考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷1（共278题）

考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷1（共9套）（共278题）考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设函数P(x，y)，Q(x，y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数，L为D内曲线，则曲线积分与路径无关的充要条件为()A、Pdx+Qdy是某一函数的全微分B、C、D、标准答案：A知识点解析：在单连通域D中,，在D内与路径无关其中C为D内任意闭曲线Pdx+Qdy为某一函数的全微分．故选A．2、设C为从A(0，0)到B(4，3)的直线段，则[*为()A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：．只有选项B正确．3、设∑是部分锥面：x2+y2=z2，0≤x≤1，则曲面积分等于()A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：因0≤z≤1，故4、曲线积分其中曲线为位于第一象限中的圆弧x2+y2=1，A(1，0)，B(0，1)，则I为()A、0B、一1C、一2D、2标准答案：C知识点解析：5、设曲线F为x2+y2+z2=1，z=z0(｜z0｜<1)，由z轴正向看去为逆时针方向，则曲线积分的值为()A、0B、1C、一1D、标准答案：A知识点解析：设P=x2+yz，Q=y2+xz，R=z2+xy．则由斯托克斯公式，其中∑是平面z=z0内且以曲线F为边界的那部分的上侧．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、设曲线F：x=acost，y=asint，z=bt(0≤t≤2π)，则=___________.标准答案：知识点解析：由第一型曲线积分公式知：7、曲面积分=__________，其中S为球面x2+y2+z2=1的外侧．标准答案：知识点解析：8、设一个矢量场A(x，y，z)，它在某点的矢量大小与该点到原点的距离平方成正比(比例常数为忌)，方向指向原点，则divA=__________．标准答案：知识点解析：9、设由平面图形a≤x≤b，0≤y≤f(x)绕x轴旋转所成旋转体Ω的密度为1，则该旋转体Ω对x轴的转动惯量为__________．标准答案：知识点解析：10、设L为双纽线(x2+y2)2=a2(x2一y2)的全弧段，常数a＞0.则∫Ly｜ds=_________.标准答案：知识点解析：由双纽线的对称性及｜y｜为y的偶函数，记L2为L在第一象限部分，有与二重积分类似的性质．在极坐标中，从而其中L1的极坐标方程为经化简之后，三、解答题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)11、设D为xOy平面上由摆线x=a(t-sint)，y=a(1一cost)，0≤t≤2π，与x轴所围成的区域，求D的形心的坐标．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设，计算三重积分标准答案：知识点解析：暂无解析设φ(y)为连续函数．如果在围绕原点的任意一条逐段光滑的正向简单封闭曲线l上，曲线积分其值与具体l无关，为同一常数k．13、证明：对于任意一条逐段光滑的简单封闭曲线L，它不围绕原点也不经过原点，则必有且其逆亦成立，即若式②成立，则式①亦成立．标准答案：设L是一条不围绕原点也不经过原点的逐段光滑的简单封闭曲线，如图1．6—10，使构成两条简单封闭曲线弧它们均将原点O包围在它们的内部，由题中式①知，以下证其逆亦成立．即设式②成立，设l1与l2分别为两条各自围绕原点O的逐段光滑的简单封闭曲线，且有相同转向．如图1．6—11，不妨设l1与l2不相交，作一线段，沟通l1与l2．下述为一条不围绕原点O的简单的封闭曲线．由假定而另一方面，所以，即只要l是围绕原点的简单封闭曲线，且具有同一转向，则∮1为一常数．知识点解析：暂无解析14、证明：在任意一个不含原点在其内的单连通区域D0上，曲线积分与具体的c无关而仅与点A，B有关．标准答案：设cAB与cAB’为D0内连接点A与点B的任意两条逐段光滑的曲线，由cABUcBA’构成了一条逐段光滑的封闭曲线．由，所以∫cAB…=－∫c’BA…=∫cAB’…．即积分与路径无关．知识点解析：暂无解析15、如果φ(y)具有连续的导数，求φ(y)的表达式.标准答案：既然在不含原点在其内的单连通域D0上积分式③与路径无关且具有连续的一阶偏导数，则必有经计算，得(2x2+y4)φ’(y)一4y3φ(y)=2y5一4x2y．由于x与y均为自变量，故得到由④得φ’(y)=一2y，解得φ(y)=一y2+C1，代入⑤得C1=0．所以φ(y)=一y2．知识点解析：暂无解析16、设L为圆周x2+y2=4正向一周，求标准答案：记I1=∮Ly3dx，I2=一∮L｜3y一x2｜dy．对于I1直接用格林公式．记D={(x，y)｜x2+y2≤4)，有求I2有两个方法．知识点解析：暂无解析17、计算三重积分其中Ω由椭球面围成．标准答案：知识点解析：暂无解析18、计算标准答案：先交换y，z的积分次序．将I理解成由三重积分先对y，z作二重积分，再对x作定积分得到，二重积分的积分区域为Dyx：0≤y≤x(x视为[0，1]上的某个常数)，0≤z≤y．将Dyz表示为Dyz：0≤z≤xz，z≤y≤x．于是要计算这个二重积分，仍需要交换积分次序，换序后得知识点解析：暂无解析19、将化为先y，再x，后z的三次积分，其中f为连续函数．标准答案：y，z的积分区域为Dyz：0≤y≤1一x，0≤z≤x+y(x视为[0，1]上的一个常数)，换序后Dyz=D1UD2，D1：0≤z≤x，0≤y≤1一x；D2：x≤z≤1，z—x≤y≤1一x，故于是知识点解析：暂无解析20、求函数f(x，y，z)=x2+y2+z2在区域x2+y2+z2≤x+y+z内的平均值．标准答案：区域x2+y2+z2≤x+y+z，即其体积知识点解析：暂无解析21、计算曲线积分其中L圆周(x一1)2+y2=2，其方向为逆时针方向．标准答案：由于x=y=0时，被积函数无意义，故L所包围的区域不满足格林公式的条件，作一小圆挖去原点(0，0)，作逆时针方向的圆周l：x=rcosθ，y=rsinθ，0≤θ≤2π，使l全部被L，所包围，在L和l为边界的区域D内，根据格林公式，有知识点解析：暂无解析设f(x，y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数，即对任何x，y，t下式成立f(tx，ty)=t2f(x，y)．22、证明：标准答案：方程f(tx，ty)=t2f(x，y)两边对t求导得xf1’(tx，ty)+yf2’(tx，ty)=2tf(x，y)，再对t求导得，x[xf11’’(tx，ty)+yf23’’(tx，ty)]+y[xf21’’(tx，ty)+yf22’’(tx，ty)]=2f(x，y)．于是tx[txf11’’(tx，ty)+tyf"12(tx，ty)]+ty[txf21’’(tx，ty)+tyf22’’(tx，ty)]=2t2f(x，y)=2f(tx，ty)，由此得x2fxx’’(x，y)+2xyfxy’’(x，y)+y2f’’yy(x，y)=2f(x，y)．即结论成立．知识点解析：暂无解析23、设D是由L：x2+y2=4正向一周所围成的闭区域，证明：标准答案：由式xf1’(tx，ty)+yf2’(tx，tu)=2tf(x，y)得txf1’(tx，ty)+tyf2’(tx，ty)=2t2f(x，y)，即xfx’(x，y)+yfy’(x，y)=2f(x，y)，又故知识点解析：暂无解析24、设L为曲线x2+y2=R2(常数R>0)一周，n为L的外法线方向向量，u(z，y)具有二阶连续偏导数且标准答案：如图1．6—13，设τ0=(cosα，sinα)为L沿逆时针方向的单位向量．将它按顺时针方向转便得L的外法线方向的单位向量为n0=(sinα，一cosα)．方向导数其中D={(x，y)｜x2+y2≤R2)为L所围成的有界区域。知识点解析：暂无解析25、将编号为1，2，3的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率．标准答案：设Ai＝{第i本书正好在第i个位置}，B＝{至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同}，则B＝A1＋A2＋A3，且知识点解析：暂无解析26、袋中有a个黑球和b个白球，一个一个地取球，求第k次取到黑球的概率(1≤k≤a＋b)．标准答案：基本事件数n＝(a＋b)!，设Ak＝{第k次取到黑球)，则有利样本点数为a(a＋b—1)!，所以知识点解析：暂无解析27、甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为1小时，若乙停靠，则停靠的时间为2小时，求它们不需要等候的概率．标准答案：设甲、乙两船到达的时刻分别为x，y(0≤x≤24，0≤y≤24)，知识点解析：暂无解析28、某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第k次才拨通对方电话的概率．标准答案：令Ak＝{第k次拨通对方电话)(k＝1，2，…，10)，知识点解析：暂无解析29、甲、乙两人从1，2，…，15中各取一个数，设甲取到的数是5的倍数，求甲数大于乙数的概率．标准答案：设A1＝{甲数为5)，A2＝{甲数为10}，A3＝{甲数为15}，B＝{甲数大于乙数}，知识点解析：暂无解析30、甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为60％和50％．标准答案：知识点解析：暂无解析31、计算标准答案：知识点解析：暂无解析32、设X的密度函数为，求的密度fY(y)．标准答案：知识点解析：暂无解析33、设随机变量X的概率密度为，求Y＝eX的概率密度fY(y)．标准答案：FY(y)＝P(Y≤y)＝P(eX≤y)，当y≤1时，X≤0，FY(y)＝0；知识点解析：暂无解析34、设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y＝1一e－2x在区间(0，1)上服从均匀分布．标准答案：因为X服从参数为2的指数分布，所以其分布函数为，Y的分布函数为FY(y)＝P(Y≤y)＝P(1一e－2x≤y)，当y≤0时，FY(y)＝P(X≤0)＝0；当Y≥1时，FY(y)＝P(一∞＜X＜＋∞)＝1；知识点解析：暂无解析35、设，求矩阵A可对角化的概率．标准答案：知识点解析：暂无解析36、设随机变量X～E(λ)，令，求P(X＋Y＝0)及FY(y)．标准答案：P(X＋Y＝0)＝P(Y＝一X)＝P(｜X｜＞1)＝P(X＞1)＋P(X＜一1)＝P(X＞1)＝1一P(X≤1)＝1一FX(1)＝e－λFY(y)＝P(Y≤y)＝P(Y≤y，｜X｜≤1)＋P(Y≤y，｜X｜＞1)＝P(X≤y，｜X｜≤1)＋P(一X≤y，X＞1)＋P(一X≤y，X＜－1)＝P(X≤y，0＜X≤1)＋P(X≥一y，X＞1)当y＜一1时，FY(y)＝P(X＞一y)＝eλy；当一1≤y＜0时，FY(y)＝P(X＞1)＝e－λ；当0≤y≤1时，FY(y)＝P(X≤y)＋P(X＞1)＝1一e－λy＋e－λ；当y＞l时，FY(y)＝P(0＜X≤1)＋P(X＞1)＝1，知识点解析：暂无解析考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设m和n为正整数，a＞0，且为常数，则下列说法不正确的是()A、当m为偶数，n为奇数时，一定为0B、当m为奇数，n为偶数时，一定为0C、当m为奇数，n为奇数时，一定为0D、当m为偶数，n为偶数时，一定为0标准答案：D知识点解析：令则(1)当m和n中有且仅有一个为奇数时，(-1)m(一1)n=一1，从而积分为零；(2)当m和n均为奇数时，(-1)m(一1)n=1，从而由于上的奇函数，故积分为零．总之，当m和n中至少一个为奇数时，．故答案选择D．2、其中D={(x，y)｜x2+y2≤1)，则()A、c＞b＞aB、a＞b＞cC、b＞a＞cD、c＞a＞b标准答案：A知识点解析：由于D={(x，y)｜x2+y2≤1)，所以由cosx在上单调减少可得因此有c＞b＞a．3、化为极坐标系中的累次积分为()A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：由所以积分区域D是圆x2+(y一1)2≤1的右半圆在直线y=x上方的部分，于是，其极坐标形式为4、设三阶矩阵A的特征值为一1，1，2，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P＝(3α2，一α3，2α1)，则P－1AP等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：显然3α2，一α3，2α1也是特征值1，2，一1的特征向量，所以，选(C)．5、设A，B为n阶矩阵，且A，B的特征值相同，则()．A、A，B相似于同一个对角矩阵B、存在正交阵Q，使得QTAQ＝BC、r(A)＝r(B)D、以上都不对标准答案：D知识点解析：令，显然A，B有相同的特征值，而r(A)≠r(B)，所以(A)，(B)，(C)都不对，选(D)．6、设A是n阶矩阵，下列命题错误的是()．A、若A2＝E，则一1一定是矩阵A的特征值B、若r(E＋A)＜n，则一1一定是矩阵A的特征值C、若矩阵A的各行元素之和为一1，则一1一定是矩阵A的特征值D、若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则一1一定是A的特征值标准答案：A知识点解析：若r(E＋A)＜n，则｜E＋A｜＝0，于是一1为A的特征值；若A的每行元素之和为一1，则，根据特征值特征向量的定义，一1为A的特征值；若A是正交矩阵，则ATA＝E，令AX＝λX(其中X≠0)，则XTAT＝λXT，于是XTATAX＝λ2XTX，即(λ2一1)XTX＝0，而XTX＞0，故λ2＝1，再由特征值之积为负得一1为A的特征值，选(A)．7、与矩阵相似的矩阵为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：A的特征值为1，2，0，因为特征值都是单值，所以A可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与A相同且可以对角化，所以选(D)．8、设A为n阶矩阵，下列结论正确的是()．A、矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B、若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C、若r(A)＝r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为D、若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等标准答案：D知识点解析：(A)不对，如，A的两个特征值都是0，但r(A)＝1；(B)不对，因为A～B不一定保证A，B可以对角化；(C)不对，如，A经过有限次行变换化为，经过行变换不能化为；因为A可以对角化，所以存在可逆矩阵P，使得，于是，故选(D)．9、设A，B为n阶可逆矩阵，则()．A、存在可逆矩阵P，使得P－1AP＝BB、存在正交矩阵Q，使得QTAQ＝BC、A，B与同一个对角矩阵相似D、存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ＝B标准答案：D知识点解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ＝B，选(D)．10、设∑为x+y+z=1在第一卦限部分的下侧，则等于()A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、空间曲线x=3t，y=3t2，z=2t3从O(0，0，0)到A(3，3，2)的弧长为__________．标准答案：5知识点解析：12、已知F=x3i+y3j+z2k，则在点(1，0，一1)处的divF为__________．标准答案：6知识点解析：设向量场F=Pi+Qj+Rk，则在点M(x0，y0，z0)处13、设∑是平面在第一卦限部分的下侧，则化成对面积的曲面积分为I=__________．标准答案：知识点解析：∑指定侧法向量，n的方向余弦由两类曲面积分的联系，14、设光滑曲面∑所围闭域Ω上，P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)有二阶连续偏导数，且∑为Ω的外侧边界曲面，由高斯公式可知的值为__________．标准答案：0知识点解析：因P，Q，R在Ω上有二阶连续偏导数，故Ryx’’=Rxy’’，Qzx’’=Qxz’’，Pzy’’=Pyz’’，从而用高斯公式15、设u=x2+3y+yz，则div(graau)=__________．标准答案：2知识点解析：三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)16、求柱体x2+y2≤2x被x2+y2+z2=4所截得部分的体积．标准答案：，其中D={(x，y)｜x2+y2≤2x且y≥0}，用极坐标计算，在极坐标下于是知识点解析：暂无解析17、设平面薄片所占的区域D由抛物线y=x2及直线y=x所围成，它在(x，y)处的面密度ρ(x，y)=x2y，求此薄片的重心．标准答案：设此薄片的重心为，则知识点解析：暂无解析18、设平面区域σ由σ1与σ2组成，其中，σ1={(x，y)｜0≤y≤a—x，0≤x≤a}，σ2={(x，y)｜a≤x+y≤b，x≥0，y≥0)，如图1．6—1所示，它的面密度试求(1)该薄片σ的质量m；(2)薄片σ1关于y轴的转动惯量I1与σ2关于原点的转动惯量J0．标准答案：(1)根据重积分的分块可加性，得薄片σ的质量注意到直线y=a一x与y=b一x在极坐标系中的方程为因此，薄片σ的质量为(2)薄片σ1关于y轴的转动惯量知识点解析：暂无解析设A为m×n阶实矩阵，且r(A)＝n．证明：ATA的特征值全大于零．19、设A为m×n阶实矩阵，且r(A)＝n．证明：ATA的特征值全大于零．标准答案：首先ATA为实对称矩阵，r(ATA)＝n，对任意的X＞0，XT(ATA)X＝(AX)T(AX)，令AX＝α，因为r(A)＝n，所以α≠0，所以(AX)T(AX)＝αTα＝｜α｜2＞0，即二次型XT(ATA)X是正定二次型，ATA为正定矩阵，所以ATA的特征值全大于零．知识点解析：暂无解析20、标准答案：如图1．6—5，则知识点解析：暂无解析21、标准答案：如图1．6-6，则知识点解析：暂无解析22、标准答案：如图1．6—7，D=D1+D2，其中知识点解析：暂无解析23、标准答案：如图1．6—8，知识点解析：暂无解析24、设二次型f＝2x12＋2x22＋ax32＋2x1x2＋2bx1x3＋2x2x3经过正交变换X＝QY化为标准形f＝y12＋y22＋4y32，求参数a，b及正交矩阵Q．标准答案：二次型f＝2x12＋2x22＋ax32＋2x1x2＋2bx1x3＋2x2x3的矩阵形式为f＝XTAX知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．标准答案：A所对应的二次型为f＝XTAX，因为A是实对称矩阵，所以存在正交变换X＝QY，使得，其中λi＞0(i＝1，2，…，n)，对任意的X≠0，因为X＝QY，所以Y＝QTX≠0，于是f＝λ1y12＋λ2y22＋…＋λnyn2＞0，即对任意的X≠0有XTAX＞0，所以XTAX为正定二次型，故A为正定矩阵．知识点解析：暂无解析27、设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶实矩阵．证明：BTAB正定的充分必要条件是r(B)＝n．标准答案：因为(BTAB)T＝BTAT(BT)T＝BTAB，所以BTAB为对称矩阵，设BTAB是正定矩阵，则对任意的X≠0，XTBTABX＝(BX)TA(BX)＞0，所以BX≠0，即对任意的X≠0有BX≠0，或方程组BX＝0只有零解，所以r(B)＝n．反之，设r(B)＝n，则对任意的X≠0，有BX≠0，因为A为正定矩阵，所以XT(BTAB)X＝(BX)TA(BX)＞0，所以BTAB为正定矩阵．知识点解析：暂无解析28、计算标准答案：知识点解析：暂无解析29、设其中D为正方形域0≤x≤1，0≤y≤1．标准答案：知识点解析：暂无解析30、设函数f(x)，g(x)在[a,b]上连续且单调增，证明：标准答案：知识点解析：暂无解析31、设f(x，y)是{(x，y)｜x2+y2≤1)上的二阶连续可微函数，满足，计算积分标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、化为极坐标系中的累次积分为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由y=可得x2+(y-1)2=1(y≥1)，所以积分区域D是圆x2+(y-1)2≤1的右半圆在直线y=x上方的部分，于是，其极坐标形式为2、设D由直线x=0，y=0，x+y=1围成，已知=()A、2B、0C、D、1标准答案：B知识点解析：由3、曲线积∮C(x2+y2)ds，其中c是圆心在原点，半径为a的圆周，则积分值为()A、2πa2B、πa3C、2πa3D、4πa3标准答案：C知识点解析：C：x2+y2=a2，周长lC=2πa，∮C(x2+y2)ds=∮Ca2ds=a2.lC=2πa3．4、设∑：x2+y2+z2=a2(z≥0)，∑1为∑在第一卦限的部分，则有()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：∑关于yOz面，zOx面对称，当f(x，y，z)关于变量x或变量y成奇函数时，r(x，y，z)dS=0，但f(x，y，z)=z关于变量x，y都是偶函数，因此5、设()A、与L的取向无关，与a，b的值有关B、与L的取向无关，与a，b的值无关C、与L的取向有关，与a，b的值有关D、与L的取向有关，与a，b的值无关标准答案：D知识点解析：因，故在以L为边界的区域D内，有偏导数不存在的点(0，0)，可取C为包含原点但含于L内部并与L同向的曲线，此刻在L与C所围区域D1上应用格林公式，当L+C-为D1正向闭曲线时，取“+”号，否则取“-”号．因D1上，此积分与C的方向即L的方向有关，但与a，b无关．6、设∑是yOz平面上的圆域y2+z2≤1，则(x4+y4+z4)dS为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因∑：x=0，且x2+y2≤1．故Dyz：y2+z2≤1，，从而二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)7、设C为闭域D的正向边界闭曲线，则∮C(-y)dx+(xsiny2)dy可通过A(A为D的面积)表示为________标准答案：2A知识点解析：因P=由格林公式，原式=8、向量场A(x，3x，2y)在点M(x，y，z)处的旋度rotA=_______标准答案：(2，1，3)知识点解析：设向量场A=Pi+Qj+Rk，则因P=z，Q=3x，R=2y，则9、空间曲线x=3t，y=3t2，z=2t3从O(0，0，0)到A(3，3，2)的弧长为______标准答案：5知识点解析：10、已知F=x3i+y3j+z3k，则在点(1，0，-1)处的divF为_________标准答案：6知识点解析：设向量场F=Pi+Qj+Rk，则在点M(x0，y0，z0)处三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)11、将化为先y，再x，后z的三次积分，其中f为连续函数．标准答案：y，z的积分区域为Dyz：0≤y≤1x，0≤z≤x+y(x视为[0，1]上的一个常数)，换序后Dyz=D1∪D2，D1：0≤z≤x，0≤y≤1-x；D2：x≤z≤1,z-x≤y≤1-x，故知识点解析：暂无解析12、求函数f(x，y，z)=x2+y2+z2在区域x2+y2+z2≤z+y+z内的平均值．标准答案：区域x2+y2+z2≤x+y+z，即，其体积知识点解析：暂无解析13、计算曲线积分其中L圆周(x-1)2+y2=2，其方向为逆时针方向．标准答案：由于z=y=0时，被积函数无意义，故L所包围的区域不满足格林公式的条件，作一小圆挖去原点(0，0)，作逆时针方向的圆周l：x=rcosθ，y=rsinθ，0≤θ≤2π，使l全部被L所包围，在L和l为边界的区域D内，根据格林公式，有知识点解析：暂无解析设f(x，y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数，即对任何x，y，t下式成立f(tx，ty)=t2f(x，y)．14、证明：标准答案：方程f(tx，ty)=t2f(x，y)两边对t求导得xf’1(tx，ty)+yf’2(tx，ty)=2tf(x，y)，再对t求导得，x[sf’’11(tx,ty)+yf’’12(tx，ty)]+y[xf"21(tx，ty)+yf’’22(tx，ty)]=2f(x，y)于是tx[txf’’11(tx,ty)+tyf’’12(tx，ty)]+ty[txf’’21(tx，ty)+tyf’’22(tx，ty)]=2t2f(x，y)=2f(tx，ty)由此得x2f’’xx(x，y)+2xyf’’xy(x，y)+y2f’’yy(x，y)=2f(x，y).即结论成立.知识点解析：暂无解析15、设D是由L：x2+y2=4正向一周所围成的闭区域，证明：∮Lf(x,y)dx=∫∫Ddiv[gradf(x,y)]dσ标准答案：由xf’1(tx，ty)+yf’2(tx，ty)=2tf(x，y)得txf’1(tx，ty)+tyf’2(tx，ty)=2t2f(x，y)，即xf’x(x，y)+yf’x(x，y)=2f(x，y)，又div[gradf(x，y)]=，故知识点解析：暂无解析16、设L为曲线x2+y2=R2(常数R＞0)一周，n为L的外法线方向向量，u(x，y)具有二阶连续偏导数且标准答案：如图1．6-13所示，设τ0=(cosa，sina)为L沿逆时针方向的单位向量．将它按顺时针方向转，便得L的法线方向的单位向量为n0=(sina，-cosa)．方向导数其中D={(x，y)｜x2+y2≤R2}为L所围成的有界区域．知识点解析：暂无解析17、已知平面区域D={(x，y)｜x2+y2≤1)，L为D的边界正向一周．证明：标准答案：有两个方法．方法一(参数法)方法二(格林公式法)知识点解析：暂无解析18、计算的上半部分的上侧．标准答案：方法一(逐个投影法)先计算I1=为此，应将S投影到yOz平面．记用极坐标计算．y=brcosθ，z=crsinθ，0≤θ≤π，0≤r≤1，则为此，将S投影到zOx平面，也需将S剖分为左、右两个：它们在zOx平面上的投影均为方法二(加、减曲面片高斯公式法)添加曲面片知识点解析：暂无解析19、设S为平面x-y+z=1介于三坐标平面间的有限部分，法向量与z轴交角为锐角，f(x，y，z)连续，计算I=∫∫S(x，y，z)+x]dydz+[2f(x，y，z)+y]dzdx+[f(x，y，z)+z]dxdy．标准答案：将S投影到xOy平面，其投影域(如图1．6-14)为D={(x，y)｜x-y≤1，x≥0，y≤0}．从S的方程解出z=1-x+y．方法一化成第一型曲面积分，S与z轴交角为锐角的法向量为n=(1，-1，1)，n0=(1，-1，1)，则方法二直接将该积分化为一个二重积分．由知识点解析：暂无解析20、计算I=∮L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz，其中L是平面x+y+z=2与柱面｜x｜+｜y｜=1的交线，从z轴正向看L，L是逆时针方向．标准答案：方法一封闭曲线积分容易想到斯托克斯公式法．用斯托克斯公式，取平面x+y+z=2被L所围成的有界部分为绷在L上的曲面S，按斯托克斯公式，S的法向量与z轴正向的交角应为锐角．I=∮L(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz=∫∫S(-2y-4z)dydz+(-2z-6x)dzdx+(-2x-2y)dxdy．①方法1．1改换成第一型曲面积分，S的单位法向量Dxy既对称于x轴，又对称于y轴，所以分别令y≥0，y≤0，2-y-z≥0，2-y-z≤0，可得Dyz的4条边的方程，从而Dyz可改写为将第2个积分的S投影到zOx平面上去，其中Dxy={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，所以I3=0．从而I=I1+I2+I3=-24．方法二(用参数式计算)由于L是由4个直线段构成的四边形，所以用参数式计算时，要一段段计算．L：｜x｜+｜y｜=1，z=2-x-y．当x≥0，y≥0时，L1：y=1-x，z=2-x-y=1，x从1到0，方法三(降维法)将L所在的方程z=2-x-y代入曲线积分以降低一维，降为其中L1为L在zOy平面上的投影：｜x｜+｜y｜=1，Dxy={(x，y)｜｜x+｜y｜≤1}．最后得到-24．知识点解析：暂无解析21、在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asinx(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．标准答案：令I’(a)=4(a2-1)=0，得a=1(a=-1舍去)，且a=1是I(a)在(0，+∞)内的唯一驻点，又由于I’’(1)=8＞0，所以I(a)在a=1处取到最小值，因此所求曲线是y=sinx(0≤x≤π)．知识点解析：暂无解析22、证明：对于曲线积分的估计式为｜∫LPdx+Qdy｜≤lM，式中l为积分曲线段长度，并证明标准答案：因为∫LPdx+Qdy=∫LF.ds，这里F=(P，Q)，ds=(dx，dy)，｜F｜=，｜ds｜=ds所以在曲线x2+y2=R2上，知识点解析：暂无解析在下列区域D上，是否存在原函数?若存在，求出原函数．23、D：x2+y2＞0；标准答案：存在原函数．记P=D：x2+y2＞0不是单连通的，则((x，y)∈D)不是∫LPdx+Qdy在D内积分与路径无关的充分条件．事实上，若取闭曲线C：x2+y4=r4，逆时针方向，则知识点解析：暂无解析24、D：y＞0；标准答案：D：y＞0是单连通的，在D上与路径无关，存在原函数．知识点解析：暂无解析25、D：x＜0．标准答案：同理，存在原函数，可求得原函数为，其中C，为任意常数．知识点解析：暂无解析26、计算∫∫Sx2ds，其中S为圆柱面x2+y2=a2介于z=h和z=h之间的部分．标准答案：由轮换对称性，，从而知识点解析：暂无解析27、计算曲面积分(x3+az2)dydz+(y3+ax2)dzdx+(z3+ay2)dxdy，其中∑为上半球面的上侧．标准答案：记S为平面z=0(x2+y2≤a2)的下侧，Ω为∑与S所围成的空间区域．知识点解析：暂无解析考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设I=(x2+y2≠0)，则()A、对于任何不过坐标原点的闭曲线L，恒有I=0．B、对积分在x2+y2＞0上与路径无关．C、对于任何不过坐标原点的闭曲线L，I≠0．D、当L围成区域D不包含坐标原点时，I=0，其中L为分段光滑的简单闭曲线．标准答案：D知识点解析：当L围成的区域D不包含坐标原点时，由格林公式得故选D．2、累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr可以写成()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr可知，积分区域D为D={(r，θ)｜0≤r≤cosθ，0≤θ≤}．由r=cosθ为圆心在x轴上，直径为1的圆．可作出D的图形如图6—1所示．该圆的直角坐标方程为可见A、B、C均不正确，故选D．3、设g(x)有连续的导数，g(0)=O，g’(0)=a≠0，f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由积分中值定理知4、设f(x)为连续函数，F(t)=∫1ldy∫ylf(x)dx，则F’(2)等于()A、2f(2)．B、f(2)．C、一f(2)．D、0．标准答案：B知识点解析：交换累次积分的积分次序，得F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx=∫1tdx∫1tf(x)dy=∫1t(x一1)f(x)dx．于是F’(t)=(t一1)f(t)，从而F’(2)=f(2)．故选B．5、已知由线积分+[f(x)一x2]dy与路径无关，其中f(x)有连续一阶导数，f(0)=1，则∫(0,0)(1,1)yf(x)dx+[f(x)一x2]dy等于()A、3e+1．B、3e+5．C、3e+2．D、3e一5．标准答案：D知识点解析：由于曲线积分yf(x)dx+[f(x)一x2]dy与路径无关，则f(x)=f’(x)一2x，即f’(x)一f(x)=2x．f(x)=e∫dx[∫2xe—∫dxdx+C]=ex∫2xe—xdx+C]=ex[一2e—x一2xe—x+C]，由f(0)=1知，C=3，故f(x)=3ex一2x一2．因此∫(0,0)(1,1)yf(x)dx+[f(x)一x2]dy=∫01[f(1)一1]dy=f(1)一1=3e一5．6、设有平面闭区域，D={(x，y)}一a≤x≤a，x≤y≤a}，D1={(x，y)}0≤x≤a，x≤y≤a}，则(xy+cosxsiny)dxdy=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：将闭区间D={(x，y)｜一a≤x≤a，c≤y≤a}按照直线y=一x将其分成两部分D2和D3，如图6—2所示，其中D3关于y轴对称，D2关于x轴对称，xy关于x和y均为奇函数，因此在D，和D2上，均有∫∫xydxdy=0．而cosxsiny是关于x的偶函数，关于y的奇函数，在D3积分不为零，在D2积分值为零．因此7、累次积分∫01dx∫x1f(x，y)dy+∫12dy∫02—yf(x，y)dx可写成()A、∫02dx∫x2—xf(x，y)dy．B、∫01dy∫02—yf(x，y)dxC、∫01dx∫x2—xf(x，y)dy．D、∫01dy∫y2—yf(x，y)dx．标准答案：C知识点解析：原积分域为直线y=x，x+y=2，与y轴围成的三角形区域，故选C．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)8、设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分∫Lxdy一2ydx的值为_________．标准答案：知识点解析：正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，可表示为9、设曲线C为圆x2+y2=R2，则曲线积分∮C(x2+y2+2xy)ds=_________．标准答案：2πR2知识点解析：利用奇偶性和对称性可得，∮2xyds=0．则有∮C(x2+y2+2xy)ds=∮C(x2+y2)ds=∮CR2ds=R2.2πR=2πR310、已知曲线L：y=x2(0≤x≤)，则∫Lxds=_________．标准答案：知识点解析：11、已知曲线L为圆x2+y2=a2在第一象限的部分，则∫Lxyds=_________．标准答案：知识点解析：12、设L为椭圆等=1，其周长记为a，则∮L(2xy+3x2+4y2)ds=_________。标准答案：12a知识点解析：将椭圆方程=1化简为3x2+4y2=12，则有则有∮L(2xy+3x2+4y2)ds=∮L(2xy+12)ds=2∮Lxyds+12a，由于L关于x轴对称，且xy关于y是奇函数，所以第一个积分∮Lxyds=0．因此，原式=12a．13、已知曲线L为曲面z=与x2+y2=1的交线，则∮Lx2y2z2ds=_________．标准答案：知识点解析：14、已知曲线L的方程为y=1一｜x｜，x∈[一1，1]，起点是(一1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分∫Lxydx+x2dy=_________．标准答案：0知识点解析：令15、设L是正向圆周x2+y2=9，则曲线积分∮L(2xy一2y)dx+(x2—4x)dy=_________。标准答案：一18π知识点解析：由格林公式知，16、设c为椭圆=_________．标准答案：2π知识点解析：17、设C为曲线y=的曲线段，则∫Ccosy2dx一2xysiny2dy=_________．标准答案：一1知识点解析：因为(一2xysiny2)=一2ysiny2，则该曲线积分与路径无关．又cosy2dx一2xysiny2dy=d(xcosy2)，则∫Ccosy2dx—2xysiny2dy=xcosy2=一1．18、设L是柱面方程x2+y2=1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分∮Lxzdx+xdy+=_________．标准答案：π知识点解析：19、设从z轴正向往z轴负向看去为顺时针方向，则I=(z—y)dx+(x—z)dy+(z一y)dz=_________．标准答案：一2π知识点解析：原曲线参数方程为：x=cost，y=sint，z=2一cost+sint．故I=∫2π0[(2一cost)(一sint)+(2cost一2一sint)cost+cost一sint)Sint+cost)]dt=一2π．三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)20、设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy．标准答案：交换积分次序可得知识点解析：暂无解析21、计算曲面积分在柱体x2+y2≤2x内的部分．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设函数Q(x，y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并且对任意t恒有∫(0,0)(t,1)2xyydx+Q(x，y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)．标准答案：根据曲线积分和路径无关的条件，可知因此有Q(x,y)=x2+C(y)成立，其中C(y)为待定函数又因为∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy=∫01[t2+C(y)]dy=t2+∫01C(y)dy，∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x,y)dy=∫0t[t2+C(y)]dy=t2+∫0tC(y)dy，由已知可知t2+∫01C(y)dy=t+∫0tC(y)dy，两边对t求导可得2t=1+C(t)，即C(y)=2y一1，因此有Q(x，y)=x2+2y一1．知识点解析：暂无解析23、计算曲面积分(2x+z)dydz+zdxdy，其中S为有向曲面z=x2+y2(0≤z≤1)，其法向量与z轴正向的夹角为锐角．标准答案：用高斯公式，以S1表示法向量指向z轴负向的有向平面z=1(x2+y2≤1)，D为S1在xOy平面上的投影区域，则知识点解析：暂无解析24、计算二重积分(y+1)dσ，其中积分区域D由Y轴与曲线y=围成．标准答案：引入极坐标(r，θ)满足x=rcosθ，y=rsinθ，在极坐标(r，θ)中积分区域D可表示为知识点解析：暂无解析25、(1)计算I=绕z轴旋转一周所成的曲面与平面z=8所围成的区域．(2)计算曲线积分∮C(z—y)dx+(x一z)dy+(x一y)dz，其中C是曲线从z轴正向往z轴负向看，C的方向是顺时针的．(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N，在t=0时刻已掌握新技术的人数为x0，在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)将x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k＞0，求x(t)．标准答案：(1)利用柱面坐标，积分区域可以表示为(2)令x=cosθ，y=sinθ，则有z=2一x+y=2一cosθ+sinθ．由于曲线C是顺时针方向的，其起点和终点所对应的θ值分别为θ=2π和θ=0．因此∮C(x—y)dx+(x一z)dy+(x一y)dz=∫2π0一[2(sinθ+cosθ)一2cos2θ一1]dθ=一[2(一cosθ+sinθ)一sin2θ—θ]｜2π0=一2π．知识点解析：暂无解析26、计算的上侧。为大于零的常数．标准答案：令知识点解析：暂无解析27、求I=∫L[exsiny一b(x+y)]dx+(excosy一ax)dy，其中a，b为正的常数，L为从点A(2a，0)沿曲线y=到点O(0，0)的弧．标准答案：添加从点D(0，0)沿y=0到点A(2a，0)的有向直线L1，则其中D为L+L1所围成的半圆域．后一积分选择x为参数，得L1：y=0(0≤x≤2a)，可直接积分I2=∫02a(一bx)dx=一2a2b．因此I=I1一I2=．知识点解析：暂无解析28、设S为椭球面+z2=1的上半部分，点P(x，y，z)∈S，∏为S在点P处的切平面，ρ(x，y，z)为点O(0，0，0)到平面∏的距离，求．标准答案：令F(x，y，z)=+z2一1，设(X，Y，Z)为∏上任意一点，则∏的方程为F’x(X一x)+F’y(Y—y)+F’z(Z—z)=0，即知识点解析：暂无解析29、计算曲线积分I=，其中L是以点(1，0)为中心，R为半径的圆周(R＞1)，取逆时针方向．标准答案：知识点解析：暂无解析30、设对于半空间x＞0内任意的光滑有向封闭曲面s，都有xf(x)dydz—xyf(x)dzdx—e2xzdxdy=0，其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续的一阶导数，且=1，求f(x)．标准答案：由题设和高斯公式得知识点解析：暂无解析31、设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k＞0)，求球体的重心位置．标准答案：如图6—7所示，以Ω表示球体，以Ω的球心表示原点O，射线OP0为正x轴建立直角坐标系，则点P0的坐标为(R，0，0)，球面方程为x2+y2+z2=R2．知识点解析：暂无解析32、计算积分．标准答案：设二重积分区域为D，D1是D的第一象限部分，由对称性，得知识点解析：暂无解析33、计算I=∮L(y2一z2)dx+(2z2一x2)dy+(3x2一y2)dz，其中L是平面x+y+z=2与柱面｜x｜+｜y｜=1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向．标准答案：记s为平面x+y+z=2上L所围部分．由L的定向，按右手法则知S取上侧，S的单位法向量其中D为S在xy平面上的投影区域｜x｜+｜y｜≤1(如图6—8所示)．由D关于x，y轴的对称性及被积函数的奇偶性得知识点解析：暂无解析考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设∑是曲面被z=1割下的有限部分，则曲面积分的值为()A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：设∑1为∑在第一卦限部分的曲面Dxy：x2+y2≤1，x≥0，y≥0，用极坐标表示,因为∑关于yOz面，zOx面对称，函数｜yz｜关于变量x或y都为偶函数，故2、下列命题中不正确的是()A、设f(u)有连续导数，则在全平面内与路径无关B、设f(u)连续，则在全平面内与路径无关C、设P(x，y)，Q(x，y)在区域D内有连续的一阶偏导数，又在区域D内与路径无关D、在区域D={(x，y)｜(x，y)≠(0，0)}上与路径有关标准答案：C知识点解析：对于A，令P(x，y)=xf(x2+y2)，Q(x，y)=yf(x2+y2)，则全平面是单连通区域，故∫LPdx－Qdy在全平面内与路径无关．A正确．对于B，可求得被积函数的原函数为因而，∫L(x2+y2)(xdx+ydy)与路径无关．B正确．对于C，因区域D不一定是单连通区域，故C中积分不一定与路径无关．C不正确．对于D，取L为单位圆x2+y2=1，并取逆时针方向，则因而，积分与路径有关．D正确．仅C入选．3、设曲线L是区域D的正向边界，那么D的面积为()A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：本题考查用第二型曲线积分求平面面积，是一种比较新颖的提法，但是内容是经典的，主要看考生能否抓住数学知识之间的联系．(1)令P=一y，Q=x，则由格林公式得因而，D的面可表示为(2)令P=一y，Q=0，则由格林公式得(3)令P=0，Q=x，由格林公式得由上述三个面积的表达式知，答案选择A．4、设力f=2i一j+2k作用在一质点上，该质点从点M1(1，1，1)沿直线移动到点M2(2，2，2)，则此力所做的功为()A、2B、一1C、3D、4标准答案：C知识点解析：因为W=｜f｜.｜s｜.cosθ，故5、设曲线积分与路径无关，其中，f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于()A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：P=[f(x)一ex]siny，Q=一f(x)cosy．积分与路径无关，则即[f(x)一ex]cosy=一f’(x)cosy．又由f(0)=0解得6、设∑为球面x2+y2+z2=1的外侧，下面4个结论：其中正确的个数为()A、1个B、2个C、3个D、4个标准答案：C知识点解析：由对称性得于是由高斯公式得(由积分区域的对称性及被积函数的奇偶性)．7、设∑为球面(x一1)2+y2+(z+1)2=1，则第一型曲面积分()A、4πB、2πC、πD、0标准答案：A知识点解析：是球面(x一1)2+y2+(z+1)2=1的形心坐标公式，而球面的形心在球心(1，0，一1)处，故8、设L是摆线上从t=0到t=2π的一段，则()A、一πB、πC、2πD、一2π标准答案：A知识点解析：设故曲线积分与路径无关．使用路径无关选路法，令，则二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)9、设f(u)具有连续的一阶导数，LAB为以为直径的左上半个圆弧，从A到B，其中点A(1，1)，点B(3，3)．则第二型曲线积分=_____________.标准答案：3π+4知识点解析：添直线段(即半圆的直径从B到A)，有10、设S为椭球面，已知S的面积为A，则第一型曲面积分=__________．标准答案：37A知识点解析：(2z+3y)2+(6z一1)2=4x2+9y2+36z2+12xy一12z+l，南于S分别对称于三个坐标平面，所以又在S上4x2+9y2+36z2=36，所以11、设封闭曲面S：x2+y2+z2=R2＞0)，法向量向外，则__________.标准答案：知识点解析：以S的方程代入被积函数，得令Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤R2}，由高斯公式，三、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)12、在下列区域D上，是否与路径无关是否存在原函数?若存在，求出原函数．(1)D：x2+y2＞0；(2)D：y＞0；(3)D：x＜0．标准答案：(1)D：x2+y2＞0不是单连通的，则在D内积分与路径无关的充分条件．事实上，若取闭C线C：x2+y2=r2，逆时针方向，则(2)D：y＞0是单连通的在D上与路径无关，存在原函数．知识点解析：暂无解析13、计算其中S为圆柱面x2+y2=a2介于z=0和z=h之间的部分．标准答案：由轮换对称性从而知识点解析：暂无解析14、设事件A，B独立．证明：事件是独立的事件组．标准答案：由A，B独立，得P(AB)一P(A)P(B)，由＝P(A—B)＝P(A)一P(AB)＝P(A)一P(A)P(B)＝P(A)[1一P(B)]＝，知识点解析：暂无解析15、设A，B同时发生，则C发生．证明：P(C)≥P(A)＋P(B)－1．标准答案：因为A，B同时发生，则C发生，所以，于是P(C)≥P(AB)，而P(A＋B)＝P(A)＋P(B)一P(AB)≤1，所以有P(AB)≥P(A)＋P(B)一1，于是P(C)≥P(A)＋P(B)－1．知识点解析：暂无解析16、设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份．随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表．(1)求先抽到的一份报名表是女生表的概率p；(2)设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率q．标准答案：(1)设Ai＝{所抽取的报名表为第i个地区的)(i＝1，2，3)，Bj＝{第j次取的报名表为男生报名表)(j＝1，2)，则知识点解析：暂无解析17、已知∑：z=z(x，y)，(x，y)∈D，求证：标准答案：因曲面z=z(x，y)在任一点(x，y，z)的法线向量为(一zx’，一zy’，1)，故又，利用两类曲面积分之间的关系，则得到知识点解析：暂无解析18、计算其中∑：x2+y2+z2=1．标准答案：利用高斯公式，设∑的外法线向量n=(cosα，cosβ，cosγ)，则对知识点解析：暂无解析19、计算其方向是从y轴正向看去为逆时针方向．标准答案：设x+y+z=1上圆的内部区域为S，法向量取向上．由斯托克斯公式：易知S指定侧的单位法向量为其中α，β，γ为n的方向角．由第一、二型曲面积分的联系，得其中｜S｜为圆S的面积．易知S的半径知识点解析：暂无解析20、设P(x，y)，Q(x，y)在全平面有连续偏导数，且对以任意点(x0，y0)为中心，以任意正数7．为半径的上半圆L：x=x0+rcosθ，y=y0+rsinθ(0≤θ≤π)，恒有求证：标准答案：设以任意点(x0，y0)为中心，以任意正数r为半径的上半圆的直径为AB，上半圆域为D，则知识点解析：暂无解析21、设球体x2+y2+z2≤2az(如图1．6—2)中任一点的密度与该点到坐标原点的距离成正比，求此球体的重心．标准答案：由于所给球体的质量分布关于z轴对称，所以它的重心位于z轴上，而密度是其中k是比例常数，因此可得采用球坐标计算这两个三重积分，将x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ代入球体的不等式，得0≤r≤2acosθ，且0≤φ≤2π，．则故所给球体的重心坐标为知识点解析：暂无解析22、设半径为R的球之球心位于以原点为中心、a为半径的定球面上(2a＞R＞0，a为常数)．试确定R为何值时前者夹在定球面内部的表面积为最大，并求出此最大值．标准答案：以定球球心为原点，两球心之连线为z轴建立坐标系，则两球面方程为定球：x2+y2+z2=a2；动球：x2+y2+(z-a)2=R2．知识点解析：暂无解析23、在密度为1的半球体的底面接上一个相同材料的柱体：一h≤z<0,x2+y2≤R2(h＞0)，试确定h值，使整个球柱体的重心恰好落在球心上．标准答案：Ω之重心为知识点解析：暂无解析24、有甲、乙两个口袋，两袋中都有3个白球2个黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取4个球，设4个球中的黑球数用X表示，求X的分布律．标准答案：设A＝{从甲袋中取出黑球}，X的可能取值为0，1，2，3，令{X＝i}＝Bi(i＝0，1，2，3)，则知识点解析：暂无解析25、设一设备在时间长度为t的时间内发生故障的次数N(t)～P(λt)．标准答案：知识点解析：暂无解析26、求，其中曲线为自点A(1，0，0)至点C(0，0，1)的长弧段．标准答案：知识点解析：暂无解析27、计算标准答案：知识点解析：暂无解析28、设一电路由三个电子元件串联而成，且三个元件工作状态相互独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为λ的指数分布，设电路正常工作的时间为T，求T的分布函数．标准答案：设三个元件正常工作的时间为Ti(i＝1，2，3)，T1，T2，T3相互独立且其分布函数都是当t＞0时，令A＝{T1≤t)，B＝{T2≤t)，C＝{T3≤t)，且A，B，C独立，则FT(t)＝P(T≤t)＝P(A＋B＋C)．P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)－P(AB)一P(AC)一P(BC)＋P(ABC)，P(A)＝P(B)＝P(C)＝1－e－λt，FT(t)＝3(1－e－λt)一3(1一e－λt)2＋(1－e－λt)3，于是知识点解析：暂无解析29、设随机变量X满足｜X｜≤1，且，在{一1＜X＜1)发生的情况下，X在(一1，1)内任一子区间上的条件概率与该子区间长度成正比．标准答案：知识点解析：暂无解析30、设f(x)在[0，1]上连续，试证：标准答案：因为f(x)在[0，1]上连续，所以在[0，1]上存在原函数．设F’(t)=f(t)(t∈[0，1])，则知识点解析：暂无解析31、设f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分在全平面与路径无关，且求f(x，y)．标准答案：(1)∫L(x，y)dx+xcosdy在全平面与路径无关积分得f(x，y)=siny+C(x)．(2)求f(x，y)转化为求C(x)．知识点解析：暂无解析32、设曲线C：x2+y2+x+y=0，取逆时针方向，证明：标准答案：关于第二型曲线积分的估值问题，一般是先考虑用格林公式将其转化为二重积分，然后就二重积分进行估值．由格林公式，有知识点解析：暂无解析33、设L是平面单连通有界区域σ的正向边界线，n0是L上任一点(x，y)处的单位外法向量．设平面封闭曲线L上点(x，y)的矢径r=xi+yj，r=｜r｜，θ是n0与y的夹角，试求标准答案：本题考查第一型和第二型曲线积分之间的转化关系．注意到第二型曲线积分要考虑曲线L在其上点(x，y)处的单位切向量，设其为τ0=cosαi+cosβj．因为曲线L在其上点(x，y)处的法向量n0与切线向量τ0互相垂直，并使闭曲线L取正向，故取n0=cosβi—cosαj．根据两向量内积的定义及dx=cosαds，dy=cosβds，得知识点解析：暂无解析34、求矢量穿过曲面∑的通量，其中三为曲线绕z轴旋转一周所形成旋转曲面的外侧在1≤z≤2间部分．标准答案：添加辅助曲面∑1：z=2(x2+y2≤4)取上侧，∑2：z=1(x2+y2≤1)取下侧．∑+∑1+∑2形成封闭曲面，所围区域记为Ω，则由高斯公式知识点解析：暂无解析35、设函数f(x)在[0，+∞)上连续，若对任意的t∈(0，+∞)恒有其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)是Ω(t)在xOy平面上的投影区域，∑(t)是球域Ω(t)的表面，L(t)是D(t)的边界曲线．证明：f(x)满足且f(0)=0．标准答案：D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2)，∑(t)(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2=t2)，L(t)={(x，y)｜x2+y2=t2}，且知识点解析：暂无解析36、设(1)通过将f(r，t)化为对θ的定积分，其中0≤θ≤2π；(2)求极限标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设∑为x+y+z=1在第一卦限部分的下侧，则(x2+z)dxdy等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：∑：z=1-x-y，Dxy：0≤y≤1-x，0≤x≤1．则2、设函数P(x，y)，Q(x，y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数，L为D内曲线，则曲线积分∫LPdx+Qdy与路径无关的充要条件为()A、Pdx+Qdy是某一函数的全微分B、∮CPdx+Qdy=0，其中C．x2+y2=1在D内C、D、标准答案：A知识点解析：在单连通域D中，Pdx+Qdy在D内与路径无关∮CPdx+Qdy=0，其中C为D内任意闭曲线Pdx+Qdy为某一函数的全微分．故选(A)．3、设C为从A(0，0)到B(4，3)的直线段，则∫C(x-y)ds为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：．只有选项(B)正确．4、设∑是部分锥面：x2+y2=z2，0≤z≤1，则曲面积分(x2+y2)dS等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因0≤x≤1，故∑：5、曲线积分(2xcosy+ysinx)dx-(x2sinynacosx)dy，其中曲线为位于第一象限中的圆弧x2+y2=1，A(1，0)，B(0，1)，则I为()A、0B、-1C、-2D、2标准答案：C知识点解析：P=2xcosy+ysinx，=-2xsiny+sinx，Q=-(x2siny+cosx)，=-2xsiny+sinx．因．故该曲线积分与路径无关．取O(0，0)，则：x=0，0≤y≤1．故6、设曲线T为x2+y2+z2=1，z=z0(｜z0｜＜1)，由z轴正向看去为逆时针方向，则曲线积分∫T(x2+yz)dx+(y2+xz)dy+(z2+xy)dz的值为()A、0B、1C、-1D、12标准答案：A知识点解析：设P=x2+yz，Q=y2+xz，R=z2+xy．则由斯托克斯公式，其中∑是平面z=z0内且以曲线Г为边界的那部分的上侧．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)7、设∑是平面3x+2y+=6在第一卦限部分的下侧，则化成对面积的曲面积分为I=________标准答案：知识点解析：∑指定侧法向量n=(-3，-2，)，n的方向余弦由两类曲面积分的联系，8、设光滑曲面∑所围闭域Ω上，P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)有二阶连续偏导数，且∑为Ω的外侧边界曲面，由高斯公式可知的值为________标准答案：0知识点解析：因P，Q，R在Ω上有二阶连续偏导数，故R’’yx=R’’xy，Q’’zx=Q’’xz，P’’zy=P’’yz，从而用高斯公式原式=9、设u=x2+3y+yz，则div(gradu)=______标准答案：2知识点解析：10、设曲线г：x=acost，y=asint，z=bt(0≤t≤2π)，则∫г(x2+y2)ds=_______标准答案：知识点解析：由第一型曲线积分公式知：三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)11、计算，绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域．标准答案：旋转曲面的方程为：．因此知识点解析：暂无解析12、计算，其中∑为球面x2+y2+z2=1的外侧．标准答案：方法一(利用对称性并直接计算)由球面∑的对称性，知方法二(第二型化第一型)球面∑：x2+y2+z2=1的外侧单位法向量为n0=(x，y，z)，将第二型曲面积分化为第一型曲面积分，得由对称性知知识点解析：暂无解析13、已知∑：z=z(x，y)，(x，y)∈D，求证：标准答案：因曲面z=z(x，y)在任一点(x，y，z)的法线向量为(-z’x，-z’y，1)，故知识点解析：暂无解析14、计算(ax2+by2+cz2)dS，其中∑：x2+y2+z2=1．标准答案：方法一利用高斯公式，设∑的外法线向量n=(cosα，cosβ，cosγ)，则对(x，y，z)∈∑，cosα=x，cosβy，cosγ=z，因此利用高斯公式，有知识点解析：暂无解析15、计算I=∫L+ydx+zdy+xdz，其中L+为曲线其方向是从y轴正向看去为逆时针方向．标准答案：设x+y+z=1上圆的内部区域为S，法向量取向上．由斯托克斯公式：易知S指定侧的单位法向量为n=其中α，β，γ为n的方向角．由第一、二型曲面积分的联系，得其中｜S｜为圆S的面积．易知S的半径R=知识点解析：暂无解析16、设P(x，y)，Q(x，y)在全平面有连续偏导数，且对以任意点(x0，y0)为中心，以任意正数r为半径的上半圆L：x=x0+rcosθ，y=y0+rsinθ(0≤θ≤π)，恒有∫LP(x，y)dx+Q(x，y)dy=0．求证：标准答案：设以任意点(x0，y0)为中心，以任意正数r为半径的上半圆的直径为AB，上半圆域为D，则其中M1∈D为某一点．又知识点解析：暂无解析17、设球体x2+y2+z2≤2az(如图1．6-2)中任一点的密度与该点到坐标原点的距离成正比，求此球体的重心．标准答案：由于所给球体的质量分布关于z轴对称，所以它的重心位于z轴上，而密度是其中k是比例常数，因此可得xG=yG=0，米用球坐标计算这两个三重积分，将x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ代入球体的不等式，得0≤r≤2acosθ，且0≤φ≤2π,0≤θ≤．则故所给球体的重心坐标为知识点解析：暂无解析18、设半径为R的球之球心位于以原点为中心、a为半径的定球面上(2a＞R＞0，a为常数)．试确定R为何值时前者夹在定球面内部的表面积为最大，并求出此最大值．标准答案：以定球球心为原点，两球心之连线为z轴建立坐标系，则两球面方程为定球：x2+y2+z2=a；动球：x2+y2+(z-a)2=R2．两球交线为该交线在xOy平面上的投影圆：x2+y2=(4a2-R2)．设动球夹在定球内部的表面积为S．对于动球故当R=时，动球夹在定球内部的表面积S最大，最大值为知识点解析：暂无解析19、在密度为1的半球体的底面接上一个相同材料的柱体：-h≤z＜0，x2+y2≤R2(h＞0)，试确定h值，使整个球柱体的重心恰好落在球心上．标准答案：Ω之重心为．而知识点解析：暂无解析20、设，计算(1)gradu；(2)div(gradu)；(3)rot(gradu)．标准答案：知识点解析：暂无解析21、如果向量场A(x，y，z)=是有势场，求常数a，b的值A的势函数u．标准答案：有势场是旋度恒为零的向量场，由rotA=0即可求得有关量．由得a=1，b=0．由于知识点解析：暂无解析22、求，自点A(1，0，0)至点C(O，0，1)的长弧段．标准答案：方法一(加、减弧段斯托克斯公式法)添直线段(如图1．6-15)，由斯托克斯公式，记S为平面x+y+z=1上由L∪所围成的曲面，法向量与z轴交角为锐角，于是换成第一型曲面积分，n0=(cosα，cosβ，cosγ)=(1，1，1)，于是方法二(参数法)L的参数式可写成知识点解析：暂无解析23、计算标准答案：知识点解析：本题考查三重积分的精确定义，类比于定积分和二重积分，我们首先给出三重积分的精确定义：这里的Ω不是一般的空间有界闭区域，而是一个“长方体区域”．于是，给出“凑三重积分定义”的步骤如下：24、设Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤1)，求标准答案：由轮换对称性可知，知识点解析：暂无解析25、计算三重积分｜x2+y2+z2-1｜dv，其中Ω=((x，y，z)｜x2+y2+z2≤2}．标准答案：将Ω分解成Ω1：x2+y2+z2≤1和Ω2：1≤x2+y2+z2≤2，使被积函数在每个子区域内不变号，故知识点解析：暂无解析26、设f(x)在[0，1]上连续，试证：标准答案：因为f(x)在[0，1]上连续，所以在[0，1]上存在原函数．设F’(t)=f(t)(t∈[0，1])，则知识点解析：暂无解析27、计算∫г(x2+y2+z2)ds，其中标准答案：先写出参数式，0≤t≤2π，于是，知识点解析：暂无解析考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设平面区域D由曲线()A、2B、-2C、πD、-π标准答案：D知识点解析：如图1．6-1所示，用曲线y=-sinx将区域D划分为D1和D2两部分，则D1关于x轴对称，D2关于y轴对称，于是有由于区域D的面积与直线y=0，y=1，所围成矩形的面积相等，故SD=π，故应选(D)．2、已知，则I=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：积分区域由两部分组成(如图1．6-2)．设将D=D1∪D2视为Y型区域，则故应选(A)．3、Ω由x=0，y=0，z=0，x+2y+z=1所围成，则三重积分等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由被积函数与积分区域的特点，选择在直角坐标下先单积分后二重积分，最终化为三次单积分．Ω在xOy面上的投影域Dxy：，0≤x≤1．Ω的上下边界曲面方程分别为z=1-x-2y，z=0．故4、Ω是由x2+y2=z2与z=a(a＞0)所围成的区域，则三重积分在柱面坐标系下累次积分的形式为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：被积函数中出现x2+y2．积分区域的边界曲面方程中含有x2+y2．一般说来利用柱面坐标系计算三重积分较为简便，这是因为x2+y2=r2．Ω在xOy面上的投影域Dxy：x2+y2≤a2用极坐标可表示为Dr0：0≤r≤a，0≤θ≤2π．Ω的上、下边界曲面方程为：z=a，z=r，故5、设平面区域D由x=0，y=0，x+y=，则I1，I2，I2的大小顺序为()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I1＜I2标准答案：C知识点解析：在D内，所以ln(x+y)＜06、球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ax所围成立体体积等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为立体关于zOy面以及zOx面对称，故V=4V1，其中V1为立体在第一卦限部分的体积．V1在xOy面上的投影域为Dxy：x2+y2≤2ax且y≥0．此刻V1可看作以Dxy为底，以球面x2+y2+z2=4a2为曲顶的曲顶柱体体积，由二重积分的几何背景可知二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)7、若f(x，y)为关于x的奇函数，且积分区域D关于y轴对称，则当f(x，y)在D上连续时，必有=_______标准答案：0知识点解析：设连续函数z=f(x，y)关于x为奇函数(f(x，y)-=f(x，y))或关于x为偶函数(f(-x，y)=f(x，y))，积分区域D关于y轴对称，D1表示D的位于y轴右方的部分．则有同理当z=f(x，y)关于y为奇函数或偶函数，积分区域D关于x轴对称也有类似的结论．8、设f(x，y)为连续函数，则=_____，其中D：x2+y2≤t2标准答案：f(0，0)知识点解析：因被积函数f(x，y)在闭区