振动法测量杨氏模量实验讲义

MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h大学物理实验讲义共振法测杨氏模量杨氏模量是表征固体材料弹性形变的一个重要力学参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。杨氏模量是固体材料在弹性形变范围内正应力与相应正应变的比值，其数值的大小与材料的结构、化学成分和加工制造等方法有关。测量杨氏模量的方法基本可分为四类：eq\o\ac(○,1)静态测量法。包括静态拉伸法、静态扭转法、静态弯曲法。eq\o\ac(○,2)动态测量法（共振测量法）。包括弯曲共振法（横向共振法）、纵向共振法、扭转共振法。eq\o\ac(○,3)波速测量法。包括连续波法、脉冲波法。eq\o\ac(○,4)其它的一些测量方法。我们学过的有静态拉伸法，其缺点是不能真实地反映材料内部结构的变化，而且不能对脆性材料进行测量。本实验采用共振法测材料的杨氏模量，此方法适用范围广（不同的材料和不同的温度），可测量脆性材料（如玻璃、陶瓷等）。用悬丝耦合弯曲共振法测定金属材料杨氏模量的基本方法是：将一根界面均匀的试样（如圆截面棒或矩形截面棒）用两根细丝悬挂在两只传感器（一只激振，一只拾振）下面，在试样两端自由的条件下，由激振信号通过激振传感器使试样做横向弯曲振动，并由拾振传感器测出试样共振时的共振频率。再测出式样的几何尺寸，质量等参数，即可求得试样材料的杨氏模量。实验目的学习用共振法测量杨氏模量的原理和方法。了解压电陶瓷换能器的功能，熟悉信号源和示波器的适用。培养综合运用知识和使用常用仪器使用方法的能力。

实验仪器功率函数信号发生器、LB-YM（动态）弹性模量测定仪（激振传感器—激发换能器、拾振传感器—接收换能器、悬丝、悬挂测定支架及支撑测定支架）、示波器、医用听诊器、游标卡尺、螺旋测微计、电子天平。实验原理任何物体都有其固有的振动频率，这个固有振动频率取决于试样的振动模式、边界条件、弹性模量、密度以及试样的几何尺寸、形状。只要从理论上建立了一定振动模式、边界条件和试样的固有频率及其他参量之间的关系，就可通过测量试样的固有频率、质量和几何尺寸来计算弹性模量。杆振动的基本方程一细长杆做微小横（弯曲）振动时，取杆的一端为坐标原点，沿杆的长度方向为x轴建立坐标系，利用牛顿力学和材料力学的哈密顿原理可推出杆的振动方程： 式中为杆上任一点x在时刻t的横向位移；为杨氏模量；为绕垂直于杆并通过横截面形心的轴的惯量矩；为杆的横截面积。用分离变量法解微分方程（1），可得到两个独立的常微分方程： 这两个线性常微分方程得通解分别为： 综上可得，两端自由弯曲振动方程得通解为： 式中，K分离变量常数，为试样的固有振动频率，可表示为： 这个公式称为频率公式。它对于任意形状截面和不同边界条件得试样都是成立的。对长度为L，两端自由的杆，边界条件为：弯矩作用力即x=0,L时： 可推导出杆自由振动的频率方程： 方程GOTOBUTTONZEqnNum581060REFZEqnNum581060\*Charformat\!(9)为超越方程，不能用解析法求解，利用数值计算法求得K和L的乘积应满足 式中，为第一个根，它与试样的静止状态相对应；第二个根对应的频率为基频频率，相应的基频振型曲线如图1所示，从图中可以看出试样在做基频振动时，其上有两个节点，它们的位置在距端面0.224L和0.776L处。将基频对应的值代入频率公式，可得到杨氏模量为： 对于圆形截面试样，则，所以式GOTOBUTTONZEqnNum248624REFZEqnNum248624\*Charformat\!(10)可改写为： 式中为棒长；为棒的直径；为棒的质量；为试样共振频率。杨氏模量的测量本实验的基本问题是测量在一定温度下试样的固有频率。实验中采用如图2所示装置。由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在换能器（I）上。通过换能器把电信号转变成机械振动，再由悬线把机械振动传给试样，使试样作横向振动。试样另一端的悬线，把机械振动传给换能器（II），这时机械振动又转变成电信号。该信号经放大后送到示波器中显示。而数字频率计则用于测定信号发生器的信号频率。当信号发生器的频率不等于试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有波形或波形很小。当信号发生器的频率等于试样的固有频率时，试样发生共振，示波器的波形突然增大，这时频率计上读出的频率就是试样在该温度下的共振频率。将此值代入GOTOBUTTONZEqnNum130271REFZEqnNum130271\*Charformat\!(11)式，即可计算出试样杨氏模量。实验步骤（1）测量试样的长度、直径（测6次），注意在不同的部位和不同的方向多次测量直径，使用天平称量试样的质量。（2）根据实验原理，要是试样自由振动就应把悬线吊扎在试样的节点上（见附录），但是这样做就不能激发和拾取试样的振动。因此，实际的吊扎位置都要偏离节点。一般用“内插法”准确测定悬线吊扎在试样节点上时的共振频率。（3）室温下铜和不锈钢的杨氏模量分别约为和，先由GOTOBUTTONZEqnNum130271REFZEqnNum130271\*Charformat\!(11)式估算出共振频率，以便寻找共振点。（4）把信号发生器的输出与测试台的输入相连，测试台的输出与放大器的输入相接，放大器的输出与示波器的Y输入相接。（5）在偏离共振点左右均匀各5个点悬挂试样，由外向内或由内向外分别测出8个悬挂点的共振频率，悬挂点距离两端点的距离和共振点压V纪录在表格中。注意：在实验中保持每次左右两个悬点位置对称，两根悬线保持平行和竖直。因试样共振状态的建立需要有—个过程，共振峰十分尖锐，因此在共振点附近调节信号频率时，必须十分缓慢地进行，缓慢调节“频率微调”，直至示波器示波屏上出现最大的信号。实验时信号发生器电压输出约。（6）求出试样的杨氏模量。数据记录及数据处理：1、实验数据：实验温度23.3℃，试样种类钢棒试样质量33g，试样长度150mm试样直径5.950c，节点位置（距端面）33mm表1．测量试样直径：次数123456平均值直径(mm)5.9555.9525.9465.9