考研数学（数学三）模拟试卷4（共223题）

考研数学（数学三）模拟试卷4（共9套）（共223题）考研数学（数学三）模拟试卷第1套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设[x]表示不超过x的最大整数，则x=0是的()A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点标准答案：B知识点解析：，所以x=0是f(x)的跳跃间断点．2、设f(x)=3x3+x2｜x｜，则使f(n)(0)存在的最高阶数为()A、0B、1C、2D、3标准答案：C知识点解析：3、设f(x)满足，则f(x)()A、有极大值f(0)=－1及渐近线y=x．B、有极小值f(0)=1及渐近线y=x．C、有极大值f(0)=－1及渐近线y=－x．D、有极小值f(0)=1及渐近线y=－x．标准答案：A知识点解析：上式两边求导，得f(－x)=－x－e－x，所以f(x)=x－ex．fˊ(x)=1－ex，令fˊ(x)=1－ex=0，得x=0．fˊˊ(x)=－ex，fˊˊ(0)=－1＜0，所以x=0是f(x)的极大值点，极大值为f(0)=0－e0=－1．(答案排除B，D)所以斜渐近线的斜率为1，故答案选A．4、设函数f(x，y)在点P0(x0，y0)处的两个偏导数fˊx(x0，y0)，fˊy(x0，y0)都存在，则()A、f(x，y)在点P0处必连续B、f(x，y)在点P0处必可微C、D、标准答案：C知识点解析：由偏导数定义可知f(x，y0)在x=x0处连续，f(x0，y)在y=y0处连续，故答案应选C．5、设A为m×n矩阵，r(A)=n，则下列结论不正确的是()A、若AB=0，则B=0B、对任意矩阵B，总有r(AB)=r(B)C、存在B，使BA=ED、对任意矩阵B，总有r(BA)=r(B)标准答案：D知识点解析：对于选项(A)，因为AB=0r(A)+r(B)≤n，又r(A)=n，所以r(B)=0，所以B=0．排除．对于(B)，因为A为m×n矩阵，r(A)=n，所以A为列满秩矩阵，于是存在m阶可逆矩阵P，n阶矩阵Q，使PAQ=故排除(C)故选(D)．事实上，若取A=（1，－2，1）T，B=(1，1，1)，则r(A)=1，r(BA)=0≠r(B)=1．6、设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩r(A)=n－3，且α1，α2，α3为此方程组的三个线性无关的解，则下列向量组中可以作为Ax=0的基础解系的是()A、－α1，2α2，3α3+α1－α2B、α1+α2，α2－α3，α3+α1C、α1－2α2，3α3－α1，－3α3+2α2D、2α1+4α2，－2α2+α3，α3+α1标准答案：A知识点解析：因为r(A)=n－3，所以基础解系所含向量的个数为n－(n－3)=3；又由解的性质可知，四组备选答案中任何一组的三个向量均为解向量，现在要验证的是哪组解向量线性无关，又因为选项(A)中7、设二维随机变量(X，Y)～N(1，2；1，4；)，且P{aX+bY≤1)=，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：利用二维正态分布的性质得到aX+bY服从一维正态分布．又因为P{aX+bY≤1)=，所以E(aX+bY)=1，即a+26=1．选项中只有D满足此条件．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、________．标准答案：知识点解析：9、y=(x2－5x+6)｜x3－3x2+2x｜不可导点的个数为________个．标准答案：2知识点解析：本题考查y=(x－a)｜x－a｜在x=a点可导．y=(x2－5x+6)｜x3－3x2+2x｜=(x－2)(x－3)｜x(x－1)(x－2)｜，从而本函数有两个不可导点．10、设某商品的收益函数为R(p)，收益弹性为1+p+plnp(其中p是价格)，且R(1)=1，则R(p)=_________．标准答案：p1+p．知识点解析：1nR(p)=lnp+plnp+c=(p+1)lnp+c，再由R(1)=1可得c=0．则R(p)=pp+1．11、y=e2x+(1+x)ex是二阶常系数线性微分方程yˊˊ+ayˊ+βy=rex的一个特解，则α2+β2+r2=________．标准答案：14知识点解析：根据解的结构定理可得y=e2x+ex+xex．进而可求得α=－3，β=2，r=－1α2+β2+r2=14．12、，r(A)=2，则A*x=0的通解为________．标准答案：k1（1，0，－1）T+k2（5，3，4）T知识点解析：r(A)=2＜3r(A*)=1所以A*x=0的基础解系中有两个线性无关的解向量，A*A=｜A｜E=0，即A的每一列均为A*x=0的解，两个线性无关解为通解为13、设(X，Y)服从二维正态分布，其概率密度为f(x，y)=，－∞＜x＜+∞，－∞＜y＜+∞，概率P(X＜Y)=________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)14、设随机变量X的密度函数为f(x)，已知方差DX=1，而随机变量Y的密度函数为f(一y)，且X与Y的相关系数为一，记Z=X+Y，求(Ⅰ)EZ，DZ；(Ⅱ)用切比雪夫不等式估计P{｜Z｜≥2}．标准答案：(Ⅰ)EZ=E(X+Y)=EX+EY=∫-∞+∞xf(x)dx+∫-∞+∞yf(-y)dy∫-∞+∞xf(x)dx+∫-∞+∞(一u)f(u)(一du)=∫-∞+∞xf(x)dx—∫-∞+∞uf(u)du=0，DZ=D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)=DX+DY+．又DY=E(Y2)一(EY)2，其中EY=一EX，E(Y2)=∫-∞+∞y2f(-y)dy=∫-∞+∞(一u)2f(u)(一du)=∫-∞+∞u2f(u)du=E(X2)，则DY=E(X2)一(一EX)2=E(X2)一(EX)2一DX=1，知识点解析：暂无解析15、证明：标准答案：设g(x)=xcosx－sinx，则gˊ(x)=－xsinx＜0因此g(x)在内单调递减，又，所以在内g(x)＜0，故Fˊ(x)＜0，所以F(x)在内单调递减，从而知识点解析：暂无解析16、设二元函数f(x，y)=计算二重积分其中D={(x，y)｜x｜+｜y｜≤2}．标准答案：设区域D在第一象限的部分为D，由对称性可得记D1为x+y=1与x轴y轴所围部分，D2为D挖掉D1剩余部分，则知识点解析：暂无解析17、设函数y(x)在区间[0，+∞)上有连续导数，并且满足y(x)=－1+x+2(x－t)y(t)yˊ(t)dt求y(x)．标准答案：对所给方程变形方程两端对x求导，得yˊ(x)=1+2y(t)yˊ(t)dt，继续求导，得yˊˊ(z)x=2y(x)yˊ(x)，且y(0)=－1，yˊ(0)=1．微分方程不显含自变量x，令P=yˊ，方程可化为这是自变量可分离的微分方程，求得通解为P=y2+c1，即yˊ=y2+c1．由y(0)=－1，yˊ(0)=1可得，c1=0，从而yˊ=y2，所以再由y(0)=－1，得c2=1，故函数为所求特解．知识点解析：暂无解析18、讨论级数，α，β为常数的敛散性，若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛，并说明理由．标准答案：由于当n充分大时，保持定号，所以级数从某项起以后为交错级数．当α不是整数时，不论β取何值，总有，故级数发散；当α是整数时，有，所以利用比较判别法的极限形式得：当β≠0时，级数发散，又因为非增的趋于零，故由交错级数的莱布尼兹判别法知，级数收敛，且为条件收敛；当β=0时，级数显然收敛，且绝对收敛．知识点解析：暂无解析设α1，α2，α3，α4，β为四维列向量组，A=(α1，α2，α3，α4)，已知方程组Ax=β的通解是（－1，1，0，2）T+k（1，－1，2，0）T．19、β能否由α1，α2，α3线性表示?标准答案：设β=k1α1+k2α2+k3α3，则Ax=β有解（k1，k2，k3，0）T与（－1，1，0，2）T，又（1，－1，2，0）T为Ax=0的基础解系，因此（k1+1，k2－1，k3，－2）T=t（1，－1，2，0）T上式矛盾，所以β不能由α1，α2，α3线性表示．知识点解析：暂无解析20、求α1，α2，α3，α4，β的一个极大线性无关组．标准答案：由4－r(A)=1，知r(A)=3，即r(α1，α2，α3，α4，β)=3，所以α3与β都可由α1，α2，α4线性表示，故α1，α2，α3，α4，β的一个极大线性无关组为α1，α2，α4．知识点解析：暂无解析21、已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32－4x1x2－4x1x3+2ax2x3通过正交变换x=Qy化为标准形f(x1，x2，x3)=3y12+3y22+by32，求参数a，b及所用的正交变换．标准答案：本题主要考查特征值的性质及二次型通过正交变换化为标准形，是一道有一定难度的综合题．二次型的矩阵为由题设知矩阵A的特征值为λ1=3，λ2=3，λ3=b．由特征值的性质，解得a=－2，b=－3，从而矩阵A的特征值是3，3，－3．当λ=3时，对(3E－A)x=0的系数矩阵作初等行变换，其基础解系为α1=（－1，1，0）T，α2=（－1，0，1）T．当λ=－3时，对(－3E－A)=0的系数矩阵作初等行变换，其基础解系为α2=（1，1，1）T．将α1，α2，Schmidt正交化，令令Q=(γ1，γ2，γ3)，经过正交变换x=Qy，f(x1，x2，x3)化成标准形f(x1，x2，x3)=3y12+3y22－3y32．知识点解析：暂无解析设随机变量X，Y相互独立均服从正态分布N(0，σ2)，求22、的概率密度fz(z)；标准答案：先求Z的分布函数FZ(z)=P(Z≤z)=当z＜0时，FZ(z)=0；当z≥0时，知识点解析：暂无解析23、E(Z)和D(Z)．标准答案：知识点解析：暂无解析设总体X服从[0，θ]上的均匀分布．θ未知(θ＞0)，X1，X2，X3是取自X的一个样本，，求24、；标准答案：设X的分布函数为F(x)，则知识点解析：暂无解析25、．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)=∫0sinxsint2dt，g(x)=x3+x4，当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、等价无穷小B、同阶但非等价无穷小C、高阶无穷小D、低阶无穷小标准答案：B知识点解析：因为，所以正确答案为(B)．2、设f(x)连续可导,且，f(0)为f(x)的极值，则()．A、当f(0)=0时，f(0)是f(x)的极小值B、当f(0)=0时，f(0)是f(x)的极大值C、当f(0)＞0时，f(0)是f(x)的极大值D、当f(0)＜0时，f(0)是f(x)的极小值标准答案：A知识点解析：因为f(x)连续可导，所以由得f(0)+f’(0)=0．当f(0)≠0时，因为f’(0)≠0，所以f(0)不是极值，(C)，(D)不对；当f(0)=0时，f’(0)=0，由=f"(0)+f’(0)得f"(0)=1＞0，故f(0)为f(x)的极小值，选(A)．3、设f(x，y)=则f(x，y)在(0，0)处()．A、极限存在，但不连续B、连续，但不可偏导C、连续．可偏导，但不可微D、可微标准答案：C知识点解析：由0≤|f(x，y)|=|x|=0=f(0，0)，即f(x,y)在(0，0)处连续．由，得fx’(0，0)=0，同理fy’(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)处可偏导．因为不存在，所以f(x，y)在(0，0)处不可微，应选(C)．4、下列命题正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：5、下列结论正确的是()．A、若A，B特征值相同，则A～BB、矩阵A的秩与其非零特征值个数相等C、若A，B特征值相同，则A，B等价D、A，B的特征值相同且A，B都可对角化，则A～B标准答案：D知识点解析：因为|λE—A|=|λE一B|=λ2(λ一1)，所以A，B特征值相同，但r(A)=2≠r(B)=1，故A，B不相似，(A)不正确；对显然λ1=λ2=0，λ3=0，而r(A)=2，所以(B)不正确；由(A)，A，B特征值相同，A，B的秩不一定相等，故(C)不正确；设A，B的特征值相同且A，B都可对角化，令其特征值为λ1，λ2，…，λn因为A，B都可对角化，所以存在可逆阵P1，P2，使得P1-1AP1=P2-1BP2=从而有P1-1AP1=P2-1BP2，于是(P1P2-1)-1AP1P2-1=B，令P1P2-1=P，则P-1AP=B，即A～B，选(D)．6、设向量组α1,α2，α3线性无关，β1不可由α1，α2，α3线性表示，而β2可由α1，α2，α3线性表示，则下列结论正确的是()．A、α1，α2，β2线性相关B、α1，α2，β2线性无关C、α1，α2，α3，β1+β2线性相关D、α1，α2，α3，β1+β2线性无关标准答案：D知识点解析：因为β1不可由α1，α2，α3线性表示，而β2可由α1，α2，α3线性表示，所以β1+β2不可由α1，α2，α3线性表示，从而α1，α2，α3，β1+β2线性无关，故选(D)．7、设P(A|B)=P(B|A)=则()．A、事件A，B独立且P(A+B)=B、事件A，B独立且P(A+B)=C、事件A，B不独立且P(A+B)=D、事件A，B不独立且P(A+B)=标准答案：C知识点解析：P(A|B)=P(B|A)=得P(A)=P(B)，再由得P(A)=P(B)=，因为P(AB)≠P(A)P(B)，所以A，B不独立，故P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=选C．8、设连续型随机变量X的概率密度f(x)为偶函数，且F(x)=∫-∞xf(t)dt，则对任意常数a＞0，P{|X|＞a}为()．A、2-2F(a)B、1一F(a)C、2F(a)D、2F(a)一1标准答案：A知识点解析：P{|X|＞a}=1—P{|X|≤a}=1一P{一a≤X≤a}=1-F(a)+F(-a)．而F(一a)=∫-∞af(a)dx∫+∞af(一t)(一dt)=∫a+∞f(t)dt=1-∫-∞af(t)dt=1一F(a)，所以P{|X|＞a}=2—2F(a)，选(A)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设f(x)为连续函数，且f(1)=1．则=__________标准答案：知识点解析：10、标准答案：知识点解析：11、差分方程的通解为______．标准答案：知识点解析：对差分方程yx+1-ayx=kbx，当b≠a时，通解为当b=a时，通解为yx=kxbx-1+Cax，于是的通解为12、设u=ex+y+z，且y，z由方程∫0xdt+ln(1+y)=0及ey+z=e+lnz确定为x的函数，则=________标准答案：知识点解析：令x=0得y=0，z=1，将方程+ln(1+y)=0及ey+z=e+lnz对x求导得将x=0，y=0．z=1代入得13、设A=．且ABAT=E+2BAT，则B=_______．标准答案：知识点解析：由ABAT=E+2BAT，得ABAT=(AT)-1AT+2BAT，因为AT可逆，所以AB=(AT)-1+2B或B=(A一2E)-1(AT)-1=[AT(A一2E)]-1，解得B=14、设随机变量X，Y相互独立，且都服从(一1．1)上的均匀分布，令Z=max{X，Y}，则P{0＜Z＜1}=_______标准答案：知识点解析：因为X，Y都服从(一1，1)上的均匀分布，所以FZ(z)=P{Z≤z}=P{max(X，Y)≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}=FX(z)FY(z)，则于是P{0＜Z＜1}=FZ(1)一FZ(0)=三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设F(X)在[0，2]上连续，在(0，2)内三阶可导，且=2，f(1)=1，f(2)=6．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"’(ξ)=9．标准答案：由=2，得f(0)=0，f’(0)=2．作多项式P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得P(0)=0，P’(0)=2，P(1)=1，P(2)=6，解得，C=2，D=0．令φ(x)=f(x)一则φ(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且φ(0)=φ(1)=φ(2)=0．因此φ(x)在[0，1]和[1，2]上都满足罗尔定理的条件，则存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，使得φ’(ξ1)=φ’(ξ2)=0．又φ’(0)=0，由罗尔定理，存在η1∈(0，ξ1)，η2∈(ξ1，ξ2)，使得φ”(η1)=φ“(η2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(η1，η2)(0，2)，使得φ"’(ξ)=0．而φ"’(x)=f"’(x)一9，所以f"’(ξ)=9．知识点解析：暂无解析16、设u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由ex+ey=ez确定，其中f二阶连续可偏导，求标准答案：由ex+ey=ez得=2x(2yf11"+xey-xf12")+(ey-z一xex+y-2z)f2’+(z+xex-z)(2yf21"+xey-zf22")=4xyf11"+(2x2ey-z+2yz+2xyex-z)f12"+(ey-z—xex+y-2z)f2’+xey-z(z+xex-z)f22"．知识点解析：暂无解析17、设某工厂生产甲、乙两种产品，设甲、乙两种产品的产量分别为x和y(吨)，其收入函数为R=15x+34y—x2一2xy一4y2一36(万)，设生产甲产品每吨需要支付排污费用1万，生产乙产品每吨需要支付排污费用2万．(Ⅰ)在不限制排污费刚的情况下，这两种产品产量各为多少时总利润最大?求最大利润．(Ⅱ)当排污总费用为6万时，这两种产品产量各多少时总利润最大?求最大利润．标准答案：(Ⅰ)利润函数为L=R—C=15x+34y一x2-2xy-4y2—36一x-2y=14x+32y-x2一2xy一4y2-36．因为只有唯一一个驻点，且该实际问题一定有最大值，所以当时，利润达到最大，最大利润为L(4，3)=40(万)．(Ⅱ)令F(x，y，λ)=L(x，y)+λ(x+2y一6)，因为该实际问题一定有最大值，故当时，总利润最大，且最大利润为L(2，2)=28(万)．知识点解析：暂无解析18、设偶函数f(x)在x=0的邻域内二阶连续可导，且f(0)=1，f"(0)=4．证明：绝对收敛．标准答案：因为f(x)为偶函数，所以f’(一x)=一f’(x)，于是f’(0)=0．因为f(x)在x=0的邻域内二阶连续可导，所以f(x)=f(0)+f’(0)x++0(x2)，即f(x)-1=2x2+0(x2)，于是知识点解析：暂无解析19、求微分方程y"+y’一2y=xex+sin2x的通解．标准答案：特征方程为λ2+λ一2=0，特征值为λ1=一2，λ22=1，y"+y’一2y=0的通解为y=C1e-2x+C2ex．设y"+y’一2y=xex(*)y"+y’一2y=sin2x．(**)令(*)的特解为y1(x)=(ax2+bx)ex，代入(*)得．由y"+y’一2y=sin2x得y"+y’一2y=(1一cos2x)．显然y"+y’一2y=对y"+y’一2y=，令其特解为y=Acos2x+Bsin2x，代入得则y2(x)=，所以原方程的通解为知识点解析：暂无解析20、设矩阵A满足A(E—C-1B)TCT=E+A，其中B=求矩阵A．标准答案：由A(E—C-1B)TCT=E+A得A[C(E—C-1B)]T=E+A，即E+A=A(C—B)T，E=A[(C-B)一E]T，知识点解析：暂无解析21、设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3的秩为1，且(0，1，一1)T为二次型的矩阵A的特征向量．(Ⅰ)求常数a，b；(Ⅱ)求正交变换X=QY，使二次型XTAX化为标准形．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设随机变量X的分布律为P{X=k}=p(1-p)k-1(k=1，2，…)，Y在1～k之间等可能取值，求P{Y=3}．标准答案：令Ak={X=k}(k=1，2，…)，B={Y=3)，P(B|A1)=P(B|A2)=0，P(B|Ak)=(k≥3)，由全概率公式得知识点解析：暂无解析23、设X1，X2，…，Xn(n＞2)相互独立且都服从N(0，1)，Yi=Xi一(i=1，2，…，n)．求(Ⅰ)D(Yi)(i=1，2，…，n)；(Ⅱ)Cov(Y1，Yn)；(Ⅲ)P{Y1+Yn≤0}．标准答案：因为X1，X2，…，Xn独立且都服从正态分布，所以Y1+Y2服从正态分布，知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设x→0时，ex2一(ax2＋bx＋c)是比x2高阶的无穷小，其中a，b，c为常数，则()．A、a＝c＝1，b＝0B、a＝1，b＝2，c＝0C、a＝c＝2，b＝0D、a＝b＝1，c＝0标准答案：A知识点解析：利用等价无穷小代换ex2－x2－1～(x2)2／2简便求之．也可使用洛比达法则或泰勒展开式求之．解一由题设有故1－a＝0，b＝0，1－c＝0，即a＝c＝1，b＝0．仅(A)入选·解二由式①及[ex2－(ax2＋bx＋c)]＝0，所以1－c＝0即c＝1．于是解三利用ex2＝1＋x2＋x4／2＋0(x4)，得到故1－a＝0，b＝0，1－c＝0，即a＝1，c＝1，b＝0．仅(A)入选．2、设f(x)＝则()．A、f(x)在点x＝1处连续，在点x＝－1处间断B、f(x)点x＝1处间断，在点x＝－1处连续C、f(x)在点x＝1，x＝－1处连续D、f(x)在点x＝1，x＝一1处都间断标准答案：B知识点解析：依间断点定义和连续点定义判别．故f(x)在点x＝1处间断．而故f(x)在点x＝一1处连续．仅(B)入选．3、设f(x)＝则f(x)在点x＝0处()．A、极限不存在B、极限存在，但不连续C、连续，但不可导D、可导标准答案：C知识点解析：讨论分段函数在分段点的极限、连续及可导性问题，从分段点左、右两侧分别考虑．即：先求左、右极限，若二者存在且相等，则在该分段点极限存在；先求左、右极限，若二者存在且相等，：并等于分段点的函数值，则在该点处连续；先求左、右导数，若二者存在且相等，则在该分段点可导，否则函数在该点处不可导．故f(x)＝f(0)＝0．因而f(x)在点x＝0处连续．因不存在，故f(x)在点x＝0处不可导．仅(C)入选．注意有同学错选上例答案为(A)，原因是sin在x＝0处没有定义．这种看法错在哪里?自行回答．4、设函数f(x，y)连续，且f(x，y)＝xyf(x，y)dxdy＋15x2y2，则f(x，y)＝()．A、xy＋15x2y2B、7xy＋15C、15x2y2D、xy＋15x2y2标准答案：A知识点解析：显然被积函数待求，但由于积分区域确定，所给等式中出现的积分，其值为一常数．设A＝f(x，y)dxdy，在所给等式两端在区域｜x｜＋｜y｜≤1上二重积分即可求得结果．因积分区域｜x｜＋｜y｜≤1关于x与y轴均对称，故因而有xy＋15x2y2)dxdy，比较两端被积函数，得到f(x，y)＝xy＋15x2y2．仅(A)入选．5、设A＝，对A以列和行分块，分别记为A＝[α1，α2，α3，α4]＝[β1，β2，β3]T，其中≠0①，＝0②，有下述结论：(1)r(A)＝2；(2)α2，α4线性无关．(3)β1，β2，β3线性相关；(4)α1，α2，α3线性相关．上述结论正确的是()．A、(1)，(3)B、(2)，(3)C、(1)，(4)D、(2)，(4)标准答案：D知识点解析：由线性相关、线性无关的定义及其性质判别之．由式①知，向量[a12，a32]T与[a14，a34]T线性无关，由其性质知在其相同位置上增加相同分量所得的向量组仍线性无关，因而α2＝[a12，a22，a32]T，α4＝[a14，a24，a34]T线性无关．(2)正确．又由式②知，α1，α2，α3线性相关，(4)正确．但β1，β2，β3不能保证再线性相关，故(3)不正确．由式①不能得到r(A)＝2，只能得到r(A)≥2，但由②不能得到r(A)＜3，故(1)是错误的．综上所述，仅(D)入选．6、已知A为三阶矩阵，α1＝[1，2，3]T，α2＝[0，2，1]T，α3＝[0，t，1]T为非齐次线性方程组AX＝[0，0，1]T的三个解向量，则()．A、当t＝2时，r(A)＝1B、当t＝2时，r(A)＝2C、当t≠2时，r(A)＝1D、当t≠2时，r(A)＝2标准答案：C知识点解析：将向量关系式Aαi＝[0，0，1]T(i＝1，2，3)合并成矩阵等式AB＝C．如能求出t使B为满秩矩阵，则r(AB)＝r(A)＝r(C)，而r(C)可观察求出．先将一组向量关系式Aαi＝[0，0，1]T(i＝1，2，3)合并成一个矩阵等式AB＝C(矩阵关系式)，即A[α1，α2，α3]＝AB＝A＝C，其中B＝[α1，α2，α3]，C＝[β，β，β]，β＝[0，0，1]T．当t＝2时，B中的第2，3列成比例，故｜B｜＝0，r(B)＝2．当t≠2时，r(B)＝3，即可逆，故r(AB)＝r(A)＝r(C)＝1．仅(C)入选．7、连续抛掷一枚硬币，第k(k≤n)次正面向上在第n次抛掷时出现的概率为()．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：设事件A＝｛n次抛掷中有k次正面向上｝，A1＝｛第k次正面向上｝，A2＝｛前n一1次抛掷中有k一1次正面向上｝，则事件A发生等价于A1，A2同时发生，故A＝A1A2．又A1，A2相互独立，故P(A)＝P(A1)P(A2)．总共抛掷n次，其中有k次出现正面向上．设此事件为A，设在第n次抛掷时第k次正面出现的事件为A1，前n一1次抛掷中有k一1次正面向上的事件为A2．则复合事件A等价于A1与A2的乘积．又因A1，A2独立，故P(A)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)，即P(A)＝P(A1)P(A2)＝故所求概率为P(A)＝．仅(D)入选．8、设随机变量X的分布函数为又已知p(X＝1)＝1／4，则()．A、a＝5／16，b＝7／16B、a＝7／16，b＝9／16C、a＝1／2，b＝1／2D、a＝3／8，b＝3／8标准答案：A知识点解析：利用分布函数的定义及右连续性求之．由分布函数F(x)为右连续函数，得到F(－1＋0)＝F(－1)，即(ax＋b)＝－a＋b＝1／8①又F(1)＝P(X≤1)＝P(X＜1)＋P(X＝1)，而F(1)＝1，P(X＜1)＝F(1一0)＝(ax＋b)＝a＋b，P(X＝1)＝1／4，故a＋b＋1／4＝1②解①与②得到a＝5／16，b＝7／16．仅(A)入选．注意上例由于P(X＝1)＝1／4≠0(随机变量X取值X＝1的概率不为零)，则该随机变量就不是连续型的随机变量．因而不能认为对任何实数x，F(x)都连续．因而若认为F(1)＝F(1—0)或F(一1)＝F(一1—0)＝1／8均是错误的．选项(B)、(C)、(D)均是由上述错误导致的结果．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、＝__________．标准答案：1知识点解析：极限式中含幂指函数，首先用换底法将其化为以e为底的指数函数．原式＝10、已知f(x)是微分方程xf′(x)－f(x)＝满足初始条件f(1)＝0的特解，则f(x)dx＝__________．标准答案：知识点解析：按一般的思路先求出f(x)后再积分，但由于求f(x)工作量较大，可充分利用所给的有关信息，不用求f(x)而直接求出f(x)dx．先用分部积分法得到11、dx＝___________．标准答案：知识点解析：利用＋C求之较简．12、级数x2n－1的收敛域为__________．标准答案：[一2，2]知识点解析：所给级数为缺项幂级数，用比值判别法求其收敛半径，再讨论在其端点的敛散性．由比值判别法知，当｜x｜＜2时，所给级数收敛；当x＝2或x＝一2时，原级数成为交错级数，由莱布尼兹判别法知，这两个级数收敛．故原级数在区间[一2，2]上收敛，在(－∞，一2)、(2，＋∞)内发散．13、设，B是三阶非零矩阵，且BAT＝0则秩r(B)＝_________．标准答案：1知识点解析：先确定A的秩，再求B的秩．由BAT＝0，有r(B)＋r(AT)≤3，即r(B)＋r(A)≤3．又因B≠0，有r(B)≥1，因而r(A)≤3一r(B)≤3—1＝2．显然，矩阵A中有二阶子式不为0，有r(A)≥2．所以必然是r(A)＝2，从而r(B)≤3一r(A)＝3—2＝1，故r(B)＝1．14、设相互独立的两个随机变量X，Y具有同一分布律，且X的分布律为，则随机变量Z＝min｛X，Y｝的分布律为________．标准答案：知识点解析：先求出(X，Y)的联合分布律，再用同一表格法求出Z＝min｛X，y｝的分布律．由题设易求得P(X＝0，Y＝0)＝P11＝P(X＝0)P(Y＝0)＝(1／2).(1／2)＝1／4，P(X＝0，Y＝1)＝P12＝P(X＝0)P(Y＝1)＝(1／2).(1／2)＝1／4，P(X＝1，Y＝0)＝P21＝P(X＝1)P(Y＝0)＝(1／2).(1／2)＝1／4，P(X＝1，Y＝1)＝P22＝P(X＝1)P(Y＝1)＝(1／2).(1／2)＝1／4，故得到联合分布率为将其改写为同一表格形式为故得到Z＝min｛X，Y｝的分布律为三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、某三轮车厂每生产一付车架要搭配三付轮胎，设轮胎的数量为x，价格为p1，车架的数量为y，价格为P2，又设需求函数x＝63—0．25p1与y＝60－p2，成本函数为C(x，y)＝x2＋xy＋y2＋90．求该厂获最大利润时的产量与价格．标准答案：由需求函数，可得P1＝252一4x，P2＝180—3y．则利润函数为π＝xp1＋yp2－C(x，y)＝x(252—4x)＋y(180－3y)－x2－xy－y2－90＝252x－5x2＋180y－4y2－xy－90．约束条件是x＝3y，所以拉格朗日函数是L＝252x－5x2＋180y－4y2－xy－90＋λ(x－3y)．为求极大值，先求偏导数：消去λ，则有936－31x－11y＝0，再代入x＝3y，消去X，得936－104y＝0．从而y＝9，x＝3y＝27，这就是获最大利润时的产量．其相应价格为p1＝252－4×27＝144，P2＝180－3×9＝153．知识点解析：使用拉格朗日乘致法求之．16、计算积分标准答案：令知识点解析：先作倒代换x＝1／t．利用此法可降低被积函数分母的变量因子xn的次数，甚至可消去这个变量因子．当被积函数为分式，其分母关于z的最高次数比分子的最高次数至少高一次时，就可试用倒代换求其积分．17、设arctan标准答案：设F(x，y)＝arctan＝0，知识点解析：题设中有隐函数的等式．应设出等于0的确定隐函数的方程F(x，y)arctan＝0．再应用公式求偏导．18、求积分I＝｜dxdy，D：｜x｜≤1，0≤y≤2．标准答案：因｜y－x2｜＝D1：一1≤x≤1，0≤y≤x2，D2：一1≤x≤1，x2≤y≤2，则在上式前一积分中令x＝sint(0≤t≤π／4)，则知识点解析：被积函数含绝对值．为去掉绝对值符号用｜y－x2｜＝0，即用曲线y＝x2将D分为上、下两部分，分别记为D1与D2．这时所求积分也分区域计算．19、已知某种商品的需求价格弹性为η＝ep一1，其中p为价格，Q为需求量，且当p＝1时需求量Q＝1．试求需求函数．标准答案：设需求函数关系式为Q＝Q(p)，则由题设和η的表示式有ep一1，即Q′(p)＋Q(p)＝ep，则此微分方程的通解为Q(p)＝(p一1)ep＋C]．将Q(1)＝1代入，得C＝1．故所求需求函数为Q(p)＝知识点解析：利用需求价格弹性公式可得一微分方程．解此微分方程，利用初始条件即可求得此需求函数Q＝Q(p)．20、已知二维非零向量X不是二阶方阵A的特征向量．(1)证明X，AX线性无关；(2)若A2X＋AX－6X＝0，求A的特征值，并讨论A可否对角化．标准答案：(1)用反证法证之．若X与AX线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2使k1X＋k2AX＝0．为方便计，设k2≠0，则AX＝X，于是X为A的特征向量，与题设矛盾．(2)由题设有A2X＋AX一6X＝(A＋3E)(A一2E)X＝0．①下证A一2E，A＋3E必不可逆，即｜A一2E｜＝｜A＋3E｜＝0．事实上，如A＋3E可逆，则由方程①得到(A一2E)X＝AX一2X＝0，即AX＝2X．这说明X为A的特征向量，故｜A＋3E｜＝0．②同法可证A－2E也不可逆，即｜A一2E｜＝0．③由式②、式③即知，2与一3为A的特征值，所以A能与对角阵相似．知识点解析：A为抽象矩阵，则AX，X均为抽象的向量组．讨论其特征值、特征向量的有关问题常用有关定义及其性质证明．也常用反证法证之．21、设α1，α2，α3，α4为四维列向量组，且α1，α2，α3线性无关，α4＝α1＋α2＋2α3．已知方程组[α1一α2，α2＋α3，一α1＋aα2＋α3]X＝α4有无穷多解．(1)求a的值；(2)用基础解系表示该方程组的通解．标准答案：由题设，得矩阵[α1一α2，α2＋α3，一α1＋aα2＋α3]＝[α1，α2，α3]的秩小于3，又α1，α2，α3线性无关，故矩阵不可逆，由＝2－a＝0，得a＝2．方程组[α1一α2，α2＋α3，一α1＋aα2＋α3]X＝α4化为[α1，α2，α3]X[α1，α2，α3]，因为α1，α2，α3线性无关，所以原方程组与方程组同解．下面求方程组的通解．为此先求出其导出组的基础解系及原方程组的一特解．将增广矩阵用初等行变换化为系数矩阵含最高阶单位矩阵的矩阵：用基础解系、特解的简便求法得到其基础解系只含一个解向量a＝[1，一1，1]T，特解为η＝[1，2，0]T，故所求的通解为kα＋η＝k[1，一1，1]T＋[1，2，0]T，k为任意常数．知识点解析：所给方程组由于有无穷多解，则r(A)＝r(α1一α2，α2＋α3，一α1＋aα2＋α3)＜3．由[α1一α2，α2＋α3，一α1＋aα2＋α3]＝[α1，α2，α3]知，必有＝0从而可求出a．为求其基础解系，需将原方程组恒等变形去掉满秩矩阵，得其同解方程组而求之．22、向平面区域D：x≥0，0≤y≤4一x2内等可能地随机地投掷一点．求(1)该点到y轴距离的概率密度；(2)过该点所作y轴的平行线与x轴、y轴及曲线y＝4一x2所围成的曲边梯形面积的数学期望与方差．标准答案：平面曲域D如上图所示，其面积为于是二维随机变量(X，Y)的联合密度为(1)随机点(X，Y)到y轴的距离即为随机变量X，其概率密度即为关于X的边缘概率密度fX(x)：x取其他值时，fX(x)＝0．(2)曲边梯形面积为图中阴影区域的面积，它为下求面积即φ(X)的期望与方差：知识点解析：在平面区域内投掷一点其坐标视为二维随机变量(X，Y)．又已知等可能地随机投掷，这就告诉我们(X，Y)在此区域内服从均匀分布．因曲边梯形面积可用X表示，应视为随机变量X的函数φ(X)．需求E[φ(X)]与D[φ(X)]．23、已知产品某项指标X服从拉普拉斯分布，其密度为f(x)＝e－｜x－μ｜，一∞＜x＜＋∞，其中μ为未知参数．现从该产品中随机抽取3个，测得其该项指标值为1028，968，1007．(1)试用矩估计法求μ的估计；(2)试用最大似然估计法求μ的估计．标准答案：(1)因E(X)＝μ，故，即＝(1028＋968＋1007)／3＝3003／3＝1001．(2)似然函数为lnL＝－3ln2一｜xi－μ｜．要使lnL最大，只需｜xi－μ｜最小．记l＝｜xi－μ｜＝｜1028－μ｜＋｜968－μ｜＋｜1007－μ｜．当μ≤968时，l＝(1028－μ)＋(968－μ)＋(1007－μ)＝3(1001－μ)≥3(1001—968)＝99；当μ≥1028时，l＝(μ一1028)＋(μ一968)＋(μ一1007)＝3(μ－1001)≥3(1028－1001)＝81；当968＜μ＜1028时，l＝(1028一μ)＋(μ一968)＋｜1007一μ｜＝60＋｜1007一μ｜．故当＝1007时，l最小，取值60．最大似然估计值五＝1007．知识点解析：待估参数只有一个，可用一阶矩进行估计．考研数学（数学三）模拟试卷第4套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设A为三阶矩阵，a1=，a2=，a3=为非齐次线性方程组AX=的解，则A、当t≠2时，r(A)=1B、当t≠2时，r(A)=2C、当t=2时，r(A)=1D、当t=2时，r(A)=2标准答案：A知识点解析：方法一当t≠2时，a1－a2=，a1－a3=为AX=0的两个线性无关解从而3－r(A)≥2，r(A)≤1，又由A≠O得r(A)≥1，即r(A)=1，应选（A).方法二：令B=，由已知条件的AB=，r(AB)=1，当t≠2时，B为可逆矩阵，从而r(AB)=r(A)=1，应选(A).2、设a，β为四维非零的正交向量，且A=aβT，则A的线性无关的特征向量个数为()．A、1个B、2个C、3个D、4个标准答案：C知识点解析：令AX=λX，则A2X=λ2X，因为a，β正交，所以aTβ=βTa=0，A2=αβT.αβT=O，于是λ2X=0，故λ1=λ2=λ3=λ4=0，因为a，β为非零向量，所以A为非零矩阵，故r(A)≥1；又r(A)=r(aβT)≤r(a)=1，所以r(A)=1．因为4一r(OE－A)=4一r(A)=3，所以A的线性无关的特征向量是3个，选(C)．3、设随机变量X的分布函数为F(x)=0．2F1(x)+0．8F1(2x)，其中F2(y)是服从参数为().A、0.36B、0.44C、0.64D、1标准答案：B知识点解析：设X1～E(1)，其密度函数为其分布函数为F1(x)=且E(X1)=D(X1)=1，则.由E(X)==0．2E(X1)+0．4=0．6，得D(X)=E(X2)一[E(X)]2=0．8－0．36=0．44，选(B).4、设随机变量X～F(m，m)，令a=P{X>1}β=P{X≤1}，则()A、a＞βB、a＜βC、a=βD、a，β的大小与自由度n有关标准答案：C知识点解析：令Y=，因为X～F(m，m)，所以Y～F(m，m)．因为a=P{X>1)=P{＜1)=P{≤1)=P{Y≤1}=P{X≤1)=β所以a=β，选(C).5、设f(x)=，x≠0，若f(x)在x=0处可导且导数不为零，则k为()．A、3B、4C、5D、6标准答案：C知识点解析：因为f(x)在x=0处可导，所以k一2=3，即k=5，选(C)．6、曲线y=的渐近线条数为()．A、3条B、2条C、1条D、0条标准答案：A知识点解析：=∞，所以曲线y=等无水平渐近线；因为=∞，所以x=0为曲线y=的铅直渐近线，又因为=∞，所以x=1为曲线y=的铅直渐近线；因为，所以曲线的斜渐近线为y=x+2，故曲线有3条渐近线，选(A)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)7、sin(xt)2dt=__________．标准答案：知识点解析：sin(xt)2d(xt)8、arcsindx=__________．标准答案：知识点解析：sin2udu=9、_________．标准答案：知识点解析：因为ln(x+)为奇函数，所以10、一一3y=e-x的通解为__________．标准答案：y=C1e－x+C2e3x一知识点解析：特征方程为λ2－2λ=0，特征值为λ1=一1，λ2=3，则方程～2y’一3y=0的通解为y=C1e－x+C2e3x．令原方程的特解为y0(x)=Axe－x，代入原方程得A=一，于是原方程的通解为y=C1e－x+C2e3x－．11、设A为三阶实对称矩阵，a1=(m，－m，1)T是方程组Ax=0的解，a2=(m，1，l－m)T是方程组(A+E)X=0的解，则m=___________．标准答案：1知识点解析：由AX=0有非零解得，r(A)<3，从而λ=0为A的特征值，a1=(m，一m，1)T为其对应的特征向量；由(A+E)X=0有非零解得r(A+E)<3，｜A+E｜=0，λ=一1为A的另一个特征值，其对应的特征向量为a2=(m，1，－m)T，因为A为实对称矩阵，所以A的不同特征值对应的特征向量正交，于是有m=1．12、设总体x～N(0，σ2)，X1，X2，X3，X4为总体X的简单随机样本，，S2=～_________．标准答案：t(3)知识点解析：由得．由与S2独立得．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)13、设偶函数f(x)在x=0的邻域内二阶连续可导，且f(0)=1，(0)=4．证明：绝对收敛．标准答案：因为f(x)为偶函数，所以f’(－x)=－f’(x)，于是f’(0)=0.因为f(x)在x=0的邻域内二阶连续可导，所以f(x)=f(0)+f’(0)x+x2+o(x2)，即f(x)－1=2x2+o(x2)，于是f()－1=．因为｜f()一1｜=｜｜～且收敛，所以收敛，即绝对收敛．知识点解析：暂无解析14、求微分方程÷y’－2y=xe+sin2x的通解．标准答案：特征方程为λ2+λ－2=0特征值为λ1=－2，λ2=1，+y’－2y=0的通解为y=C1e－2x+C2+C2ex设+y’－2y=xex(*)+y’－2y=sin2x(**)令(*)的特解为y1(x)=(ax2+bx)ex，代入(*)得a=，b=一．由+y’－2y=sin2x得+y’－2y=(1一cos2x)，显然+y’一2y=有特解y=一．对+y’－2y=一cos2x，令其特解为y=Acos2x+Bsin2x，代入得A=，B=一，则y2(x)=一+cos2x一sin2x，所以原方程的通解为y=C1e－2x+C2ex+()ex一+cos2x－sin2x．知识点解析：暂无解析15、设A=，B为三阶非零矩阵，为BX=0的解向量，且AX=a3有解(Ⅰ)求常数a，b.(Ⅱ)求BX=0的通解.标准答案：由B为三阶非零矩阵得r(B)≥1，从而BX=0的基础解系最多有两个线性无关的解向量，于是，解得a=3b．由AX=a3有解得r(A)=r(Aa3)由(Aa3)=得，解得b=5，从而a=15．由a1，a2为BX=0的两个线性无关解得3一r(B)≥2，从而r(B)≤1，再由r(B)≥1得r(B)=1，a1，a3为BX=0的一个基础解系，故BX=0的通解为X=k1=知识点解析：暂无解析16、设二次型f(x1，x2，x3)=+2x1x3+2bx2x3的秩为1．且(0，1．－1)T为二次型的矩阵A的特征向量．(I)求常数a．b；(Ⅱ)求正交变换X=QY，使二次型XTAX化为标准形．标准答案：(Ⅰ)A=由r(A)=1得a=b．(Ⅱ)A=的特征值为0，0，3．λ=0对应的特征向量为；λ=3对应的特征向量为，令Q=及X=QY，则有f=．知识点解析：暂无解析17、设随机变量X的分布律为P{X=k}=p(1一p)k－1(k=1，2，…)，y在1～k之间等可能取值，求P{Y=3)．标准答案：令Ak={X=k}(k=1，2，…)，B={Y=3}，P(B｜A1)=P(B｜A2)=0，P(B｜AK)=(K≥3)，由全概率公式得P{Y=3}=P(B)=P(Ak)P(B｜Ak)=．令S(x)=，于是P{Y=3}＝．知识点解析：暂无解析18、设X1，X2，…，Xn(n>2)相互独立且都服从N(0，1)，Yi=Xi一(i=1，2，…，n)．求(I)D(Yi)(i=1，2，…，n)；(Ⅱ)Cov(Y1，Yn)；(Ⅲ)P{Y1+Yn≤0)．标准答案：(Ⅰ)D(Yi)=Cov(Yi，Yi)=D(Xi)+D=1+(Ⅱ)Cov(Y1，Yn)=Cov(Ⅲ)Y1+Yn=X1+Xn一，因为X1,X2，…，Xn独立且都服从正态分布，所以Y1+Yn服从正态分布，知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内三阶可导，且=2，f(1)=1，f(2)=6．证明：存在ξ∈(0，2)，使得(ξ)=9．标准答案：由=2，得f(0)=0，f(0)=2．作多项式P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得P(0)=0，P’(0)=2，P(1)=1，P(2)=6，解得A=，B=一，C=2，D=0．令φ(x)=f(x)－()则φ(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且φ(0)=φ(1)=φ(2)=0．因此φ(x)在[0，1]和[1，2]上都满足罗尔定理的条件，则存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，使得(ξ1)=(ξ2)=0．又(0)=0，由罗尔定理，存在η1∈(0，ξ1)，η2∈(ξ1，ξ2)，使得(η1)=(η2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(η1，η2)(0，2)，使得(ξ)=0．而(x)=(x)=9，所以(ξ)=9．知识点解析：暂无解析20、设u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由ex+ey=ez确定，其中f二阶连续可偏导，求标准答案：由ex+e2=ez得=ex－z，=y－z，=－ex+y－2z.再由u=f(x2+y2，xz)得=2xf’1+(z+)f’2，=2x=2x()+(ey－z一xex+y－2z)f’2+(z+xex－z)()=4xy+(2x2ey－z+2yz+2xyex－z)+(ey－z一xex+y－2z)f’2+xey－z(z+xex－z)．知识点解析：暂无解析21、设某工厂生产甲、乙两种产品，没甲、乙两种产品的产量分别为x和y(吨)，其收入函数为R=15x+34y一x2一2xy一4y2一36(万)，设生产甲产品每吨需要支付排污费用1万，生产乙产品每吨需要支付排污费用2万．(I)在不限制排污费用的情况下，这两种产品产量各为多少时总利润最大?求最大利润．(Ⅱ)当排污总费用为6万时，这两种产品产量各多少时总利润最大?求最大利润．标准答案：(I)利润函数为L=R—C=15x+34y—x2一2xy一4y2一36一x一2y=14x+32y—x2一2xy一4y2一36．rL：一14—2z一2y一0，fz一4，令解得因为只有唯一一个驻点，且该实际问题一定有最大值，所以当时，利润达到最大，最大利润为L(4，3)=40(万)．(Ⅱ)令F(x，y，λ)=L(x，y)+λ(x+2y一6)，因为该实际问题一定有最大值，故当时，总利润最大，且最大利润为L(2，2)=28(万)．知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)在区间[0，1]上连续，且0≤f(x)≤1，又设an=()A、发散．B、条件收敛．C、绝对收敛．D、敛散性与具体的f(x)有关．标准答案：B知识点解析：由于0≤f(x)≤1且f(x)连续，有2、设f(x)在x=a处可导，则｜f(x)｜在x=a处不可导的充要条件是()A、f(a)=0，f’(a)=0．B、f(a)=0，f’(a)≠0．C、f(a)≠0，f’(a)=0．D、f(a)≠0，f’(a)≠0．标准答案：B知识点解析：若f(a)≠0，则存在x=a的某邻域U，在该邻域内f(x)与f(a)同号，于是推知，若f(a)＞0，则｜f(x)｜=f(x)(当x∈U)；若f(a)＜0，则｜f(x)｜=一f(x)．总之，若f(a)≠0，｜f(x)｜在x=a处总可导．若f(a)=0，则其中x→a+时，取“+”，x→a—时，取“一”，所以当f(a)=0时，｜f(x)｜在x=a处可导的充要条件是｜f’(a)｜=0，即f’(a)=0．所以当且仅当f(a)=0，f’(a)≠0时，｜f(x)｜在x=a处不可导，故应选(B)．3、考虑一元函数f(x)的下列4条性质：①f(x)在[a，b]上连续；②f(x)在[a，b]上可积；③f(x)在[a，b]上可导；④f(x)在[a，b]上存在原函数．以P→Q表示由性质P可推出性质Q，则有()A、①→②→③．B、③→①→④．C、①→②→④．D、④→③→①．标准答案：B知识点解析：因可导必连续，连续函数必存在原函数，故(B)正确．(A)不正确．虽然由①(连续)可推出②(可积)，但由②(可积)推不出③(可导)．例如f(x)=｜x｜在[一1，1]上可积，∫—11｜x｜dx=2∫01xdx=1．但f(x)=｜x｜在x=0处不可导．(C)不正确．由②(可积)推不出④(存在原函数)，例如在[—1，1]上可积，则∫—11f(x)dx=∫—11(—1)dx+∫011dx=—1+1=0，但f(x)在[—1，1]上不存在原函数．因为如果存在原函数F(x)，那么只能是F(x)=｜x｜+C的形式，而此函数在点x=0处不可导，在区间[一1，1]上它没有做原函数的“资格”．(D)不正确．因为由④(存在原函数)推不出①(函数连续)．例如：但f(x)并不连续．即存在原函数的函数f(x)可以不连续．4、设在x＞0处f(x)连续且严格单调增，并设F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt，则F(x)在x＞0时()A、没有驻点．B、有唯一驻点且为极大值点．C、有唯一驻点且为极小值点．D、有唯一驻点但不是极值点．标准答案：A知识点解析：F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt=2∫0xtf(t)dt—x∫0xf(t)dt，F’(x)=2xf(x)一xf(x)一∫0xf(t)dt=xf(x)一∫0xf(t)dt=xf(x)一xf(ξ)=x[f(x)一f(ξ)]，0＜ξ＜x．由于f(x)严格单调增加，可知f(x)＞f(ξ)，所以F’(x)＞0，故F(x)在x＞0时无驻点，故应选(A)．5、设A，B是3阶矩阵，A是非零矩阵，满足AB=O，且B=，则()A、a=一1时，必有r(A)=1．B、a=2时，必有r(A)=2．C、a=一1时，必有r(A)=2．D、a=2时，必有r(A)=1．标准答案：D知识点解析：由AB=0，知r(A)+r(B)≤3．又r(A)>0，且所以当a=一1时，r(B)=1，r(A)=1或r(A)=2．故选项(A)、(C)不成立．当a=2时，r(B)=2，必有r(A)=1．选项(D)成立，选项(B)不成立．故应选(D)．6、设A=，则B相似于()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由题设条件知矩阵AB是由矩阵A经初等行变换得到的．具体的是，将A的第1行乘一1，第2行乘2后再将第2、3行互换得AB，即7、已知随机变量X与Y都服从正态分布N(μ，σ)，如果P{max{X，Y)＞μ}=a(0＜a＜1)，则P{min(X，Y)≤μ}=()A、．B、1一．C、a．D、1一a．标准答案：C知识点解析：P{max{X，Y}＞μ}=P{{X＞μ}∪{Y＞μ}}=p{X＞μ}+P{Y＞μ}一P{X＞μ，Y＞μ}=一P{min{X，Y}＞μ}=1—P{min{X，Y}＞μ}=P{min{X，Y}≤μ}，选择(C)．8、设随机变量X1、X2、X3相互独立，且X1、X2均服从N(0，1)，P{X3=一1)=P{X3=1)=，则Y=X1+X2X3的概率密度fY(y)为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为X1，X2均服从N(0，1)，且相互独立，则X1一X2，X1+X2均服从N(O，2)，故FY(y)=P{X3=一1}P{X1+X2X3≤y｜X3=一1}+P{X3=1}P{X1+X2X3≤y｜X3=1}=P{X3=一1}P{X1一X2≤y}+P{X3=1}P{X1+X2≤y}二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设某产品的需求函数为Q=Q(p)，它对价格的弹性为ε，0＜ε＜1．已知产品收益R对价格的边际为s元，则产品的产量应是_________．标准答案：知识点解析：10、设函数z=f(x，y)(xy≠0)满足f(xy，)=y2(x2一1)，则dz=_________。标准答案：(2x—y)dx—xdy知识点解析：即f(x，y)=x2一xy．所以dz=(2x—y)dx—xdy．11、设f(x)=arctan2x，则f(0)=_________．标准答案：一(2014!)22015知识点解析：由幂级数展开式的唯一性知，f(k)(0)=k!ak，k=0，1，2，…．当k=2015时，2015=2×1007+1，故n=1007，f(2015)(0)=(2015!)a2015=(2015!)=一(2014!)22015．12、=_________．标准答案：e知识点解析：故应填e．13、设A相似于B，B=，则r[(2E一A)*]=_________．标准答案：1知识点解析：A～B，则2E—A～2E—B，r(2E—B)一2→r(2E—A)一2→r(2E—A)*]=1．14、设X～f(x)=X1，X2’…，X50取自X的一组简单随机样本，由中心极限定理得表示)标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、(Ⅰ)设0＜x＜+∞，证明存在η，0＜η＜1，使；(Ⅱ)求η关于x的函数关系的具体表达式η=η(x)，并求出当0＜x＜+∞时函数η(x)的值域．标准答案：(Ⅰ)取f(x)=，由拉格朗日中值定理有f(x+1)一f(x)=f’(ξ)(x+1一x)，即其中x＜ξ＜x+1，ξ=x+η，0＜η＜1．(Ⅱ)知识点解析：暂无解析16、设D={(x，y)｜0≤x≤sin(…{x2，y2})dσ．标准答案：D是一块矩形域，如图所示，则知识点解析：暂无解析17、设z=f(x，y)在点(1，2)处存在连续的一阶偏导数，且f(1，2)=2，f’1(1，2)=3，f’2(1，2)=4，φ(x)=f(x，f(x，2x))．求．标准答案：=3φ2(x)φ’(x)，φ(1)=f[1，f(1，2)]=f(1，2)=2，φ(x)=f’1[x，f(x，2x)]+f’2[x，f(x，2x)]=f’[x，f(x，2x)]+f’2[x，f(x，2x)][f’1(x，2x)+2f’2(x，2x)]，φ(1)=f’1[1，f(1，2)]+f’2[1，f(1，2)—[f’1(1，2)+2f’2(1，2)]=f’1(1，2)+f’2(1，2)[f’1(1，2)+2f’2(1，2)]=3+4×(3+8)=47，=3φ2(1)φ’(1)=3×22×47=564．知识点解析：暂无解析18、求由方程2x2+2y2+z2+8xz一z+8=0所确定的函数z(x，y)的极值，并指出是极大值还是极小值．标准答案：令F(x，y)=2x2+2y2+z2+8xz一z+8，且解得y=0，4x+8z=0，再与2x2+2y2+z2+8xz一z+8=0联立解得两组解：知识点解析：暂无解析19、设微分方程及初始条件为(Ⅰ)求满足上述微分方程及初始条件的特解；(Ⅱ)是否存在那种常数y1，使对应解y=y(x)存在斜渐近线，请求出此y1及相应的斜渐近线方程．标准答案：(Ⅰ)改写所给方程为知识点解析：暂无解析20、设非齐次线性方程组Ax=(α1，α2，α3，α4)x=α5有通解k(一1，2，0，3)T+(2，一3，1，5)T．(Ⅰ)求方程组(α1，α2，α3)x=α5的通解；(Ⅱ)求方程组(α1，α2，α3，α4，α4+α5)x=α1的通解．标准答案：(Ⅰ)由题设，非齐次线性方程组(α1，α2，α3，α4)x=α5有通解k(一1，2，0，3)T+(2，一3，1，5)T，则r(α1，α2，α3，α4)=r(α1，α2，α3，α4，α5)=3．且由对应齐次方程组的通解知，一α1+2α2+3α4=0，即α1=2α2+3α4，故α2，α3，α4线性无关(若线性相关，则r(α1，α2，α3，α4)＜3，这和题设矛盾)．α2，α3，α4是α1，α2，α3，α4及α1，α2，α3，α4，α5的极大线性无关组，α1，α5均可由α2，α3，α4线性表示，从而r(α2，α3，α4)=r(α2，α3，α4，α5)=3，方程组(α2，α3，α4)x=α5(*)有唯一解．由题设条件，α5可由α1，α2，α3，α4线性表示，且表示法不唯一，k可任取，取k=2，使α5由α1，α2，α3，α4线性表示时，不出现α5，则得α5=α2+α3+11α4，故方程组(*)的通解(唯一解)为x=(1，1，11)T．(Ⅱ)非齐次线性方程组(α1，α2，α3，α4，α4+α5)x=α5，(**)显然有r(α1，α2，α3，α4，α4+α5)=r(α1，α2，α3，α4，α4+α5，α5)=3，故方程组(**)的通解的结构为k1ξ1+k2ξ2+η．其中k1，k2是任意常数．知识点解析：暂无解析21、设A是n阶矩阵，A的第i行第j列元素aij=i．j(i，j=1，2，…，n)．B是n阶矩阵，B的第i行第j列元素bij=i2(i=1，2，…，n)．证明：A相似于B．标准答案：由题设条件知B各行元素成比例r(B)=1，μ=0是B的n一1重特征值，B的非零特征值为μn=B对应于μ=0有n一1个线性无关特征向量，故知存在可逆矩阵P，使得故B～A．由相似关系的传递性，得证A～A～B，A～B．知识点解析：暂无解析22、设在某段时间内来到证券交易所的人数X服从参数为λ的泊松分布，每个来交易所的人购买A股的概率为p．假设股民之间是否购买A股相互独立，试求在该段时间内交易所X人中共有Y人购买A股的数学期望．标准答案：Y=r表示“有r个人买A股”，X=i表示“有i个人来到交易所”，i=r，r+1，…，P{X=i)=，P{Y=r｜X=i)=Cipr(1一p)i-r，i=r，r+1，…，于是，由全概率公式有从此可看出X人中购买A股的人数Y服从参数为λp的泊松分布，所以EY=λp．知识点解析：暂无解析23、设随机变量X在(0，1)上服从均匀分布，令随机变量Y=(Ⅰ)求y的分布函数FY(y)；(Ⅱ)求y的数学期望EY．标准答案：(Ⅰ)先画出Y=的图像．由分布函数定义FY(y)=P{Y≤y}，当Y＜0时，FY(y)=0；当Y≥1时，FY(y)=P{Y≤y}=1；知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设随机变量X的概率密度为f(x)，则随机变量｜X｜的概率密度为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：先求Y=｜X｜的分布函数再求概率密度，用分布函数法．Y=｜X｜≥0，当Y＜0时，FY(y)=P{Y≤y}=P{}=0；当Y≥0时，FY(y)=P{Y≤y}=P{｜X｜≤y}=P{—y≤X≤y}=∫—yyf(x)dx=∫—y0f(x)dx+∫0yf(x)dx=∫0—yf(x)dx+∫0yf(x)dx，2、设总体X～N(0，σ2)(σ2已知)，X1，…，X是取自总体X的简单随机样本，S2为样本方差，则下列正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：3、设f(x，y)为连续函数，则使f(x，y)dy成立的充分条件是()A、f(－x，－y)=－f(x，y)B、厂(－x，－y)=f(x，y)C、f(－x，－y)=－f(x，y)且f(－x，y)=f(x，y)D、f(－x，y)=f(x，y)且f(x，－y)=f(x，y)标准答案：D知识点解析：此时f(x，y)既是关于x的偶函数，又是关于y的偶函数，故选(D)．4、设收敛，则()A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、可能收敛也可能发散标准答案：D知识点解析：暂无解析5、设n阶方阵A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)，记向量组Ⅰ：α1，α2，…，αn，Ⅱ：β1，β2，…，βnⅢ：γ2，…，γn线性相关，则()A、向量组Ⅰ线性相关B、向量组Ⅱ线性相关C、向量组Ⅰ与Ⅱ都线性相关D、向量组Ⅰ与Ⅱ至少有一个线性相关标准答案：D知识点解析：由｜AB｜=0，得｜A｜=0或｜B｜=0，故向量组Ⅰ与Ⅱ至少有一个线性相关，故选(D)．6、设A是秩为3的4阶矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个解，若α1+α2+α3=（0，6，3，9）T，2α1－α3=（1，3，3，3）T，k为任意常数，则Ax=b的通解为()A、（0，6，3，9）T+k（1，1，2，0）TB、（0，2，1，3）T+k（－1，3，0，6）TC、（1，3，3，3）T+k（1，1，2，0）TD、（－1，3，0，6）T+k（－2，0，－3，0）T标准答案：C知识点解析：本题考查非齐次线性方程组解的结构，属于基础题．由r(A)=3，知齐次方程组Ax=0的基础解系只有一个解向量．由非齐次线性方程组解的性质，知(α1+α2+α3)－3(2α2－α3)=(α1－α2)+4(α3－α2)=（－3，－3，－6，0）T是Ax=0的解，所以Ax=0的基础解系为（1，1，2，0）T．又2α2－α3=α2+(α2－α3)=（1，3，3，3）T是Ax=b的解，所以Ax=b的通解为（1，3，3，3）T+k（1，1，2，0）T，故应选(C)．7、设随机变量X1和X2相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，则下列随机变量中服从参数为2λ的指数分布的是()A、max(X1，X2)B、min(X1，X2)C、X1+X2D、X1－X2标准答案：B知识点解析：本题考查两个相互独立的指数分布的随机变量函数的分布，是一道有一定难度的综合题．设X1，X2的分布函数为F(x)，则max(X1，X2)的分布函数为所以(A)选项错误．min(X1，X2)的分布函数为所以min(X1，X2)服从参数为2λ的指数分布，故应选(B)．进一步分析，由E(X1+X2)－E(X1)+E(X2)=，知选项(C)错误；由E(X1－X2)=E(X1)－E(X2)=0≠，知选项(D)错误．8、设总体X与y相互独立，且均服从正态分布N(0，σ2)，X1，…Xm与Y1，…Yn是分别来自总体X与y的简单随机样本，若统计量服从t(n)分布，则()A、B、C、2D、4标准答案：B知识点解析：本题考查两个正态总体的抽样分布，属于基础题．由题设，知从而且U与V相互独立．由t分布的定义，二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、________．标准答案：2ln2－1．知识点解析：10、若当x→0时，x－(a+bcosx)sinx为x3的高阶无穷小，其中a，b为常数，则(a，b)=________．标准答案：知识点解析：11、________．标准答案：知识点解析：12、________．标准答案：知识点解析：13、设，B=A－1，则B的伴随矩阵B*的所有元素之和等于________．标准答案：知识点解析：14、设X～B(n，p)，若(n+1)p不是整数，当P{X=k}最大时，k=________．标准答案：(n+1)p知识点解析：设X～B(n，p)，则使P{X=k}达到最大的k称为二项分布的最可能值，记为k0且三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、设A=．X是2阶方阵．(Ⅰ)求满足AX一XA=O的所有X；(Ⅱ)方程AX一XA=E，其中E是2阶单位阵．问方程是否有解，若有解，求满足方程的所有X；若无解．说明理由．标准答案：显然方程组中第1个和第4个方程相互矛盾，故矩阵方程AX一XA=E无解．知识点解析：暂无解析17、已知A=，求A的特征值，并讨论A可否相似对角化．标准答案：故有λ1=1+a，λ2=a，λ3=1一a．看特征值是否有重根，对任意a，λ1=1+a≠λ2=a．知识点解析：暂无解析在线段(0，1)上随机投掷2个点，该两点的距离为X．试求：(Ⅰ)X的概率密度fX(x)；(Ⅱ)X的数学期望EX．18、在线段(0，1)上随机投掷2个点，该两点的距离为X．试求：(Ⅰ)X的概率密度fX(x)；(Ⅱ)X的数学期望EX．标准答案：(Ⅰ)设在(0，1)上随机投掷两点X1，X2(0＜X1＜1，0＜X2＜1)，则(X1，X2)服从区域(0，1)×(0，1)上的二维均匀分布，令X=｜X1一X2｜∈[0，1)．当X＜0时，FX(x)=0；当X≥1时，FX(x)=1；