2025届高考数学一轮总复习第11章统计统计案例第3节变量间的相关关系统计案例跟踪检测文含解析

PAGE第十一章统计、统计案例第三节变量间的相关关系、统计案例A级·基础过关|固根基|1.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的探讨中，探讨人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．依据该图，下列结论中正确的是()A．人体脂肪含量与年龄正相关，脂肪含量的中位数等于20%B．人体脂肪含量与年龄正相关，脂肪含量的中位数小于20%C．人体脂肪含量与年龄负相关，脂肪含量的中位数等于20%D．人体脂肪含量与年龄负相关，脂肪含量的中位数小于20%解析：选B因为散点图呈现上升趋势，故人体脂肪含量与年龄正相关；因为中间两个数据大约介于15%到20%之间，故脂肪含量的中位数小于20%.故选B.2．已知变量x和y的统计数据如下表：x34567y2.5344.56依据上表可得回来直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x－0.25，据此可以预料当x＝8时，eq\o(y,\s\up6(^))＝()A．6.4 B．6.25C．6.55 D．6.45解析：选C由题意知eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6＋7,5)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5＋6,5)＝4，将点(5，4)代入eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x－0.25，解得eq\o(b,\s\up6(^))＝0.85，则eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－0.25，所以当x＝8时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85×8－0.25＝6.55，故选C.3．在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中，下列说法正确的是()A．若K2的观测值为k＝6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺癌B．由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺癌C．若从统计量中求出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，是指有1%的可能性使得推断出现错误D．以上三种说法都不正确解析：选C独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全确定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时确定要留意这点，不行对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的说明．若从统计量中求出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系，是指有1%的可能性使得推断出现错误．故选C.4．已知两个随机变量x，y之间的相关关系如下表所示：x－4－2124y－5－3－1－0.51依据上述数据得到的回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则大致可以推断()A.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))>0 B.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))<0C.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))>0 D.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))<0解析：选C由题意知eq\x\to(x)＝0.2，eq\x\to(y)＝－1.7，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(28－5×0.2×（－1.7）,41－5×0.22)＝eq\f(29.7,40.8)≈0.73＞0，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝－1.7－0.73×0.2≈－1.85＜0，故选C.5．通过随机询问110名性别不同的高校生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，算得K2＝eq\f(110×（40×30－20×20）2,60×50×60×50)≈7.822.附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：选C依据独立性检验的定义，由K2≈7.822>6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.6．(2025届惠州市其次次调研)某商场为了了解毛衣的月销量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x/℃171382月销售量y/件24334055由表中数据算出线性回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，气象部门预料下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为________件．解析：由题中数据，得eq\x\to(x)＝10，eq\x\to(y)＝38，又回来直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，代入得eq\o(a,\s\up6(^))＝58，则回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋58，所以当x＝6时，y＝46.答案：467．写出下列命题中全部真命题的序号：________．①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r越接近1；②回来直线确定经过样本点的中心(x，y)；③若线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x＋10，则当样本数据中x＝10时，必有相应的y＝12；④回来分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和越小．解析：①两个随机变量线性相关性越强，相关系数|r|越接近1，原命题错误；②回来直线确定经过样本点的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，原命题正确；③若线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x＋10，则当样本数据中x＝10时，可以预料y＝12，但是会存在误差，原命题错误；④回来分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和越小，原命题正确．综上可得，正确命题的序号为②④.答案：②④8．心理学家分析发觉视觉和空间想象实力与性别有关，某数学爱好小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给全部同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题状况如下表：(单位：人)几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050依据上述数据，推断视觉和空间想象实力与性别有关系，则这种推断犯错误的概率不超过________．附表：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析：由列联表计算K2的观测值k＝eq\f(50×（22×12－8×8）2,30×20×20×30)≈5.556＞5.024.∴推断犯错误的概率不超过0.025.答案：0.0259．(2025届江西七校第一次联考)最近青少年的视力健康问题引起习主席的高度重视，某地区为了解当地24所小学，24所初中和12所中学的学生的视力状况，打算采纳分层抽样的方法从这些学校中随机抽取5所学校对学生进行视力调查．(1)若从所抽取的5所学校中再随机抽取3所学校进行问卷调查，求抽到的这3所学校中，小学、初中、中学分别有一所的概率；(2)若某小学被抽中，调查得到了该小学前五个年级近视率y的数据如下表：年级号x12345近视率y0.050.090.160.200.25依据前五个年级的数据，利用最小二乘法求出y关于x的线性回来方程，并依据方程预料六年级学生的近视率．附：回来直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为解：(1)由24∶24∶12＝2∶2∶1，得抽取的5所学校中有2所小学、2所初中、1所中学，分别设为a1，a2，b1，b2，c.从这5所学校中随机抽取3所学校的全部基本领件为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，c)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，c)，(a1，b2，c)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，c)，(a2，b2，c)，(b1，b2，c)，共10种．设事务A表示“抽到的这3所学校中，小学、初中、中学分别有一所”，则事务A包含的基本领件为(a1，b1，c)，(a1，b2，c)，(a2，b1，c)，(a2，b2，c)，共4种，故P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).(2)由题中表格数据得eq\o(x,\s\up6(－))＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝0.15，5eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝2.25，5eq\o(x,\s\up6(－))2＝45，又参考数据：eq\i\su(i＝1,5,)xiyi＝2.76，eq\i\su(i＝1,5,)xeq\o\al(2,i)＝55，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(2.76－2.25,55－45)＝0.051，eq\o(a,\s\up6(^))＝0.15－0.051×3＝－0.003，得线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.051x－0.003.当x＝6时，代入得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.051×6－0.003＝0.303，所以六年级学生的近视率在0.303左右．10．(2025届“四省八校联盟”高三联考)某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量状况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100，120)内，则为合格品，否则为不合格品，表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图．表1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值[95，100)[100，105)[105，110)频数1518质量指标值[110，115)[115，120)[120，125]频数1961图1：乙套设备的样本的频率分布直方图(1)依据表1和图1，通过计算合格率对两套设备的优劣进行比较；(2)填写下面列联表，并依据列联表推断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计附：P(K2≥k0)0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635参考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)依据题目所给的质量指标值落在[100，120)内的产品视为合格，可得甲套设备的样本的合格品数为48，甲套设备的样本的不合格品数为2，乙套设备的样本的合格品数为(0.036＋0.044＋0.056＋0.036)×5×50＝43，乙套设备的样本的不合格品数为7.所以估计甲套设备生产合格品的概率为eq\f(48,50)＝eq\f(24,25)，乙套设备生产合格品的概率为eq\f(43,50)，所以甲套设备优于乙套设备．(2)由已知数据，得到如下的2×2列联表，甲套设备乙套设备合计合格品484391不合格品279合计5050100K2＝eq\f(100×（48×7－43×2）2,50×50×91×9)≈3.05，因为3.05＞2.706，所以有90%的把握认为该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.B级·素养提升|练实力|11.(2025届郑州第一次质量预料)近年来郑州空气污染较为严峻，现随机抽取一年(365天)内100天的空气中PM2.5指数的检测数据，统计结果如下：PM2.5指数[0，50](50，100](100，150](150，200](200，250](250，300]>300空气质量优良稍微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S(单位：元)，PM2.5指数为x.当x在区间[0，100]内时对企业没有造成经济损失；当x在区间(100，300]内时对企业造成的经济损失成直线模型(当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元)；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元．(1)试写出S(x)的表达式；(2)试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；(3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并推断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染总计供暖季非供暖季总计100附：P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)依题意，可得S(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，x∈[0，100],4x－100，x∈（100，300],2000，x∈（300，＋∞）)).(2)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元”为事务A，由500<S≤900，得150<x≤250，频数为39，所以P(A)＝eq\f(39,100).(3)依据题中数据得到如下2×2列联表：非重度污染重度污染总计供暖季22830非供暖季63770总计8515100K2的观测值k＝eq\f(100×（22×7－63×8）2,85×15×30×70)≈4.575>3.841，所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．12．(2025届陕西省质量检测)基于移动互联网技术的共享单车被称为“新四大独创”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场探讨人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：月份2024.82024.92024.102024.112024.122024.1月份代码x123456市场占有率y(%