\f(p3,p0)＝40，即lgeq\f(p3,p0)＝2，可得eq\f(p3,p0)＝100，即p3＝100p0，故C正确；对于D，由选项A可知，Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p2)，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，则20×lgeq\f(p1,p2)≤40，即lgeq\f(p1,p2)≤2，可得eq\f(p1,p2)≤100且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD.解法二：因为Lp＝20×lgeq\f(p,p0)随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，得p＝p010eq\s\up7(\f(Lp,20))，因为Lp3＝40，所以p3＝p010eq\s\up7(\f(40,20))＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则p010eq\s\up7(\f(Lp2,20))＞10p010eq\s\up7(\f(Lp3,20))，所以10eq\s\up7(\f(Lp2,20))－eq\s\up7(\f(Lp3,20))＞10，所以Lp2－Lp3＞20，该式不可能成立，故B错误；因为eq\f(100p2,p1)＝eq\f(100p010\s\up7(\f(Lp2,20)),p010\s\up7(\f(Lp1,20)))＝10eq\s\up7(\f(Lp2,20))－eq\s\up7(\f(Lp1,20))+2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD.比较对数值大小的方法1.(多选)(2024·惠州模拟)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝logeq\s\do7(\f(1,2))eq\f(1,3)，则下列关系式中，正确的是()A．a>b B．a>cC．c>a D．a＋b＝2答案AC解析a＝log2e>log22＝1，即a>1，b＝ln2<lne＝1，即b<1，c＝logeq\s\do7(\f(1,2))eq\f(1,3)＝log23>log2e＝a，所以c>a>b，a＋b＝log2e＋ln2＝eq\f(1,ln2)＋ln2，由基本不等式知D错误．故选AC.2．(多选)对于0<a<1，下列四个不等式中成立的是()A．loga(1＋a)<logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a))) B．loga(1＋a)>logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))C．a1＋a<a1＋eq\s\up7(\f(1,a)) D．a1＋a>a1＋eq\s\up7(\f(1,a))答案BD解析∵0<a<1，∴a<eq\f(1,a)，从而1＋a<1＋eq\f(1,a)，∴loga(1＋a)>logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))，a1＋a>a1＋eq\s\up7(\f(1,a)).故选BD.3．(2023·聊城二模)已知a＝eq\f(2,ln4)，b＝eq\f(ln3,ln2)，c＝eq\f(3,2)，则()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞a答案D解析∵e2＜2.82＜8，∴a－c＝eq\f(2,ln4)－eq\f(3,2)