2025年高考数学一轮专题复习-数列专题十（含解析）

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）人教A版数学--数列专题十知识点一等比中项的应用,裂项相消法求和,分组（并项）法求和,等差数列通项公式的基本量计算典例1、记为数列的前项和，已知．（1）证明：是等差数列；（2）若，记，求数列的前项和．

随堂练习：已知等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．典例2、已知等差数列是单调递增数列，，且，，成等比数列，是数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求.

随堂练习：已知数列的前项和为，，，．（1）求；（2）设是数列的前项和，求．典例3、已知数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．

随堂练习：已知数列为公差不为0的等差数列，，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和．知识点二由递推关系证明数列是等差数列,由递推关系证明等比数列,裂项相消法求和典例4、已知数列满足.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若__________，求数列的前项和.（在①；②；③这三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解）

随堂练习：已知数列的首项为1，前项和为，且满足______.①，；②；③.从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：（1）求；（2）求数列的前项和.典例5、在①是与的等比中项：②；③这三个条件中任选两个补充到下面的横线中并解答．问题：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足______．（1）求；（2）若，求数列的前项和．注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分．

随堂练习：设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且满足______________．条件①：；条件②：；条件③：．请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列的前n项和．参考公式：．典例6、在①数列的前n项和；②且，，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：（1）已知数列满足__________，求的通项公式；（2）已知正项等比数列满足，，求数列的前n项和．

随堂练习：已知为等差数列的前项和，且，___________.在①，，成等比数列，②，③数列为等差数列，这三个条件中任选一个填入横线，使得条件完整，并解答：（1）求；（2）若，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.人教A版数学--数列专题十答案典例1、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）当且时，，整理可得：，，数列是公差为的等差数列.（2）由（1）得：，，随堂练习：答案：（1）（2）解：（1）设等差数列的公差为，则，解得：，.（2）由（1）得：，典例2、答案：（1）；（2）.解：（1）设的公差为，则∴，∵，∴，∴的通项公式为.（2）由（1）得，.随堂练习：答案：（1）；（2）.解：（1）由题，可得，又知，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以，即．（2）由（1）可得，∴．典例3、答案：（1），（2）解：（1）由题意，当时，，当时，由，可得，两式相减，可得，化简整理，得，也满足上式，数列是以2为首项，2为公差的等差数列，，．（2）由（1），可得，则．随堂练习：答案：（1）（2）解：（1）∵，，成等差数列，∴，∴，设数列的公差为，∴，∴，∵，解得：，∵，∴，，∴；（2）∵，∴数列的前n项和为．典例4、答案：（1）（2）答案见解析解：（1）∵，则，即故数列是首项和公差都为2的等差数列，∴，即（2）选①：∵，∴.选②：∵，则有：当时，；当时，；∴.选③：∵，∴.随堂练习：答案：（1）（2）解：（1）选①因为，所以当为奇数时，；同理，当为偶数时，.所以.选②因为，（*）所以当时，，（**）（*）-（**），得，即，所以数列是首项为1的常数列，所以.选③因为，所以，所以数列是首项为的常数列，所以，所以当时，.当时，也符合上式.所以.（2）由（1）得，，所以典例5、答案：（1）（2）解：（1）方法1：选①和③，整理得，设等差数列的公差为，则有：，整理得,，解得，又由，可得，解得，故，所以，方法2：选①和②，，所以，，设等差数列的公差为，则有，化简得，解得，，则，方法3：选②和③，，可得，，设等差数列的公差为，则有，得到方程，解得，故，所以等差数列的通项公式为：.（2），随堂练习：答案：（1）；（2）证明见解析.解：（1）若选择条件①：因为，所以，又，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列．所以，所以．若选择条件②：因为，所以．当时，，整理得，，所以，累乘得，，当时，，符合上式，所以．若选择条件③：因为，所以，即，所以，所以数列为常数列，又，所以，即．（2）由（1）知：，结合参考公式可得所以所以.典例6、答案：（1）；（2）.解：（1）若选①：数列的前n项和.当时，，当时，，上式仍成立，∴的通项公式为．若选②：且，.由可得，所以是和的等差中项，所以是等差数列.设公差为，则由，可得，所以.所以的通项公式为．（2）设的公比为.由（1）知，又，所以，即，又，所以，所以，的通项公式为.则，所以．随堂练习：答案：（1）（