2025年高考数学一轮专题复习-数列专题十五（含解析）

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）人教A版数学--数列高考复习专题十五知识点一由递推关系证明数列是等差数列,求等差数列前n项和的最值,等比中项的应用,利用an与sn关系求通项或项典例1、已知数列的各项为正数，其前项和满足，设．（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求的最大值．

随堂练习：已知数列的前项和公式为（1）求的通项公式；（2）求的前项和的最小值．典例2、已知数列的前项和为.（1）求证：数列是等差数列；（2）求的最大值及取得最大值时的值.

随堂练习：已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足.（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，是的前项和，已知对于都成立，求的取值范围.

知识点二由递推关系证明数列是等差数列,求等差数列前n项和的最值,等比中项的应用,利用an与sn关系求通项或项典例3、已知数列的前项和为.（1）求出的通项公式；（2）求数列前n项和最小时n的取值

随堂练习：记为公差不为0的等差数列的前n项和，已知，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求，并求的最小值．典例4、设等比数列的公比，且满足，，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：对任意正整数n，均成立，求数列的前n项和的最大值.

随堂练习：公差非零的等差数列的前n项和为，若是，的等比中项，．（1）求；（2）数列为等差数列，，数列的公差为，数列的前n项和为，是否存在最大或者最小值？如果存在求出最大或者最小值，如果不存在请说明理由．典例5、已知等比数列的各项均为正数，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的最大项.

随堂练习：在数列{an}中，（n∈N*），.（1）求；（2）设为的前n项和，求的最小值．典例6、已知数列的前n项积.（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前n项为，求的最小值.

随堂练习：已知正项数列的前项和为，且.（1）求；（2）求证：数列是等差数列.（3）令，问数列的前多少项的和最小？最小值是多少？典例7、设数列满足．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和的最大值及此时的值；（3）求数列的前项和．

随堂练习：在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．设等差数列的前n项和为，且,．（1）求的最小值；（2）若数列满足____________，求数列的前10项和．人教A版数学--数列高考复习专题十五答案典例1、答案：（1）证明见解析，；（2）.解：（1）当时，，∴当时，，即∴，∴，∴∴，所以是等差数列，（2），，∵，∴是等差数列∴，当时，随堂练习：答案：（1）；（2）当或时，的值最小，值为.解：（1）当时，，当时，=经检验，满足此式，所以（2）由（1）可知，数列为等差数列，设，得，当或时，的值最小，值为.典例2、答案：（1）证明见解析；（2）前16项或前17项和最大，最大值为.解：（1）证明：当时，，又当时，，满足，故的通项公式为，∴.故数列是以32为首项，为公差的等差数列；（2）令，即，解得，故数列的前16项或前17项和最大，此时.随堂练习：答案：（1）证明见解析，（2）或解（1）∵，∴，∵∴，∴，∴，又由，∴是以1为首项，1为公差的等差数列；所以，∴，当时，，当时，，当时，上式也符合，所以.（2），时，，，，，，∴或5时，，∴或.典例3、答案：（1）；（2）当或时，数列前n项和取得最小值.解:（1）因为，所以当时，；当时，；显然是，也满足，所以；(2)因为，所以数列为等差数列，其前n项和又，所以当或时，取得最小值.随堂练习：答案：（1）（2），最小值为解：（1）因为，且，，成等比数列，所以，即，解得即（2）当或时，有最小值典例4、答案：（1）；（2）49.解:（1）由题意，等比数列满足，，，成等差数列，可得，两式相减得，即，代入，可得，解得或（舍），所以，所以数列的通项公式为.（2）对任意正整数n，均成立，当时，可得，当时，两式相减得，由（1）知，所以当时，，当时也满足此式，数列为等差数列，故数列的前n项和，所以当时，数列的前n项和的最大值为49.随堂练习：答案：（1）60（2）存在最大值66解：（1）记等差数列的公差为，由题知，整理得因为所以可解得所以（2）由（1）可知因为数列的公差为，所以因为的对称轴为，所以当时，有最大值典例5、答案：（1）；（2）.解：（1）设等比数列的公比为，由得，，解得：，；（2）；当取3或4时，取得最大项.随堂练习：答案：（1）（2）当n为偶数时，取得最小值为－242；当n为奇数时，取最小值为－243解：（1）∵（n∈N*），①②②－①得，.又∵a2＋a1＝2－44，a1＝－23，∴a2＝－19，同理得，a3＝－21，a4＝－17.故a1，a3，a5，…是以为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以为首项，2为公差的等差数列．从而（2）当n为偶数时，故当n＝22时，Sn取得最小值为－242.当n为奇数时，.故当n＝21或n＝23时，Sn取得最小值－243.综上所述：当n为偶数时，Sn取得最小值为－242；当n为奇数时，Sn取最小值为－243.典例6、答案：（1）（2）解：（1）.当时，；当时，，也符合.故的通项公式为.（2），，是以为首项，2为公差的等差数列，，当时，的最小值为.随堂练习：答案：（1），；（2）证明见解析；（3）数列的前9或前10项的和最小，最小值为解：（1）由已知得，，，；，，化简得，，又由已知得，，（2）由题意得，，①令，得，②得，，化简得，，进而得到，，又由为正项数列得，，故有，，所以，，故数列是等差数列，由（1）得，，所以，（3）由（2）得，，明显地，为等差数列，设的前项和为，故有，，根据二次函数的性质，的对称轴为，因为为正整数，明显地，取或时，有最小值，故最小值为，，所以，数列的前9或前10项的和最小，最小值为.典例7、答案：（1）；（2）当，取得最大值；（3）.解:（1）由题意知，，所以所以，当时，符合通项公式，所以数列的通项公式为；（2）由（1）可得，由等差数列的求和公式，可得∴当，