2025年高考数学一轮专题复习-空间向量和立体几何专题七（含解析）

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）空间向量和立体几何高考复习专题七知识点一锥体体积的有关计算,证明线面垂直,已知面面角求其他量典例1、如图所示，圆锥的高，底面圆的半径为，延长直径到点，使得，分别过点、作底面圆的切线，两切线相交于点，点是切线与圆的切点．（1）证明：平面；（2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求该圆锥的体积．随堂练习：已知平面四边形，，（如图1所示），现将沿边折起，使得平面平面，点为线段的中点，为线段上一点，（如图2所示）．（1）求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．

典例2、如图，在三棱柱中，平面，四边形为菱形．（1）证明：平面；（2）若，，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．

随堂练习：如图所示，在三棱锥中，，为的中点.（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求三棱锥的体积.典例3、如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，G为的重心，M为线段的中点，与交于点F．（1）当时，证明：平面；（2）当平面与平面所成锐二面角为时，求三棱锥的体积．

随堂练习：如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．（1）证明：平面；（2）若，且二面角的大小为30°，求四棱锥的体积．

知识点二证明线面垂直,面面角的向量求法典例4、如图，在四棱锥中，底面是矩形且，M为的中点，，．（1）证明：平面；（2）若，与平面所成的角为45°，求二面角的正弦值．随堂练习：如图，四边形是正方形，平面，，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．典例5、已知四棱锥中，底面，平面平面，，.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.

随堂练习：如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为等边三角形且垂直于底面，分别为的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．典例6、如图，已知等边中，E，F分别为AB，AC边的中点，N为BC边上一点，且，将沿EF折到的位置，使平面平面，M为EF中点.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.

随堂练习：如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.1、证明：平面；2、若为上一点，且三棱锥的体积是三棱锥体积的2倍，求平面与平面夹角的余弦值.【正确答案】1、证明见解析2、空间向量和立体几何高考复习专题七答案典例1、答案：（1）证明见解析；（2）.解：（1）由题设，底面圆，又是切线与圆的切点，∴底面圆，则，且，而，∴平面.（2）由题设，若，可构建为原点，、、为x、y、z轴的空间直角坐标系，又，可得，∴，，，有，，若是面的一个法向量，则，令，则，又面的一个法向量为，∴，可得，∴该圆锥的体积．随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）解：（1）证明：因为，所以为等边三角形，因为为的中点，所以．因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又因为平面，所以平面．（2）如图所示以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，．所以，，设，则，设平面的一个法向量为，则，即，取，有，即．平面的一个法向量．设二面角的平面角为，则，解得，即为中点．此时，又因为，所以．典例2、答案：（1）证明见解析；（2）.解:（1）因为四边形为菱形，所以．因为平面，平面，所以．又因为，平面，平面，所以平面．（2）以B为坐标原点，分别以，BC所在的直线为x轴和z轴，以过B点垂直平面的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图所示．设，则，，，．所以，．设平面的法向量为，则即令，得．由条件知为平面的一个法向量．设二面角的平面角为，易知为锐角．则，解得．所以．随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）解：（1）在三棱锥中，，O为的中点.，且，连接，，得，则，又，得，，平面ABC.（2）如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系由已知得，，取平面的一个法向量设，则设平面的法向量为，取，得，二面角为，解得：（舍去）或，则，所以，典例3、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）延长交于N，连接，因为G为的重心，所以点N为的中点，且，因为，故，所以，故，故，因为平面，所以，因为底面为矩形，所以，又因为，所以平面，故，因为，所以，又因为，所以平面，所以平面.（2）以C为原点，以所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设点G到平面的距离为，则，故，设平面的法向量为，则,即，取，则，即，设平面的法向量为，则,即，取，则，则，所以，解得，又，故点G到平面的距离为，因为，所以，所以.随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）．解：（1）因为侧面底面，侧面底面，又底面为矩形，所以，平面，平面，平面，所以，又侧面是正三角形，M是的中点，所以，，，平面，所以平面．（2）取中点O，过点O作的平行线连接，由（1）同理知平面，以O为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，记平面的法向量，则，，从而，则可得，因为平面，则平面的法向量跟共线，可取，因为二面角的大小为30°，，解得，所以四棱锥的体积为．典例4、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）因为在和Rt中，，，所以，因为，，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，，平面，所以平面．（2）因为，所以，因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，所以为与平面所成的角，则，所以，由勾股定理知：，可如图建立空间直角坐标系，所以，，，，所以，，由（1）知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则有，即，取，得，所以，设二面角的大小为，则．随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）.解：（1）四边形是正方形，有，而平面，平面，则，又，平面，所以平面.（2）由（1）知，两两垂直，以为原点分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，即有，，，由（1）知是平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，令，得，设平面与平面夹角为，则有所以平面与平面夹角的余弦值为.典例5、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）证明；因为平面平面，平面平面，在平面内作，则平面，平面，所以.因为PA⊥底面ABCD，平面，所以,平面，则平面，因为,∴平面.（2）由（1）可知平面,平面,所以，以A为原点分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，则，所以设平面的法向量为，则,即,令，则取.设平面的法向量为，则,即,令,则取.所以，由图可知所求二面角为钝角，故二面角的余弦值为.随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）.解：（1）如图，取中点，连接，则,因为平面平面，且平面平面，平面所以平面,因为平面，所以,又因为F为CD的中点，所以，又，平面PGB，所以平面，平面，所以，，为的中点，所以，又，平面，平面，所以平面.（2）不妨设正方形的边长为2，以点为坐标原点，为轴，垂直于的直线为轴，为轴建立空间坐标系，则,，设平面与平面的法向量分别为，夹角为，则不妨设,所以，，所以.典例6、答案：（1）证明见解析；（2）.解：（1）证明：因为为等边的边的中点，所以是等边三角形，且，，因为是的中点，所以，，又由于平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以，且，则四边形是平行四边形，则，在正中，知，所以，而，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）设等边的边长为4，取中点，连接，由题设知，由（1）知平面，又平面，所以，如图建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的一个法向量为，则由，得，令，则，平面的一个法向量为，所以，显然，二面角的平面角为锐角，二面角的平面角的余弦值为.随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）解：（1）在梯形ABCD中取AD中点N，连接CN，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，所以，所以点在以为直径的圆上，所以