新高考数学一轮复习第7章 第09讲 立体几何与空间向量 章节总结 讲（学生版）

第09讲立体几何与空间向量章节总结(精讲）第一部分：典型例题讲解题型一：空间位置关系证明的传统法与向量法角度1：用传统法证明空间的平行和垂直关系角度2：利用向量证明空间的平行和垂直关系题型二：空间角的向量求法角度1：用传统法求异面直线所成角角度2：用向量法求异面直线所成角角度3：用向量法解决线面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））角度4：用向量法解决二面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））题型三：距离问题角度1：点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离角度2：点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离（等体积法）角度3：点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离（向量法）题型四：立体几何折叠问题第二部分：高考真题感悟第一部分：典型例题剖析第一部分：典型例题剖析题型一：空间位置关系证明的传统法与向量法角度1：用传统法证明空间的平行和垂直关系典型例题例题1．（2022·四川成都·高一期末（文））如图，四边形ABCD为长方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点．设平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)证明：SKIPIF1<0．例题2．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）如图，在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0面SKIPIF1<0．(1)直线SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0；(2)平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．例题3．（2022·福建·厦门市湖滨中学高一期中）如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．例题4．（2022·甘肃酒泉·高二期末（文））如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为2的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．角度2：利用向量证明空间的平行和垂直关系典型例题例题1．（2022·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在直四棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．求证：（1）直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．例题3．（2022·全国·高二专题练习）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点．求证：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上的动点．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，试确定SKIPIF1<0点的位置．题型二：空间角的向量求法角度1：用传统法求异面直线所成角典型例题例题1．（2022·重庆·西南大学附中高一期末）正四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·福建莆田·高二期末）若正六棱柱SKIPIF1<0底面边长为1，高为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角大小为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题3．（2022·河北邯郸·高一期末）如图，在圆台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题4．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）如图，SKIPIF1<0是正方体的一个“直角尖”SKIPIF1<0（SKIPIF1<0两两垂直且相等）棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的一个动点，连接SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为最小时，SKIPIF1<0_________．角度2：用向量法求异面直线所成角典型例题例题1．（2022·山东德州·高一期末）已知SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0分别是正方体SKIPIF1<0，边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为___________.例题2．（2022·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））已知三棱柱SKIPIF1<0的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为______．角度3：用向量法解决线面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））典型例题例题1．（2022·全国·高二单元测试）如图，四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为平行四边形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为__________．例题2．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．(1)点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在（1）的条件下，若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成角的余弦值．例题3．（2022·天津一中高一期末）如图，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的正弦值；(3)若点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长．例题4．（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）莲花山位于鄂州市洋澜湖畔．莲花山，山连九峰，状若金色莲初开，独展灵秀，故而得名．这里三面环湖，通汇长江，山峦叠翠，烟波浩渺．旅游区管委会计划在山上建设别致凉亭供游客歇脚，如图①为该凉亭的实景效果图，图②为设计图，该凉亭的支撑柱高为3SKIPIF1<0m，顶部为底面边长为2的正六棱锥，且侧面与底面所成的角都是SKIPIF1<0．(1)求该凉亭及其内部所占空间的大小；(2)在直线SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0？若存在，请确定点SKIPIF1<0的位置；若不存在，请说明理由．角度4：用向量法解决二面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））典型例题例题1．（2022·吉林·长春市实验中学高一期末）如图在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0(2)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成锐二面角的余弦值．例题2．（2022·四川雅安·高二期末（理））如图（一）四边形SKIPIF1<0是等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0点作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0点，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折到SKIPIF1<0位置如图（二），且SKIPIF1<0．(1)证明：平面SKIPIF1<0平面EBCD；(2)已知点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．例题3．（2022·全国·高三专题练习）四棱雉SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是等腰梯形，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上.(1)当SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点时，求证:SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;(2)当直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0最大时，求二面角SKIPIF1<0的大小.例题4．（2022·江苏徐州·高二期末）如图，已知SKIPIF1<0垂直于梯形SKIPIF1<0所在的平面，矩形SKIPIF1<0的对角线交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值；(3)在线段SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的大小为SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的长；若不存在，说明理由.题型三：距离问题角度1：点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离典型例题例题1．（2022·湖南益阳·高二期末）在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例题2．（2022·北京·二模）如图，已知正方体SKIPIF1<0的棱长为1，则线段SKIPIF1<0上的动点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的最小值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0角度2：点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离（等体积法）典型例题例题1．（2022·四川广安·模拟预测（文））如图，四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为直角梯形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上．(1)若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)当SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．例题2．（2022·云南保山·高一期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．角度3：点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离（向量法）典型例题例题1．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）将边长为SKIPIF1<0的正方形SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0折成直二面角，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为______．例题2．（2022·江苏·南京市第一中学高二阶段练习）如图，四棱锥SKIPIF1<0的底面是正方形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为___________.例题3．（2022·全国·高二单元测试）在如图所示的几何体中，四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；(3)求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<