【专项精练】第03课 不等式-2024年新高考数学分层专项精练（解析版）

第03课不等式（分层专项精练）【一层练基础】一、单选题1．（2023秋·高一课前预习）小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（

）A． B．C． D．2．（2006·上海·高考真题）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（

）A．< B．a2>b2C．> D．a|c|>b|c|3．（2015·天津·高考真题）设，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2022秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）下列说法正确的是（

）A．“”是“”的充要条件B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“”的否定形式是“”D．“”是“”的充分不必要条件6．（2022·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．7．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）若命题“，”为假命题，则的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或8．（2023春·天津河西·高二统考期末）已知，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．（2022·江苏·高一专题练习）若、，且，则的最小值为（

）．A． B． C． D．10．（2023春·广东广州·高二仲元中学校考阶段练习）已知，，且，则ab的最小值为（

）A．4 B．8 C．16 D．3211．（2022秋·青海海南·高三海南藏族自治州高级中学校考阶段练习）设正实数m，n满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．12．（2023·全国·高三专题练习）已知点E是的中线上的一点（不包括端点）．若，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．9二、多选题13．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（

）A． B．C． D．14．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若，则15．（2023·全国·高三专题练习）已知，（m是常数），则下列结论正确的是（

）A．若的最小值为，则B．若的最大值为4，则C．若的最大值为m，则D．若，则的最小值为216．（2023·全国·高三专题练习）已知则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题17．（2023·全国·高三专题练习）已知实数、满足，，则的取值范围为．18．（2022秋·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知命题p：“，”为真命题，则实数a的最大值是．19．（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）若，则的最小值是.【二层练综合】一、单选题1．（2022秋·广东揭阳·高一校考阶段练习）已知，下列不等式中正确的是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·辽宁·高三校考阶段练习）“a>b>0”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．4．（2022秋·河北石家庄·高三校考阶段练习）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（

）A． B．C． D．5．（2022秋·湖北武汉·高一华中师大一附中期中）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B．或C． D．或6．（2022秋·河北石家庄·高三校考期末）关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2023·全国·高一专题练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（

）A．16 B．25 C．36 D．498．（2022秋·高一校考课时练习）已知，，且，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．89．（2023·高二课时练习）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题10．（2023·全国·长郡中学校联考模拟预测）已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）A． B．C． D．11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，，，则（

）A．在上恒为正 B．在上单调递减C．a，b，c中最大的是a D．a，b，c中最小的是b12．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知正实数，满足，下列说法正确的是（

）A．的最大值为2 B．的最小值为4C．的最小值为 D．的最小值为13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且），且，，，则下列结论正确的是（

）A．为R上的增函数 B．无极值C． D．14．（2022秋·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习）已知，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为9C．的最小值为 D．的最大值为215．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考三模）已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（

）A．椭圆的离心率的取值范围是B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是C．存在点使得D．的最小值为2三、填空题16．（2023·上海普陀·统考一模）设a、且．若函数的表达式为，且，则的最大值为．17．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知实数，满足，且，则的取值范围是.18．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为.19．（2023·上海奉贤·校考模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，当时，，若对一切恒成立，则实数的最大值为.20．（2023春·陕西商洛·高一镇安中学校考期中）已知向量，，，，若，则的最小值.21．（2022·全国·高二专题练习）已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为．【三层练能力】一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（

）A． B． C． D．2．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒成立，则实数t的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2023·全国·高三专题练习）已知正数满足等式，则下列不等式中可能成立的有（

）A． B．C． D．5．（2023·江西吉安·统考模拟预测）若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数都满足和恒成立，则称直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，下列命题正确的是（

）A．与有“隔离直线”B．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围为C．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是D．和之间存在唯一的“隔离直线”6．（2023春·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（

）A．四边形面积的最大值为2B．四边形周长的最大值为C．为定值D．四边形面积的最小值为32【一层练基础】参考答案1．D【分析】平均速度等于总路程除以总时间【详解】设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则，，，∴，，故选:D.2．C【分析】举特例即可判断选项A，B，D，利用不等式的性质判断C即可作答.【详解】当a=1，b=-2时，满足a>b，但，a2<b2，排除A，B；因>0，a>b，由不等式性质得，C正确；当c=0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，故选：C3．A【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】由，可得，即；由，可得或，即；∴是的真子集，故“”是“”的充分而不必要条件.故选：A4．A【分析】根据题意转化为不等式在上有实数解，结合函数的单调性，求得，即可求解.【详解】由不等式在上有实数解，等价于不等式在上有实数解，因为函数在上单调递减，在单调递增，又由，所以，所以，即实数的取值范围是.故选：A.5．B【分析】利用不等式的性质判断A的正误，利用正切函数的性质判断B的正误，利用命题的否定形式判断C的正误，利用对数的定义判断D的正误.【详解】对A，若中，时也成立，故A错；对B，当时，，故，若，则，故B对；对C，存在量词命题的否定是，故C错；对D，若均为负数，则无意义，故D错.6．D【分析】由，得到，结合不等式的基本性质、作差比较、基本不等式和对数的运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】由，可得，则，对于A中，由，所以，所以A不正确；对于B中，由，且，则，所以B不正确；对于C中，由，且，当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时，所以C不正确；对于D中，由，因为，可得，所以，可得，所以D正确.故选：D.7．A【分析】先转化为命题的否定，再由一元二次不等式的性质求解即可.【详解】命题“，”的否定为“，”，该命题为真命题，即，解得.故选：A8．B【分析】分别求出命题，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】因为；，所以，推不出，所以是的必要不充分条件.故选：B.9．A【分析】根据基本不等式计算求解.【详解】因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.故选：A.10．C【分析】运用对数运算及换底公式可得，运用基本不等式可求得的最小值.【详解】∵，∴，即：∴，∵，，∴，，∴，当且仅当即时取等号，即：，当且仅当时取等号，故的最小值为16.故选：C.11．C【分析】由基本不等式“1”的妙用进行求解【详解】解：因为正实数m，n，，所以，当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值，故选：C12．C【分析】先根据向量共线可知，表达出和的关系式后利用基本不等式的代“1”法解基本不等式即可.【详解】解：由题意得：点E是的中线上的一点（不包括端点）,则由共线向量定理可知：设当且仅当，即时取等号，故的最小值为.故选：C13．AC【分析】AB选项，利用基本不等式求出最小值，得到A正确，B错误；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，先变形后利用基本不等式进行求解.【详解】A选项，因为a，b都是正实数，故，当且仅当，即时，等号成立，A正确；B选项，因为a，b都是正实数，故，当且仅当，即时，等号成立，B错误；C选项，，故恒成立，C正确；D选项，a是正实数，故，其中，故，当且仅当，即时，等号成立，D错误.故选：AC14．ABC【分析】解一元二次不等式求集合A，根据各选项中集合的关系，列不等式或方程求参数值或范围，判断A、B、C的正误，已知参数，解一元二次不等式求集合B，应用交运算求判断正误即可.【详解】由已知得：，令A：若，即是方程的两个根，则，得，正确；B：若，则，解得，正确；C：当时，，解得或，正确；D：当时，有，所以，错误；故选：ABC.15．BC【分析】根据已知等式，利用基本不等式逐一判断即可.【详解】由已知得，，解得，当时取等号，故A错误；，，当时取等号，故B正确；，，当时取等号，故C正确；对于D，，当时取等号，又，且，所以等号取不到，故D错误，故选：BC.16．ABC【分析】由题意可知，，根据对数函数的单调性可知D错误；，可知A正确；利用基本不等式可知，化简整理可知B正确；在根据，利用不等式的性质，即可判断C正确.【详解】由题可知，，又，所以，D错误；因为，有．所以A正确；由基本不等式得，所以，当且仅当时，取等号；又因为，，所以，故，B正确；由于，，所以，C正确.故选：ABC．17．【分析】设，利用待定系数法求出的值，然后根据不等式的性质即可求解.【详解】解：设，则，解得，所以，因为，，所以，，所以，故答案为：.18．【分析】分离参数，将问题转化为，然后利用均值不等式求出最小值即可得答案.【详解】解：由题意，，恒成立，因为，当且仅当时等号成立，所以，即a的最大值是．故答案为：.19．2【分析】根据，结合已知解不等式即可得出答案.【详解】解：因为，所以，则，所以，解得或（舍去），当且仅当，即时，取等号，所以的最小值是2.故答案为：2.【二层练综合】参考答案1．C【分析】由，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.【详解】解：对于选项A，因为，而的正负不确定，故A错误；对于选项B，因为，所以，故B错误；对于选项C，依题意，所以，所以，故C正确；对于选项D，因为与正负不确定，故大小不确定，故D错误；故选：C.2．A【分析】能推出，但是则，则或，再由充分必要的定义可得出的答案.【详解】若,则，即成立，若则，则或或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3．C【分析】根据对数和指数的单调性可判断，；在构造函数，，再根据换元法和不等式放缩，可证明当时，，由此即可判断的大小.【详解】因为，所以；由且，所以，所以，令，，令，则，则，等价于，；又，所以当时，，故，所以．故选：C．4．A【分析】根据不等式在R上恒成立，求得，再由，说明不等式在R上恒成立，即可得答案.【详解】∵不等式在R上恒成立，∴，解得，又∵，∴，则不等式在R上恒成立，∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件,故选:A.5．C【分析】先由结合基本不等式求出的最小值，进而得，再解一元二次不等式即可.【详解】由题意知，，当且仅当，即时取等，又不等式恒成立，则不等式，即，解得.故选：C.6．D【分析】由题意可知，是不等式解集的一个真子集，然后对与的大小关系进行分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数的取值范围.【详解】由题可知是不等式的解集的一个真子集.当时，不等式的解集为，此时；当时，不等式的解集为，，合乎题意；当时，不等式的解集为，由题意可得，此时.综上所述，.故选：D.【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题.7．B【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，又，即，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为25.故选：B8．C【分析】根据条件,变形后，利用均值不等式求最值.【详解】因为，所以.因为，，所以，当且仅当，时，等号成立，故的最小值为4.故选：C9．D【分析】设等比数列的公比为，则，根据已知条件求出的值，由已知条件可得出，将代数式与相乘，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】设等比数列的公比为，则，由可得，解得，因为，则，，可得，由已知、，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：D.10．AC【分析】构造函数，求导，计算出其单调性即可判断.【详解】构造函数，，当时，，时，，时，，在处取最大值，，，函数图像如下：，，A正确；B错误；，，，C正确，D错误；故选：AC.11．AC【分析】根据当时，即可判断A；利用导数讨论函数在上的单调性，进而求出函数的最小值即可判断B；结合选项A和对数函数的单调性可得即可判断C；利用作差法和结合选项B可得，根据C的分析过程可知，进而判断D.【详解】A：当时，，所以，故A正确；B：函数的定义域为，，令，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故，所以在上恒成立，即函数在上单调递增，故B错误；C：由选项A可知，当时，所以，因为，所以，即；当时，，得，因为，，所以，，即，所以中最大的是a，故C正确；D：，所以，由选项B可知函数在上单调递增，所以，即，由选项C可知，有，所以中最小的是c，故D错误；故选：AC12．BCD【分析】利用基本不等式和解一元二次不等式可判断A,B,将代入，化简，利用基本不等式求解可判断C，利用基本不等式“1”的妙用可判断D.【详解】对于A,因为，即，解得，又因为正实数，，所以，则有，当且仅当时取得等号，故A错误；对于B，，即，解得（舍），当且仅当时取得等号，故B正确；对于C,由题可得所以，解得，，当且仅当即时取得等号，故C正确；对于D,，当且仅当时取得等号，故D正确，故选:BCD.13．ABC【分析】先求导，分析函数的单调性和极值，再利用指数函数和对数函数的单调性比较a，b，c的大小，利用函数的单调性比较对应函数值的大小.【详解】解：已知函数（且），则，则，所以，故在R上单调递增，A选项正确；因为为R上的增函数，所以无极值，B选项正确；因为是增函数，所以，因为是减函数，所以，因为是减函数，所以，综上可知，，又为增函数，则，C选项正确，D选项错误；故选：ABC.14．BC【分析】对A，直接运用均值不等式即可判断；对B，，运用均值不等式即可判断；对C，，讨论二次函数最值即可；对D，，讨论最值即可.【详解】，，当时，即时，可取等号，A错；，当时，即时，可取等号，B对；，当时，可取等号，C对；，D错.故选：BC15．ABC【分析】根据点在椭圆外，即可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A；根据离心率求出，则，即可判断B；设上顶点，得到，即可判断C；根据利用基本不等式判断D.【详解】由题意得，又点在椭圆外，则，解得，所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A正确；当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确；设椭圆的上顶点为，，，由于，所以存在点使得，故C正确；，当且仅当时，等号成立，又，所以，故D不正确．故选：ABC16．/【分析】由结合可得出，求出的取值范围，利用不等式的基本性质可求得的最大值.【详解】因为，则，所以，或，或.因为，所以，，且，可得，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.故答案为：.17．【分析】根据不等式的性质判断与的大小关系是否满足不等式，从而可结合线性规划求目标函数的取值范围.【详解】实数，满足，且，若，则，所以，又，所以，则，即，则，所以与已知矛盾，故，要满足，则，即，满足该二元一次不等式的平面区域如下图所示：设目标函数为，则，故直线的纵截距的取值范围即可得的取值范围，由可行域可得直线经过时得纵截距的最大值，无最小值，又，所以，故，所以的取值范围是.故答案为：.18．【分析】分析可知命题“，”为真命题，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.【详解】由题意可知，命题“，”为真命题.①当时，可得.若，则有，合乎题意；若，则有，解得，不合乎题意；②若，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.19．/0.25【分析】根据题设条件画出函数的图象，结合图象可求实数的最大值.【详解】因为，故的图象关于中心对称当时，，故的图象如图所示：结合图象可得：只需当时，即可，即，故，故答案为：.20．【分析】首先根据向量平行的坐标表示得到，再根据“1”的变形，利用基本不等式求最值.【详解】，，，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“1”的妙用，变形，展开后，即可利用基本不等式求最值.21．【分析】根据直线与的一条渐近线平行，得到，再结合双曲线与椭圆共焦点得到，再利用基本不等式求解.【详解】解：设的半焦距为c（），则，又，所以，又直线与的一条渐近线平行，所以，所以，所以，所以，所以，又，当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为．故答案为：【三层练能力】参考答案1．A【分析】利用幂函数和指数函数的性质判断的范围，利用基本不等式判断的范围，构造新函数并利用导数讨论函数的单调性求出的范围，进而得出结果.【详解】由，得，即，所以，所以，则，即；由，即；设，则，所以在上单调递增，且，所以当时，即，当时，即，又，则，所以，即，综上，.故选：A2．A【分析】把函数有两个不同的极值点转化为根的分布求出a的范围，利用分离参数法得到.把转化为，令，利用导数求出的值域，即可得到答案.【详解】，因为函数有两个不同的极值点，，所以方程有两个不相等的正实数根，于是有，解得.因为不等式恒成立，所以恒成立.，设，，故在上单调递增，故，所以.因此实数t的取值范围是.故选：A【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.3．C【分析】首先求得及的取值范围，再把转化为关于的代数式，利用函数的单调性去求的取值范围即可解决【详解】由，可得，则，则，令，则，又在单调递增，在单调递减，，则，即故选：C4．AC【分析】将已知转化为，通过构造函数法，结合导数判断当时，，进而构造函数，根据单调性即可判断选项CD；同理利用构造函数和求导即可判断AB.【详解】因为，，，所以，所以，构造，所以，当，即时，分析即可，所以在上单