2024-2025学年新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程测评一含解析新人教A版选择性必修第一册

第三章测评(一)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知椭圆M:x2+y24=λ经过点(1,2),则M上一点到两焦点的距离之和为(A.2 B.22 C.4 D.42解析由椭圆M:x2+y24=λ经过点(1,2)可得λ即椭圆的方程为x22+y28=1,则a=22,由椭圆的定义可知M上一点到两焦点的距离之和为2答案D2.(2024广东茂名期末)已知点P(-2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是()A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0)解析因为点P(-2,4)在抛物线y2=2px的准线上,所以-p2=-2,得p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0)答案C3.已知双曲线x29-y2m=1的一条渐近线的方程为y=2A.13 B.10 C.213 D.25解析由题意得m3=23则双曲线的焦距为29+m=213答案C4.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为()A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=16C.(x-2)2+y2=16 D.(x+2)2+y2=4解析依据题意,抛物线y2=4x,其焦点在x轴正半轴上且p=2,则其焦点F(1,0),准线方程为x=-1,以F为圆心,且与l相切的圆的半径r=2,则该圆的方程为(x-1)2+y2=4.答案A5.设P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,双曲线的离心率是43,且∠F1PF2=90°,△F1PFA.3+7 B.9+7 C.10 D.16解析由题意,不妨设点P是右支上的一点,|PF1|=m,|PF2|=n,则12mn=7,∴a+b=3+7.答案A6.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于()A.13 B.223 C.2解析设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0.由y=k(x+2),y2=8x,得k2x2+所以x1x2=4,①依据抛物线的定义得,|FA|=x1+p2=x1+2,|FB|=x2+2因为|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2,②由①②得x2=1(x2=-2舍去),所以B(1,22),代入y=k(x+2)得k=22答案B7.我们把由半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2+c2,a>b>c>0),如图所示,其中点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点.若△F0A.72,1 B.3C.5,3 D.5,4解析|OF2|=b2|OF0|=c=3|OF2|=32∴b=1,∴a2=b2+c2=74得a=72,即a=72,b=答案A8.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-y24=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若A.a2=132 B.a2=13C.b2=12 D.b2=解析由题意,知a2-b2=5,因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,双曲线的一条渐近线方程为y=2x,联立方程消去y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,所以直线截椭圆的弦长d=5×2a4-解得a2=112,b2=1答案C二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.当α∈π4,3π4时,方程x2sinα+y2cosα=A.两条直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线解析当α∈π4,3π4时,sinα∈2可得方程x2sinα+y2cosα=1表示的曲线可以是椭圆(sinα>0,cosα>0),也可以是双曲线(sinα>0,cosα<0),也可以是两条直线(sinα=1,cosα=0).答案ACD10.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),则能使双曲线CA.离心率为54B.双曲线过点5C.渐近线方程为3x±4y=0 D.实轴长为4解析双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-假如离心率为54,可得a=4,则b=3,所以双曲线C的方程为x216-y2c=5,双曲线过点5,94,可得25=a2+b2,25a2c=5,渐近线方程为3x±4y=0,可得a2+b2=25,ba=34,c=5,实轴长为4,可得a=2,b=21,双曲线C的方程为x24-y221答案ABC11.已知斜率为3的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是()A.1|AF|+1|BFC.|BD|=2|BF| D.F为AD的中点解析如图,Fp2,0,设A(xA,yA),B(xB,yB),由A,B分别向准线作垂线,交点为A',B',直线l的斜率为3,则直线方程为联立y2=2px,y=3x-p2,解得xA=3p2,xB=由|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p=8p3=8,得p=所以抛物线方程为y2=6x.则|AF|=xA+p2=2p=6,故B正确所以|BF|=2,1|AF|+1|BD|=|BF|cos60°=4,则|BD|=2|BF|,所以|AF|=|DF|=6,则F为AD的中点,故D正确.答案BCD12.如图,已知椭圆C1:x24+y2=1,过抛物线C2:x2=4y焦点F的直线交抛物线于M,N两点,连接NO,MO并延长分别交C1于A,B两点,连接AB,△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN,S△OAB.则下列说法正确的是(A.若记直线NO,MO的斜率分别为k1,k2,则k1k2的大小是定值-1B.△OAB的面积S△OAB是定值1C.线段OA,OB长度的平方和|OA|2+|OB|2是定值4D.设λ=S△OMNS△OAB解析F(0,1),设直线MN的方程为y=kx+1,M(x1,y1),N(x2,y2).联立方程组y=kx+1,x2=4y,∴x1+x2=4k,x1x2=-4,∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,∴k1k2=y2x2·y1x设直线OA的方程为y=mx(m>0),则直线OB的方程为y=-14m联立方程组y=mx,x24则A-2同理可得B21+∴A到OB的距离d=21+4又|OB|=41+∴S△OAB=12·|OB|·d=12·16m2又|OA|2=41+4m2+4m∴|OA|2+|OB|2=5+20m21+4m2=联立方程组y=mx,x2=4y,可得x(x-4m)=0,∴|ON|=4mm2同理可得M-1∴M到直线OA的距离h=-1∴S△OMN=12·|ON|·h=2m1+14m2=2m+12m≥2,当且仅当2m=12∴λ=S△OMNS△OAB=S△OMN≥答案ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=.

解析依题意,设抛物线的焦点为F,点Q的横坐标是x0(x0≥0),则|QF|=x0+p2的最小值是p2=1,则p=答案214.若等轴双曲线C的左顶点A,右顶点B分别为椭圆x2a2+1+y2=1(a>0)的左、右焦点,点P是双曲线上异于A,B的点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1k解析依题意,椭圆x2a2+1+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为A(-a,0),所以以A,B分别为左、右顶点的等轴双曲线C的方程为x2-y2=a2.设双曲线上异于A,B的点P的坐标为(x,y)(x≠±a),则直线PA,PB的斜率分别为k1=yx+a,k2所以k1k2=yx+a答案115.已知F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,直线y=bax交椭圆于A,B两点,若cos∠解析如图,过点A作AM垂直x轴于点M,过点B作BN垂直x轴于点N,联立y解得A22a,22b.∴|AM|=|BN|=22b,|MF|=c-22|NF|=c+22a∵cos∠AFB=13,∴tan∠AFB=22tan∠AFM=|AM||MF|则tan∠AFB=tan∠AFM+tan∠即2b2c-22a+2b2c+22a=2故e=ca答案216.如图,过抛物线y2=4x的焦点F作直线,与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若FC=3FB,则直线AB的方程为,|AB|=.

解析抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,设C(-1,m),B(x1,-2x1),A(x2,2x∵FC=3FB,∴(-2,m)=3(x1-1,-2x1)=(3x1-3,-6x1),则有3则C(-1,-23),则直线AB的斜率k=232=3,则直线AB的方程为y=3(x-1),即3x-y-将y=3(x-1)代入y2=4x得3x2-10x+3=0,得x1+x2=103,即|AB|=x1+x2+2=103+2=答案3x-y-3=016四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)设A,B分别是双曲线x225-y220=1的两渐近线上的动点,且|AB|=25,设O为坐标原点,动点P满意解设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),∵动点P满意OP=OA+OB,∴x=x1+x2,y=y∵A,B分别是双曲线x225-y∴令y1=255x1,y2=-25∴x=x1+x2=52(y1-y2),y=y1+y2=255(x1∴|AB|=52y2+化简可得动点P的轨迹方程为x225+18.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为23,左、右焦点分别为F1(1)求椭圆C的方程;(2)斜率大于0且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,若MF2=3F2N,解(1)由题意得c=3,焦点F1(-3,0),F2(3,0),2a=|PF1|+|PF2|=(3-则a=2,b=a2-故椭圆C的方程为x24+y2=(2)设直线l的方程为x=my+3(m>0),代入椭圆方程得(m2+4)y2+23my-1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),Δ=16(m2+1)>0恒成立,由根与系数的关系可得y1+y2=-23mm2+4,y1y由MF2=3F2N,得y1=-3y由①②可得m=22故直线l的方程为2x-2y+23=0.19.(12分)(2024四川雅安期末)已知F1,F2分别是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P(1)求双曲线的渐近线方程;(2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为483,求此双曲线的方程.解(1)双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,则点F2(c,0)到渐近线的距离为|bc±0|b2+由题意知c+a=2b.又因为a2+b2=c2,解得b=43a故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y=0.(2)因为∠F1PF2=60°,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=4c2.①又由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2,②①-②得|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=4b2.依据三角形的面积公式得S=12|PF1|·|PF2|sin60°=34·4b2=3b2=48得b2=48.再由(1)得a2=916b2=故所求双曲线方程是x227-20.(12分)(2024山东烟台段考)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在抛物线上,且A的横坐标为4,|AF|=5.(1)求抛物线的方程;(2)设l为过点(4,0)的随意一条直线,若l交抛物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆必过坐标原点.(1)解抛物线y2=2px(p>0)的焦点为Fp2,0,准线为由抛物线的定义可得,|AF|=4+p2=解得p=2,即抛物线的方程为y2=4x.(2)证明设直线l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),将x=my+4代入抛物线方程y2=4x,可得y2-4my-16=0,Δ=16m2+64>0恒成立,y1+y2=4m,y1y2=-16,x1x2=y12即有x1x2+y1y2=0,则OA⊥OB,则以AB21.(12分)如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套的一个标记,为美观考虑,要求图中标记的①②③三个区域面积彼此相等.已知:椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求椭圆的离心率的值.(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标记完成.请你建立合适的坐标系,求出点M的轨迹方程.解(1)建立平面直角坐标系,如图.设外椭圆的方程为x2a2+∵内、外椭圆有相同的离心率,∴内椭圆的方程为y2b2图中标记的①②③三个区域面积彼此相等,由对称性可知πab=3πbb2a,即a2=3b2,则a2=3(a2-c2),∴e=(2)同(1)建立平面直角坐标系,由于外椭圆长轴长为6,∴a=3,又e=63,∴c=6,b2=3则外椭圆方程为x29+当两切线不与坐标轴垂直时,设点M(x0,y0),切线方程分别为y-y0=k1(x-x0),y-y0=k2(x-x0),切线统一记为y-y0=k(x-x0),代入椭圆方程得(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-9=0.∵直线y-y0=k(x-x0)与椭圆x29+y∴Δ=36k2(y0-kx0)2-4(1+3k2)[3(y0-kx0)2-9]=0.化简得(x0-9)k2-2x0y0k+y02-3=0,则方程的两根为k1,k∵两条切线相互垂直,∴k1k2=-1,即y02-3x02-9=-1,即当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,±3),(-3,±3)也满意方程,∴轨迹方程为x2+y2=12.22.(12分)给定椭圆C:x2a2