高考空间几何体的外接球与内切球问题专项突破复习

PAGEPAGE32013届高考球体问题专项突破复习例1球面上有三点、、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式求出球半径．解：∵，，，∴，是以为斜边的直角三角形．∴的外接圆的半径为，即截面圆的半径，又球心到截面的距离为，∴，得．∴球的表面积为．说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．例2．自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，求的值．分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．解：以为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．=．说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．1、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是()A.16π B.20π C.24π D.32π答案:C解:由题意知,该棱柱是一个长方体,其长、宽、高分别为2,2,4.所以其外接球的半径R==.所以球的表面积是S=4πR2=24π.2、一个正四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为()A.3π B.4π C.3π D.6π答案:A以四面体的棱长为正方体的面对角线构造正方体,则正方体内接于球,正方体棱长为1,则体对角线长等于球的直径,即2R=,所以S球=4πR2=3π.3.在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.解：将半球补成整个的球（见题中的图）,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,那么这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a,球的半径为R,则根据长方体的对角线性质,得(2R)2=a2+a2+(2a)2,即4R2=6a所以R=a.从而V半球=R3==a3,V正方体=a3.因此V半球∶V正方体=a3∶a3=π∶2.4.一个正四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为()A.3π B.4π C.3π D.6π答案:A解析:以PA,PB,PC为棱作长方体,则该长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球,所以球的半径R==2,所以球的表面积是S=4πR2=16π.5.过球表面上一点引三条长度相等的弦、、，且两两夹角都为，若球半径为，求弦的长度．解：由条件可抓住是正四面体，、、、为球上四点，则球心在正四面体中心，设，则截面与球心的距离，过点、、的截面圆半径，所以得．6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（B）A．B．C．D．7.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于。解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.8．正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为．答案89.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A．B．C．D．答案A【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，，则此球的直径为，故选A。10.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（D）A.2B.C.D.11.正方体的内切球与其外接球的体积之比为(C)A.1∶B.1∶3C.1∶3D.1∶912.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为．()13.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．ABCPDEF14.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1ABCPDEF15.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是________．16.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.16.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（C） A． B．C． D．以上都不对 17.设正方体的棱长为EQ\f(2\r(3),3)，则它的外接球的表面积为（C） A．B．2πC．4π D．18．（2012新课标理）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,