上海市西南模范中学2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试(数学试题文)试题含解析_第1页
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文档简介

上海市西南模范中学2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试(数学试题文)试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为()A. B.C. D.2.已知函数,则的最小值为()A. B. C. D.3.已知正项等比数列满足,若存在两项,,使得,则的最小值为().A.16 B. C.5 D.44.已知实数,则下列说法正确的是()A. B.C. D.5.若复数()是纯虚数,则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知双曲线的左、右焦点分别为,过作一条直线与双曲线右支交于两点,坐标原点为,若,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.7.若,,则的值为()A. B. C. D.8.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行,中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务,要求每个人都要被派出去提供服务,且每个场地都要有志愿者服务,则甲和乙恰好在同一组的概率是()A. B. C. D.9.函数的图象大致为A. B. C. D.10.已知函数,下列结论不正确的是()A.的图像关于点中心对称 B.既是奇函数,又是周期函数C.的图像关于直线对称 D.的最大值是11.已知函数(其中为自然对数的底数)有两个零点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.12.△ABC中,AB=3,,AC=4,则△ABC的面积是()A. B. C.3 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,若关于的方程恰有四个不同的解,则实数的取值范围是______.14.如图,某市一学校位于该市火车站北偏东方向,且,已知是经过火车站的两条互相垂直的笔直公路,CE,DF及圆弧都是学校道路,其中,,以学校为圆心,半径为的四分之一圆弧分别与相切于点.当地政府欲投资开发区域发展经济,其中分别在公路上,且与圆弧相切,设,的面积为.(1)求关于的函数解析式;(2)当为何值时,面积为最小,政府投资最低?15.已知是偶函数,则的最小值为___________.16.已知,则______,______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若对任意成立,求实数的取值范围.18.(12分)如图,在四棱锥中,侧棱底面,,,,,是棱中点.(1)已知点在棱上,且平面平面,试确定点的位置并说明理由;(2)设点是线段上的动点,当点在何处时,直线与平面所成角最大?并求最大角的正弦值.19.(12分)已知直线与抛物线交于两点.(1)当点的横坐标之和为4时,求直线的斜率;(2)已知点,直线过点,记直线的斜率分别为,当取最大值时,求直线的方程.20.(12分)在底面为菱形的四棱柱中,平面.(1)证明:平面;(2)求二面角的正弦值.21.(12分)如图在直角中,为直角,,,分别为,的中点,将沿折起,使点到达点的位置,连接,,为的中点.(Ⅰ)证明:面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.22.(10分)在中国,不仅是购物,而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费,日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普索合作,调查了腾讯服务的6000名用户,从中随机抽取了60名,统计他们出门随身携带现金(单位:元)如茎叶图如示,规定:随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”,其他为“非手机支付族”.(1)根据上述样本数据,将列联表补充完整,并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关?(2)用样本估计总体,若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户,这3位用户中“手机支付族”的人数为,求随机变量的期望和方差;(3)某商场为了推广手机支付,特推出两种优惠方案,方案一:手机支付消费每满1000元可直减100元;方案二:手机支付消费每满1000元可抽奖2次,每次中奖的概率同为,且每次抽奖互不影响,中奖一次打9折,中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析,选择哪种优惠方案更划算?附:0.0500.0100.0013.8416.63510.828

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】

由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱垂直于底面,结合直观图判断外接球球心的位置,求出半径,代入求得表面积公式计算.【详解】由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱垂直于底面,高为2,底面为等腰直角三角形,斜边长为,如图:的外接圆的圆心为斜边的中点,,且平面,,的中点为外接球的球心,半径,外接球表面积.故选:A本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积,根据三视图判断几何体的结构特征,利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键.2.C【解析】

利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数,即可容易求得最小值.【详解】由于,故其最小值为:.故选:C.本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数,以及求三角函数的最值,属综合基础题.3.D【解析】

由,可得,由,可得,再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【详解】设等比数列公比为,由已知,,即,解得或(舍),又,所以,即,故,所以,当且仅当时,等号成立.故选:D.本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题,涉及到等比数列的知识,是一道中档题.4.C【解析】

利用不等式性质可判断,利用对数函数和指数函数的单调性判断.【详解】解:对于实数,,不成立对于不成立.对于.利用对数函数单调递增性质,即可得出.对于指数函数单调递减性质,因此不成立.故选:.利用不等式性质比较大小.要注意不等式性质成立的前提条件.解决此类问题除根据不等式的性质求解外,还经常采用特殊值验证的方法.5.B【解析】

化简复数,由它是纯虚数,求得,从而确定对应的点的坐标.【详解】是纯虚数,则,,,对应点为,在第二象限.故选:B.本题考查复数的除法运算,考查复数的概念与几何意义.本题属于基础题.6.B【解析】

由题可知,,再结合双曲线第一定义,可得,对有,即,解得,再对,由勾股定理可得,化简即可求解【详解】如图,因为,所以.因为所以.在中,,即,得,则.在中,由得.故选:B本题考查双曲线的离心率求法,几何性质的应用,属于中档题7.A【解析】

取,得到,取,则,计算得到答案.【详解】取,得到;取,则.故.故选:.本题考查了二项式定理的应用,取和是解题的关键.8.A【解析】

根据题意,五人分成四组,先求出两人组成一组的所有可能的分组种数,再将甲乙组成一组的情况,即可求出概率.【详解】五人分成四组,先选出两人组成一组,剩下的人各自成一组,所有可能的分组共有种,甲和乙分在同一组,则其余三人各自成一组,只有一种分法,与场地无关,故甲和乙恰好在同一组的概率是.故选:A.本题考查组合的应用和概率的计算,属于基础题.9.D【解析】

由题可得函数的定义域为,因为,所以函数为奇函数,排除选项B;又,,所以排除选项A、C,故选D.10.D【解析】

通过三角函数的对称性以及周期性,函数的最值判断选项的正误即可得到结果.【详解】解:,正确;,为奇函数,周期函数,正确;,正确;D:,令,则,,,,则时,或时,即在上单调递增,在和上单调递减;且,,,故D错误.故选:.本题考查三角函数周期性和对称性的判断,利用导数判断函数最值,属于中档题.11.B【解析】

求出导函数,确定函数的单调性,确定函数的最值,根据零点存在定理可确定参数范围.【详解】,当时,,单调递增,当时,,单调递减,∴在上只有一个极大值也是最大值,显然时,,时,,因此要使函数有两个零点,则,∴.故选:B.本题考查函数的零点,考查用导数研究函数的最值,根据零点存在定理确定参数范围.12.A【解析】

由余弦定理求出角,再由三角形面积公式计算即可.【详解】由余弦定理得:,又,所以得,故△ABC的面积.故选:A本题主要考查了余弦定理的应用,三角形的面积公式,考查了学生的运算求解能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

设,判断为偶函数,考虑x>0时,的解析式和零点个数,利用导数分析函数的单调性,作函数大致图象,即可得到的范围.【详解】设,则在是偶函数,当时,,由得,记,,,故函数在增,而,所以在减,在增,,当时,,当时,,因此的图象为因此实数的取值范围是.本题主要考查了函数的零点的个数问题,涉及构造函数,函数的奇偶性,利用导数研究函数单调性,考查了数形结合思想方法,以及化简运算能力和推理能力,属于难题.14.(1);(2).【解析】

(1)以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则,在中,设,又,故,,进而表示直线的方程,由直线与圆相切构建关系化简整理得,即可表示OA,OB,最后由三角形面积公式表示面积即可;(2)令,则,由辅助角公式和三角函数值域可求得t的取值范围,进而对原面积的函数用含t的表达式换元,再令进行换元,并构建新的函数,由二次函数性质即可求得最小值.【详解】解:(1)以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则,在中,设,又,故,.所以直线的方程为,即.因为直线与圆相切,所以.因为点在直线的上方,所以,所以式可化为,解得.所以,.所以面积为.(2)令,则,且,所以,.令,,所以在上单调递减.所以,当,即时,取得最大值,取最小值.答:当时,面积为最小,政府投资最低.本题考查三角函数的实际应用,应优先结合实际建立合适的数学模型,再按模型求最值,属于难题.15.2【解析】

由偶函数性质可得,解得,再结合基本不等式即可求解【详解】令得,所以,当且仅当时取等号.故答案为:2考查函数的奇偶性、基本不等式,属于基础题16.【解析】

利用两角和的正切公式结合可得出的方程,即可求出的值,然后利用二倍角的正、余弦公式结合弦化切思想求出和的值,进而利用两角差的余弦公式求出的值.【详解】,,,.故答案为:;.本题主要考查三角函数值的计算,考查两角和的正切公式、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的应用,难度不大.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)【解析】

(1)把代入,利用零点分段讨论法求解;(2)对任意成立转化为求的最小值可得.【详解】解:(1)当时,不等式可化为.讨论:①当时,,所以,所以;②当时,,所以,所以;③当时,,所以,所以.综上,当时,不等式的解集为.(2)因为,所以.又因为,对任意成立,所以,所以或.故实数的取值范围为.本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题,恒成立问题一般是转化为最值问题求解,侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.18.(1)为中点,理由见解析;(2)当点在线段靠近的三等分点时,直线与平面所成角最大,最大角的正弦值.【解析】

(1)为中点,可利用中位线与平行四边形性质证明,,从而证明平面平面;(2)以A为原点,分别以,,所在直线为、、轴建立空间直角坐标系,利用向量法求出当点在线段靠近的三等分点时,直线与平面所成角最大,并可求出最大角的正弦值.【详解】(1)为中点,证明如下:分别为中点,又平面平面平面又,且四边形为平行四边形,同理,平面,又平面平面(2)以A为原点,分别以,,所在直线为、、轴建立空间直角坐标系则,设直线与平面所成角为,则取平面的法向量为则令,则所以当时,等号成立即当点在线段靠近的三等分点时,直线与平面所成角最大,最大角的正弦值.本题主要考查了平面与平面的平行,直线与平面所成角的求解,考查了学生的直观想象与运算求解能力.19.(1)(2)【解析】

(1)设,根据直线的斜率公式即可求解;(2)设直线的方程为,联立直线与抛物线方程,由韦达定理得,,结合直线的斜率公式得到,换元后讨论的符号,求最值可求解.【详解】(1)设,因为,即直线的斜率为1.(2)显然直线的斜率存在,设直线的方程为.联立方程组,可得则,令,则则当时,;当且仅当,即时,解得时,取“=”号,当时,;当时,综上所述,当时,取得最大值,此时直线的方程是.本题主要考查了直线的斜率公式,直线与抛物线的位置关系,换元法,均值不等式,考查了运算能力,属于难题.20.(1)证明见解析;(2)【解析】

(1)由已知可证,即可证明结论;(2)根据已知可证平面,建立空间直角坐标系,求出坐标,进而求出平面和平面的法向量坐标,由空间向量的二面角公式,即可求解.【详解】方法一:(1)依题意,且∴,∴四边形是平行四边形,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)∵平面,∴,∵且为的中点,∴,∵平面且,∴平面,以为原点,分别以为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,∴设平面的法向量为,则,∴,取,则.设平面的法向量为,则,∴,取,则.∴,设二面角的平面角为,则,∴二面角的正弦值为.方法二:(1)证明:连接交于点,因为四边形为平行四边形,所以为中点,又因为四边形为菱形,所以为中点,∴在中,且,∵平面,平面,∴平面(2)略,同方法一.本题主要考查线面平行的证明,考查空间向量法求面面角,意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养,属于中档题.21.(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)取中点,连结、,四边形是平行四边形,由,,得,从而,,求出,由此能证明.(Ⅱ)以为原点,、、所

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