拔高点突破02 柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式（十一大题型）（解析版）

拔高点突破02柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 2题型一：柯西不等式之直接套公式型 2题型二：柯西不等式之根式下有正负型 4题型三：柯西不等式之高次定求低次型 5题型四：柯西不等式之低次定求高次型 7题型五：柯西不等式之整式与分式型 8题型六：柯西不等式之多变量型 9题型七：柯西不等式之三角函数型 11题型八：Aczel不等式 12题型九：权方和不等式之整式与分式综合型 13题型十：权方和不等式之三角函数型 14题型十一：权方和不等式之杂合型 1503过关测试 16

1、柯西不等式（Cauchy不等式）（1）二元柯西不等式：对于任意的，都有．（2）元柯西不等式：，取等条件：或（）．2、Aczel不等式（反柯西不等式）设；均为实数，或，则有．当且仅当，成比例时取等．3、权方和不等式（1）二维形式的权方和不等式对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立．（2）一般形式的权方和不等式若，，，则，当时等号成立．题型一：柯西不等式之直接套公式型【例1】已知且则的最小值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】由柯西不等式可得：，即所以，当且仅当即时取等号，故的最小值为，故选：B．【变式1-1】若，则的最小值为（

）A．25 B．8 C． D．【答案】C【解析】由柯西不等式，得，∴，∴，当且时，即，且与异号时，，则的最小值为.选：C.【变式1-2】已知a，b，，满足，则的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】设，，，可得，所以．因为，所以，当且仅当，取得最大值6，此时，所以的最大值为．故选：B.题型二：柯西不等式之根式下有正负型【例2】（2024·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（

）A． B． C．12 D．20【答案】A【解析】由，解得，所以函数的定义域为，由柯西不等式得，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.故选：A.【变式2-1】柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为,令,又,,,所以,当且仅当即时等号成立,即,故选:D.【变式2-2】（2024·浙江·模拟预测）已知，，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得，即.由可知，所以.由，可得，由柯西不等式得，所以，当即时，取等号.所以的最大值为.故选：C.题型三：柯西不等式之高次定求低次型【例3】设a，b，c为正数，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解法一根据题意，有，其中，令，解得，于是，等号当时取得，因此所求最大值为．解法二令，其中，则，等号当时取得，因此所求最大值为．解法三根据题意，有，等号当，且即时取得，因此所求最大值为．故选：A.【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（

）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】A【解析】由题干中柯西不等式可得，所以的最大值为，当且仅当时取等号.故选：A【变式3-2】已知实数满足，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则条件为，所以，等号当且时取得，因此所求代数式的最大值为．故选：D题型四：柯西不等式之低次定求高次型【例4】若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对【答案】B【解析】根据题意，有，而，当且仅从时等号成立.同理，当且仅当式等号成立，记题中代数式为M，于是，等号当时取得，因此所求代数式的最小值为2．故选：B.【变式4-1】已知空间向量，，且，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立.所以，所以的最小值为.故选：B【变式4-2】已知，，为实数，且，则的最小值为（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【解析】由三维柯西不等式：当且仅当时取等,所以所以，当且仅当时取等,所以的最小值为：2故选：C题型五：柯西不等式之整式与分式型【例5】（2024·高三·浙江台州·期末）已知正实数满足，则的最小值为．【答案】/0.5【解析】由柯西不等式而，所以时等号成立，故答案为：.【变式5-1】已知、、，且满足，则的最小值为.【答案】【解析】因为、、，且满足，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.【变式5-2】已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为且，，，因为所以，当且仅当时，的最小值为.故选：D.题型六：柯西不等式之多变量型【例6】已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（

）A． B．C． D．前三个答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有，等号当时取得，因此所求最小值为．故选：D.【变式6-1】已知实数a，b，c，d，e满足则e的取值范围是（

）A． B． C． D．以上答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有，从而，因此e的取值范围是．故选：D.【变式6-2】已知，且，则的最小值是（

）A． B．C．417 D．以上答案都不对【答案】A【解析】由可得，由对称性可设，则条件即即，从而，根据柯西不等式，等号当时取得．因此所求最小值为．故选：A.题型七：柯西不等式之三角函数型【例7】函数的最大值为（

）A． B．C． D．前三个答案都不对【答案】D【解析】题中代数式为，等号当时可以取得，因此所求最大值为．故选：D.【变式7-1】（2024·浙江·一模）若，则的最小值是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】由已知整理得，由柯西不等式得，当时取等号，所以，即，解得，所以的最小值为.故选：C．【变式7-2】函数的最大值为（

）A． B．5 C．4 D．【答案】A【解析】利用柯西不等式进行求最值.当且仅当，即时，函数有最大值.故选：A.题型八：Aczel不等式【例8】的最小值为．【答案】【解析】当且仅当即时取等号，故的最小值为．【变式8-1】为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是．【答案】【解析】由题意得，则，当且仅当，即时，等号成立，即，则，所以，最小值为，此时．故答案为：.题型九：权方和不等式之整式与分式综合型【例9】已知正数，，满足，则的最小值为【答案】【解析】因为正数，满足，所以，当且仅当即时取等号.故答案为：.【变式9-1】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（

）A．16 B．25 C．36 D．49【答案】B【解析】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，又，即，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为25.故选：B【变式9-2】已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为.【答案】2【解析】由权方和不等式，可知==，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2.故答案为：2.题型十：权方和不等式之三角函数型【例10】已知正实数、且满足，求的最小值.【答案】【解析】设，，，由权方和不等式，可知，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.故答案为：【变式10-1】已知为锐角，则的最小值为.【答案】【解析】当且仅当即，时取“”.故答案为：【变式10-2】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，，则，当且仅当，即时等号成立，所以．故选：C．题型十一：权方和不等式之杂合型【例11】已知，则的最小值是．【答案】【解析】由题意得，．（权方和的一般形式为：,,当且仅当时等号成立）当，即时，取得最小值．故答案为：【变式11-1】已知，求的最小值为【答案】【解析】当且仅当时取等号故答案为：60【变式11-2】求的最大值为【答案】【解析】当且仅当，即或时取等号故答案为：.1．（2024·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（

）A．16 B．25 C．36 D．49【答案】D【解析】因为，，，，则，当且仅当时等号成立，又，即，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为49．故选：D2．已知a，b，c均大于1，，则的最小值为（

）A．243 B．27 C．81 D．9【答案】B【解析】由得，所以，当且仅当时取等，所以，所以，即的最小值为27，故选：B3．（2024·福建·模拟预测）设、，，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，因为，则且，因为，构造数字式，所以，，故，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值是.故选：B.4．由柯西不等式，当时，求的最大值为（

）A．10 B．4 C．2 D．【答案】D【解析】由柯西不等式，得，当且仅当，即时，等号成立.因为，所以，则，故的最大值为.故选：D5．已知，则的取最小值时，为（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】由柯西不等式得：则．则根据等号成立条件知，，，所以故选：B6．已知：，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用柯西不等式，可得,解不等式即可.解:利用柯西不等式，得,，解得.故选:B7．实数x、y满足，则的最小值是（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【解析】实数x、y满足，，，，当且仅当时取等号，的最小值是.故选：A.8．已知a，，，则的最大值为（

）A．18 B．9 C． D．【答案】C【解析】由题意，，当且仅当时等号成立，当，时，故的最大值为.故选：C.9．若实数，则的最小值为（

）A．14 B． C．29 D．【答案】B【解析】根据柯西不等式：，即，当且仅当，，时等号成立.故选：B.10．函数的最小值是A． B． C． D．【答案】B【解析】根据柯西不等式，得当且仅当，即时等号成立.此时，，故选：B.11．若，则的最大值（

）A．3 B．6 C．9 D．27【答案】A【解析】根据柯西不等式可得：，当且仅当，即时，等号成立.故选:A.12．函数的最大值是()A． B． C．3 D．5【答案】B【解析】利用柯西不等式求解.因为当且仅当，即时，取等号.故选：B13．已知，，则的最大值是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】利用柯西不等式求解.，当且仅当时取等号.∴的最大值是故选：A14．函数，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】将化为，利用柯西不等式即可得出答案.因为所以当且仅当时取等号.故选：A15．（2024·高三·河北衡水·期末）已知，，，且，则的最大值为（）A．3 B． C．18 D．9【答案】B【解析】由柯西不等式得：，所以，当且仅当时，等号成立，故选B.16．已知x，y均为正数，且，则的最大值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解析】当且仅当，即时，等式成立.故选：C17．（2024·广西南宁·二模）设实数满足关系：，，则实数的最大值为A． B． C． D．【答案】B【解析】根据柯西不等式知：，当且仅当时等号成立，所以，即，所以，解得，即实数的最大值为.故选：B.18．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为.【答案】【解析】令，又，，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.故答案为：19．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为.【答案】/【解析】由柯西不等式的变形可知，整理得，当且仅当，即时等号成立，则k的最小值为.故答案为：20．已知