2025高考总复习专项复习-一元函数的导数及其应用专题五（含解析）

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）2024年高考导数复习专题五知识点一求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数研究函数的零点典例1、已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设，若恒成立，求实数a的取值范围；（3）若有两个零点，求实数a的取值范围.随堂练习：已知函数，.（1）若曲线在点处的切线方程为y=0，求m的值；（2）若对任意，都有，求m的取值范围；（3）讨论在区间上的零点个数.典例2、已知，设函数，（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的值；（3）若函数与的图象没有交点，求实数的取值范围．(注：题中为自然对数的底数，即)随堂练习：已知函数．（注：是自然对数的底数）（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若只有一个极值点，求实数a的取值范围；（3）若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．典例3、设函数．（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）若，求实数的取值范围；（3）求证：当时，函数不存在零点．随堂练习：已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的值；（3）设函数，在（2）的条件下，证明：存在唯一的极小值点，且．知识点二求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究函数的零点典例4、已知函数求曲线在点处的切线方程若函数，恰有2个零点，求实数a的取值范围随堂练习：已知函数，.（1）求在点处的切线方程；（2）求证：当时，有且仅有个零点.典例5、已知函数（）．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若恰有两个零点，求实数的取值范围．典例6、已知函数．（1）求曲线在点，处的切线方程；（2）当时，求的单调区间；（3）当时，在区间有一个零点，求的取值范围．2024年高考导数复习专题五答案典例1、答案：（1）；（2）；（3）.解:（1）当时，，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）因为，若恒成立，则恒成立，所以恒成立，令，，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以，故a的取值范围为.（3）若有两个零点，则有两个零点，所以在上有两个解，所以在上有两个解，令，，，令，，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，且，所以在上，单调递增，在上，单调递减，所以，又在上，；在上，，所以a的取值范围为.随堂练习：答案：（1）1（2）（3）3、答案见解析解：（1）因为曲线在点处的切线方程为y=0，所以，即，解得m=1.（2），，由于在单调递增，所以.①当时，，所以在单调递增，即.②当时，令，解得，，的情况如下：x-0+单调递减极小值单调递增函数在单调递减，即，不合题意.综上，使在都成立的m的范围是.（3）根据第（2）的结论，①当时，在单调递增，且有唯一零点x=0，所以在区间上没有零点；②当时，若，即时，在区间上有1个零点；若，即时，在区间上没有零点；综上，时，在区间上没有零点：当时，在区间上有1个零点.典例2、答案：（1）；（2）；（3）．解:（1）时，，所以，所以，所以切线方程为：，即（2）设，，又不等式：恒成立，即恒成立，故是的极大值点，所以，得；另一方面，当时，，，在区间单调递减，又，故在单调递增，单调递减，所以，即恒成立综合上述：（3）由题意，即方程没有实根，我们先把方程有实根时，的取值范围求出，再关于取补集，不妨设：()，则方程变为，设函数，∵，在上递增，（）设，则，所以在上增，在上减，(的图象如图)有实数解，结合，则，有即，所以方程有实根时，的取值范围为所以方程没有实根时，的取值范围为．随堂练习：答案：（1）（2）（3）解：（1）当时，，故，故在点处的切线方程为，化简得．（2）由题意知有且只有一个根且有正有负．构建，则①当时，当时恒成立，在上单调递增，因为，所以有一个零点，即为的一个极值点；②当时，当时恒成立，即无极值点；③当时，当；当，所以在单调递减，在上单调递增，故，若，则即.当时，，当时，,设，故，故在上为增函数，故，故，故当时，有两个零点，此时有两个极值点．当时，当时恒成立，即无极值点；综上所述：．由题意知，对与任意的，使得恒成立，则，又要使取到最小值，则．当时，，故，所以的最小值为e；当时，当时，，所以无最小值，即无最小值；当时，由（2）得只有一个零点，即且当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，此时，因，所以代入得：，令，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，此时，所以的最小值为．典例3、答案：（1）；（2）；（3）证明见解析.解：（1）因为，则，因为点在直线上，则，所以，，解得.（2）因为成立，则，当时，，下面证明，设，其中，则，令，则且不恒为零，所以，函数在上为增函数，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，即成立，所以，故实数的取值范围为.（3）因为，所以，且两个等号不同时成立，即，令，其中，则且不恒为零，所以函数在上单调递增，且，当时，，即，所以当时，，即，此时函数不存在零点；当时，，而，此时，即，所以此时函数不存在零点；当时，，而，所以，即，所以此时函数不存在零点．综上可得，时，函数不存在零点．随堂练习：答案：（1）；（2）；（3）证明见解析.解：（1），而，所以在处的切线方程为：（2）由题意得：，因为，所以问题等价于在上恒成立，令，则，当时，恒成立，则在上单调递增，又，所以当时，，不满足题意，舍去；当时，因为时，；时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值且为最大值，即最大值为，所以，整理得：令，则，易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值，即最大值为，所以的解为．（3），设，则，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上有唯一零点，在上有唯一零点1；且当时，；当时，；当时，．因为，所以时的唯一极小值点．由得故，由得，．因为当时，在取得最小值，由得，．所以．典例4、答案：(1)x+y-1=0.(2).解:（1）因为，所以.所以又所以曲线在点处的切线方程为即.（2）由题意得，，所以.由，解得，故当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以.又，，若函数恰有两个零点，则解得.所以实数的取值范围为.随堂练习：答案：（1）（2）证明见解析解：（1）由知，则，，所以，，，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）证明：记，则，当时，，在上单调递增，，，则，使得；当时，，在上单调递减，，，则，使得，当时，；当时，.故在上递增，在上递减，，，故当时，；当时，.综上，有且仅有个零点.典例5、答案：（1）；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）．解：（1）当时，，，所以，．所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）因为，定义域为，所以．①当时，与在上的变化情况如下：最大值所以在内单调递增，在内单调递减．②当时，与在上的变化情况如下：极大值极小值所以在，内单调递增，在内单调递减．③当时，，所以在上单调递增．④当时，与在上的变化情况如下：极大值极小值所以在，内单调递增，在内单调递减．（3）由（2）可知：①当时，在内单调递增，在内单调递减，当时，取得最大值．（i）当时，，所以在上至多有一个零点，不符合题意．（ii）当时，．因为，，在内单调递减，所以在内有唯一零点．因为，所以且．因为，，且在内单调递增，所以在内有唯一零点．所以当时，恰有两个零点．②当时，在，内单调递增，在内单调递减，因为当时，取得极大值，所以在上至多有一个零点，不符合题意．③当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意．④当时，在，内单调递增，在内单调递减．因为当时，取得极大值，所以在上至多有一个零点，不符合题意．综上所述，实数的取值范围是．典例6、答案：（1）