走进重高-培优讲义-数学-八年级-上册-(浙教版)

走进重高培优讲义数学八年级上册(浙教版)基础巩固篇第一讲认识三角形思维导图重难点分析重点分析：1.三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接而成的图形，是最简单、最基本的几何图形，是学习其他几何图形的基础.2.三角形的边的性质有：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，这一性质可用“两点之间线段最短”来说明，若三角形的两边长分别为a和b，那么第三边长c的取值范围是|a-b|<c<a+b.3.三角形的角的性质有：三个内角的和为180°，三个外角的和为360°，每个外角等于与它不相邻的两个内角的和.4.三角形按边可以分为等腰三角形(等边三角形是特殊的等腰三角形)和不等腰三角形，按角可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.难点分析：1.判断三条线段能否组成三角形时，一般先确定最长的一条线段，然后将另外两条线段的和与最长的一条线段作比较，如果两条线段的和大于最长的线段，则这三条线段可以组成三角形，反之则不能.2.三角形角的性质主要是关于角的等量关系，常应用于角度计算，解题时要注意把已知角和未知角统一到一个三角形中.例题精析例1、有四条线段，长度分别为4cm，8cm，10cm，12cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？思路点拨：四条线段中选三条线段共有4种选法，可以将每种情况列举出来，再根据三角形的三边关系进行判断，如果两条较短线段的和大于最长线段，则可以组成三角形.解题过程：有3种情况可以组成三角形：①12cm，10cm，8cm；②12cm，10cm，4cm；③10cm，8cm，4cm.方法归纳：判断三条线段能否组成三角形分两步：(1)确定最长的一条线段；(2)检验两条较短线段的和是否大于最长的线段.易错误区：四条线段中选三条共有四种选法，用枚举法将各种情况列举出来，注意不重不漏.例2、如图，在△ABC中，点D为△ABC内一点，已知∠BDC=100°，∠1=30°，∠2=20°，求∠A的度数.思路点拨：要求∠A的度数，只需要求出∠ABC+∠ACB的度数.根据∠BDC=100°，利用三角形的内角和定理可求出∠DBC+∠DCB的度数，从而可求得∠ABC+∠ACB的度数.解题过程：∵∠BDC=100°，且∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°，∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=80°.∴∠ABC+∠ACB=∠DBC+∠DCB+∠1+∠2=130°.又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=50°.方法归纳：本题也可延长BD或CD分割△ABC，然后利用三角形的内角和及外角的性质计算.易错误区：本题∠DBC与∠DCB的度数不能确定，要把它们看成一个整体，即求它们的和.例3、如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别是边BC，AD，CE上的中点，且S△BEF=1，求S△ABC.思路点拨：根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．解题过程：∵点E是AD的中点，∴S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ACD．∴S△ABE+S△ACE=S△ABC.∴S△BCE=S△ABC．∵点F是CE的中点，∴S△BEF=S△BCE=S△ABC.∴S△ABC=4S△BEF=4．方法归纳：本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．易错误区：题中三角形面积的倍半关系比较复杂，注意三角形面积相等的条件．例4、如图:(1)图1是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；(2)将图1中的点A向下移到BE上(如图2)，五个角的和有无变化？说说你的理由；(3)将图2中的点C向上移到BD上(如图3)，五个角的和有无变化？说说你的理由.图1图2图3思路点拨：要求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E，需要将这些角转化为一个三角形的内角或外角，如图4，根据三角形的外角的性质可得∠A+∠C=∠2，∠B+∠E=∠1，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠D，其他两个图形用同样的方法即可解决.解题过程：(1)如图4，∵∠A+∠C=∠2，∠B+∠E=∠1，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠D.而∠1+∠2+∠D=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.图4图5(2)不变，仍为180°，如图5，同（1）可证∠CAD+∠C=∠2，∠B+∠E=∠1，∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠D=180°.(3)不变，理由同(2).方法归纳：应用转化的数学思想，将问题转化为三角形的外角和内角的性质问题.易错误区：本题中三个图形虽然有变化，但其中角之间的数量关系没有变化，解题时要抓住图形中的三角形特征.图中角比较多，要注意理清数量关系，不要混淆.例5、将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C．图1图2图3（1）如图1，若∠A=40°，点D在△ABC内，则∠ABC+∠ACB=度，∠DBC+∠DCB=度，∠ABD+∠ACD=度；（2）如图2，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC内，请探究∠ABD+∠ACD与∠A之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论；（3）如图3，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC外，且在AB边的左侧，直接写出∠ABD，∠ACD，∠A三者之间存在的数量关系．思路点拨：（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；（2）根据三角形内角和定理有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A=180°，则∠ABD+∠ACD=90°-∠A；（3）由（1）（2）的解题思路可得：∠ACD-∠ABD=90°-∠A．解题过程：（1）答案为：140；90；50.（2）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD=90°-∠A．证明：∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°.∴∠ABC+∠ACB-（∠DBC+∠DCB）=180°-∠A-90°．∴∠ABD+∠ACD=90°-∠A.（3）∵在△ABC中，∠ABC+∠BCD+∠ACD=180°-∠A,在△DBC中，∠ABD+∠ABC+∠BCD=90°,∴∠ACD-∠ABD=180°-∠A-90°.∴∠ACD-∠ABD=90°-∠A．方法归纳：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答本题的关键是沟通外角和内角的关系．易错误区：题（3）直角的位置发生了变化，所以结论与题（2）有区别，要注意图形的变化．探究提升图1图2例、已知如图1，线段AB，CD相交于点O，连结AD，CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于点M，N.试解答下列问题：(1)在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：；(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数有个；(3)在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，试求∠P的度数；(4)如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系.(直接写出结论即可)思路点拨：(1)根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠B+∠C；(2)根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；(3)先根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义可得∠P与∠D，∠B之间的数量关系，进而求出∠P的度数；(4)由（3）可得.解题过程：(1)∠A+∠D=∠B+∠C(2)6(3)由(1)得，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，∠PAB+∠P=∠PCB+∠B，∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，∠PAB-∠PCB=∠B-∠P.又∵AP，CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB.∴∠P-∠D=∠B-∠P，即2∠P=∠B+∠D.∴∠P=(40°+36°)÷2=38°.(4)2∠P=∠B+∠D.方法归纳：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力.(1)中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；(2)是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“8字形”；(3)(4)直接运用“8字形”中的角的规律解题.易错误区：找基本图形“8字形”是本题难点及易错点，一般可以先确定“8字形”中的其中一个三角形，然后根据“8字型”的特征找另一个与它相对应的三角形.专项训练拓展训练A组1.略2.略3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=24°，则∠BDC等于().A.42°B.66°C.69°D.77°(第3题)(第4题)4.如图是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，则这块三角形木板的另外一个角是度.5.略6.略7.如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF交于点G，若S△ABC=12，则阴影部分的面积是．(第7题)(第8题)8.如图，BM是△ABC中AC边上的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM与△BCM的周长之差为cm.9.略10.如图所示，已知DF⊥AB于点F，∠A=40°，∠D=50°，求∠ACB的度数.(第10题)11.如图，在△ABC中，∠A=∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F．（1）求证：∠F+∠FEC=2∠A；（2）过点B作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F+∠FEC的数量关系，并证明你的结论．(第11题)B组12.略13.如图，△ABC的两条中线相交于点F，若△ABC的面积是45cm2，则四边形DCEF的面积是().A.30cm2B.15cm2C.20cm2D.不能确定(第13题)(第14题)(第16题)14.如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2，依次类推，∠ABD4与∠ACD4的平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是().A.60°B.56°C.94°D.68°15.略16.如图，点G是△AFE的两外角平分线的交点，点P是△ABC的两外角平分线的交点，点F，C在AM上，又点B，E在AN上，如果∠FGE=66°，那么∠P=.17.略18.在Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在线段AB上，如图1，且∠α=50°，则∠1+∠2=；（2）若点P在边AB上运动，如图2，则∠α,∠1,∠2之间的关系为；（3）如图3，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请写出∠α，∠1，∠2之间的关系式，并说明理由．图1图2图3(第18题)走进重高1.【绵阳】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC等于().A.118°B.119°C.120°D.121°(第1题)(第2题)(第5题)2.如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，如果△CDE的面积为3，△BCE的面积为4，△AED的面积为6，那么△ABE的面积为（）.A.7B.8C.9D.103.略4.略5.【临海】如图，若∠B=40°，A，C分别为角两边上的任意一点，连结AC，∠BAC与∠ACB的平分线交于点P1，则∠P1=，D，F也为角两边上的任意一点，连结DF，∠BFD与∠FDB的平分线交于点P2……按这样的规律，则∠P2016=．6.如图是一张三角形纸片ABC，其中∠A=∠C．（1）把△ABC纸片按如图1所示折叠，使点A落在AC边上的点F处，DE是折痕，说明BC∥DF；（2）把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内时（如图2），探索∠C与∠1+∠2之间的大小关系，并说明理由；（3）当点A落在四边形BCED外时（如图3），∠C与∠1，∠2的关系是.（直接写出结论）图1图2图3(第6题)高分夺冠1.如图，在△ABC中，已知点P，Q分别在边AC，BC上，BP与AQ相交于点O，若△BOQ，△ABO，△APO的面积分别为1，2，3，则△PQC的面积为（）.A.22B.22.5C.23D.23.5(第1题)2.将长度为25cm的细铁折成边长都是质数(单位：cm)的三角形，若这样的三角形的三边的长分别是a，b，c，且满足a≤b≤c，则(a，b，c)有组解，所构成的三角形都是三角形.3.已知△ABC中，∠A=α.如图1，∠B，∠C的平分线交于点O1，则可计算得∠BO1C=90°+α；如图2，∠B，∠C的两条三等分角线分别对应交于点O1，O2，则∠BO2C=；请你猜想，当∠B，∠C同时n等分时，（n-1）条等分角线分别对应交于点O1，O2，…，O；如图2，∠B，∠C的两条三等分角线分别对应交于点O1，O2，则∠BO2C=；请你猜想，当∠B，∠C同时n等分时，（n-1）条等分角线分别对应交于点O1，O2，…，On-1，如图3，则∠BOn-1C=（用含n和α的代数式表示）．图1图2图3(第3题)(第4题)4.如图，点D，C，G在同一直线上，BE平分∠ABD交AC于点E，CF平分∠ACG，BE延长线与CF相交于点F，若∠BDC=160°，∠A=100°，则∠F=度.5.已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积（填“＞”“＜”或“=”）△ACD的面积;（2）如图2，若CD，BE分别是△ABC的AB，AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连结AO，由AD=DB得：S△ADO=S△BDO，同理：S△CEO=S△AEO.设S△BDO=x，S△CEO=y，则S△ADO=x，S=x，S△AEO=y.由题意得：S△ABE=S△ABC=30，S△ADC=S△ABC=30，可列方程组为：解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为；（3）如图3，AD∶DB=1∶3，CE∶AE=1∶2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．图1图2图3(第5题)第二讲命题与证明思维导图重难点分析重点分析：1.利用命题的定义来判断语句是否为命题，关键看语句是否为一个判断句，对一个命题，要准确找出命题的题设和结论部分，并写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”后写题设，“那么”后写结论.2.判断一个命题是真命题，主要依据已知的定理、公理或相关数学性质，而判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可.3.证明一个命题，要根据题意，分析命题的条件和结论，有条理的写出证明过程，证明的每一步都要有依据，这些依据可以是定义、定理、公理、已知等.4.反证法的基本步骤：(1)假设，否定待证命题的结论；(2)推理导出矛盾；(3)肯定原命题的结论.难点分析：1.探求证明的途径，一般有两种思考方法：一种是从已知出发，推出可能的结果，并与要证明的结论作比较，直至得到要证明的结论，另一种是从要证明的结论出发，探索要使结论成立的条件，并与已知对照，直至找到所需要并已知的条件.对于比较复杂的证明，常常把这两种思考方法综合运用，称为分析综合法.2.有以下特征的命题宜用反证法证明：(1)结论涉及唯一性；(2)结论涉及“至多或至少”；(3)结论为否定形式；(4)结论涉及无限形式等.3.作辅助线是证明命题常用的手段，要会作简单的辅助线解决证明题.常见的辅助线有：分割图形，作平行线，截长可补短等.例题精析例1、把下列命题写成“如果……，那么……”的形式.(1)两直线平行，同位角相等；(2)周长相等的两个三角形全等；(3)等角的补角相等.思路点拨：先找出命题的题设和结论，然后改写成“如果……，那么……”的形式.其中“如果”后面跟命题的题设，“那么”后面跟命题的结论.解题过程：(1)如果两条平行线被第三条直线所截，那么所得的同位角相等.(2)如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等.(3)如果两个角分别是两个相等角的补角，那么这两个角相等.方法归纳：将命题改写成“如果……，那么……”的形式更容易分清命题中的条件和结论.易错误区：第(3)题的结论是两角相等，所以条件应该是满足何种条件的两角，为了命题的证明方便一般不改写成“如果两个角相等，那么它们的补角相等”.例2、（1）如图，若∠1=∠2，则AB∥CD，试判断命题的真假：（填“真”或“假”）；（2）若上述命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题，并说明理由．思路点拨：（1）利用平行线的判定方法进而判断即可；（2）利用平行线的性质结合判定方法添加合理的条件．解题过程：（1）假（2）添加条件：BE∥DF，则∠EBD=∠FDN．又∵∠1=∠2，∴∠ABD=∠CDN.∴AB∥CD．方法归纳：本题主要考查了命题与定理以及平行线的判定，正确把握平行线的判定方法是解题关键．易错误区：注意本题是添加条件而不是修改条件，切不可把原来“∠1=∠2”的条件改掉．例3、在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小胡和小杜分别给出了下列证法.小胡：在△ABC中，延长BC到点D(如图1).∵∠ACD=∠A+∠B(三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角定义)，∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).图1图2小杜：在△ABC中，作CD⊥AB于点D(如图2).∵CD⊥AB(已知)，∴∠ADC=∠BDC=90°(直角定义).∴∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°(直角三角形两锐角互余).∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°(等量加等量和相等).∴∠A+∠B+∠ACB=180°.请你对上述两名同学的证法给出评价，并另给出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法.思路点拨：两名同学的证法都不对.因为“三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和”与“直角三角形两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导得到的，这种用结论来说明的错误称为“循环论证”，不符合推理论证的逻辑规律.解题过程：评价：两位同学都巧妙地通过作辅助线将问题转化，作辅助线的思路对解题有帮助，但证明过程用到的理论依据是由本命题的结论推导出来的，所以证明方法不正确，陷入了“循环论证”的错误之中.图3正确的证法如下：如图3，过点A作直线MN，使MN∥BC.∵MN∥BC，∴∠B=∠MAB，∠C=∠NAC(两直线平行，内错角相等).∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°(平角定义)，∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代换).方法归纳：要证明三角形的内角和等于180°，即三角形三个内角的和是平角，可以通过作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和.平行线是几何证明中常用的辅助线.易错误区：“循环论证”是初学几何证明者比较容易出现的一种错误，即用命题的结论推导得到的性质来证明命题本身，做证明题时对每一步的说理依据要认真考证，以避免出现“循环论证”.例4、如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC．图1图2（1）在图1中，作∠BAC的平分线AD，分别交CB，BE于点D，F，求证：∠EFD=∠ADC；（2）在图2中，作△ABC的外角∠BAG的平分线AD，分别交CB，BE的延长线于点D，F，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？思路点拨：（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠DAC，再根据内角与外角的性质可得∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD=∠ADC；（2）首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠GAD，再根据等量代换可得∠FAE=∠BAD，然后再根据内角与外角的性质可得∠EFD=∠AEB-∠FAE，∠ADC=∠ABC-∠BAD，进而可得∠EFD=∠ADC．解题过程：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC．∵∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，又∵∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC．（2）探究（1）中结论仍成立．理由：∵AD平分∠BAG，∴∠BAD=∠GAD．∵∠FAE=∠GAD，∴∠FAE=∠BAD．∵∠EFD=∠AEB-∠FAE，∠ADC=∠ABC-∠BAD，又∵∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC．方法归纳：本题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．易错误区：利用三角形外角的性质要注意找准三角形及相应的内角，看清并读懂图形很重要．例5、在△ABC中，BO平分∠ABC，点P为直线AC上一动点，PO⊥BO于点O．图1图2图3（1）如图1，当∠ABC=40°，∠BAC=60°，点P与点C重合时，∠APO=；（2）如图2，当点P在AC的延长线上时，求证：∠APO=（∠ACB-∠BAC）；（3）如图3，当点P在边AC上如图所示位置时，请直接写出∠APO与∠ACB，∠BAC之间的等量关系式.思路点拨：（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠OBC，然后求出∠OCB，再根据∠APO=∠ACB-∠OCB计算即可得解；（2）作射线AO，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P，从而得到∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P，再根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义用∠ACB和∠BAC表示出∠2，代入整理即可得解；（3）用∠ACB和∠BAC表示出∠OBC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解.解题过程：（1）∵∠ABC=40°，∠BAC=60°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-40°-60°=80°．∵BO平分∠ABC，∴∠OBC=∠ABC=20°．∵PO⊥BO，∴∠OCB=90°-∠OBC=90°-20°=70°．∴∠APO=∠ACB-∠OCB=80°-70°=10°．（2）如图4，作射线AO.则∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P，∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P．∵PO⊥BO，∴∠3+∠4=90°．∴∠1+∠2+∠5+∠P=90°，即∠BAC+∠2+∠P=90°．图4∵BO平分∠ABC，∴∠2=∠ABC．∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB．∴∠2=12（180°-∠BAC-∠ACB）．∴∠APO=90°-∠BAC-∠2=90°-∠BAC-（180°-∠BAC-∠ACB）=（∠ACB-∠BAC）．（3）∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=12（180°-∠BAC-∠ACB）．∵PO⊥BO，∴∠APO=90°+（∠ABO+∠BAC）=90°+（180°-∠BAC-∠ACB）+∠BAC=180°+（∠BAC-∠ACB），即∠APO=180°+（∠BAC-∠ACB）．方法归纳：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，难度中等，熟记性质并准确识图是解题的关键．易错误区：本题中涉及的角较多，要准确表示出各角度之间的等量关系，运用三角形外角的性质时要注意对应的角度关系不要混淆．探究提升例、如果一个数能表示成x2+2xy+2y2(x，y是整数)，我们称这个数为“好数”.(1)判断29是否为“好数”；(2)写出1，2，3，…，20中的“好数”；(3)如果m，n都是“好数”，求证：mn是“好数”.思路点拨：(1)根据x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2可以得到好数特征，根据“好数”定义判断29是否为“好数”；(2)根据好数的定义判断1，2，3，…，20中的“好数”；(3)设m=x2+2xy+2y2，n=p2+2pq+2q2，化简得到mn=［(x+y)(p+q)+qy］2+［q(x+y)-y(p+q)］2，令u+v=(x+y)(p+q)+qy，v=q(x+y)-y(p+q)，于是可以判断出mn为“好数”.解题过程：(1)x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2，特征：“好数”就是两个整数的平方和，而29=52+22，故29是“好数”.(2)1，2，3，…，20中的“好数”有1，2，4，5，8，9，10，13，16，17，18，20.(3)m=x2+2xy+2y2，n=p2+2pq+2q2.则mn=(x2+2xy+2y2)(p2+2pq+2q2)=［(x+y)2+y2］［(p+q)2+q2］=［(x+y)(p+q)+qy］2+［q(x+y)-y(p+q)］2，令u+v=(x+y)(p+q)+qy，v=q(x+y)-y(p+q).那么mn=(u+v)2+v2=u2+2uv+2v2，∵x，y，p，q均为整数，∴(x+y)(p+q)+qy，q(x+y)-y(p+q)也为整数.∴u+v，v为整数.∴u，v为整数.∴mn为“好数”.方法归纳：本题是代数证明题，解答本题的关键是掌握“好数”的定义，并能将此定义作为依据利用完全平方式的知识进行推理证明.易错误区：题(3)中代数式的变形是本题难点，要注意正确利用完全平方式对式子进行恒等变形.专项训练拓展训练A组1.略2.下列命题中，正确的是().A.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行B.相等的角是对顶角C.两条直线被第三条直线所截，同位角相等D.和为180°的两个角叫做邻补角3.略(第4题)4.如图，点A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是().A.180°B.360°C.540°D.720°5.略6.略7.如图，已知AB∥CD，∠1=50°，∠2=110°，则∠3=.（第7题）（第8题）8.如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A=30°，∠B=60°，则∠DCE=．9.如图，有三个论断：①∠1=∠2；②∠B=∠D；③∠A=∠C.请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性.(第9题)10.略11.如图，已知∠EGF=∠E+∠F，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数.(第11题)B组12.略13.如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于点G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A为().A.70°B.75°C.80°D.85°(第13题)(第14题)14.如图，AB⊥AC，CD，BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°.其中正确的结论是().A.①③B.②④C.①③④D.①②③④15.略16.略17.在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n2-6n的值都是负数.于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2-6n的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.18.探究发现图1图2图3(第18题)探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？如图1，∠FDC，∠ECD为△ADC的两个外角，则∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系为．探究二：在四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的内角∠ABC的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，设∠A=α，∠D=β．（1）如图2，若α+β＞180°，求∠F；（用α，β表示）（2）如图3，若α+β＜180°，请在图中画出∠F，并求∠F=；（用α，β表示）（3）一定存在∠F吗？如有，直接写出∠F的值，如不一定，直接指出α，β满足什么条件时，不存在∠F．走进重高1.略2.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A在四边形BCDE的外部时，记∠AEB为∠1，∠ADC为∠2，则下列∠A，∠1与∠2的数量关系中，正确的是（）.A.∠1=∠2+∠AB.∠1=2∠A+∠2C.∠1=2∠2+2∠AD.2∠1=∠2+∠A(第2题)3.略4.在A，B，C三个盒子里分别放一些小球，小球数依次为a0，b0，c0，记为G0=（a0，b0，c0）.游戏规则如下：若三个盒子中的小球数不完全相同，则从小球数最多的一个盒子中拿出两个，给另外两个盒子各放一个（若有两个盒子中的小球数相同，且都多于第三个盒子中的小球数，则从这两个盒子序在前的盒子中取小球），记为一次操作.若三个盒子中的小球数都相同，游戏结束，n次操作后的小球数记为Gn=（an，bn，cn）．（1）若G0=（5，8，11），则第次操作后游戏结束；（2）小明发现：若G0=（1，5，12），则游戏永远无法结束，那么G2016=．5.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．（1）若∠B=30°，∠C=70°，求∠DAE的度数；（2）在△ABC中，若∠B=α，∠C=β（α＜β），请你根据（1）问的结果大胆猜想∠DAE与α，β间的等量关系，并说明理由．(第5题)6.已知△ABC，△DEF是两个完全一样的三角形，其中∠ACB=∠DFE=90°，∠A=∠D=30°．（1）将它们摆成如图1的位置（点E，F在AB上，点C在DF上，DE与AC相交于点G）.求∠AGD的度数；（2）将图1的△ABC固定，把△DEF绕点F按逆时针方向旋转n°（0＜n＜180）．①当△DEF旋转到DE∥AB的位置时（如图2），n=；②若由图1旋转后的EF能与△ABC的一边垂直，则n的值为．图1图2(第6题)高分夺冠1.如图，A，B，C是固定在桌面上的三根立柱，其中A柱上穿有三个大小不同的圆片，下面的直径总比上面的大.现想将这三个圆片移动到B柱上，要求每次只能移动一片(叫移动一次)，被移动的圆片只能放入A，B，C三根立柱之一，且较大的圆片不能叠在较小的圆片上面，那么完成这件事情至少要移动圆片的次数是().A.6B.7C.8D.9(第1题)(第2题)(第3题)2.如图，△ABC内有三个点D，E，F，分别以A，B，C，D，E，F这六个点为顶点画三角形，如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，那么这些三角形的所有内角之和为().A.360°B.900°C.1260°D.1440°3.如图，平面镜A与B之间夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1=度.4.(1)阅读理解：如图1是二环三角形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A6=360°.理由：连结A1A4.∵∠1+∠2+∠A1OA4=180°，∠A5+∠A6+∠A5OA6=180°，又∵∠A1OA4=∠A5OA6，∴∠1+∠2=∠A5+∠A6.∵∠A2+∠3+∠1+∠2+∠4+∠A3=360°，∴∠A2+∠3+∠A5+∠A6+∠4+∠A3=360°，即S=360°.(2)延伸探究：①如图2是二环四边形，可得S=∠A1+∠A2+…+∠A8=720°，请你加以证明；②如图3是二环五边形，可得S=，聪明的你，请根据以上的规律直接写出二环n边形(n≥3的整数)中，S=度.(用含n的代数式表示最后的结果)图1图2图3（第4题）第三讲全等三角形思维导图重难点分析重点分析：1.能够完全重合的两个三角形全等，全等三角形对应边相等、对应角相等.2.三角形全等的条件有：SAS(边角边)、SSS(边边边)、ASA(角边角)、AAS(角角边).3.角平分线上的点到角两边的距离相等，线段中垂线上的点到线段两端的距离相等.难点分析：1.找全等三角形的关键在于确定对应边、对应角，找对应边、对应角常用的方法有：公共边或公共角一般是对应边或角；对顶角、角平分线、直角等得到的等角一般是对应角；最大(或最小)的边或角是对应边或角；对应边的夹角是对应角，对应角的夹边是对应边；书写全等时顶点字母要对应，便于我们找对应的边和角.2.注意边边角(两边及一角对应相等)不能判定两个三角形全等，这是本节内容的易错点.3.注意借助常见的全等基本图形以及对称、平移、旋转等变换来确定图形中的全等三角形.例、如图，已知点A，E，F，C在一条直线上，△AED≌△CFB，你能得出哪些结论？(答出5个即可，不需证明)思路点拨：根据全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等即可解答.参考答案：AD=CB，AE=CF，ED=FB，∠ADE=∠CBF，∠AED=∠CFB，∠EAD=∠FCB等.方法归纳：本题主要考查了全等三角形的性质，正确判断对应角、对应边是解答本题的关键.如果再根据全等三角形的判定定理，图形中还能再找出两对全等的三角形.易错误区：要正确找出两个全等三角形的对应边和对应角，除了利用图形直观判断外，还要能应用“△AED≌△CFB”中字母的对应关系来确定对应边及对应角.例2、如图，已知点B，F，C，E在同一直线上，并且BF=CE，∠B=∠E.(1)请你只添加一个条件(不再加辅助线)，使得△ABC≌△DEF.你添加的条件是：；(2)添加了条件后，请证明△ABC≌△DEF.思路点拨：(1)根据全等三角形的判定定理AAS可以添加条件∠A=∠D；根据ASA可以添加条件∠ACB=∠DFE，根据SAS可以添加条件AB=DE；(2)根据题意可得BC=EF，再根据全等三角形的判定定理即可证明结论.解题过程：(1)∠A=∠D(或∠ACB=∠DFE，AB=DE).(2)以添加∠A=∠D为例证明：∵BF=CE，∴BF+FC=EC+FC，即BC=EF.在△ABC和△DEF中，∵∴△ABC≌△DEF(AAS).方法归纳：本题考查了全等三角形的判定定理的应用，关键是理解全等三角形的判定定理，全等三角形的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS.易错误区：增加边相等的条件时，不可添加AC=DF，因为“SSA”不能判定两个三角形全等.例3、如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC.CF平分∠DCE．求证：（1）△ACD≌△BEC；（2）CF⊥DE．思路点拨：（1）根据平行线的性质得出∠A=∠B，再根据SAS即可证明全等；（2）根据全等三角形的性质推出CD=CE，根据角平分线的定义即可证明△DCF≌△ECF,从而可证结论．解题过程：证明：（1）∵AD∥BE，∴∠A=∠B．在△ACD和△BEC中，∵∴△ACD≌△BEC（SAS）．（2）∵△ACD≌△BEC，∴CD=CE．又∵CF平分∠DCE，∴∠DCF=∠ECF．在△DCF和△ECF中，∵∴△DCF≌△ECF(SAS).∴∠CFE=∠CFD=90°.∴CF⊥DE．方法归纳：本题考查了平行线的性质、全等三角形的性质和判定，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．易错误区：证明两个三角形全等需要三个条件，每个不是直接的已知条件都要先证明．例4、如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD，EB.(1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举；(2)求证：CF＝EF.思路点拨：（1）可以从条件出发，根据图形特征，利用全等三角形知识进行探索;(2)实际上就是要求证明(1)中列举出来的与CF，EF有关的那组全等三角形.解题过程：(1)△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF.(2)证法一：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，AB=AD，∠CAB＝∠EAD.∴∠CAB－∠DAB＝∠EAD－∠DAB，即∠CAD＝∠EAB.∴△ACD≌△AEB.∴CD＝EB，∠ADC＝∠ABE.又∵∠ADE＝∠ABC，∴∠CDF＝∠EBF.又∵∠DFC＝∠BFE，∴△CDF≌△EBF.∴CF＝EF.证法二：如图，连结AF.∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AB＝AD，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE＝90°.又∵AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△ADF.∴BF＝DF.又∵BC＝DE，∴BC-BF＝DE-DF.即CF＝EF.方法归纳：第（1）题属于结论探究题型，它难在要求一一列举出其中的全等三角形，蕴含多解且要求全部找出来，需要具备很好的分辨图形能力和逻辑分析能力.易错误区：找全等三角形时，结合图形的轴对称性找可以避免遗漏.例5、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.(1)当直线MN绕点C旋转到如右图所示位置时，求证：DE=AD+BE;(2)当直线MN绕点C旋转到与线段AB相交(交点不是AB中点)时，画出相应的图形，探求线段DE，AD与BE之间的等量关系，并写出其关系式.思路点拨：当直线MN绕点C旋转时，点A，B到直线MN的距离也随着发生变化，但旋转过程中，△ACD与△CBE始终全等，可推得AD＝CE，CD＝BE，进而利用等式性质可以解答本题.解题过程：(1)证明：∵△ACD与△CBE均是直角三角形，∴∠ACD+∠CAD=90°.又∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°.∴∠CAD=∠BCE.∴Rt△ACD≌Rt△CBE.∴AD=CE，CD=BE.∴DE=CD+CE=AD+BE.(2)当直线MN绕点C旋转与线段AB相交(交点不是AB中点)时，相应的图形如右图.由题意知：△ACD与△CBE均是直角三角形.∵∠CAD=∠BCE，AC=CB，∴Rt△ADC≌Rt△CEB.∴AD=CE，CD=BE.∴DE=CE-CD=AD-BE.方法归纳：本题是直线的旋转问题，解题的关键是明确基本图形△ABC的始终不变性，而在直线MN旋转的过程中，我们可以探求变中相对不变的图形.利用图形中AC=BC的特征作为解题的切入点，很容易发现在变化过程中△ACD与△CBE始终全等，这点为“变”中“不变”，可以“动”中思“静”，也是求解该类题的核心.易错误区：将线段和差关系转化为证明线段相等时，要注意线段对应关系不要混淆.探究提升：（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD.求证：EF=BE+DF；（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？图1图2图3（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．思路点拨：（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换.延长EB到点G，使BG=DF，连结AG.由作图可知EG=BE+DF，于是只要证明△AEG≌△AEF即可证明EF＝EG＝BE+DF；（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过在证明△ABG和△ADF全等中，证明∠ABG=∠ADF时，用到的知识点是等角的补角相等，其他的过程都一样，因此与（1）的结果完全一样；（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换.就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连结AG.根据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF.所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．解题过程：（1）证明：如图4，延长EB到点G，使BG=DF，连结AG．在△ABG和△ADF中，∵∴△ABG≌△ADF(SAS).∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD.∴∠GAE=∠EAF．在△AEG与△AEF中，∵∴△AEG≌△AEF(SAS).∴EG=EF．∵EG=BE+BG=BE+DF,∴EF=BE+DF.图4图5（2）（1）中的结论EF=BE+DF仍然成立．（3）结论EF=BE+DF不成立，应该是EF=BE-DF．证明：如图5，在BE上截取BG，使BG=DF，连结AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．在△ABG和△ADF中，∵∴△ABG≌△ADF(SAS).∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD,∠GAE=∠BAD-∠BAG-∠EAD=∠BAD-∠DAF-∠EAD=∠BAD-∠EAF=∠BAD.∴∠GAE=∠EAF．在△AEG和△AEF中，∵∴△AEG≌△AEF(SAS).∴EG=EF.∵EG=BE-BG，∴EF=BE-DF．方法归纳：本题考查了三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联的全等三角形．易错误区：题中利用构造全等三角形实现“截长补短”的等量转换，要注意有效利用题中的条件添加辅助线构造全等．专项训练拓展训练A组1.略2.小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块(图中所标1，2，3，4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带()去.A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块(第2题)（第3题）3.如图，在边长为1的正方形网格中标有A，B，C，D，E，F六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC全等的是().A.△ACFB.△ACEC.△ABDD.△CEF4.略5.略6.如图所示，取一张长方形纸片ABCD，将其折叠，使点D与点B重合，EF为折痕，观察图形，图中有全等的三角形吗？如果有，请找出全等的三角形并说明理由；如果没有，请说明理由.(第6题)7.将两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，那么不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？(第7题)8.略9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB的中点，连结DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．（1）求证：△AED≌△BEF；（2）连结EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．(第9题)10.两个大小不同的等腰直角三角形三角板按如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连结DC.(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；(2)证明：DC⊥BE.(第10题)B组11.略12.如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6.延长BC到点E，使CE=2，连结DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t（s），当t的值为（）时，△ABP和△DCE全等．A.1B.1或3C.1或7D.3或7（第12题）（第13题）（第14题）13.如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是．14.如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于G，∠D=30°，∠E=115°，∠DAC=31°，则∠EGB=.15.某产品的商标如图所示，点O是线段AC，BD的交点，且AC=BD，AB=DC，小华认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：∵AC=DB，∠AOB=∠DOC，AB=DC，∴△ABO≌△DCO.你认为小华的思考过程正确吗？如果正确，指出他用的是判别三角形全等的哪个条件；如果不正确，写出你的思考过程.(第15题)16.略17.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在哪条边上相遇.(第17题)18.已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC．（1）如图1，若∠BAD=90°，AD=2，则CD的长度为；（2）如图2，点P，Q分别在线段AD，DC上，满足PQ=AP+CQ，求证：∠PBQ=90°-∠ADC；（3）如图3，若点Q运动到DC的延长线上，点P也运动到DA的延长线上时，仍然满足PQ=AP+CQ，则（2）中的结论是否仍成立？若成立，请给出证明过程；若不成立，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．图1图2图3（第18题）走进重高1.【略2.【泰州】如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是().A.1对B.2对C.3对D.4对（第2题）（第3题）3.【宜昌】两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有().A.0个B.1个C.2个D.3个4.略5.如图，D是△ABC的边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F.求证：AB=CF+BD．（第5题）6.【永州】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC.延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．（第6题）高分夺冠1.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，并且AE=(AB+AD)，则∠ABC+∠ADC的度数为.(第1题)（第2题）2.如图，AM是△ABC的中线，∠DAM=∠BAM，CD∥AB．求证：AB=AD+CD．3.在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图1，当∠C=90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE=AC，连结DE，易证AB=AC+CD.(1)如图2，当∠C≠90°，AD为∠BAC的平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；(2)如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明.图1图2图3（第3题）4.已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕点B旋转，它的两边分别交AD，DC(或它们的延长线)于点E，F.（1）当∠MBN绕点B旋转到AE=CF时(如图1)，证明：AE+CF=EF；（2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明.图1图2图3(第4题)第四讲图形的轴对称思维导图重难点提示重点分析：1.轴对称和轴对称图形的定义：把一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线轴对称.如果将一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.2.轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形是全等形；对称轴是对应点连线的中垂线；对应线段所在直线的交点在对称轴上.3.作一个图形关于一条直线的轴对称图形分两步：第一步作出原图形中某些点关于这条直线的对称点；第二步顺次连结对称点.4.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.难点分析：1.轴对称与轴对称图形的区别：前者表示两个图形的关系，后者表示一个图形的特征.2.对称轴是一条直线而不是一条线段，描述对称轴时要特别注意语言表达要准确.3.线段垂直平分线的性质和作图都是解决几何证明或计算的重要方法，根据其性质还可以得到三角形三条边的中垂线交于一点.4.利用轴对称变换，可以解决几何中的最近距离问题，解决这类问题主要是根据转化思想将直线同一侧的点利用轴对称变换转化到直线两侧，然后根据两点之间线段最短这一原理解决问题.例题精析例1、如图所示的四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由.①②③④答：图形是；理由是.思路点拨：根据图形的对称性判断，四个图形中有三个是轴对称图形，所以与其他三个不同的图形是非轴对称图形.参考答案：②四个图形中，只有②不是轴对称图形.方法归纳：轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合.易错误区：图②找不到对称轴，所以不是轴对称图形，注意要整体观察考虑图形.例2、如图，五边形ABCDE是轴对称图形，线段AF所在的直线为对称轴，连结BF，EF，请你找出图中的一对全等三角形，并证明.思路点拨：根据轴对称图形的性质找出对应相等的线段和角，再利用全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCF≌△EDF.解题过程：△BCF≌△EDF（答案不唯一）.证明：∵五边形ABCDE是轴对称图形，线段AF所在的直线为对称轴，∴在△BCF与△EDF中，∴△BCF≌△EDF.方法归纳：本题考查了全等三角形的判定、轴对称图形.轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质的图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合.易错误区：本题中证明全等时要用SAS，不能根据SSA(两边及其中一边的对角相等)去判断三角形全等.例3、如图所示均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1.请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．思路点拨：根据轴对称图形的性质，不同的对称轴，可以有不同的对称图形，所以可以先找出不同的对称轴，再思考如何画轴对称图形．解题过程：如图所示：方法归纳：考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质.基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连结对称点．易错误区：要认真审题，审清题中的两个关键词，一是“轴对称”，二是“格点”．例4、如图，O为△ABC内部一点，OB=，点P，R为点O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点．（1）请指出当∠ABC在什么角度时，会使得PR的长度等于7？并完整说明PR的长度在此时会等于7的理由．（2）请判断当∠ABC不是你在（1）中指出的角度时，PR的长度是小于7还是会大于7？并完整说明你判断的理由．思路点拨：（1）连结PB，RB，根据轴对称的性质可得PB=OB，RB=OB，然后判断出点P，B，R三点共线时PR=7，再根据平角的定义求解；（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边解答．解题过程：（1）如图，∠ABC=90°时，PR=7.证明：连结PB，RB．∵P，R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点，∴PB=OB=，RB=OB=．∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=∠ABC=90°．∴点P，B，R三点共线．∴PR=2×=7．（2）PR的长度是小于7.理由如下：∵∠ABC≠90°，∴点P，B，R三点不在同一直线上.∴PB+BR＞PR．∵PB+BR=2OB=2×=7，∴PR＜7．方法归纳：本题考查了轴对称的性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质，熟记各性质是解题的关键．易错误区：正确作图、读图是本题的解题关键．例5、如图，在△ABC中，DE，MN分别是边AB，AC的垂直平分线，其垂足分别为点D，M，分别交BC于点E，N，且DE和MN交于点F.(1)若∠B=20°，求∠BAE的度数;(2)若∠EAN=40°，求∠F的度数;(3)若AB=8，AC=9，求△AEN周长的范围.思路点拨：(1)由DE是边AB的垂直平分线可知A，B两点关于直线DE对称，所以∠BAE=∠B；(2)根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，AN=CN，由轴对称性可得∠BAE=∠B，∠CAN=∠C，然后由三角形内角和定理，即可求得∠BAE+∠CAN=70°，然后由三角形的内角和等于180°，求得∠F的度数；(3)由AE=BE，AN=CN，即可得△AEN周长等于BC的长，又由三角形三边关系即可求得△AEN周长的范围.解题过程：(1)∵DE分别是边AB的垂直平分线，∴A，B两点关于直线DE对称.∴∠BAE=∠B=20°.(2)连结AF，如图，∵DE，MN分别是边AB，AC的垂直平分线，∴A，B两点关于直线DE对称，A，C两点关于直线MN对称.∴∠BAE=∠B，∠CAN=∠C.∵∠EAN=40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C=180°，∴∠BAE+∠CAN=70°.∴∠BAC=∠BAE+∠CAN+∠EAN=110°.∵∠ADF=∠AMF=90°，∴∠DFM=∠DFA+∠MFA=90°-∠DAF+90°-∠MAF=180°-∠BAC=70°.(3)∵DE，MN是边AB，AC的垂直平分线，∴AE=BE，AN=CN.∴BC=BE+EN+CN=AE+EN+AN.∵AB=8，AC=9，∴1＜BC＜17.∴△AEN周长的范围为：1＜AE+EN+AN＜17.方法归纳：本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形的内角和以及三角形三边关系.解题时注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.易错误区：本题的图形比较复杂，要仔细分析图形，通过轴对称变换将角和边的数量关系问题转化到同一个三角形中解决是关键.探究提升例、如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=8，点E为CD边的中点，点P，Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当点P在何处时，四边形APQE的周长最小？思路点拨：要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值即可，因此，先在AD上截取线段AF=PQ=2,作点F关于BC的对称点G，连结EG,则此时AP+EQ=EG最小，再设法证的CQ=EC即可求出BP的长度。解题过程：如图，在AD上截取线段AF=PQ=2，作点F关于BC的对称点G，连结EG与BC交于一点即为点Q，过点A作FQ的平行线交BC于一点，即为点P，过点G作BC的平行线交DC的延长线于点H.∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°.设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x.在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC.∴6-x=2.解得x=4.∴当BP=4时，四边形APQE的周长最小.方法归纳：本题考查了轴对称——最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，利用轴对称变换将线段和最短问题转化为两点之间线段最短去解决是此类问题的主要解题思路.易错误区：本题说明CQ=EC是难点，要注意图形中线段之间相等关系的应用和等量的转换.专项训练拓展训练A组1.略2.略3.如图所示为一个以直线AF为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是().A.△ABD≌△ACDB.AF垂直平分EGC.直线BG，CE的交点在AF上D.△DEG是等边三角形(第3题)(第4题)4.如图，在一个规格为6×12(即6×12个小正方形)的球台上，有两个小球A，B.若击打小球A，经过球台边的反弹后，恰好击中小球B，那么小球A击出时，应瞄准球台边上的点().A.P1B.P2C.P3D.P45.略6.如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，EF是对称轴.∠A=90°，∠AED=130°，∠C=45°，则∠BFC的度数为．（第6题）(第7题)(第8题)(第9题)7.如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB=CD，有下面的结论：①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO=OC；④AB⊥BC.其中正确的结论有.8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上点A′处，折痕为CD，则∠A′DB=.9.如图，在△ABC中，AB=AC=15cm，点D是AB的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，△EBC的周长是25cm，则BC的长cm.10.略11.如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度打击白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时∠1=∠2，∠3=∠4，并且∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°.如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角∠5=40°，那么∠1应该等于多少度才能保证黑球准确入袋？请说明理由．（第11题）B组12.如图是一张长方形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM，CM折叠，使点A落在A1处，点D落在D1处.若∠1=40°，则∠BMC的度数为().A.135°B.120°C.100°D.110°（第12题）图1图2（第13题）13.将如图1的矩形ABCD纸片沿EF折叠得到图2，折叠后DE与BF相交于点P，如果∠BPE=130°，则∠PEF的度数为().A.60°B.65°C.70°D.75°14.如图，△ABC的内部有一点P，且点D，E，F是点P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点.若△ABC的内角∠BAC=70°，∠ABC=60°，∠ACB=50°，则∠ADB+∠BEC+∠CFA=().A.180°B.270°C.360°D.480°(第14题)(第15题)(第16题)15.将△ABC沿着平行于BC的直线DE折叠，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数为．16.如图，设镜面L1和L2是平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球A放在L1,L2之间，小球在镜L1中的像为A′，A′在镜L2中的像为A″，若L1，L2的距离为7，则A′A″=.17.生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程如图1～4所示(阴影部分表示纸条的反面)：如果由信纸折成的长方形纸条(图1)长为26cm，宽为x(cm)，分别回答下列问题：(1)为了保证能折成图4的形状(即纸条两端均超出点P)，试求x的取值范围；(2)如果不但要折成图4的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示).(第17题)18.（1）如图1，直线同侧有两点A，B，在直线上求一点C，使它到A，B两点的距离之和最小（保留作图痕迹不写作法）；（2）知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA，OB上分别找出两点E，F，使△PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）；（3）解决问题：①如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小（保留作图痕迹不写作法）；②若∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，∠AMN+∠ANM的度数为．图1图2图3（第18题）走进重高1.【西藏】用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法中正确的是().A.B.C.D.2.【毕节】如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处.若∠B=65°，则∠BDF等于().A.65°B.50°C.60°D.57.5°（第2题）（第4题）3.略4.【潜江】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=26°，则∠CDE=．5.如图1，在四边形OABC中，OA=a，OC=8，∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．（1）若点D与点A重合，则θ=，a=；（2）若折叠后点D恰为AB的中点（如图2），求θ的度数．图1图2（第5题）高分夺冠1.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为