2025年高考数学一轮专题复习-空间向量和立体几何专题二（含解析）

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）空间向量和立体几何高考复习专题二知识点一证明线面平行,求平面的法向量,面面角的向量求法典例1、如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点.（1）求证:;（2）求二面角的大小.

随堂练习：如图，在正四棱锥中，，点M，N分别在上，且．（1）求证：平面；（2）当时，求平面与平面所成二面角的正弦值．典例2、如图所示多面体中，底面是边长为3的正方形，平面，，，是上一点，．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．

随堂练习：在四棱锥中，，，，，且，，平面平面.（1）证明：//平面；（2）求二面角的余弦值.典例3、如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.

随堂练习：如图，四棱锥的底面为正方形，底面，是线段的中点，设平面与平面的交线为.（1）证明∥平面BCM（2）已知，为上的点，若与平面所成角的正弦值为是，求线段的长.（3）在（2）的条件下，求二面角的正弦值.知识点二求点面距离,面面角的向量求法典例4、如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，.（1）求点A到平面SBC的距离；（2）求二面角的大小.随堂练习：如图，在长方体中，，，为的中点．（1）证明：；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的平面角的余弦值．典例5、已知正三棱柱底面边长为2，M是BC上一点，三角形是以M为直角顶点等腰直角三角形.（1）证明M是BC中点；（2）求二面角的大小；（3）直接写出点C到平面的距离.

随堂练习：如图，三棱柱的棱长均为2，点在底面的射影O是的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面所成角的余弦值.典例6、如图所示，平面平面，且四边形为矩形，，，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离．随堂练习：如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的大小；（3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求线段的长．

空间向量和立体几何高考复习专题二答案典例1、答案：（1）证明见解析；（2）.解：（1）依题意，平面，如图，以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意，可得，，，，即；∵，为的中点，∴（2），平面,平面，故为平面的一个法向量.设平面的法向量为，，即，令，得，故.，由图可得二面角为钝角，二面角的余弦值为，则二面角的大小为.随堂练习：答案：（1）证明见解析2（2）解：（1）证明：连接AN并延长交BC于点E，因为正四棱锥P−ABCD，所以ABCD为正方形，所以．又因为，所以，所以在平面PAE中，，又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．（2）连接AC交BD于点O，连接PO，因为正四棱锥P−ABCD，所以平面ABCD，又OA，平面ABCD，所以，，又正方形ABCD，所以．以，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，因为，所以，则，，设平面AMN的法向量为，则，取，；，，设平面PBC的法向量为，则取，；所以，设平面AMN与平面PBC所成的二面角为，则，所以平面AMN与平面PBC所成二面角的正弦值为．典例2、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）证明：过点作，交于点，则，即，因为，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）由题意以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，，即，，令，，则，，设二面角为，所以，即，所以二面角的正弦值为.随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）解：（1）设点满足，即，结合条件，即，，即；由条件，即，可得：，显然线段不共线，从而可得四边形为平行四边形，即可得：//，平面，平面，故可得：//平面（2）过点作作的垂线，垂足为，平面，平面平面，平面平面，可得：平面∵，∴，故可得，，，.在直角梯形中，，，可得，在中，根据余弦定理：，根据上述分析可得：，从而可得：.综上可得：三条直线两两垂直.故以点为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系.则有点，，，，，设平面的法向量为，则可得：，即有，令，可得；平面与平面为同一个平面，显然平面的一个法向量为.可得：，结合图形可知是锐二面角，从而可得二面角的余弦值为典例3、答案：（1）证明见解析（2）（3）解：（1）记的中点为，连结，因为，，所以四边形是平行四边形，则，因为，所以平行四边形是矩形，则，因为平面，平面，所以，则两两垂直，（2）故以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，因为为的中点，所以，则，设平面的一个法向量为，而，，则，令，则，所以，则，又平面，所以平面．.设平面的一个法向量为，而，，所以，令，则，设平面的一个法向量为，而，，所以，令，则，记平面与平面夹角为，则，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.（3）依题意，不妨设，则，，又由（2）得平面的一个法向量为，记直线与平面所成角为，所以，解得（负值舍去），所以，则，而由（2）得平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为.随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）（3）解：（1）在正方形中，，因为平面，平面，所以∥平面，又因为平面，平面平面，所以，因为平面，平面，所以∥平面（2）如图建立空间直角坐标系，因为，则有，，，，，设，则有，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为，则因为与平面所成角的正弦值为是，所以，解得.所以.（3）由（2）可知平面的一个法向量为因为是线段的中点，所以于是，，设平面的法向量则，即.令，得，，，所以二面角的正弦值为.典例4、答案：（1）；（2）.解:（1）设点A到平面SBC的距离为，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，因为四边形为正方形，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，因为，所以，所以，解得，所以点A到平面SBC的距离为，（2）如图，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，平面的一个法向量为，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）；（3）.解:（1）如图，以为原点，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，所以，．因为，所以．（2）由（1），得，，所以，，．设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，所以，则点到平面的距离．（3）因为，所以．由（1）可知，且，所以平面，即是平面的一个法向量．由（2）得是平面的一个法向量，所以．又二面角的平面角是锐角，所以二面角的平面角的余弦值为典例5、答案：（1）证明见解析（2）（3）解：（1）证明：在正三棱柱中，有底面，面，，又是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，面面，面，，底面是边长为2的正三角形，点为中点．（2）过作，交于．以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．由（1）知，，，，，则、，，，所以，，，设面的一个法向量为，则，取，得，令面的一个法向量为，则，令，则设二面角的大小为，由图知为锐角，故，解得．故二面角的大小为．（3）过点作，由（1）知且，平面，平面，在平面内，，又，平面，平面由（1）知，，，，，，点到平面的距离为．随堂练习：答案：（1）；（2）.解:（1）由点在底面的射影O是的中点，可得平面，又由是等边三角形，所以两两垂直，以分别为建立如图所示的空间直角坐标系，因为三棱柱的棱长都是2，所以得，可得，所以，在平面中，，设法向量为，则有，可得，取，可得，所以平面的一个法向量为，记点到平面的距离d，则.（2）在平面中，，设法向量为，则有，可得，取，可得，所以，设平面与平面所成角为，则，所以平面与平面所成角的余弦值.典例6、答案：（1）证明见解析；（2）；（3）．解:（1）证明：∵四边形为直角梯形，四边形为矩形，∴，，又∵平面平面，，且平面平面，∴平面以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，，，，，，则，．∵，，∴为平面的一个法向量．又，∴，即平面．（2）由（1）知，由（1）知，，设平面的一个法向量，则，∴，∴平面AEF的一个法向量，则，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．（3）由（1）知，又平面的一个法向量，所以点到平面的距离．随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）；（3）.解：（1）证明：连接，，，，又，四边形为平行四边形.点，分别为，的中点，，.，，为的中点，，,，.四边形为平行四边形