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21世纪教育网精品试卷·第2页(共2页)2024年高考导数复习专题五知识点一求在曲线上一点处的切线方程(斜率),利用导数研究不等式恒成立问题,利用导数研究函数的零点典例1、已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)设,若恒成立,求实数a的取值范围;(3)若有两个零点,求实数a的取值范围.随堂练习:已知函数,.(1)若曲线在点处的切线方程为y=0,求m的值;(2)若对任意,都有,求m的取值范围;(3)讨论在区间上的零点个数.典例2、已知,设函数,(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)当时,若不等式恒成立,求实数的值;(3)若函数与的图象没有交点,求实数的取值范围.(注:题中为自然对数的底数,即)随堂练习:已知函数.(注:是自然对数的底数)(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)若只有一个极值点,求实数a的取值范围;(3)若存在,对与任意的,使得恒成立,求的最小值.典例3、设函数.(1)若曲线在点处的切线方程为,求的值;(2)若,求实数的取值范围;(3)求证:当时,函数不存在零点.随堂练习:已知函数.(1)求函数在处的切线方程;(2)若关于x的不等式恒成立,求实数a的值;(3)设函数,在(2)的条件下,证明:存在唯一的极小值点,且.知识点二求在曲线上一点处的切线方程(斜率),利用导数研究函数的零点典例4、已知函数求曲线在点处的切线方程若函数,恰有2个零点,求实数a的取值范围随堂练习:已知函数,.(1)求在点处的切线方程;(2)求证:当时,有且仅有个零点.典例5、已知函数().(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)求的单调区间;(3)若恰有两个零点,求实数的取值范围.典例6、已知函数.(1)求曲线在点,处的切线方程;(2)当时,求的单调区间;(3)当时,在区间有一个零点,求的取值范围.2024年高考导数复习专题五答案典例1、答案:(1);(2);(3).解:(1)当时,,,所以,所以曲线在点处的切线方程为,即.(2)因为,若恒成立,则恒成立,所以恒成立,令,,所以当时,单调递减,当时,单调递增,所以,所以,故a的取值范围为.(3)若有两个零点,则有两个零点,所以在上有两个解,所以在上有两个解,令,,,令,,当时,单调递增,当时,单调递减,所以,且,所以在上,单调递增,在上,单调递减,所以,又在上,;在上,,所以a的取值范围为.随堂练习:答案:(1)1(2)(3)3、答案见解析解:(1)因为曲线在点处的切线方程为y=0,所以,即,解得m=1.(2),,由于在单调递增,所以.①当时,,所以在单调递增,即.②当时,令,解得,,的情况如下:x-0+单调递减极小值单调递增函数在单调递减,即,不合题意.综上,使在都成立的m的范围是.(3)根据第(2)的结论,①当时,在单调递增,且有唯一零点x=0,所以在区间上没有零点;②当时,若,即时,在区间上有1个零点;若,即时,在区间上没有零点;综上,时,在区间上没有零点:当时,在区间上有1个零点.典例2、答案:(1);(2);(3).解:(1)时,,所以,所以,所以切线方程为:,即(2)设,,又不等式:恒成立,即恒成立,故是的极大值点,所以,得;另一方面,当时,,,在区间单调递减,又,故在单调递增,单调递减,所以,即恒成立综合上述:(3)由题意,即方程没有实根,我们先把方程有实根时,的取值范围求出,再关于取补集,不妨设:(),则方程变为,设函数,∵,在上递增,()设,则,所以在上增,在上减,(的图象如图)有实数解,结合,则,有即,所以方程有实根时,的取值范围为所以方程没有实根时,的取值范围为.随堂练习:答案:(1)(2)(3)解:(1)当时,,故,故在点处的切线方程为,化简得.(2)由题意知有且只有一个根且有正有负.构建,则①当时,当时恒成立,在上单调递增,因为,所以有一个零点,即为的一个极值点;②当时,当时恒成立,即无极值点;③当时,当;当,所以在单调递减,在上单调递增,故,若,则即.当时,,当时,,设,故,故在上为增函数,故,故,故当时,有两个零点,此时有两个极值点.当时,当时恒成立,即无极值点;综上所述:.由题意知,对与任意的,使得恒成立,则,又要使取到最小值,则.当时,,故,所以的最小值为e;当时,当时,,所以无最小值,即无最小值;当时,由(2)得只有一个零点,即且当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,,此时,因,所以代入得:,令,当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,,此时,所以的最小值为.典例3、答案:(1);(2);(3)证明见解析.解:(1)因为,则,因为点在直线上,则,所以,,解得.(2)因为成立,则,当时,,下面证明,设,其中,则,令,则且不恒为零,所以,函数在上为增函数,当时,,此时函数单调递减,当时,,此时函数单调递增,所以,,即成立,所以,故实数的取值范围为.(3)因为,所以,且两个等号不同时成立,即,令,其中,则且不恒为零,所以函数在上单调递增,且,当时,,即,所以当时,,即,此时函数不存在零点;当时,,而,此时,即,所以此时函数不存在零点;当时,,而,所以,即,所以此时函数不存在零点.综上可得,时,函数不存在零点.随堂练习:答案:(1);(2);(3)证明见解析.解:(1),而,所以在处的切线方程为:(2)由题意得:,因为,所以问题等价于在上恒成立,令,则,当时,恒成立,则在上单调递增,又,所以当时,,不满足题意,舍去;当时,因为时,;时,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以当时,取得极大值且为最大值,即最大值为,所以,整理得:令,则,易得在上单调递增,在上单调递减,所以当时,取得极大值,即最大值为,所以的解为.(3),设,则,当时,;当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,又,所以在上有唯一零点,在上有唯一零点1;且当时,;当时,;当时,.因为,所以时的唯一极小值点.由得故,由得,.因为当时,在取得最小值,由得,.所以.典例4、答案:(1)x+y-1=0.(2).解:(1)因为,所以.所以又所以曲线在点处的切线方程为即.(2)由题意得,,所以.由,解得,故当时,,在上单调递减;当时,,在上单调递增.所以.又,,若函数恰有两个零点,则解得.所以实数的取值范围为.随堂练习:答案:(1)(2)证明见解析解:(1)由知,则,,所以,,,所以曲线在点处的切线方程为,即.(2)证明:记,则,当时,,在上单调递增,,,则,使得;当时,,在上单调递减,,,则,使得,当时,;当时,.故在上递增,在上递减,,,故当时,;当时,.综上,有且仅有个零点.典例5、答案:(1);(2)答案不唯一,具体见解析;(3).解:(1)当时,,,所以,.所以曲线在点处的切线方程为,即.(2)因为,定义域为,所以.①当时,与在上的变化情况如下:最大值所以在内单调递增,在内单调递减.②当时,与在上的变化情况如下:极大值极小值所以在,内单调递增,在内单调递减.③当时,,所以在上单调递增.④当时,与在上的变化情况如下:极大值极小值所以在,内单调递增,在内单调递减.(3)由(2)可知:①当时,在内单调递增,在内单调递减,当时,取得最大值.(i)当时,,所以在上至多有一个零点,不符合题意.(ii)当时,.因为,,在内单调递减,所以在内有唯一零点.因为,所以且.因为,,且在内单调递增,所以在内有唯一零点.所以当时,恰有两个零点.②当时,在,内单调递增,在内单调递减,因为当时,取得极大值,所以在上至多有一个零点,不符合题意.③当时,在上单调递增,所以在上至多有一个零点,不符合题意.④当时,在,内单调递增,在内单调递减.因为当时,取得极大值,所以在上至多有一个零点,不符合题意.综上所述,实数的取值范围是.典例6、答案:(1)
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