2025年高考数学一轮专题复习-空间向量和立体几何专题十四（含解析）

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）空间向量和立体几何高考复习专题十四知识点一证明线面平行,面面角的向量求法典例1、如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点.（1）记平面与平面的交线为，求证：直线平面；（2）若，点是的中点，求二面角的正弦值.

随堂练习：如图，三棱柱中侧棱与底面垂直，且，，，M，N，P，D分别为，BC，，的中点.（1）求证：面；（2）求平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值.

典例2、如图所示的几何体中，，，都是等腰直角三角形，，且平面平面，平面平面．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．

随堂练习：如图，在四棱锥中，平面，，为等边三角形，．（1）求证：平面，且平面．（2）已知，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．典例3、如图，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

随堂练习：如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．知识点二证明线面垂直,线面垂直证明线线垂直,线面角的向量求法典例4、如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点是的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.

随堂练习：如图，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，将绕边PO旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点C为的中点．（1）求证：；（2）设直线PC与平面PAB所成的角为，求．

典例5、在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，E为的中点，点P在平面内的投影F恰好在直线上．（1）证明：．（2）求直线与平面所成角的正弦值．

随堂练习：如图，在中，，，为的中点，，.现将沿翻折至，得四棱锥.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正切值

典例6、如图，在七面体中，四边形是菱形，其中，，，是等边三角形，且.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.

随堂练习：如图，在四棱锥中，平面，，且，，，点在上．（1）求证：；（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值．空间向量和立体几何高考复习专题十四答案典例1、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）因为分别是的中点所以，又因为平面，平面所以平面又平面，平面与平面的交线为，所以，而平面，平面，所以平面（2）如图，因为是圆的直径，点是的中点，所以，因为直线平面所以所以以为原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，所以，设平面的法向量，则，即令，则得因为直线平面所以为平面的法向量所以所以二面角的正弦值为随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）解：（1）解法一：以点A为坐标原点，AB､AC､所在直线分别为x､y､z轴建立空间直角坐标系，则，，，，.取向量为平面的一个法向量，，∴，∴.又∵平面，∴平面.解法二：∵P，D分别为，的中点，∴，且平面，平面，∴平面，∵D，N分别为，BC的中点，∴，且平面，平面，∴平面，又，∴平面平面，又∵平面PDN，∴平面.以点A为坐标原点，AB､AC､所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，.∴，,取向量为平面的一个法向量，设平面PMN的法向量为，则，即，令，则，，则，∴，由图示可知平面PMN与平面的夹角为锐角，∴平面PMN与平面所成锐二面角的余弦值为.典例2、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）证明：分别取的中点，连接，设，则，，又平面平面，平面平面平面，平面，同理可证平面，，又因为，所以四边形是平行四边形，，又平面平面，平面；（2）如图，取的中点为，则，以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，得平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，则，令，得平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）解：（1）平面，平面，，又，，平面，平面；为等边三角形，，又，，平面，平面，平面.平面，平面，；（2）以为坐标原点，为轴正方向，作轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量，则，令，则，，；设平面的法向量，则，令，则，，；，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.典例3、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）证明：因为四边形为菱形，则，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，所以，平面平面，因为平面，平面.（2）取的中点，连接、，因为四边形为菱形，则，因为，则为等边三角形，因为为的中点，则，同理可得，因为平面平面，平面平面，平面，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设平面的向量为，，，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，则.因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.随堂练习：答案：（1）见解析；（2）.解:（1）连接，，分别为，中点为的中位线且又为中点，且且四边形为平行四边形，又平面，平面平面（2）设，由直四棱柱性质可知：平面四边形为菱形则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：，，，D（0，-1,0）取中点，连接，则四边形为菱形且为等边三角形又平面，平面平面，即平面为平面的一个法向量，且设平面的法向量，又，，令，则，二面角的正弦值为：典例4、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）如图，连接，∵四边形是正方形，∴.又平面，平面，∴，∵平面，，∴平面，又平面，∴（2）易知，，两两垂直，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.∵，∴，，，，，∴，，.设平面的法向量为，则，令，得.设直线与平面所成角为，由图可知，则即直线与平面所成角的正弦值为.随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）解：（1）证明：由题意知：，∴PO⊥平面AOB，又∵平面AOB，所以PO⊥AB．又点C为的中点，所以OC⊥AB，，所以AB⊥平面POC，又∵平面POC，所以PC⊥AB．（2）以O为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，所以，，．设平面PAB的法向量为，则取，则可得平面PAB的一个法向量为，所以．典例5、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）因为，，E为的中点，所以，所以四边形为长方形，，因为平面，平面，所以，又因为，所以平面，平面，所以．（2）连接，由（1）平面，平面，所以，因为，所以，所以，即，，，所以，即，过做交于，分别以所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，，，，，，，，设平面的一个法向量为，所以，即，令，则，所以，设直线PB与平面PAD所成角的为，所以，所以直线PB与平面PAD所成角的正弦值为．随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）7解:（1）设为的中点，为的中点，，则，故，则，又，则，所以是的角平分线，且三点共线.由，且,得面，则；（2）法一：连结.由平面得，平面平面，交线为，所以在面上的射影点在上，为直线与平面所成角.在中，，由余弦定理得，，故，，又，在得，由余弦定理得，则，所以，由（1）得为角平分线，在中，，由余弦定理得，则，所以，所以直线与平面所成角的正切值为7.法二：如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系.，设，由，得，得.,平面法向量为，设直线与平面所成角为，所以，,则，所以直线与平面所成角的正切值为7.典例6、答案：（1）证明见解析；（2）.解:（1）取中点，连接，，，所以，由余弦定理得：，得，，又，且，则平面，故，又，所以平面，则，由等边三角形得，且，则平面，故，又，因此.（2）连接，过点作平面于点，连接，，由平面得平面平面，则点在平面内的射影位于直线上，由等边三角形得点在平面内的射影位于的中垂线上，因此，由几何关系可确定点在平面内的射影位于的重心，又由（1）知平面，平面，则，，，，五点共面，如图，以点为原点，以射线，为，轴的正半轴，建立空间直角坐标系Gxyz，不妨设，则，，，在和中，由余弦定理得，，则，解得，因此，，，设平面的法向量，由得，取，设直线与平面所成角为，则，因此，直线与平面所成角的正弦值为.随堂练习：答案