考研数学（数学一）模拟试卷10（共202题）

考研数学（数学一）模拟试卷10（共9套）（共202题）考研数学（数学一）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数g(x)=f(x)/xA、在x=0处左极限不存在．B、有跳跃间断点x=0.C、在x=0处右极限不存在．D、有可去间断点x=0．标准答案：D知识点解析：暂无解析2、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：3、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：4、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：5、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：6、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：7、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：8、没A，B，C均为n阶矩阵．若AB=C，且B可逆，则A、矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B、矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C、矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D、矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价标准答案：B知识点解析：由于AB=C，那么对矩阵A，C按列分块，有这说明矩阵C的列向量组γ1，γ2，…，γn可由矩阵A的列向量组α1，α2，…，αn线性表出．又矩阵B可逆，从而A=CB-1，那么矩阵A的列向量组也可南矩阵C的列向量组线性表出．由向量组等价的定义可知，应选(B)．或者，可逆矩阵可表示成若十个初等矩阵的乘积，于是A经过有限次初等列变换化为C，而初等列变换保持矩阵列向量组的等价关系．故选(B)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、标准答案：知识点解析：10、标准答案：63知识点解析：11、设总体X～N(0，1)，X1，X2，X3，X4为来自总体的简单随机样本，则服从的分布为_______．标准答案：t(1)知识点解析：12、已知t元二次型xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2+2ax1x3+2x2x3的秩为2，则其规范形为____________．标准答案：y12y32知识点解析：二次型矩阵因为｜A｜=(a+2)(a一1)2，由秩r(A)=2，易见a=一2．由可知矩阵A的特征值为3，一3，0．从而正交变换下二次型标准形为3y12一3y32，故其规范形为y12一y32．13、(2009年试题，二)设X1，X2，…，Xn为来自二项分布总体B(n，p)的简单随机样本，和S2分别为样本均值和样本方差．若为np2的无偏估计量，则k=________________．标准答案：因为为np2的无偏估计量，所以由此得知识点解析：本题考查了无偏估量的概念和二项分布的数字特征，重点还是要求考生能熟记二项分布等常见分布的数字特征．三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占区域为D={(x，y)丨x2+y2-xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75-x2-y2+xy．14、设M(x0，y0)为区域D上的一个点，问h(x，y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为g(x0，y0)，试写出g(x0，y0)的表达式；标准答案：由梯度向量的重要性质：函数h(x，y)在点M处沿该点的梯度方向={-2x0+y0，-2y0+x0}方向导数取最大值即gradh(x，y)丨(x0,y0)的模g(x0,y0)=知识点解析：暂无解析15、现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在D的边界曲线x2+y2-xy=75上找出使(1)中的g(x，y)达到最大值的点．试确定攀登起点的位置．标准答案：按题意，即求g(z，y)在条件x2+y2-xy-75=0下的最大值点g2(x，y)=(y-2x)2+(x-2y)2=5x2+5y2-8xy在条件x2+y2-xy-75=0下的最大值点．这是求解条件最值问题，用拉格朗日乘子法．令拉格朗口函数L(x，y，λ)=5x2+5yundefinedundefinedundefined知识点解析：暂无解析16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、求空间第二型曲线积分其中L为球面x2+y2+z2=1在第1象限部分的边界线，从球心看L，L为逆时针．标准答案：法一参数式法．将L分成3段，在xOy平面上的一段记为L1，参数式为x=cost，y=sint，z=0，从到t=0．于是其他两段计算类似，于是法二用斯托克斯公式．取曲面S：x2+y2+z2=1，x≥0，y≥0，z≥0，法向量指向原点．于是取计算之．S在xOy平面上的投影为Dxy={(x,y)｜x2+y2≤1．x≥0，y≥0)．于是其他两个类似，从而知识点解析：暂无解析已知向量β=(α1,α2,α3,α4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，一1，一3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出．19、求α1,α2,α3,α4应满足的条件；标准答案：β可由α1,α2,α3,α4线性表出，即方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β有解．对增广矩阵作初等行变换，有①所以向量β可以由α1,α2,α3,α4线性表出的充分必要条件是：α1—α2+α3一α4=0．知识点解析：暂无解析20、求向量组α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线性表出；标准答案：向量组α1,α2,α3,α4的极大线性无关组是：α1,α2,α3，而α4=一6α1+6α2—3α3．②知识点解析：暂无解析21、把向量β分别用α1,α2,α3,α4和它的极大线性无关组线性表出．标准答案：方程组①的通解是：x1=a1—a2+2a3—6t，x2=a2—2a3+6t，x3=(a3—3t，x4=t，其中t为任意常数，所以β=(a1一a2+2a3—6t)α1+(a2—2a3+6t)α2+(a3—3t)α3+tα4，其中t为任意常数．由②把α4代入，得β=(a1一a2+2a3)α1+(a2—2a3)α2+a3α3．知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、求极限x.标准答案：原式==e-2.知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f’(1)=a，则数列极限=_______．A、0B、aC、2aD、标准答案：B知识点解析：这是已知导数求某数列的极限．若已知f’(b)=0，可求得数列极限为了用条件f’(1)=a，将所求极限I改写成求导数的形式．因此I=f’(1)．1－f’(1)．0=a因此选(B)2、以y1=excos2x，y2=exsin2x与y3=e－x为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是A、+3y’+5y=0B、+3y’+5y=0C、－3y’+5y=0D、－3y’+5y=0标准答案：B知识点解析：线性无关特解y1=excos2x，y2=exsin2x与y3=e－x对应于特征根λ1=1+2i，λ2=1－2i与λ3=－l，由此可得特征方程是(λ－1－2i)(λ－1+2i)(λ+1)=0λ3－λ2+3λ+5=0．由此即知以y1=excos2x，y2=exsin2x与y3=e－x为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是y"’－y"+3y’+5y=0．应选(B)．3、设f’(x0)=0，(x0)<0，则必定存在一个正数δ，使得A、曲线y=f(x)在(x0－δ，x0+δ)是凹的B、曲线y=f(x)在(x0－δ，x0+δ)是凸的C、曲线y=f(x)在(x0－δ，x0]单调减少，而在[x0，x0+δ)单调增加D、曲线y=f(x)在(x0－δ，x0]单调增加，而在[x0，x0+δ)单调减少标准答案：B知识点解析：由极限的不等式性质δ>0，当x∈(x0－δ，x0+δ)且x≠x0时，当x∈(x0－δ，x0)时，f’(x)>0；当x∈(x0，x0+δ)时，f’(x)<0．3又f(x)在x=x0连续f(x)在(x0－δ，x0]单调增加，在[x0，x0+δ)单调减少．故应选(D)．4、下列命题中不正确的是A、在区域D={(x，y)｜(x，y)≠(1，0)}内与路径无关B、在区域D={(x，y)｜(x，y)≠(0，0)}内不是与路径无关C、设P(x，y)，Q(x，y)在区域D内有连续的一阶偏导数，又((x，y)∈D)，则∫LPdx+Qdy在区域D内与路径无关D、在区域D={(x，y)｜(x，y)≠(0，0)}上不存在原函数标准答案：C知识点解析：若熟悉积分与路径无关的判别法则，则可知(C)不正确．在(C)中的条件下，若又有区域D是单连通的，∫LPdx+Qdy在区域D与路径无关；若D不是单连通的，则积分∫LPdx+Qdy不一定与路径无关．故应选C5、下列矩阵中属于正定矩阵的是A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：正定的充分必要条件是顺序主子式全大于0，正定的必要条件是aii>0．(C)中a33=－1<0，必不正定；(A)中二阶顺序主子式=－1<0，必不正定；(D)中三阶顺序主子式｜A｜=－1<0，必不正定．由排除法可知，应选(B)6、设n维向量α1，α2，…，αs的秩为r，则下列命题正确的是A、α1，α2，…，αs中任何r－1个向量必线性无关B、α1，α2，…，αs中任何r个向量必线性无关C、如果s>n，则αs必可由α1，α2，…，αs－1线性表示D、如果r=n，则任何n维向量必可由α1，α2，…，αs线性表示标准答案：D知识点解析：r(α1，α2，…，αs)=rα1，α2，…，αs中一定存在r个向量线性无关，而任意r+1个向量必线性相关．当向量组的秩为r时，向量组中既可以有r－1个向量线性相关，也可以有r个向量线性相关，故(A)、(B)均错误．例如向量α1，α2，α3，α4分别为(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(3，10，0，0)，其秩为3，其中α1，α4线性相关，α1，α2，α4也线性相关．该例说明，4维向量可以有2个向量线性相关，也可以有3个向量线性相关．但肯定有3个向量线性无关．当s>n时，表明α1，α2，…，αs必线性相关，此时有αi可以由α1，…，αi－1，αi+1…，…，αs线性表示，但αs不一定能由α1，…αs－1线性表示．故(C)不正确．若r(α1，α2，…，αs)=n，则对任何n维向量β必有r(α1，α2，…，αs，β)=n．故(D)正确．因此应选(D)．7、随机变量X，Y均在(0，2)上服从均匀分布．事件A={X>a}与B={Y>2a}独立，且P(A∪B)=，则a的值为A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：从所给的选项中可知a的值都小于1，故下列各式均有意义．故选(B)8、设随机变量X的概率密度为f(x)，则随机变量｜X｜的概率密度f1(x)为A、f1(x)=B、f1(x)=C、f1(x)=f(x)+f(－x)D、f1(x)=标准答案：D知识点解析：设｜X｜的分布函数为F1(x)，则当x≤0时，F1(x)=P{｜X｜≤x}=0，从而f1(x)=F’1(x)=0；当x>0时，F1(x)=P{｜X｜≤x}=P{－x≤X≤x}｜F(x)－F(－x)故f1(x)=F’1(x)=F’(x)－F’(－x)=f(x)+f(－x)，所以因此，应选(D)二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、已知当x→0时是xn的同阶无穷小量，则n=_______．标准答案：6知识点解析：确定n>0使得下面的极限存在且不为0，即其中ln[1+(x－sinx)]～x－sinx(x→0)，1－cosx—x2(x→0)．因此，n=6．10、设x>0时，∫x2f(x)dx=arcsinx+C，F(x)是f(x)的原函数，满足F(1)=0，则f(x)=_______．标准答案：知识点解析：按题意，F(x)=f(t)dt．为先求f(x)，将∫x2f(x)dx求导得x2f(x)=[∫x2f(x)dx]’=(arcsinx+C)’=11、微分方程(2xsiny+3x2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=0的通解是_______．标准答案：x2siny+x3y+y3=C，其中C为常数知识点解析：这不是一阶线性方程与变量可分离方程，也不是齐次方程与伯努利方程，因此，考察其是否是全微分方程．将方程表为Pdx+Qdy=0，因在全平面上所以是全微分方程，求通解归结为求Pdx+Qdy的原函数u(x，y)．凑微分法．由于(2xsiny+3x2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=(sinydx2+x2dsiny)+(ydx3+x3dy)+dy3=d(x2siny+x3y+y3)，因此，通解为x2siny+x3y+y3=C，其中C为常数．12、若anxn的收敛域是(－8，8]，则的收敛半径是_______．标准答案：2知识点解析：由anxn的收敛域是(－8，8]可知，anx3n有收敛域－83≤8即－2anx3n的收敛半径是2，从而幂级数anx3n－2的收敛半径也是2．又因幂级数anx3n－2是幂级数两次逐项求导所得，由幂级数的分析性质知，幂级数的收敛半径是2．13、已知，又矩阵A和B相似，A*是A的伴随矩阵，则｜A*+3E｜=_______．标准答案：27知识点解析：由可知矩阵B的特征值为2，3，－2．又由矩阵A～B知矩阵A的特征值亦为2，3，－2．故｜A｜=2．3．(－2)=－12．那么，A*的特征值为6，－6，－4，从而A*+3E的特征值为9，－3，－1．于是｜A*+3E｜=9．(－3)．(－1)=27．14、设随机变量X的概率密度为记事件A={X≤1}，对X进行4次独立观测，到第四次事件A刚好出现两次的概率就为q，则q_______．标准答案：147／4096知识点解析：由密度函数定义求出K的值：三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)15、设f(x)在(0，+∞)内二阶可导，在[0，+∞)有连续的导数，且>0(x>0)，求证：F(x)=在(0，+∞)是凹函数．标准答案：由题设条件可求得下证F"(x)>0(x>0)．由g(x)=x2f’(x)一2xf(x)+，有g’(x)=x2f"(x)+2xf’(x)－2f’(x)－2f(x)+2f(x)=x2f"(x)，由于f"(x)>0(x>0)g’(x)>0(x>0)．又g(x)在[0，+∞)连续g(x)在[0，+∞)单调增加g(x)>g(0)=0(x>0)F"(x)>0(x>0)．因此F(x)在(0，+∞)是凹函数．知识点解析：暂无解析16、设u=u(x，y)由方程组u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0所确定，其中f，g，h对各变量有连续的偏导数，且，求标准答案：这里有5个变量，3个方程，因而确定3个因变量，其余两个为自变量．按题意x，y为自变量，于是u，z，t均为因变量．由第二、第三个方程知，z与t只是y的函数，因此对y求偏导数，由复合函数求导法得方程②，③是以为未知数的二元线性方程组，因系数行列式不为零有唯一解，即知识点解析：暂无解析17、设xOy平面第一象限中有曲线，Γ：y=y(x)，过点A(0，－1)，y’(x)>0．又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为－1．(Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程；(Ⅱ)导出y(x)满足的微分方程和初始条件；(Ⅲ)求曲线Γ的表达式．标准答案：(Ⅰ)先求出Γ在点M(x，y)处的切线方程Y－y(x)=y’(x)(X－x)，其中(X，Y)是切线上点的坐标．在切线方程中令Y=0，得x轴上的截距这是y(x)满足的积分、微分方程．(Ⅱ)两边对x求导，就可转化为二阶微分方程：又由条件及①式中令x=0得y(0)=－1，y’(0)=1．因此得y(x)满足的二阶微分方程的初值问题问题①与②是等价的．(Ⅲ)下面求解②．这是不显含x的二阶方程，作变换p=y’，并以y为自变量得知识点解析：暂无解析18、求的和．标准答案：记．引入幂级数，把求数值级数的和S转化为求幂级数的和．令知识点解析：暂无解析19、设密度为1的立体Ω由不等式表示，试求Ω绕直线x=y=z的转动惯量．标准答案：质量为m的质点对直线t的转动惯量为md2，d是质点到L的距离．因此，要先求Ω上点(x，y，z)到直线L：x=y=z的距离，然后用三重积分来表示这个转动惯量．Ω上任意点(x，y，z)到直线L的距离的平方再求Ω对L的转动惯量用先二后一的积分顺序，记D(z)：x2+y2≤z2，于是知识点解析：暂无解析20、已知，求A的特征值与特征向量，并指出A可以相似对角化的条件．标准答案：由矩阵A的特征多项式得到A的特征值是λ1=1－a，λ2=a，λ3=a+1．得到属于λ1=1－a的特征向量是α1=k1(1，0，1)T，k1≠0．得到属于λ2=a的特征向量是α2=k2(1，1－2a，1)T，k2≠0．得到属于λ3=a+1的特征向量α3=k3(2－a，－4a，a+2)Tk3≠0．如果λ1，λ2，λ3互不相同，即1－a≠a，1－a≠a+1，a≠a+1，即a≠1／2且a≠0，则矩阵A有3个不同的特征值，A可以相似对角化．若a=1／2即λ1=λ2=1／2，此时A只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化．若a=0，即λ1=λ3=1，此时A只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化．知识点解析：暂无解析21、设随机变量(X，Y)的联合概率密度为(Ⅰ)求随机变量Y关于X=x的条件密度；(Ⅱ)讨论随机变量X与Y的相关性和独立性．标准答案：(Ⅰ)先求X的边缘密度．对任意x>0，有=(x2e－x+2xe－x+2e－x－x2e－x)=(1+x)e－x对于任意x≤0，有－x于是，X的边缘密度fx(x)=(1+｜x｜)e－｜x｜，－∞(Ⅱ)为判断独立性，需再求Y的边缘密度由于fX(x)．fY(y)≠f(x，y)，故X，Y不独立．所以cov(X，Y)=EXY－EX．EY=0．从而可知X与Y既不独立，也不相关．知识点解析：暂无解析22、设总体X服从对数正态分布，其概率密度为其中μ为未知参数，且X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个简单随机样本．(Ⅰ)求参数μ的最大似然估计量(Ⅱ)验证是μ的无偏估计量．标准答案：(Ⅰ)记样本的似然函数为L(μ)，对于总体X的样本值x1，x2，…，xn，其似然函数当xi>0时(i=1，2，…，n)，对L(μ)取对数并对μ求导数，得令(lnL)’=0，得驻点μ=lnxi，不难验证μ就是L(μ)的最大值点，因此μ的最大似然估计量为(Ⅱ)首先求lnX的分布由于被积函数f(s)恰是正态分布N(μ，1)的密度，因此随机变量lnX服从正态分布N(μ，1)，即ElnX=μ，故是μ的无偏估计量知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第3套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：2、A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：3、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：4、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：5、如下图，连续函数y＝f(x)在区间[﹣3，﹣2]、[2，3]上图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[﹣2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)＝A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：暂无解析6、设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数uo满足P｛X＞uo｝＝α，若P｛｜X｜＜x｝＝α，则x等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：暂无解析7、设随机变量X服从正态分布N(μ1，δ12)，随机变量Y服从正态分布N(μ2，δ22)，且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1}，则必有()．A、μ1＞μ2.B、δ1＜δ2.C、μ1＜μ2.D、δ1＞δ2.标准答案：B知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、标准答案：知识点解析：9、标准答案：10π知识点解析：10、标准答案：知识点解析：11、设dy/dx=xln(1+x2)，且y(0)=1/2，则y(x)=_________．标准答案：1/2(1+x2)[ln(1+x2)-1]+1知识点解析：12、标准答案：知识点解析：13、标准答案：3知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、设n阶矩阵A=(Ⅰ)求A的特征值和特征向量；(Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．标准答案：(Ⅰ)由题设，先由特征值多项式｜A-λE｜=0求A的特征值，即=[1-λ+(n-1)b](1-λ-b)n-1，因此A的特征值为λ1=1(n-1)b，λ2=λ3=…=λn=1-b．当b≠0时，对应于λ1=1+(n-1)不难求出ξ1=是(A-λ1E)x=0的基础解系，从而属于λ1的特征向量为Cξ1=，其中C为任意非0常数，对应于λ2=λ3=…=λn=1-b，A-(1-b)E=易得出基础解系为ξ1=从而特征向量为C2ξ2+C3ξ3+…+Cnξn，其中C2，C3，…，Cn是不全为0的常数．当b=0时，A==E，从而A-E=0，任意非零向量皆为其特征向量．(Ⅱ)由前述已知，当b≠0，A有n个线性无关的特征向量，令P=(ξ1，ξ2，ξ3，…，ξn)，则P-1AP=而当b=0时，A=E，任取P为可逆矩阵，都有P-1AP=E．知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、(2002年试题，七)(1)验证函数∞)满足微分方程y’’+y’+y=ex；(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数．标准答案：(1)由题设，结合幂级数可以逐项求导的性质，先求y’(x)和y’’(x)，即由于是因此y(x)是微分方程y’’+y’+y=ex的解．(2)通过求(1)中微分方程来得到y(x)，该微分方程相应的齐次方程的特征方程为λ2+λ+1=0，从而特征根为因此原方程相应的齐次线性方程的通解为设原方程特解为y*=Aex。则代入原方程有，3Aex=ex，即综上，原方程通解为由题设(1)可知y(0)=1，y’(0)=0，可解出．C2=0，所以幂级数的和函数为知识点解析：暂无解析21、证明方程lnx=x-e在(1，e2)内必有实根．标准答案：令F(x)＝lnx-x+e，则F(x)在[1，e2]上连续，且F(1)=ln1-1-e＝-1+e＝-(1-e)＞0，F(e2)=lne2-e2+e＝2-e2+e＜0因此由零值点定理可知F(x)在(1，e2)内一定有零值点，即方程lnx＝x-e在(1，e2)内必有实根知识点解析：暂无解析22、考虑下列各种情形用泊松分布近似二项分布b(n，p)的精度：(1)n=10，p=0．1；(2)n=10，p=0．01；(3)n=50，p=0．1；(4)n=50，p=0．01．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第4套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设曲线y=f(x)在原点处与y=sinx相切，假设a，b为非零常数，则()A、a+bB、a一bC、D、标准答案：A知识点解析：y=f(x)在原点处与y=sinx相切，则y=f(0)=sin0=0，y’(0)=f’(0)=(sinx)’|x=0=1．故选(A)．2、[x]表示不超过x的最大整数，则x=0是f(x)=的()A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点标准答案：B知识点解析：由于，所以x=0是f(x)的跳跃间断点．3、设在x=2处条件收敛，则处()A、绝对收敛B、条件收敛C、必发散D、敛散性由{an}确定标准答案：A知识点解析：由在x=2处条件收敛可知x=2是其收敛区间的端点，则收敛半径R=2，而幂级数收敛半径相同，则(x一1)n的收敛区间内，故幂级数处绝对收敛。故选(A)．4、已知f(x，y)在(0，0)点连续，且，则()A、f’x(0，0)=f’x(0，0)=0B、f’x(0，0)=f’x(0，0)=1C、f’x(0，0)和f’x(0，0)都不存在D、f’x(x，y)在(0，0)点不可微标准答案：B知识点解析：根据可微的定义，得f(x，y)在(0，0)可微，且f(0，0)=1，f’x(0，0)=f’y(0，0)=1．5、设A为m×n矩阵，r(A)=n，则下列结论不正确的是()A、若AB=0，则B=0B、对任意矩阵B，总有r(AB)=r(B)C、存在B，使BA=ED、对任意矩阵B，总有r(BA)=r(B)标准答案：D知识点解析：对于选项(A)，因为AB=0r(A)+r(B)≤n，又r(A)=n，所以r(B)=0，所以B=0．排除．对于(B)，因为A为m×n矩阵，r(A)=n，所以A为列满秩矩阵，于是存在m阶可逆矩阵P，n阶矩阵Q，使故排除(C)，故选(D)．事实上，若取A=(1，一2，1)T，B=(1，1，1)，则r(A)=1，r(BA)=0=／=r(B)=1．6、设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩r(A)=n一3，且α1，α2，α3为此方程组的三个线性无关的解，则下列向量组中可以作为Ax=0的基础解系的是()A、一α1，2α2，3α3+α1一α2B、α1+α2，α2一α3，α3+α1C、α1—2α2，3α3一α1，一3α3+2α2D、2α1+4α2，一2α2+α3，α3+α1标准答案：A知识点解析：因为r(A)=n—3，所以基础解系所含向量的个数为n一(n一3)=3；又由解的性质可知，四组备选答案中任何一组的三个向量均为解向量，现在要验证的是哪组解向量线性无关．又因为选项(A)中(一α1，2α2，3α3+α1一α2)=(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)C．=一6≠0，故r(一α1，2α2，3α3+α1一α2)一r(α1，α2，α3)=3．故选项(A)中的三个解向量线性无关．故选(A)．7、设二维随机变量，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：利用二维正态分布的性质得到aX+bY服从一维正态分布．又因为P{aX+bY≤1}=，所以E(aX+bY)=1，即α+2b=1．选项中只有D满足此条件．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、标准答案：知识点解析：9、由方程所确定的函数z=z(x，y)在点(1，0，一1)处的全微分dz=________．标准答案：知识点解析：10、设u=u(x，y，z)具有二阶连续的偏导数，且满足=x2+y2+z2，又设S为曲面：x2+y2+z2=2az(a＞0)，取外侧，则标准答案：知识点解析：由高斯公式，以Ω表示S所围的球域，有11、标准答案：知识点解析：12、设随机变量X～N(0，σ2)，Y～N(0，4σ2)，且P{X≤1，Y≤一2)=则P{X＞1，y＞一2}=________．标准答案：知识点解析：令{X≤1}=A，{Y≤一2)=B，三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)13、设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(1)=0，求证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ+1)f(ξ)+ξf’(ξ)=0．标准答案：将欲证结论中的ξ换成x得(2x+1)f(x)+xf’(x)=0，即上式两端求不定积分得ln|f(x)|=一2x一ln|x|+ln|c|，即c=xe2xf(x)，故可构造辅助函数F(x)=ze2xf(x)，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=0，F(1)=e2f(1)=0，所以F(x)在闭区间[0，1]上满足罗尔定理的条件，从而至少存在一点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，故(2ξ+1)f(ξ)+ξ知识点解析：暂无解析14、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，且f"(0)＞0，求证：∫01f(x3)dx≥标准答案：令x0=，将f(t)在x0点泰勒展开f(t)=f(x0)+f’(x0)(t一x0)+(t一x0)2，令t=x3得f(x3)+f(x0)+f’(x0)(x3一x0)+(x3一x知识点解析：暂无解析15、设z=z(x，y)是由x2一6xy+10y2一2y2—z2+18W=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值．标准答案：因为x2一6xy+10y2一2yz—z2+18=0，所以2xdx—6xdy—6ydx上20ydy—2ydz—2zdy—2zdz=0从而解得知识点解析：暂无解析16、利用变换化为变量y与t的微分方程．(Ⅰ)求新方程的表达式；(Ⅱ)求原方程的通解．标准答案：(Ⅱ)方程(*)对应的齐次方程的特征方程为λ2一λ一6=0，所以特征根为λ1=一2，λ2=3．方程(*)对应的齐次方程的通解为Y=c1e一2t+c1e3t．设y*=tae3t是方程(*)的一个特解，代入方程(*)可得所以是方程(*)的一个特解，因此方程(*)的通解为知识点解析：暂无解析17、已知实二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵A满足且ξ1=(1，2，1)T，ξ2=(1，一1，1)T是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系．(Ⅰ)用正交变换将二次型f化为标准形，写出所用的正交变换和所得的标准形；(Ⅱ)求出该二次型．标准答案：(Ⅰ)由题意知A的特征值为λ1=λ2=0，λ3=2．设ξ3为A的属于特征值λ3=2的特征向量，则ξ3分别ξ1，ξ2正交，记ξ3=(t1，t2，t3)T，有故可取t1=1，t2知识点解析：暂无解析18、设A，B均为n阶非零矩阵，且A2+A=0，B2+B=0，证明：(Ⅰ)A，B有公共特征值λ=一1；(Ⅱ)若AB=BA=0，ξ1，ξ2分别是A，B属于特征值λ=一1的特征向量，则ξ1，ξ2线性无关．标准答案：本题主要考查特征值与特征向量的定义、性质与求法，是一道有难度的综合题．(I)由A2+A=0，得(A+E)A=0．又A非零，从而方程组(A+E)x=0有非零解，于是|A+E|=0，即|一E一A|=0，所以λ=一1是矩阵A的特征值．同理可证λ=一1也是矩阵B的特征值．(Ⅱ)由ξ1是矩阵A属于λ=一1的特征向量，即λξ1=一ξ1．等式两边左乘B，得BAξ1=一Bξ1．知识点解析：暂无解析19、设Y1，Y2，Y3相互独立且都服从参数为p的0一1分布，令求(Ⅰ)(X1，X2)的联合概率分布；(Ⅱ)当p为何值时，E(X1，X2)最小．标准答案：(Ⅰ)X1，X2的可能取值为一1，1，令Y=Y1+Y2+Y3，则Y～B(3，p)，于是P(X1=一1，X2=一1)=P(Y≠1，Y≠2)=P(Y=0)+P(Y=3)=(1一p)3+p3，P(X1=一1，X2=1)=P(Y≠1，y=2)=P(Y一2)=3pundefinedundefined知识点解析：暂无解析20、(Ⅰ)设X1，X2，…，Xn是来自概率密度为的总体的样本，θ未知，求的最大似然估计值；(Ⅱ)设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N(μ，1)的样本，μ未知，求θ=P{X＞2)的最大似然估计值．标准答案：(Ⅰ)先求θ的最大似然估计，似然函数为得θ的最大似然估计值为由于为单调增函数，故由最大似然估计的不变性知U的最大似然估计值为(Ⅱ)已知μ的最大似然估计为，而θ=P{X＞2)=1一P(X≤2)=1—Ф(2一μ)为单调增函数，由最大似然估计的不变性得θ=P{X＞2)的最大似然估计值为知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、当χ→0时，下列无穷小量中阶数最高的是A、－1．B、tanχ－sinχ．C、4χ2＋5χ3－χ5．D、－cos2χ．标准答案：D知识点解析：分别考察每个无穷小量的阶数．由4χ2＋5χ3－χ5～4χ2(χ→O)，可知，选项A、C均是二阶的．又由可知，B项是三阶的．用泰勒公式考察D项．当t→0时有故D项是四阶的．因此应选D．2、设f′(1)＝a，则数列极限I＝＝________．A、0．B、a．C、2a．D、a．标准答案：B知识点解析：这是已知导数求某数列的极限．若已知f′(b)＝a，可求得数列极限只要其中数列χn满足χn＝O．为了用条件f′(1)＝a，将所求极限I改写成求导数的形式．因此I＝f′(1).1－f(1).0＝a，因此选B．3、设f(χ)是周期为2的周期函数，且f(χ)＝f(χ)的傅里叶级数为(ancosnπχ＋bnsinnπχ)，则n≥1时，an＝_______．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：这是求傅里叶系数的问题．若f(χ)以2l为周期，按公式取l＝1，得故选C．4、设f(χ)＝在χ＝0处二阶导数存在，则常数a，b分别是A、a＝1，b＝1．B、a＝1，b＝．C、a＝1，b＝2．D、a＝2，b＝1．标准答案：B知识点解析：显然有即f(χ)在χ＝0连续，先求出f′－(0)＝(χ2＋aχ＋1)′｜χ＝0＝af′＋(0)＝(eχ＋bsinχ2)′｜χ＝0＝(eχ＋2bχcosχ2)｜χ＝0＝1要求f′(0)f′＋(0)＝f′－(0)即a＝1．此时要求f〞(0)，f〞－＝(0)＝f〞＋(0)即2＝1＋2b，b＝．因此选B．5、设A是3阶矩阵，特征值为1，－1，－2，则下列矩阵中可逆的是A、A＋E．B、A－E．C、A＋2E．D、2A＋E．标准答案：D知识点解析：根据性质：λ是A的特征值A－λE不可逆．由1，－1，－2都是特征值，得到A－E，A＋E，A＋2E都不可逆．而－1／2不是特征值，A＋(1／2)E可逆，因此2A＋E＝2[A＋(1／2)E]可逆．6、已知向量组α1，α2，α3和β1，β2，β3，β4都是4维实向量，其中α1，α2，α3线性无关，每个βi都是与α1，α2，α3都正交的非零向量．则r(β1，β2，β3，β4)＝A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：A知识点解析：构造矩阵A＝(α1，α2，α3)，则βi都是与α1，α2，α3正交说明βi都是4元方程组ATχ＝0的解．再由α1，α2，α3线性无关，得r(AT)＝r(A)＝3，于是ATχ＝0的解集合的秩为1，从而r(β1，β2，β3，β4)＝1．7、已知随机变量X1～，X2～，且X1与X2独立．记A＝{X1＝1}，B＝{X2＝1}，C1＝{X1X2＝1}，C2＝{X1X2＝－1}，则A、A，B，C1相互独立，A，B，C2相互独立．B、A，B，C1相互独立，A，B，C2两两独立．C、A，B，C1两两独立，A，B，C2相互独立．D、A，B，C1两两独立，A，B，C2两两独立．标准答案：D知识点解析：由题设条件计算得P(A)＝P(B)＝P(C1)＝P(C2)＝0．5，P(A)P(B)P(C1)＝0．125＝P(A)P(B)P(C2)，P(AB)＝P(AC1)＝P(BC1)＝P(AC2)＝P(BC2)＝0．25，P(ABC1)＝0．25，P(ABC2)＝0，由此验证知D项正确．应选D．8、设总体X的方差存在，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为，S2，则EX2的矩估计量是A、S2＋B、C、D、标准答案：B知识点解析：根据矩估计量的定义来选择正确的选项．由于EX2＝DX＋(EX)2，而DX与EX的矩估计量分别是所以EX2的矩估计量为故选B．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、已知函数y(χ)可微(χ＞0)且满足方程y(χ)－1＝∫1χdt(χ＞0)则y(χ)＝_______．标准答案：y＝．知识点解析：这是含变限积分的方程．先将原方程两边求导，转化为常微分方程得在原方程中令χ＝1得y(1)＝1．于是原方程与初值问题等价．这是齐次方程，令u＝得由y(1)＝1得c＝－1，代入u＝得y＝(χ＞0)．10、设有摆线L：(－π≤θ≤π)，则L绕χ轴旋转一周所得旋转面的面积A＝_______．标准答案：知识点解析：这是由参数方程给出的曲线．由于χ′(θ)＝1－cosθ，y′(θ)＝sinθ，则按旋转面面积计算公式，可得该旋转面的面积11、设z＝，其中f(u，v)是连续函数，则dz＝________．标准答案：[f(χy2，v)dv](y2dχ＋2χydy)．知识点解析：这是一元函数z＝∫0t[∫0uf(u，v)dv]dv与二元函数t＝χy2的复合函数，由一阶全微分形式不变性12、设L为曲线｜χ｜＋｜y｜＝1，则∫L｜χ｜ds＝________．标准答案：知识点解析：L是正方形的边界线，如图，因L关于χ，y轴对称，被积函数关于y与χ均为偶函数，记L1为L的第一象限部分，则13、已知A是3阶矩阵，A的特征值为1，2，3．则(A*)*的最大特征值为________．标准答案：18．知识点解析：｜A｜＝1×2×3＝6，于是A*的特征值为6，3，2，｜A*｜＝36．则(A*)*的特征值为6，12，18，最大的是18．14、设随机变量X的概率密度为f(χ)＝记事件A＝{X≤1}，对X进行4次独立观测，到第四次事件A刚好出现两次的概率就为q，则q＝_______．标准答案：知识点解析：由密度函数定义求出K的值：K＝，三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设函数f(χ)在χ＝1的某邻域内连续，且有＝－4．(Ⅰ)求f(1)，及f′(1)；(Ⅱ)若又设f〞(1)存在，求f〞(1)．标准答案：(Ⅰ)由条件知ln[f(χ＋1)＋1＋3sin2χ]＝0f(χ＋1)＋3sin2χ]＝f(1)＋0＝0(1)＝0．又在χ＝0的某空心邻域内f(χ＋1)＋3sin2χ≠0，现利用等价无穷小因子替换：当χ→0时。(Ⅱ)由f〞(1)f(χ)在χ＝1的某邻域内可导知识点解析：暂无解析16、设z＝z(χ，y)是由9χ2－54χy＋90y2－6yz－z2＋18＝0确定的函数，(Ⅰ)求z＝z(χ，y)一阶偏导数与驻点；(Ⅱ)求z＝z(χ，y)的极值点和极值．标准答案：(Ⅰ)利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得18χdχ－54(ydχ＋χdy)＋180ydy－6zdy－6ydz－2zdz＝0，即(18χ－54y)dχ＋(180y－54χ－6z)dy－(6y＋2z)dz＝0．从而为求隐函数z＝z(χ，y)的驻点，应解方程组②可化简为χ＝3y，由③可得z＝30y－9χ＝3y，代入①可解得两个驻点χ＝3，y＝1，z＝3与χ＝－3，y＝－1，z＝－3．(Ⅱ)z＝z(χ，y)的极值点必是它的驻点．为判定z＝z(χ，y)在两个驻点处是否取得极值，还需求z＝z(χ，y)在这两点的二阶偏导数．注意，在驻点P＝(3，1，3)，Q＝(－3，－1，－3)处，＝0由(3y＋z)＝9χ－27y在驻点P，Q处再由(3y＋z)＝90y－27χ－3z在驻点P，Q处(3y＋z)＝90，于是可得出在P点处因AC＝B＝＞0，且A＝＞0，故在点(3，1)处z＝z(χ，y)取得极小值χ(3，1)＝3．在Q点处因AC－B2＝＞0,且A＝－＜0，故在点(－3，－1)处z＝z(χ，y)取得极大值z(－3，－1)＝－3．知识点解析：暂无解析17、(Ⅰ)求级数的收敛域；(Ⅱ)求证：和函数S(χ)＝定义于[0，＋∞)且有界．标准答案：(Ⅰ)令t＝，问题转化为求幂级数的收敛域．先求收敛令t＝，我们考察幂级数antn，其中an＝．由(Ⅱ)为证当χ∈[0，＋∞)时级数收敛，且和函数S(χ)在[0，＋∞)有界，自然的想法是给出级数一般项的估计0≤≤Mn(χ∈[0，＋∞))，只要Mn收敛就可得出结论．为了在[0，＋∞)上估计e-nχ，我们求f(χ)＝χ2e-nχ在[0，＋∞)上的最大值：由f′(χ)＝e-nχ(2χ－nχ2)＝χe-nχ因为收敛，所以在[0，＋∞)收敛，且S(χ)在[0，＋∞)上有界．知识点解析：暂无解析18、设有一容器由平面z＝0，z＝1及介于它们之间的曲面S所围成．过χ轴上点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径r(z)＝的圆面，若以每秒u0体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的．(Ⅰ)写出注水过程中t时刻水面高度z＝z(t)与相应的水体积V＝V(t)之间的关系式，并求出水面高度z与时间t的函数关系；(Ⅱ)求水表面上升速度最大时的水面高度；(Ⅲ)求灌满容器所需时间．标准答案：(Ⅰ)由截面已知的立体体积公式可得t时刻容器中水面高度z(t)与体积V(t)之间的关系是V(t)＝∫0z(t)S(z)dz，其中S(z)是水面D(z)的面积，即S(z)＝π[z2＋(1－z)2]．现由＝v0及z(0)＝0，求z(t)．将上式两边对t求导，由复合函数求导法得这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得S(z)dz＝v0dt，即[z2＋(1－z)2]dz＝dt．(*)两边积分并注意z(0)＝0，得(Ⅱ)求z取何值时取最大值．已求得(*)式即因此，求取最大值时z的取值归结为求f(z)＝z2＋(1－z)2在[0，1]上的最小值点．由f′＝2z－2(1－z)＝2(2z－1)f(z)在z＝在[0，1]上取最小值．故z＝时水表面上升速度最大．(Ⅲ)归结求容器的体积，即因此灌满容器所需时间为(秒)．或由于灌满容器所需时间也就是z＝1时所对应的时间t，于是在(**)中令z＝1得知识点解析：暂无解析19、设A(2，2)，B(1，1)，г是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y＝y(χ)，且它与围成的面积为2，又φ(y)有连续导数，求曲线积分I＝∫г[πφ(y)cosπχ－2πy]dχ＋[φ′(y)sinπχ－2π]dy．标准答案：把该曲线积分分成两部分，其中一个积分的被积表达式易求原函数，另一积分可添加辅助线后用格林公式．为用格林公式求I2，添加辅助线．г与围成区域D，并构成D的负向边界，于是又的方程：y＝χ，χ∈[1，2]，则(－2πy)dχ＝∫12－2πχdχ＝－πχ2｜12＝－3π．因此I2＝∫г(－2πy)dχ＝－4π－(－2πy)dχ＝－4π＋3π＝－π．故I＝I1＋I2＝π．知识点解析：暂无解析20、设α1＝(1，3，5，－1)T，α2＝(2，7，a，4)T，α3＝(5，17，－1，7)T．①若α1，α2，α3线性相关，求a．②当a＝3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4．③设a＝3，α4是与α1，α2，α3都正交的非零向量，证明α1，α2，α3，α4可表示任何一个4维向量．标准答案：①α1，α2，α3线性相关，则r(α1，α2，α3)＜3．得a＝－3．②与α1，α2，α3都正交的非零向量即齐次方程组的非零解，解此方程组：解得α4＝c(19，－6，0，1)T，c≠0．③只用证明α1，α2，α3，α4线性无关，此时对任何4维向量α，有α1，α2，α3，α4，α线性相关，从而α可以用α1，α2，α3，α4线性表示．由①知，α＝3时，α1，α2，α3线性无关，只用证明α4不能用α1，α2，α3线性表示．用反证法，如果α4能用α1，α2，α3线性表示，设α4＝c1α1＋c2α2＋c3α3，则(α4，α4)：(α4，c1α1＋c2α2＋c3α3)＝c1(α4，α1)＋c2(α4，α2)＋c3(α4，α3)＝0，得α4＝0，与α4是非零向量矛盾．知识点解析：暂无解析21、已知三元二次型χTAχ的平方项系数都为0，α＝(1，2，－1)T满足Aα＝2α．①求χTAχ的表达式．②求作正交变换χ＝Qy，把χTAχ化为标准二次型．标准答案：①设A＝，则条件Aα＝2α即得2a－b＝2，a－c＝4，b＋2c＝－2，解出a＝b＝2，c＝－2．此二次型为4χ1χ2＋4χ1χ3－4χ2χ3．②先求A特征值｜λE－A｜＝＝(λ－2)2(λ＋4)．于是A的特征值就是2，2，－4．再求单位正交特征向量组．属于2的特征向量是(A－2E)χ＝0的非零解．A－2E＝得(A－2E)χ＝0的同解方程组：χ1－χ2－χ3＝0．显然β1＝(1，1，0)T是一个解，设第二个解为β2＝(1，－1，c)T(这样的设定保证了两个解是正交的!)，代入方程得c＝2，得到属于特征值2的两个正交的特征向量β1，β2．再把它们单位化：记η1＝β1／‖β1‖＝β1，η2＝β2／‖β2‖β2．属于－4的特征向量是(A＋4E)χ＝0的非零解．求出β3＝(1，－1，－1)T是一个解，单位化：记η3＝β3／‖β3‖＝β3．则η1，η2，η3是A的单位正交特征向量组，特征值依次为2，2，－4．作正交矩阵Q＝(η1，η2，η3)，则Q-1AQ是对角矩阵，对角线上的元素为2，2，－4．作正交变换χ＝Qy，它把f(χ1，χ2，χ3)化为2y12＋2y22－4y32．知识点解析：暂无解析22、设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(χi，yj)(i，j＝1，2)，且P{X＝χ2}＝，P{Y＝y1｜X＝χ2}＝，P{X＝χ1｜Y＝y1}＝，试求：(Ⅰ)二维随机变量(χ，Y)的联合概率分布；(Ⅱ)X与Y的相关系数ρXY；(Ⅲ)条件概率P{Y＝yj｜X＝χ1}，j＝1，2．标准答案：(Ⅰ)因X与Y独立，所以有P{Y＝y1}＝P{Y＝y1｜X＝χ2}＝，P{Y＝y2}＝1－P{Y＝y1}＝；P{X＝χ1，Y＝y1}＝P{X＝χ1}P{Y＝y1}＝，P{X＝χ1，Y＝y2}＝P{X＝χ1}P{Y＝y2}＝，P{X＝χ2，Y＝y1}＝P{X＝χ2}P{Y＝y1}＝，P{X＝χ2，Y＝y2}＝P{X＝χ2}P{Y＝y2}＝，或P{X＝χ2，Y＝y2}＝1－．于二是(X，Y)的联合概率分布为(Ⅱ)由(Ⅰ)知X与Y独立，因此它们的相关系数ρXY＝0．(Ⅲ)因X与Y独立，所以P{Y＝yj｜X＝χ1}＝P{Y＝yj}，j＝1，2，于是有P{Y＝y1｜X＝χ1}＝P{y＝y1}＝，P{Y＝y2｜X＝χ1}＝P{y＝y2}＝．知识点解析：暂无解析23、设χ1，χ2，…，χn是来自总体X的简单随机样本，X的概率密度为f(χ)＝，其中λ＞0，a＞0为已知参数．记Y＝．(Ⅰ)求λ的矩估计量和最大似然估计量；(Ⅱ)求Y的数学期望EY的最大似然估计量标准答案：令EX＝，得A的矩估计量样本的似然函数L(χ1，χ2，…，χn；λ)＝取对数lnL＝nlnλ－λ(χi－a)，令解得λ＝，从而λ的最大似然估计量．由于EY是λ的单调函数，根据最大似然估计的不变性，故EY的最大似然估计量为知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设x≠0，若f(x)在x=0处可导且导数不为零，则k为()．A、3B、4C、5D、6标准答案：C知识点解析：因为f(x)在x=0处可导，所以k-2=3，即k=5，选(C)．2、曲线的渐近线条数为()．A、3B、2C、1D、0标准答案：A知识点解析：3、设y=y(x)为微分方程2xydx+(x2一1)dy=0满足初始条件y(0)=1的解，则为()．A、一ln3B、ln3C、D、标准答案：D知识点解析：令P(x，y)=2xy，Q(x，y)=x2一1，因为所以2xydx+(x2一1)dy=0为全微分方程．由2xydx+(x2一1)dy=0，得2xydx+x2dy—dy=0，整理得d(x2y—y)=0，通解为x2y一y=C．由初始条件y(0)=1得C=一1，从而特解为y(x)=，于是应选D4、设f(x，y)在(0，0)处连续，且，则()．A、f(x，y)在(0，0)处不可偏导B、f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微C、fx’(0，0)=fy’(0，0)=4且f(x，y)在(0，0)处可微分D、fx’(0，0)=fy’(0，0)=0且f(x，y)在(0，0)处可微分标准答案：D知识点解析：由得f(0，0)=1，因为一1～x2+y2，所以其中α为当(x，y)→(0，0)时的无穷小，于是△f=f(x，y)一f(0，0)=0×x+0×y+，故f(x，y)在(0，0)处可微，且fx’(0，0)=fy’(0，0)=0，选D5、设A为三阶矩阵，其特征值为λ1=λ2=1，λ3=2，其对应的线性无关的特征向量为α1，α2，α3，令P=(α1一α2，2α1+α2，4α3)，则P-1AP=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为α1，α2为λ1=λ2=1对应的线性无关的特征向量，所以α1一α2，2α1+α2仍为λ1=λ2=1对应的线性无关的特征向量，又4α3显然是λ3=2对应的线性无关的特征向量，故P-1AP=应选B6、设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβT，则A的线性无关的特征向量个数为()．A、1个B、2个C、3个D、4个标准答案：C知识点解析：令AX=λX，则A2X=λ2X，因为α，β正交，所以αTβ=βTα=0，A2=αβT.αβT=O，于是λ2X=0，故λ1=λ2=λ3=λ4=0，因为α，β为非零向量，所以A为非零矩阵，故r(A)≥1；又r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，所以r(A)=1．因为4一r(OE—A)=4一r(A)=3，所以A的线性无关的特征向量是3个，选(C)．7、设随机变量X的分布函数为F(x)=0．2F1(x)+0．8F1(2x)，其中F1(y)是服从参数为1的指数分布的随机变量的分布函数，则D(X)为()．A、0．36B、0.44C、0.64D、1标准答案：B知识点解析：设X1～E(1)，其密度函数为f1(x)=其分布函数为F1(x)=且E(X1)=D(X)=1，则E(X12)=D(X1)+[E(X1)]2=2.由E(x)=∫-∞+∞xf(x)dx=一0．2∫-∞+∞xf1(x)dx+1．6∫-∞+∞xf1(2x)dx=0．2E(X1)+0．4∫-∞+∞2xf1(2x)d(2x)=0．2E(X1)+0．4E(X1)=0．6，E(X2)=∫-∞+∞x2f(x)dx=0．2∫-∞+∞x2f1(x)dx+1．6∫-∞+∞x2f1(2x)dx=0．2E(X12)+0．2∫-∞+∞(2x)2f1(2x)d(2x)=0．2E(X12)+0．2E(X12)=0．8，得D(X)=E(X2)一[E(X)]2=0．8—0．36=0．44，选B8、学生考试成绩服从正态分布N(μ，32)，任取36个学生的成绩，平均成绩为60，则μ的置信度为0．95的置信区间为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、标准答案：2知识点解析：10、设函数y=y(x)由xy=∫0x｜ydt确定，则标准答案：一2知识点解析：x=0代入，得y=0．11、标准答案：知识点解析：因为为奇函数，所以12、y"一2y’一3y=e-x的通解为______．标准答案：知识点解析：特征方程为λ2一2λ—3=0，特征值为λ1=一1，λ2=3，则方程y”一2y’一3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x．令原方程的特解为y0(x)=Axe-x，代入原方程得A=，于是原方程的通解为13、设总体X～N(0,σ2)，且X1，X2，…，X16为来自总体X的简单随机样本，则统计量标准答案：t(5)知识点解析：因为Xi～N(0，σ2)(i=1，2，…，10)，所以(一1)iXi～N(0，10σ2)，三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内三阶可导，且f(1)=1，f(2)=6．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’"(ξ)=9．标准答案：由得f(0)=0，f’(0)=2．作多项式P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得P(0)=0，P’(0)=2，P(1)=1，P(2)=6，则φ(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且φ(0)=φ(1)=φ(2)=0，因此φ(x)在[0，1]和[1，2]上都满足罗尔定理的条件，则存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，使得φ’(ξ1)=φ’(ξ2)=0．又φ’(0)=0，由罗尔定理，存在η1∈(0，ξ1)，η2∈(ξ1,ξ2)，使得φ"(η1)=φ"(η2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(η1，η2)(0，2)，使得φ"(ξ)=0．而φ"’(x)=f"’(x)一9，所以f"’(ξ)=9．知识点解析：暂无解析15、设u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由ex+ey=ez确定，其中f二阶连续可偏导，求：标准答案：由ex+ey=ez得知识点解析：暂无解析16、椭球面∑1是椭圆L：绕x轴旋转而成，圆锥面∑2是由过点(4，0)且与椭圆L:相切的直线绕x轴旋转而成．(Ⅰ)求∑1及∑2的方程；(Ⅱ)求位于∑1及∑2之间的立体体积．标准答案：(Ⅰ)∑1：设切点坐标为(x0，y0)，则切线方程为，因为切线经过点(4，0)，所以x0=1，切线方程为则∑2：(x一4)2=4(y2+z2)．(Ⅱ)∑1及∑2围成的几何体在yOz平面上的投影为Dyz：则知识点解析：暂无解析17、设(Ⅰ)用变换x=t2将原方程化为y关于t的微分方程；(Ⅱ)求原方程的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析18、计算曲面积分，其中∑是曲面2x2+2y2+z2=4的外侧．标准答案：令∑0：x2+y2+z2=1，取外侧，由∑及∑0构成的几何体为Ω，知识点解析：暂无解析19、设矩阵A满足A(E-C-1B)TCT=E+A，其中,求矩阵A．标准答案：由A(E-C1B)TCT=E+A得A[C(E—C-1B)]T=E+A，即E+A=A(C—B)T，E=A[(C—B)一E]T，知识点解析：暂无解析20、设可对角化．(Ⅰ)求常数a；(Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．标准答案：(Ⅰ)由|λE一A|==λ(λ一1)2=0得λ1=λ2=1，λ3=0．因为A可对角化，所以r(E—A)=1，(Ⅱ)将λ=1代入(λE-A)X=0中得(E-A)X=0，由E→A→得λ=1对应的线性无关的特征向量为α1=,α2=将λ=0代入(λE-A)X=0得AX=0，由得λ=0对应的线性无关的特征向量为取则P-1AP=知识点解析：暂无解析21、设随机变量X的分布律为P{X=k}=p(1一p)k-1(k=1，2，…)，Y在1～k之间等可能取值，求P{Y=3}．标准答案：令Ak={X=k}(k=1，2，…)，B={Y=3)，P(B|A1)=P(B|A2)=0，由全概率公式得知识点解析：暂无解析22、设X1，X2，…，Xn(n＞2)相互独立且都服从N(0，1)，Yi=Xi一(i=1，2，…，n)．求(Ⅰ)D(Yi)(i=1，2，…，n)；(Ⅱ)Cov(Y1，Yn)；(Ⅲ)P{Y1+Yn≤0}．标准答案：因为X1，X2，…，Xn，独立且都服从正态分布，所以Y1+Yn服从正态分布，E(Y1+Yn)=0知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第7套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、当x→0时，下列无穷小量中阶数最高的是A、B、tanx－sinxC、4x2+5x3－x5D、－cos2x标准答案：D知识点解析：分别考察每个无穷小量的阶数．由4x2+5x3－x5～4x2(x→0)，可知，(A)，(C)均是二阶的．又由tanx－sinx=tanx(1－cosx)～x．x2=x3(x→0)，可知，(B)是三阶的．用泰勒公式考察(D)．当t→0时有et=1+t+t2+o(t2)，cost=1－t2+t4+o(t4)，从而由=1－2x2+(－2x2)2+o(x4)，cos2x=1－(2x)2+(2x)4+o(x4)－cos2x=x4+o(x4)=x4+o(x4)(x→0)(D)是四阶的．因此应选(D)2、考虑一元函数f(x)有下列四条性质：①f(x)在[a，b]连续；②f(x)在[a，b]可积；③f(x)在[a，b]可导；④f(x)在[a，b]存在原函数．若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则A、①②④B、①④②C、③①②D、③④①标准答案：C知识点解析：由基本定理，我们应知道：f(x)在[a，b]可导f(x)在[a，b]连续因此，应选(C)．3、设u(x，Y)在点M0(x0，y0)处取极小值，并且均存在，则A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：偏导数实质上是一元函数的导数，把二元函数的极值转化为一元函数的极值．由一元函数取极值的必要条件可得相应结论．令f(x)=u(x，y0)x=x0是f(x)的极小值点(若f"(x0)=<0，则x=x0是f(x)的极大值点，于是得矛盾)同理，令g(y)=u(x0，y)y=y0是g(y)的极小值点因此，应选(A)4、设S为球面：x2+y2+z2=R2，则下列同一组的两个积分均为零的是A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：注意第一类曲面积分有与三重积分类似的对称性质．因S关于yz平面对称，被积函数x与xy关于x为奇函数被积函数x2关于x为偶函数特别要注意，第二类曲面积分有与三重积分不同的对称性质：因S关于yz平面对称，被积函数x2对x为偶函数被积函数x对y为奇函数(这里设S取外侧)类似可得(这里仍设S取外侧)由上分析可知，，因此应选?5、已知，则代数余子式A21+A22=A、3B、6C、9D、12标准答案：B知识点解析：对行列式｜A｜按第2行展开，有2A21+2A22+A23+A24=9．构造行列式则｜A｜和｜B｜第2行元素代数余子式相同．对｜B｜按第2行展开，又有21+A22+2A23+2A24=｜B｜=0．联立①，②可得A21+A22=6．故选(B)．6、已知α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是A、如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关B、如果α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，那么α1，α2，α4也线性相关C、如果α3不能由α1，α2线性表出，α4不能由α2，α3线性表出，则α1可以由α2，α3，α4线性表出D、如果秩r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，则α4可以由α1，α2，α3线性表出标准答案：B知识点解析：例如α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，0)T，α3=(0，2，0)T，α4=(0，0，1)T，可知(B)不正确．应选(B)．关于(A)：如果α1，α2，α3线性无关，又因α1，α2，α3，α4是4个3维向量，它们必线性相关，而知α4必可由α1，α2，α3线性表出．关于(C)：由已知条件，有(Ⅰ)r(α1，α2)≠r(α1，α2，α3)，(Ⅱ)r(α2，α3)≠r(α2，α3，α4)．若r(α2，α3)=1，则必有r(1，α2)=r(α1，α2，α3)，与条件(Ⅰ)矛盾．故必有r(α2，α3)=2．那么由(Ⅱ)知r(α2，α3，α4)=3，从而r(α1，α2，α3，α4)=3．因此α1可以由α2，α3，α4线性表出．关于(D)：经初等变换有(α1，α1+α2，α2+α3)→(α1，α2+α3)→(α1，α2，α3)，(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)→(α4，α1，α2，α3)→(α1，α2，α3，α4)，从而r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)．因而α4可以由α1，α2，α3线性表出．7、已知随机变量X的概率分布为P{X=k}=，其中λ>0，k=1，2，…，则EX为A、λB、λeλC、D、标准答案：D知识点解析：注意到该分布除a外与泊松分布仅差k=0这一项，故利用与泊松分布的关系求出常数a的值，然后再求EX．由故选(D)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、曲线y=x2(－1)的全部渐近线方程是_______．标准答案：x=0，y=x+知识点解析：只有间断点x=0，，于是有垂直渐近线x=0．再求于是有斜渐近线y=x+9、微分方程+4y=eos2x的通解为y=_______．标准答案：sin2x+C1cos2x+C2sin2x知识点解析：y"+4y=cos2x对应的齐次方程的特征方程是r2+4=0．它的两个特征根为r1，2=±2i．因此对应的齐次方程的通解为y=C1cos2x+C2sin2x．λ±ωi=±2i是特征方程的根，所以，设非齐次方程的特解为y*=x(Acos2x+Bsin2x)，则(y*)’=x(－2Asin2x+2Bcos2x)+Acos2x+Bsin2x，(y*)"=－x(4Acos2x+4Bsin2x)－4Asin2x+4Bcos2x．将上两式代入方程y"+4y=cos2x中，得－4Asin2x+4Bcos2x=cos2x．比较上式系数得A=0，B=故原方程的通解为y=sin2x+C1cos2x+C2sin2x10、设L为曲线：则I=∫L(x2+3y+3z)ds=_______．标准答案：πa3知识点解析：由在L上y+z=0易写出L的参数方程：11、若将柱坐标系中的三重累次积分I=zr2dz化为直角坐标系Oxyz中的三重累次积分(先对z，再对y最后对x积分)，则I=_______．标准答案：知识点解析：这是三重积分在柱坐标变换(x=rcosβ，y=rsinθ，z=z)后的累次积分．如下图将Ω的柱坐标表示：变换为Oxyz中的直角坐标表示：于是12、已知二次曲面x2+4y2+3z2+2axy+2xz+2(a－2)yz=1是椭球面，则a的取值为_______．标准答案：知识点解析：二次曲面f=1是椭球面二次型f的特征值全大于0f是正定二次型顺序主子式全大于0．由二次型矩阵有其顺序主子式△1=1，△2==4－a2>0，△3=｜A｜=4－2a2>0，故当a∈时，顺序主子式全大于0，即f正定13、在一次晚会上，有n(n≥3)对夫妻做一游戏，将男士与女士随机配对，则夫妻配成对的期望值为_______．标准答案：1知识点解析：设有X对夫妻配成对，不妨固定男士，女士随机选择男士．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、设f(x)连续，且满足f(x)=(x－π)2－tf(x－t)dt，求f(x)．标准答案：这是含变限积分的方程，且被积函数又含参变量，所以先作变量替换，转化为被积函数不含参变量的情形．令s=x－t得①现把它转化成微分方程问题．①式两边求导得②又①式中令x=π得f(π)=0．再对②求导得f"(x)+f(x)=2．在②中令x=π得f’(π)=0．于是问题转化为求解初值问题其中y=f(x)．这是二阶线性常系数方程，显然有常数特解y*=2，于是通解为y=C1COSx+C2sinx+2．由解得C1=2，C1=0．因此y=f(x)=2cosx+2．知识点解析：暂无解析15、(Ⅰ)已知由参数方程确定了可导函数y=f(x)，求证：x=0是y=f(x)的极大值点．(Ⅱ)设F(x，y)在(x0，y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且F(x0，y0)=(x0，y0=0，(x0，y0>0，(x0，y0)<0．由方程F(x，y)=0在x0的某邻域确定的隐函数y=y(x)，它有连续的二阶导，且y(x0)=y0，求证y(x)以x=x0．为极小值点．标准答案：(Ⅰ)先求y(0)：由x=arctant知，x=0t=0，x>0(<0)t>0(<0)．由y=ln(1－t2)－siny知，x=0y=－sinyy=0(y+siny)．因此y(0)=0，下面求并判断它，在x=0邻域的正负号．其中δ>0是充分小的数．因此x=0是y=f(x)的极大值点．(Ⅱ)由隐函数求导法知y’(x)满足令x=x0，相应地y=y0，由F’x(x0，y0)=0，F’y(x0，y0)≠0得y’(x0)=0．将上式再对x求导，并注意y=y(x)即得再令x=x0，相应地y=y0，y’(x0)=0，得因此x=x0是y=y(x)的极小值点知识点解析：暂无解析16、设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成，过z轴上点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径r(z)=的圆面