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文档简介
高考大题研究课七向量法求立体几何中的折叠、探索及最值问题会用向量法解决立体几何中的折叠、角的存在条件及最值问题,提高学生空间想象能力、数学运算能力.
题后师说折叠问题的两个解题策略
∵SA=SB=AB=2,∴△SAB为等边三角形,∵O为AB的中点,∴SO⊥AB,∵平面ABCD⊥平面SAB,SO⊂平面SAO,平面ABCD∩平面SAB=AB,SO⊥AB,∴SO⊥平面ABCD,∵BD⊂平面ABCD,∴SO⊥BD,即BD⊥SO,又∵BD⊥OC,SO∩OC=O,SO,OC⊂平面SOC,∴BD⊥平面SOC.
题后师说(1)对于存在判断型问题的求解,应先假设存在,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”转化为“点的坐标的方程是否有解,是否有规定范围内的解”等.(2)对于位置探究型问题,通常借助向量,引进参数,综合已知条件和结论列出等式,解出参数.
题型三
最值问题例3[2020·新高考Ⅰ卷]如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.
解析:(1)证明:在正方形ABCD中,AD∥BC,因为AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC,又因为AD⊂平面PAD,平面PAD∩平面PBC=l,所以AD∥l,因为在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,所以AD⊥DC,所以l⊥DC,且PD⊥平面ABCD,所以AD⊥PD,所以l⊥PD,因为CD∩PD=D,所以l⊥平面PDC.
题后师说利用向量法求解与角有关的最值问题时,往往将问题转化为某一个相关量的问题,即转化为关于其中一个量的函数,求其最大值或最小值的问题.根据具体情况,有函数法、不等式法、三角函数法等方法可供选择.巩固训练3如图,已知圆柱的轴截面ABCD为正方形,E,F为圆弧AB上的两个三等分点,EH,FG为母线,P,Q分别为线段AD,FG上的动点(与端点不重合),经过C,P,Q的平面α与线段EH交于点M.(1)证明:CP∥MQ;(2)当AP=GQ时,求平面α与圆柱底面O所成夹角的正弦值的最小值.解析:(1)证明:因为E,F为圆弧AB上的两个三等分点,所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.同理可得,EH∥平面ABCD.因为EF∩EH=E,EF,EH⊂平面EFGH,所以平面EFGH
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