第24讲 卫星变轨问题 双星模型（讲义）（解析版）

第24讲卫星变轨问题双星模型目录复习目标网络构建考点一卫星的变轨问题【夯基·必备基础知识梳理】知识点1两类变轨的起因知识点2变轨前后各运行物理参量的比较【提升·必考题型归纳】考向变轨前后各运行物理参量的比较考点二天体追及相遇问题【夯基·必备基础知识梳理】知识点天体追及相遇问题基本规律【提升·必考题型归纳】考向天体追及相遇问题基本规律的应用考点三双星和多星问题【夯基·必备基础知识梳理】知识点1双星模型知识点2多星模型【提升·必考题型归纳】考向1双星模型考向2多星模型真题感悟掌握卫星变轨问题和追及相遇问题的基本规律。掌握双星模型和多星模型的基本规律。考点要求考题统计考情分析（1）卫星变轨问题（2）天体的追及相遇问题（3）双星模型和多星模型2023年湖北卷第2题2022年浙江卷第8题2021年天津卷第5题高考对这不内容的考查比较频繁，多以选择题的形式出现，题目的背景材料多为我国在航天领域取得的成就，比如神州飞船、天宫轨道舱等。考点一卫星的变轨问题知识点1两类变轨的起因两类变轨离心运动近心运动示意图变轨起因卫星速度突然增大卫星速度突然减小万有引力与向心力的大小关系GMmr2GMmr2知识点2变轨前后各运行物理参量的比较（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3。（4）机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3。①在A点，由圆周Ⅰ变至椭圆Ⅱ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加；②在B点，由椭圆Ⅱ变至圆周Ⅲ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加；反之也有相应的规律。考向变轨前后各运行物理参量的比较1．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱成功对接，对接过程如图所示，天和核心舱处于半径为的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为的圆轨道Ⅰ，当经过点时，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到处与核心舱对接，则神舟十二号飞船（）A．沿轨道Ⅰ运行的速度小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的速度B．在轨道Ⅰ上运行的周期大于在轨道Ⅱ上运行的周期C．神舟十二号飞船在飞向核心舱的过程中，引力势能增大，动能减小，机械能守恒D．在轨道Ⅰ上运动经过点的加速度小于在轨道Ⅱ上运动经过点的加速度【答案】C【详解】A．由万有引力提供向心力有得可知，运行速度大小与环绕物体的质量无关，r越小，运行速度越大，高轨低速，即：沿轨道Ⅰ运行的速度大于沿轨道Ⅲ运行的速度，故A错误；B．由开普勒第三定律可知，高轨长周期，在轨道Ⅰ上运行的周期小于在轨道Ⅱ上运行的周期，故B错误；C．在神舟十二号飞向核心舱的过程中，在椭圆轨道上只受引力作用，万有引力做负功,引力势能增大，动能减小，机械能守恒，故C正确；D．由万有引力提供向心力有得可知与地球距离相等的位置，加速度大小相同，故D错误。故选C。2．2021年5月15日，我国“天问一号”探测器成功在火星表面着陆。若某探测器登陆火星前先后沿图示圆轨道I、椭圆轨道II、圆轨道II运行，B为轨道II的近火点。假设探测器的质量不变，则探测器（）

A．在轨道I上运行的周期大于在轨道II上运行的周期B．在轨道II上运行的向心加速度小于在轨道I上运行的向心加速度C．在轨道II上的动能总是大于在轨道III上的动能D．由轨道II变轨到轨道III时在B处需要点火减速【答案】AD【详解】A．根据开普勒第三定律可知探测器在轨道I上运行的周期大于在轨道II上运行的周期，故A正确；B．根据万有引力提供向心力有解得所以在轨道II上运行的向心加速度大于在轨道I上运行的向心加速度，且在A点的向心加速度相等，故B错误；C．探测器在轨道II上的A点加速进入轨道I，根据万有引力提供向心力有解得可知探测器在轨道I的速度小于III的速度，进而可知在轨道II上A点的动能小于在轨道III上的动能，故C错误；D．由轨道II变轨到轨道III时在B处需要点火减速，故D正确。故选AD。考点二天体追及相遇问题知识点天体追及相遇问题基本规律绕同一中心天体，在同一轨道平面内不同高度上同向运行的卫星，因运行周期的不同，两颗卫星有时相距最近，有时又相距最远，这就是天体中的“追及相遇”问题。相距最远当两卫星位于和中心天体连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)相距最近两卫星的运转方向相同，且位于和中心天体连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…)考向天体追及相遇问题基本规律的应用1．我国的北斗三号卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星共30颗卫星组成。如图所示，A、C为地球静止轨道卫星，B为在赤道平面的中圆地球轨道卫星，绕行方向均与地球自转方向一致。已知地球自转周期为，卫星B的运行周期为，图示时刻，卫星A与卫星B相距最近。下列说法正确的是（）

A．卫星A、B、C的向心加速度的大小关系为B．卫星C向后喷气加速可沿圆轨道追上卫星AC．经过时间，卫星A与卫星B又一次相距最近D．卫星A、C的发射速度小于第一宇宙速度【答案】AC【详解】A．根据得如图可知，A正确；B．卫星C向后喷气加速做离心运动，不能追上同轨道的A，B错误；C．根据卫星A与卫星B又一次相距最近的时间间隔为，C正确；D．第一宇宙速度是最小发射速度，则卫星A、C的发射速度大于第一宇宙速度，D错误；故选AC。2．地球的两颗卫星绕地球在同一平面内做匀速圆周运动，环绕方向如图所示。已知卫星一运行的周期为，地球的半径为，卫星一和卫星二到地球中心的距离分别为，，引力常量为G，某时刻两卫星与地心连线之间的夹角为，下列说法正确的是（）

A．卫星二的机械能一定大于卫星一的机械能B．地球的质量C．卫星二围绕地球做圆周运动的周期D．从图示时刻开始，经过时间两卫星第一次相距最近【答案】D【详解】A．因为未知两卫星的质量，所以无法比较它们机械能的大小，A错误；B．对卫星一由牛顿第二定律解得地球质量为故B错误；C．由开普勒第三定律可得卫星二围绕地球做圆周运动的周期故C错误；D．两卫星共线且在同一侧时相距最近，设经过t时间，两卫星第一次相距最近解得故D正确。故选D。考点三双星和多星问题知识点1双星模型(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。知识点2多星模型(1)模型构建：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。(2)三星模型：①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。考向1双星模型1．如图1所示，河外星系中两黑洞A、B的质量分别为和，它们以两者连线上的某一点O为圆心做匀速圆周运动。为研究方便，简化为如图2所示的示意图，黑洞A、B均可看成球体，。下列说法正确的是（）

A．黑洞A的运行线速度大小小于黑洞B的运行线速度大小B．若两黑洞间的距离一定，把黑洞B上的物质移到黑洞A上，他们之间的引力变大C．若两黑洞间的距离一定，把黑洞A上的物质移到黑洞B上，他们运行的周期变大D．人类要把宇航器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，发射速度一定大于第三宇宙速度【答案】BD【详解】A.黑洞A、B运行的角速度相同，A的半径较大，则A的线速度更大，A错误；B.设它们相距为L，角速度为ω，根据牛顿第二定律得；可得则当B的质量减小，A的质量增加时，两个质量的乘积变大，故它们的引力变大，B正确；C.根据；整理得根据可知角速度不变，周期不变，C错误；D.人类要把航天器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，必须冲出太阳系，所以发射速度一定大于第三宇宙速度，D正确。故选BD。2．中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期也为T，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则（）A．A、B的轨道半径之比为 B．C的质量为C．B的质量为 D．A的质量为【答案】D【详解】B．C绕B做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有解得故不能求出C的质量，故B错误；C．双星系统在万有引力作用下绕O点做匀速圆周运动，对A研究对B研究解得双星的总质量故C错误；D．A的质量故D正确；A．A、B的轨道半径之比为故A错误。故选D。考向2多星模型3．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是（）A．直线形三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为B．直线形三星系统中星体做圆周运动的周期为C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为【答案】D【详解】A．直线三星系统中星体做圆周运动，万有引力做向心力；根据星体受到另两个星体的引力作用可得星体做圆周运动的线速度大小为故A错误；B．直线三星系统中星体做圆周运动，万有引力做向心力；根据星体受到另两个星体的引力作用可得解得星体做圆周运动的周期为故B错误；C．根据几何关系可得：三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，圆周运动的轨道半径为由万有引力提供向心力得解得三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为故C错误；D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为故D正确。故选D。4．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G。则下列说法正确的是（）A．星体做匀速圆周运动的轨道半径为B．若实验观测得到星体的半径为R，则星体表面的重力加速度为C．星体做匀速圆周运动的周期为D．每个星体做匀速圆周运动的向心力大小为【答案】ABC【详解】A．根据题意可知四星系统模型如下所示，四边形顶点到对角线交点O的距离即为星体做圆周运动的半径r，根据图中几何关系可得故A正确；B．物体在星体表面所受的重力等于星体对其施加的万有引力，设物体质量为，根据万有引力定律有解得故B正确；CD．根据题意可知，任意一个星体都受到其他三个星体的引力作用，根据对称性可知每个星体所受引力合力大小相等，且指向对角线的交点O。对上图模型中右上角星体分析受力，可知其所受万有引力合力大小为星体做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有联立两式可得故C正确，D错误。故选ABC。1．（2023年湖北高考真题）2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为，如图所示。根据以上信息可以得出（

）

A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大C．火星与地球表面的自由落体