考研数学一（高等数学）模拟试卷2（共340题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷2（共9套）（共340题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)，g(x)是连续函数，当x→0时，f(x)与g(x)是等价无穷小，令F(x)＝，G(x)＝，则当x→0时，F(x)是G(x)的()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但非等价无穷小D、等价无穷小标准答案：D知识点解析：2、设F(x)＝，则F(x)()．A、为正常数B、为负常数C、为零D、取值与x有关标准答案：A知识点解析：3、设，则当x→0时，两个无穷小的关系是()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶非等价无穷小D、等价无穷小标准答案：C知识点解析：因为，所以两无穷小同阶但非等价，选4、A、单调减少B、无界C、连续D、有第一类间断点标准答案：C知识点解析：因为f(x)在(0，2)内只有第一类间断点，所以g(x)在(0，2)内连续，选（C）。5、设f(x)在R上是以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：6、设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：7、A、等于0B、大于0C、小于0D、不能确定标准答案：B知识点解析：8、若由曲线y＝，曲线上某点处的切线以及x＝1，x＝3围成的平面区域的面积最小，则该切线是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)9、标准答案：知识点解析：10、标准答案：知识点解析：11、标准答案：4－π知识点解析：12、设f(x)满足等式xf’(x)一f(x)＝，且f(1)＝4，则＝____________。标准答案：知识点解析：13、设函数y＝y(x)满足，且y(1)＝1，则＝___________。标准答案：知识点解析：14、标准答案：a＝ln2知识点解析：15、标准答案：知识点解析：16、设连续非负函数f(x)满足f(x)f(一x)＝1，则＝__________。标准答案：1知识点解析：17、在区间[一1，1]上的最大值为__________．标准答案：ln3知识点解析：18、设f(x)的一个原函数为，则＝_________。标准答案：知识点解析：19、标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、设f(x)连续，且f(x)＝，求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、标准答案：因为(x2ex)’＝(x2＋2x)ex，知识点解析：暂无解析27、标准答案：知识点解析：暂无解析28、标准答案：知识点解析：暂无解析29、标准答案：知识点解析：暂无解析30、标准答案：知识点解析：暂无解析31、设F(x)为f(x)的原函数，且当x≥0时，f(x)F(x)＝，又F(0)＝1，F(x)＞0，求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析32、标准答案：知识点解析：暂无解析33、计算标准答案：知识点解析：暂无解析34、标准答案：知识点解析：暂无解析35、标准答案：知识点解析：暂无解析36、标准答案：知识点解析：暂无解析设S(x)＝37、证明：当nπ≤x＜(n＋1)π时，2n≤S(x)＜2(n＋1)；标准答案：知识点解析：暂无解析38、求标准答案：知识点解析：暂无解析39、设f(x)在[0，＋∞)上连续，非负，且以T为周期，证明：标准答案：对充分大的x，存在自然数n，使得nT≤x＜(n＋1)T，知识点解析：暂无解析40、设f(x)在[0，1]上连续，f(0)＝0，.证明：存在ξ∈(0，1)，使得标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、累次积分可以写成A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析2、设S是平面x+y+z=4被圆柱面x2+y2=1截出的有限部分，则曲面积分的值是A、0B、C、D、π标准答案：A知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)3、交换积分次序：=___________标准答案：知识点解析：暂无解析4、=____________标准答案：知识点解析：暂无解析5、交换积分次序：=____________标准答案：知识点解析：暂无解析6、=_____________标准答案：知识点解析：暂无解析7、=_____________标准答案：知识点解析：暂无解析8、设曲线C为，则=_____________标准答案：知识点解析：暂无解析9、设C为椭圆，则=_____________标准答案：πab知识点解析：暂无解析10、设u=x2+y2+z2，则div(gradu)=__________标准答案：6知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共40题，每题1.0分，共40分。)11、计算二重积分，其中D是直线y=2，y=x和双曲线xy=1所围成的平面区域．标准答案：知识点解析：暂无解析12、计算标准答案：知识点解析：暂无解析13、计算，其中区域D由y=x2，y=4x2，y=1所围成．标准答案：知识点解析：暂无解析14、计算，其中D由直线x=一2，y=0，y=2以及曲线所围成．标准答案：知识点解析：暂无解析15、计算，其中D：x2+y2≤4．标准答案：9π知识点解析：暂无解析16、计算，其中D由不等式x2+y2≤x+y所确定．标准答案：知识点解析：暂无解析17、计算，D是由(0≤t≤2π)与x轴所围成的区域．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求，其中D是由y=x3，y=1，x=一1所围成的区域，f(u)是连续函数．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x，y)是定义在区域0≤x≤1，x≤y≤1上的二元连续函数，f(0，0)=一1，求极限。标准答案：知识点解析：暂无解析20、设f(x，y)在单位圆x2+y2≤1上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，f(0，0)=2001，试求极限标准答案：2001知识点解析：暂无解析21、计算三重积分，其中Ω为曲线绕z轴旋转一周的曲面与平面z=2，z=8所围成的空间区域．标准答案：336π知识点解析：暂无解析22、求积分，其中Ω为球面x2+y2+z2=z所围的球体．标准答案：知识点解析：暂无解析23、计算，其中Ω由不等式x2+y2+z2≥z和x2+y2+z2≤2z所确定．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设f(x)连续，，其中Ω由不等式0≤z≤h，x2+y2≤t2所确定．试求：标准答案：知识点解析：暂无解析25、计算，其中Ω由平面z=0，z=1及曲面x2+y2=2围成．标准答案：知识点解析：暂无解析26、计算标准答案：2πa2知识点解析：暂无解析27、计算，其中C为双纽线(x2+y2)2=a2(x2一y2)标准答案：知识点解析：暂无解析28、计算，其中S为锥面z2=x2+y2介于z=0及z=1之间的部分．标准答案：知识点解析：暂无解析29、计算，其中S为上半球面标准答案：πa3知识点解析：暂无解析30、计算，其中S为球面x2+y2+z2=R2．标准答案：知识点解析：暂无解析31、计算，其中C为以A(1，0)，B(0，1)，C(一1，0)，D(0，一1)为顶点的正方形闭路．标准答案：0知识点解析：暂无解析32、计算曲线积分，其中L为区域0＜x＜π，0＜y＜sinx边界的正方向围线．标准答案：知识点解析：暂无解析33、计算，其中C为由点A(2a，0)到点B(0，0)的上半圆周(x—a)2+y2=a2(y≥0)．标准答案：知识点解析：暂无解析34、计算，其中C为从点A(一a，0)到点B(a，0)的上半椭圆(y≥0)．标准答案：一π知识点解析：暂无解析35、计算，其中C为抛物线上从点A(1，π)到点B(2，π)的有向曲线段．标准答案：1+π知识点解析：暂无解析36、求曲线积分的值，其中L为(x一a)2+(y一b)2=1的正向．标准答案：①当原点不包含在L所限定区域内时，I=0；②当原点包含在L所限定区域内时，I=π；③当原点在L上时，原积分无意义．知识点解析：暂无解析37、计算，其中C：，若从x轴正向看去，C的方向为逆时针方向．标准答案：一4π知识点解析：暂无解析38、计算，其中∑为球面x2+y2+z2=1的外侧位于x≥0，y≥0的部分．标准答案：知识点解析：暂无解析39、计算，其中∑为半球面的内侧．标准答案：知识点解析：暂无解析40、计算，其中∑为x2+y2+z2=1的外侧．标准答案：12π知识点解析：暂无解析41、计算．其中∑是由曲线x=ey(0≤y≤a)绕x轴旋转而成的旋转面外侧．标准答案：知识点解析：暂无解析42、计算，其中∑为(x—a)2+(y一b)2+(z—c)2=R2的外侧．标准答案：知识点解析：暂无解析计算43、∑为z=的上侧．标准答案：2π知识点解析：暂无解析44、∑为上半椭球面(z≥0)的上侧．标准答案：2π知识点解析：暂无解析45、计算其中∑为区域Ω的外侧，Ω由不等式z≥，x2+y2+z2≥1和x2+y2+z2≤4所确定，f(u)有连续一阶导数．标准答案：知识点解析：暂无解析46、求线密度为常数的摆线x=a(t一sint)，y=a(1一cost)(0≤t≤π)的重心．标准答案：知识点解析：暂无解析47、求柱面x2+y2=ax(a＞0)位于球面x2+y2+z2=a2内的部分的面积．标准答案：4a2知识点解析：暂无解析48、求密度为常数ρ、半径为R的球体对于它的一条切线的转动惯量．标准答案：知识点解析：暂无解析49、已知曲线积分．其中A为常数，φ(x)有连续一阶导数，φ(1)=1，L是绕(0，0)点一周的任意正向简单闭曲线，试求φ(x)及A．标准答案：由原题可推得沿任何一条不包含原点在内的简单闭曲线积分为零．从而可得，在任何一个不含原点在内的单连通域内该线积分与路径无关，则有，从而可解出φ(x)=x2，求出A=2π．知识点解析：暂无解析50、设L是圆周(x一a)2+(y一a)2=1的逆时针方向，f(x)恒正且连续，试证标准答案：利用格林公式，再注意由对称性知，其中D：(x-a)2+(y-a)2≤1知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设，其中a2+c2≠0，则必有()A、b=4d。B、b=-4d。C、a=4c。D、a=-4c。标准答案：D知识点解析：当x→0时，由带佩亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln(1-2x)均为x的一阶无穷小；而1-cosx，均为x的二阶无穷小，所以即a=-4c，故选D。2、f(x)=则f(x)在x=0处()A、极限不存在。B、极限存在，但不连续。C、连续但不可导。D、可导。标准答案：C知识点解析：由f’+(0)，f’-(0)都存在可得，f(x)在x=0右连续和左连续，所以f(x)在x=0连续；但f’+(0)≠f’-(0)，所以f(x)在x=0处不可导。所以选C。3、设f(x)为可导函数，且满足条件，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为()A、2。B、-1。D、-2。标准答案：D知识点解析：将题中极限条件两端同乘2，得由导数定义可知，f’(1)=-2，故选D。4、设f(x)有二阶连续导数，且f’(0)=0，，则()A、f(0)是f(x)的极大值。B、f(0)是f(x)的极小值。C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点。D、f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点。标准答案：B知识点解析：根据极限的保号性，由=1可知，存在x=0的某邻域Uδ(0)，使对任意x∈Uδ(0)，都有，即f’’(x)＞0。从而函数f’(x)在该邻域内单调增加。于是当x＜0时，有f’(x)＜f’(0)=0；当x＞0时，f’(x)＞f’(0)=0，由极值的第一判定定理可知，f(x)在x=0处取得极小值。故选B。5、函数f(x，y)=arctan在点(1，0)处的梯度向量为()A、-i。B、i。C、-j。D、j。标准答案：D知识点解析：则gradf｜(1,0)=j，故选D。6、设D为单位圆x2+y2≤1，I1=(x3+y3)dxdy，I2=(x3+y3)dxdy，I3=(2x6+y5)dxdy，则()A、I1＜I2＜I3。B、I3＜I1＜I2。C、I3＜I2＜I3。D、I1＜I3＜I2。标准答案：D知识点解析：积分域D关于两个坐标轴都对称，而x3是x的奇函数，y3，y5是y的奇函数，则由于在D内｜x｜≤1，｜y｜≤1，则x6+y6≤x4+y4，于是从而有I1＜I3＜I2。故选D。7、设常数λ＞0，且级数()A、发散。B、条件收敛。C、绝对收敛。D、敛散性与λ有关。标准答案：C知识点解析：取an=，显然满足题设条件。而此时于是由比较判别法知，级数绝对收敛，故选C。8、已知微分方程y’’+6y’+y=0的每个解都在区间(0，+∞)上有界，则实数b的取值范围是()A、[0，+∞)。B、(-∞，0]。C、(-∞，4]。D、(-∞，+∞)。标准答案：A知识点解析：微分方程y’’+6y’+y=0的特征方程为r2+br+1=0，特征根为(1)b2＜4时，原方程通解为(2)b2=4时，原方程通解为(3)b2＞4时，原方程通解为由以上解的形式可知当b≥0时，每个解都在[0，+∞)上有界，故选A。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)9、设，则a=_______。标准答案：ln2知识点解析：10、设y=y(x)由方程确定，则y’’(0)=_______。标准答案：-2π知识点解析：将x=0代入方程x=可得y=1，即y(0)=1。在方程两边对x求导，得所以y’’(0)=-2π。11、=________。标准答案：知识点解析：因为，所以12、曲线pθ=1相应于的一段弧长s=_________。标准答案：知识点解析：由已知可得。则13、grad=_______。标准答案：i+j+k知识点解析：令u=xy+，则14、设z=z(x，y)由方程z+ez=xy2所确定，则dz=_______。标准答案：知识点解析：在方程两端对x求偏导得同理可得所以15、交换积分次序=______。标准答案：知识点解析：由题干可知，积分区域如图1-6-4所示，则有16、设Γ为曲线从z轴正向往z轴负向看去为顺时针方向，则I=(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz=___________。标准答案：-2π知识点解析：利用格林公式计算。设C为圆x2+y2=1的顺时针方向，由x-y+z=2可知z=2-x+y，则17、已知幂级数在x=1处条件收敛，则幂级数的收敛半径为_________。标准答案：1知识点解析：幂级数在x=1处条件收敛，那么x=1为该幂级数收敛区间的端点，其收敛半径为1，因此幂级数收敛半径也为1。18、微分方程xy’’+3y’=0的通解为________。标准答案：知识点解析：令p=y’，则原方程化为p’+=0，其通解为p=Cx-3。因此三、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)19、设f(x)=标准答案：知识点解析：暂无解析20、设f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且f’’(x)≠0。证明：(Ⅰ)对于任意的x∈(-1，0)∪(0，1)，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立；(Ⅱ)标准答案：(Ⅰ)由拉格朗13中值定理，对任意的x∈(-1，1)，x≠0，存在θ(x)∈(0，1)使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)。又由f’’(x)连续且f’’(x)≠0知，f’’(x)在(-1，1)不变号，则f’(x)在(-1，1)严格单调，θ唯一。(Ⅱ)对f’(θx)使用f’’(0)的定义。由(Ⅰ)中的式子，则有解出θ，令x→0取极限得知识点解析：暂无解析21、设曲线y=ax2(x≥0，常数a＞0)与曲线y=1-x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D。(Ⅰ)求D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(a)；(Ⅱ)求a的值，使V(a)为最大。标准答案：y=ax2与y=1-x2的交点为，直线OA的方程为(Ⅰ)旋转体的体积当a＞0时，得V(a)的唯一驻点a=4。当0＜a＜4时，V’(a)＞0；当a＞4时，V’(a)＜0。故a=4为V(a)的唯一极大值点，即为最大值点。知识点解析：暂无解析22、设z=标准答案：将上式分别代入原式可得知识点解析：暂无解析23、计算，其中D={(x，y)｜0≤y≤min{x，1-x}}。标准答案：如图1-6-10所示，在极坐标中知识点解析：暂无解析24、设P为椭球面S：x2+y2+z2-yz=1上的动点，若S在点P的切平面与xOy面垂直，求P点的轨迹C，并计算曲面积分其中∑是椭球面S位于曲线C上方的部分。标准答案：(Ⅰ)切平面法向量的分量Fx=2x，Fy=2y-z，Fz=2z-y，因切平面与xOy面垂直，所以2x×0+(2y-z)×0+(2z-y)×1=0，即z=因此轨迹C为(Ⅱ)记∑方程为z=z(x，y)，由第一类曲面积分可得由x2+y2+z2-yz=1两边分别同时对x，y求偏导，得因为x2+y2+z2-yz=1。所以知识点解析：暂无解析25、设幂级数在(-∞，+∞)内收敛，其和函数y(x)满足y’’-2xy’-4y=0，y(0)=0，y’(0)=1。(Ⅰ)证明an=，n=0，1，2，…；(Ⅱ)求y(x)的表达式。标准答案：(Ⅰ)记y(x)=，代入微分方程y’’-2xy’-4y=0有故有(n+2)(n+1)an+2-2nan-4an=0，即有(Ⅱ)由初始条件y(0)=0,y’(0)=1，知a0=0，a1=1。于是根据递推关系式an+2=，有a2n=0，a2n+1=。故知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设直线，则过直线L1且平行于L2的平面方程为_________．标准答案：x一3y＋z＋2＝0知识点解析：所求平面的法向量为n＝{1，0，一1}×{2，1，1}＝{1，一3，1}，又平面过点(1，2，3)，则所求平面方程为π：(x一1)一3(y一2)＋(z一3)＝0，即π：x一3y＋z＋2＝0．2、点M(3，一1，2)到直线的距离为__________．标准答案：知识点解析：直线的方向向量为s＝{1，1，一1}×{2，一1，1}＝{0，一3，一3}，显然直线经过点M0(1，一1，1)，，则点M(3，一1，2)到直线的距离为3、两异面直线之间的距离为___________．标准答案：7知识点解析：s1＝{4，一3，1}，s2＝{一2，9，2}，n＝{4，一3，1}×{一2，9，2}＝{一15，一10，30}，过直线L2且与L1平行的平面方程为π：一15x一10(y＋7)＋30(z一2)＝0，即π：3x＋2y一6z＋26＝0，4、设点M1(1，一1，一2)，M2(1，0，3)，M3(2，1，2)，则点M3到向量的距离为__________．标准答案：知识点解析：5、直线绕z轴旋转一周的旋转曲面方程为__________．标准答案：x2＋y2一z2＝1知识点解析：设M(x，y，z)为旋转曲面∑上的任意一点，该点所在的圆对应与直线L上的点为M0(x0，y0，z)，圆心为T(0，0，z)，由，得x2＋y2＝x02＋y02．因为M0(x0，y0，z)∈L，所以，即x0＝1，y0＝z，于是曲面方程为∑：x2＋y2一z2＝1．6、设直线l过点M(1，一2，0)且与两条直线垂直，则l的参数方程为___________．标准答案：知识点解析：直线l1的方向向量为s1＝{2，0，1}×{1，一1，3}＝{1，一5，一2}，直线l2的方向向量为s2＝{1，一4，0}，则直线l的方向向量为s＝s1×s2＝(一8，一2，1)，直线l的方程为，参数方程为二、解答题(本题共32题，每题1.0分，共32分。)设f(x)在(一a，a)(a＞0)内连续，且f'(0)＝2．7、证明：对0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得；标准答案：知识点解析：暂无解析8、求．标准答案：知识点解析：暂无解析9、标准答案：知识点解析：暂无解析10、设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(一∞，＋∞)有｜f(x)＋f’(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．标准答案：令φ(x)＝exf(x)，则φ’(x)＝ex[f(x)＋f’(x)]，由｜f(x)＋f’(x)｜≤1得｜φ’(x)｜≤ex，又由f(x)有界得φ(一∞)＝0，则φ(x)＝φ(x)一φ(一∞)＝，两边取绝对值得，所以｜f(x)｜≤1．知识点解析：暂无解析11、设f(x)在(一∞，＋∞)上有定义，且对任意的x，y∈(一∞，＋∞)有｜f(x)－f(y)｜≤｜x—y｜．证明：．标准答案：因为(b一a)f(a)＝，知识点解析：暂无解析12、设f(x)在[0，1]上连续，且0＜m≤f(x)≤M，对任意的x∈[0，1]，证明：标准答案：因为0＜m≤f(x)≤M，所以f(x)一m≥0，f(x)一M≤0，从而知识点解析：暂无解析13、设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：标准答案：知识点解析：暂无解析14、设f(x)在(0，＋∞)内连续且单调减少．证明：标准答案：知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[a，b]上连续且单调减少．证明：当0＜k＜1时，标准答案：知识点解析：暂无解析16、设f’(x)在[0，1]上连续且｜f’(x)｜≤M．证明：标准答案：知识点解析：暂无解析17、设f(x)在[0，a]上一阶连续可导，f(0)＝0，令。证明：．标准答案：由微分中值定理得f(x)一f(0)＝f’(ξ)x，其中ξ介入0与x之间，因为f(0)＝0，所以｜f(x)｜＝｜f’(ξ)x｜≤Mx，x∈[0，a]，从而．知识点解析：暂无解析18、设f’(x)在[0，1]上连续，且f(1)一f(0)＝1．证明：．标准答案：知识点解析：暂无解析19、(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)＝0．证明：标准答案：知识点解析：暂无解析20、(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)＝f(b)＝0．证明：标准答案：知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[a，b]上连续可导，证明：标准答案：知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f"(x)＜0．证明：标准答案：知识点解析：暂无解析23、设f(x)在区间[a，b]上二阶可导且f"(x)≥0．证明：标准答案：知识点解析：暂无解析24、设f(x)∈C[0，1]，f(x)＞0．证明积分不等式：标准答案：知识点解析：暂无解析25、设直线y＝ax与抛物线y＝x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x＝1所围成的图形面积为S2，且a＜1．(1)确定a，使S1＋S2达到最小，并求出最小值；(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．标准答案：(1)直线y＝ax与抛物线y＝x2的交点为(0，0)，(a，a2)．知识点解析：暂无解析26、求曲线y＝3一｜x2一1｜与x轴围成的封闭区域绕直线y＝3旋转所得的旋转体的体积．标准答案：显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕y＝3旋转所成的体积．知识点解析：暂无解析27、求椭圆与椭圆所围成的公共部分的面积．标准答案：根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的4倍，先求第一象限的面积.知识点解析：暂无解析设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕x轴一周所得旋转曲面为S．28、求旋转曲面的方程；标准答案：知识点解析：暂无解析29、求曲面S介于平面z＝0与z＝1之间的体积．标准答案：对任意的x∈[0，1]，垂直于z轴的截口圆面积为．A(z)＝π(x2＋y2)＝π(2z2一2z＋1)于是知识点解析：暂无解析30、计算标准答案：知识点解析：暂无解析31、计算标准答案：知识点解析：暂无解析32、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析33、证明：标准答案：知识点解析：暂无解析34、证明：当x≥0时，f(x)＝的最大值不超过.标准答案：当x＞0时，令f’(x)＝(x—x2)sin2nx＝0得x＝1，x＝kπ(k＝1，2，…)，当0＜x＜1时，f’(x)＞0；当x＞1时，f’(x)≤0(除x＝kπ(k＝1，2，…)外f’(x)＜0)，于是x＝1为f(x)的最大值点，f(x)的最大值为f(1)．因为当x≥0时，sinx≤x，所以当x∈[x，1]时，(x—x2)sin2nx≤(x—x2)x2n＝x2n＋1一x2n＋2，知识点解析：暂无解析35、设f(x)在[a，b]上连续，且对任意的t∈[0，1]及任意的x1，x2∈[a，b]满足：f(tx1＋(1一t)x2)≤tf(x1)＋(1一t)f(x2)．证明：标准答案：知识点解析：暂无解析36、设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f"(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且证明：标准答案：知识点解析：暂无解析37、令f(x)＝x一[x]，求极限标准答案：因为[x＋m]＝[x]＋m(其中m为整数)，所以f(x)＝x一[x]是以1为周期的函数，又[x]≤x，故f(x)≥0，且f(x)在[0，1]上的表达式为对充分大的x，存在自然数n，使得n≤x＜n＋1，则知识点解析：暂无解析38、为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口．设井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗盛污泥2000N，提升速度为3m／s，在提升过程中，污泥以20N／s的速度从抓斗中漏掉．现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?标准答案：设拉力对空斗所做的功为W1，则W1＝400×30＝12000(J)．设拉力对绳所做的功为W1，任取[x，x＋dx][0，30]，dW2＝50(30—x)dx，则设拉力对污泥做功为W3，任取[t，t＋dt][0，10]，dW3＝(2000—20t)×3dt，则，拉力克服重力所做的功为W＝W1＋W2＋W3＝91500(J)．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)1、设f(x)在x＝a处可导，且f(a)≠0，则｜f(x)｜在x＝a处()．A、可导B、不可导C、不一定可导D、不连续标准答案：A知识点解析：不妨设f(a)＞0，因为f(x)在x＝a处可导，所以f(x)在x＝a处连续，于是存在δ＞0，当｜x一a｜＜δ时，有f(x)＞0，于是＝f’(a)，即｜f(x)｜在x＝a处可导，同理当f(a)＜0时，｜f(x)｜在x＝a处也可导，选(A)．2、设ξ为f(x)＝arctanx在[0，a]上使用微分中值定理的中值，则为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：3、设f(x)在x＝a处二阶可导，则等于()．A、一f"(a)B、f"(a)C、2f"(a)D、标准答案：D知识点解析：4、设f(x)在x＝0处二阶可导，f(0)＝0且，则()．A、f(0)是f(x)的极大值B、f(0)是f(x)的极小值C、(0，f(0))是曲线y＝f(x)的拐点D、f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线y＝f(x)的拐点标准答案：B知识点解析：5、设f(x)在x＝a处的左右导数都存在，则f(x)在x＝a处()．A、一定可导B、一定不可导C、不一定连续D、连续标准答案：D知识点解析：因为f(x)在x＝a处右可导，所以存在，于是，即f(x)在x＝a处右连续，同理由f(x)在x＝a处左可导，得f(x)在x＝a处左连续，故f(x)在x＝a处连续，由于左右导数不一定相等，选(D)．6、f(x)g(x)在x0处可导，则下列说法正确的是()．A、f(x)，g(x)在x0处都可导B、f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不可导C、f(x)在x0处不可导，g(z)在x0处可导D、f(x)，g(x)在x0处都可能不可导标准答案：D知识点解析：令显然f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但f(x)g(x)≡一1在任何一点都可导，选(D)．7、f(x)在x0处可导，则｜f(x)｜在x0处()．A、可导B、不可导C、连续但不一定可导D、不连续标准答案：C知识点解析：由f(x)在x0处可导得｜f(x)｜在x0处连续，但｜f(x)｜在x0处不一定可导，如f(x)＝x在x＝0处可导，但｜f(x)｜＝｜x｜在x＝0处不可导，选(C)．8、设f(x)为二阶可导的奇函数，且x＜0时有f"(x)＞0，f’(x)＜0，则当x＞0时有()．A、f"(x)＜0，f’(x)＜0B、f"(x)＞0，f’(x)＞0C、f"(x)＞0，f’(x)＜0D、f"(x)＜0，f’(x)＞0标准答案：A知识点解析：因为f(x)为二阶可导的奇函数，所以f(一x)＝一f(x)，f’(一x)＝f’(x)，f"(一x)＝一f"(x)，即f’(x)为偶函数，f"(x)为奇函数，故由x＜0时有f"(x)＞0，f’(x)＜0，得当x＞0时有f"(x)＜0，f’(x)＜0，选(A)．9、设f(x)为单调可微函数，g(x)与f(x)互为反函数，且f(2)＝4，f’(2)＝，f’(4)＝6，则g’(4)等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为，所以选(B)．10、设f(x)在x＝a的邻域内有定义，且f＋’(a)与f－’～(a)都存在，则()．A、f(x)在x＝a处不连续B、f(x)在x＝a处连续C、f(x)在x＝a处可导D、f(x)在x＝a处连续可导标准答案：B知识点解析：因为f＋’(a)存在，所以存在，于是＝f(a)，即f(x)在x＝a处右连续，同理由f－’(a)存在可得f(x)在x＝a处左连续，故f(x)在x＝a处连续，选(B)．11、下列命题成立的是()．A、若f(x)在x0处连续，则存在δ＞0，使得f(x)在｜x—x0｜＜δ内连续B、若f(x)在x0处可导，则存在δ＞0，使得f(x)在｜x—x0｜＜δ内可导C、若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且存在，则f(x)在x0处可导，且f’(x0)＝D、若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且不存在，则f(x)在x0处不可导标准答案：C知识点解析：暂无解析12、则f(x)在x＝0处()．A、不连续B、连续不可导C、可导但f’(x)在x＝0处不连续D、可导且f’(x)在x＝0处连续标准答案：D知识点解析：13、函数f(x)在x＝1处可导的充分必要条件是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：14、设f(x)连续可导，g(x)连续，且，又f’(x)＝一2x2＋，则()．A、x＝0为f(x)的极大点B、x＝0为f(x)的极小点C、(0，0)为y＝f(x)的拐点D、x＝0既不是f(x)极值点，(0，0)也不是y＝f(x)的拐点．标准答案：C知识点解析：即当x∈(一δ，0)时，f"(x)＞0；当x∈(0，δ)时，f"(x)＜0，故(0，0)为y＝f(x)的拐点，应选(C)．15、下列说法正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：16、下列说法中正确的是()．A、若f’(x0)＜0，则f(x)在x0的邻域内单调减少B、若f(x)在x0取极大值，则当x∈(x0一δ，x0)时，f(x)单调增加，当x∈(x0，x0＋δ)时，f(x)单调减少C、f(x)在x0取极值，则f(x)在x0连续D、f(x)为偶函数，f"(0)≠0，则f(x)在x＝0处一定取到极值标准答案：D知识点解析：17、设f(x)二阶连续可导，，则()．A、f(2)是f(x)的极小值B、f(2)是f(x)的极大值C、(2，f(2))是曲线y＝f(x)的拐点D、f(2)不是函数f(x)的极值，(2，f(2))也不是曲线y＝f(x)的拐点标准答案：A知识点解析：18、设f(x)在x＝0的邻域内连续可导，g(x)在x＝0的邻域内连续，且，又，则()．A、x＝0是f(x)的极大值点B、x＝0是f(x)的极小值点C、(0，f(0))是曲线y＝f(x)的拐点D、x＝0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y＝f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：19、设f(x)二阶连续可导，且，则()．A、f(0)是f(x)的极小值B、f(0)是f(x)的极大值C、(0，f(0))是曲线y＝f(x)的拐点D、x＝0是f(x)的驻点但不是极值点标准答案：C知识点解析：20、设函数f(x)满足关系f"(x)＋f’2(x)＝x，且f’(0)＝0，则()．A、f(0)是f(x)的极小值B、f(0)是f(x)的极大值C、(0，f(0))是y＝f(x)的拐点D、(0，f(0))不是y＝f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由f’(x)＝0得f"(0)＝0，f"(x)＝1一2f’(x)f"(x)，f"(0)＝1＞0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，f’’’(x)＞0，再由f"(0)＝0，得故(0，f(0))是曲线y＝f(x)的拐点，选(C)．21、下列说法正确的是()．A、设f(x)在x0二阶可导，则f"(x)在x＝x0处连续B、f(x)在[a，b]上的最大值一定是其极大值C、f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D、若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点标准答案：D知识点解析：令但不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D)．22、设f(x)在[a，＋∞)上二阶可导，f(a)＜0，f’(a)＝0，且f"(x)≥k(k＞0)，则f(x)在(a，＋∞)内的零点个数为()．A、0个B、1个C、2个D、3个标准答案：B知识点解析：因为f’(a)＝0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f(x)＝f(a)＋f’(a)(x一a)＋≥f(a)＋(x一a)2，其中ξ介于a与x之间，而＝＋∞，故＝＋∞，再由f(a)＜0得f(x)在(a，＋∞)内至少有一个零点．又因为f’(a)＝0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，＋∞)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)．23、设k＞0，则函数f(x)＝lnx一＋k的零点个数为()．A、0个B、1个C、2个D、3个标准答案：C知识点解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f’(x)＝＝0得x＝e，当0＜x＜e时，f’(x)＞0；当x＞e时，f’(x)＜0，由驻点的唯一性知x＝e为函数f(x)的最大值点，最大值为f(e)＝k＞0，又，于是f(x)在(0，＋∞)内有且仅有两个零点，选(C)．二、填空题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)24、设两曲线y＝x2＋ax＋b与一2y＝一1＋xy3在点(一1，1)处相切，则a＝___________，b＝____________.标准答案：a＝b＝3知识点解析：因为两曲线过点(一1，1)，所以b一a＝0，又由y＝x2＋ax＋b得＝a一2，再由一2y＝一1＋xy3得，且两曲线在点(一1，1)处相切，则a一2＝1，解得a＝b＝3．25、标准答案：知识点解析：26、设f(x)在x＝1处一阶连续可导，且f’(1)＝一2，则＝____________.标准答案：1知识点解析：27、标准答案：2x(1＋4x)e8x知识点解析：28、设f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，f(0)＝0，又在(一1，1)内f’(x)＝｜x｜，则＝___________.标准答案：知识点解析：因为在(一1，1)内f’(x)＝｜x｜，所以在(一1，1)内f(x)＝由f(0)＝0得f(x)＝故29、若f(x)＝2nx(1一x)n，记Mn＝，则＝____________。标准答案：知识点解析：30、设f(x)在x＝a的邻域内二阶可导且f’(a)≠0，则＝__________.标准答案：知识点解析：31、标准答案：0知识点解析：当x＝0时，t＝0；当t＝0时，由y＋ey＝1，得y＝0．32、标准答案：知识点解析：33、设y＝y(x)由yexy＋xcosx一1＝0确定，求dy｜x＝0＝_________．标准答案：－2dx知识点解析：当x＝0时，y＝1，将yexy＋xcosx一1＝0两边对x求导得34、标准答案：知识点解析：35、设函数y＝y(x)由确定，则y＝y(x)在x＝In2处的法线方程为___________．标准答案：知识点解析：当x＝In2时，t＝±1；当t＝±1时，y＝0．(1)当t＝一1时，(2)当t＝1时，36、设f(x)＝在x＝1处可微，则a＝___________，b＝___________．标准答案：a＝2，b＝－1知识点解析：因为f(x)在x＝1处可微，所以f(x)在x＝1处连续，于是f(1一0)＝f(1)＝1＝f(1＋0)＝a＋b，即a＋b＝1．由f(x)在x＝1处可微得a＝2，所以a＝2，b＝一1．37、设F(x)＝，其中f’(x)在x＝0处连续，且当x→0时，F’(x)～x2，则f’(0)＝__________．标准答案：知识点解析：38、标准答案：1知识点解析：39、设f(x，y)可微，f(1，2)＝2，fx’(1，2)＝3，fy’(1，2)＝4，φ(x)＝f[x，f(x，2x)]，则φ’(1)＝__________．标准答案：47知识点解析：因为φ’(x)＝fx’[x，f(x，2x)]＋fy’[x，f(x，2x)]×[fx’(x，2x)＋2fy’(x，2x)]，所以φ’(1)＝fx’[1，f(1，2)]＋fy’[1，f(1，2)]×[fx’(1，2)＋2fy’(1，2)]＝3＋4×(3＋8)＝47．40、曲线的斜渐近线为__________．标准答案：y＝2x－4知识点解析：三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)41、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析42、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析43、证明：标准答案：当x∈[1，2]时有当x∈[2，3]时有……当x∈[n，n＋1]时有从而有又当x∈[1，2]时，当x∈[2，3]时，……当x∈[n一1，n]时，从而有故于是由夹逼定理得知识点解析：暂无解析44、设f(x)＝a1ln(1＋x)＋a2ln(1＋2x)＋…＋anln(1＋nx)，其中a1，a2，…，an为常数，且对一切x有｜f(x)｜≤｜ex一1｜．证明：｜a1＋2a2＋…＋nan｜≤1．标准答案：当x≠0时，由｜f(x)｜≤｜ex一1｜得，知识点解析：暂无解析45、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析46、设函数f(x)可导且，对任意的x0，作xn＋1＝f(xn)(n＝0，1，2，…)，证明：存在且满足方程f(x)＝x．标准答案：xn＋1一xn＝f(xn)一f(xn－1)＝f’(ξn)(xn一xn－1)，因为f’(x)≥0，所以xn＋1一xn与xn一xn－1同号，故{xn}单调．即{xn}有界，于是存在，根据f(x)的可导性得f(x)处处连续，等式xn＋1＝f(xn)两边令n→∞，得，原命题得证．知识点解析：暂无解析47、56．设f(x)在[a，＋∞)上连续，且存在．证明：f(x)在[a，＋∞)上有界．标准答案：设＝A，取ε0＝1，根据极限的定义，存在X0＞0，当x＞X0时，｜f(x)一A｜＜1，从而有｜f(x)｜≤｜A｜＋1．又因为f(x)在[a，X0]上连续，根据闭区间上连续函数有界的性质，存在k＞0，当x∈[a，X0]，有｜f(x)｜≤k．取M＝max{｜A｜＋1，k)，对一切的x∈[a，＋∞)，有｜f(x)｜≤M．知识点解析：暂无解析48、设f(x)在[a，b]上连续，任取xi∈[a，b](i＝1，2，…，n)，任取ki＞0(i＝1，2，…，n)，证明：存在ξ∈[a，b]，使得k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)＝(k1＋k2＋…＋kn)f(ξ)．标准答案：因为f(x)在[a，b]上连续，所以f(x)在[a，b]上取到最小值m和最大值M，显然有m≤f(xi)≤M(i＝1，2，…，n)，注意到ki＞0(i＝1，2，…，n)，所以有kim≤kif(xi)≤kiM(i＝1，2，…，n)，同向不等式相加，得(k1＋k2＋…＋kn)m≤k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)≤(k1＋k2＋…＋kn)M，即，由介值定理，存在ξ∈[a，b]，使得即k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)＝(k1＋k2＋…＋kn)f(ξ)．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设y(x)是微分方程y"+(x一1)y’+x2y=e满足初始条件y(0)=0，y’(0)=1的解，则()．A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在标准答案：A知识点解析：微分方程y"+(x一1)y’+x2y=ex中，令x=0，则y"(0)=2，于是=1，选(A)．2、二阶常系数非齐次线性微分方程y"一2y’一3y=(2x+1)e-x的特解形式为()．A、(ax+b)e-xB、x2e-xC、x2(ax+b)e-xD、x(ax+b)e-x标准答案：D知识点解析：方程y"一2y’一3y=(2x+1)e-x的特征方程为λ2一2λ一3=0，特征值为λ1=一1，λ2=3，故方程y"一2y’一3y=(2x+1)e-x的特解形式为x(ax+b)e-x，选(D)．3、设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为()．A、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B、C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2φ3(x)C、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)一φ3(x)]D、C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1标准答案：D知识点解析：因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)一φ3(x)，φ2(x)一φ3(x)为方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=0的两个线性无关解，于是方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)一φ3(x)]+C2[φ2(x)一φ3(x)]+φ3(z)即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1一C1一C2或C1+C2+C3=1，选(D)．二、解答题(本题共26题，每题1.0分，共26分。)4、设f(x)是连续函数．标准答案：(1)y’+ay=f(x)的通解为y=[∫0xf(t)e"dt+C]e，由y(0)=0得C=0，所以y=e∫0xf(t)e"dt．(2)当x≥0时，｜y｜=e-ax｜∫0xf(t)eatdt｜≤e-ax∫0x｜f(t)｜eatdt≤ke-ax∫0xeatdt=e-ax(eax—1)，因为e-ax≤1，所以｜y｜≤(eax一1)．知识点解析：暂无解析5、设有微分方程y’—2y=φ(x)，其中φ(x)=，在(一∞，+∞)求连续函数y(x)，使其在(一∞，1)及(1，+∞)内都满足所给的方程，且满足条件y(0)=0．标准答案：当x＜1时，y’一2y=2的通解为y=C1e2x一1，由y(0)=0得C1=1，y=e2x一1；当x＞1时，y’一2y=0的通解为y=C2e2x，根据给定的条件，y(1+0)=C2e2=y(1一0)=e2一1，解得C3=1一e-2，y=(1一e-2)e2x，补充定义y(1)=e2一1，则得在(一∞，+∞)内连续且满足微分方程的函数知识点解析：暂无解析6、设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+xy2]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解．标准答案：令P(x，y)=xy(x+y)一f(x)y，Q(x，y)=f’(x)+x2y，因为[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为全微分方程，所以，即f"(x)+f(x)=x2，解得f(x)=C1cosx+C2sinx+x2一2，由f(0)=0，f’(0)=1得C1=2，C2=1，所以f(x)=2cosx+sinx+x2一2．原方程为[xy2一(2cosx+sinx)y+2y—]dx+(一2sinx+cosx+2x+x2y)dy=0，整理得(xy2dx+x2ydy)+2(ydx+xdy)一2(ycosxdx+sinxdy)+(—ysinxdx+cosxdy)=0，即d(x2y2+2xy一2ysinx+ycosx)=0，原方程的通解为x2y2+2xy一2ysinx+ycosx=C．知识点解析：暂无解析7、利用变换x=arctant将方程化为y关于t的方程，并求原方程的通解．标准答案：故原方程通解为y=(C1+C2tanx)e-tanx+tanx一2．知识点解析：暂无解析8、设f(x)为偶函数，且满足f’(x)+2f(x)一3∫0xf(t一x)dt=一3x+2，求f(x)．标准答案：∫0xf(t一x)dt=一∫0xf(t一x)d(x一t)一∫0xf(—u)du=∫0xf(u)du，则有f’(x)+2f(x)一3∫0xf(u)du=—3x+2，因为f(x)为偶函数，所以f’(x)是奇函数，于是f’(0)=0，代入上式得f(0)=1．将f’(x)+2f(x)一3∫0xf(u)du=一3x+2两边对x求导数得f"(x)+2f’(x)一3f(x)=一3，其通解为f(x)=C1ex+C2e-3x+1，将初始条件代入得f(x)=1．知识点解析：暂无解析9、设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．标准答案：将y=e2x+(1+x)ex代入原方程得(4+2a+b)e2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xx=cex，则有解得a=一3，b=2，c=一1，原方程为y"一3y’+2y=一ex．原方程的特征方程为λ2一3λ+2=0，特征值为λ1=1，λ2=2，则y"一3y’+2y=0的通解为y=C1ex+C2e2x，于是原方程的通解为y=C1ex+C2e2x+e2x+(1+x)ex．知识点解析：暂无解析10、设u==0，求f(x)．标准答案：f(r)=lnr2+C2，由f(1)=0得C2=0，所以f(x)=lnx2．知识点解析：暂无解析11、设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0．(1)求f’(x)；(2)证明：当x≥0时，e-x≤f(x)≤1．标准答案：(1)(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫0xf(t)dt=0，两边求导数，得(x+1)f"(x)=—(x+2)f’(x)→f’(x)=．再由f(0)=1，f’(0)+f(0)=0，得f’(0)=一1，所以C=一1，于是f’(x)=(2)当x≥0时，因为f’(x)＜0且f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1．令g(x)=f(x)一e-x，g(0)=0，g’(x)=f’(x)+e-x=e-x≥0，由→g(x)≥0≥f(x)≥e-x(x≥0)．知识点解析：暂无解析12、设y=y(x)二阶可导，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．(1)将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解．标准答案：代入原方程得y"一y=sinx，特征方程为r2一1=0，特征根为r1，2=±1，因为i不是特征值，所以设特解为y*=acosx+bsinx，代入方程得a=0，b=一sinx，于是方程的通解为y=C1ex+C2e-x一sinx，由初始条件得C1=1，C2=一1，满足初始条，件的特解为y=e-x—e-x一sinx．知识点解析：暂无解析13、设函数f(x，y)可微，，求f(x，y)．标准答案：即f(x，y)=φ(y)e-x，由f(0，y)=siny，得φ(y)=siny，所以f(x，y)=e-xsiny．知识点解析：暂无解析14、设函数f(x)(x≥0)可微，且f(x)＞0．将曲线y=f(x)，x=1，x=a(a＞1)及x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为，求：(1)f(x)；(2)f(x)的极值．标准答案：知识点解析：暂无解析15、设函数f(x)满足xf’(x)一2f(x)=一x，且由曲线y=f(x)，x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D．若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：(1)曲线y=f(x)；(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形的面积标准答案：(1)由xf’(x)一2f(x)=一x→f’(x)一f(x)=一1→f(x)=x+cx2．设平面图形D绕z轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则知识点解析：暂无解析16、位于上半平面的上凹曲线y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与，求y=y(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．标准答案：因为曲线是上凸的，所以y"＜0，由题设得因为曲线y=y(x)在点(0，1)处的切线方程为y=x+1，所以p｜x=0=1，从而y’=知识点解析：暂无解析18、飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从x轴上(x0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v．(1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；(2)导弹运行方程．标准答案：(1)设t时刻导弹的位置为M(x，y)，根据题意得知识点解析：暂无解析19、细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在24小时内由100增长到400，求前12小时后的细菌总数．标准答案：设t时刻细菌总数为S，知识点解析：暂无解析20、某湖泊水量为V，每年排人湖泊中内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为．设1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初开始，限定排人湖中含A污水的浓度不超过．问至多经过多少年，湖中污染物A的含量降到m0以内(设湖中A的浓度是均匀的)?标准答案：设从2000年初开始，第t年湖中污染物A的总量为m，则浓度为，任取时间元素[t，t+dt]，排入湖中污染物A的含量为，则在此时间元素内污染物A的改变量为，令m=m0，得t=6ln3，即至多经过7年，湖中污染物A的含量不超过m0．知识点解析：暂无解析21、在t=0时，两只桶内各装10L的盐水，盐的浓度为15g／L，用管子以2L／min的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以2L／min的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用1L／min的速度输出．求在任意时刻t＞0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程．标准答案：设在任意时刻t＞0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为m1(t)，m2(t)，在时间[t，t+dt]内有dm1=一=0，且满足初始条件m1(0)=150，知识点解析：暂无解析22、某人的食量是2500卡／天，其中1200卡／天用于基本的新陈代谢．在健身运动中，他所消耗的为16卡／千克／天乘以他的体重．假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量10000卡，求该人体重怎样随时间变化．标准答案：输入率为2500卡／天，输出率为(1200+16w)，其中w为体重，知识点解析：暂无解析23、一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长18m，运动开始时链条一边下垂8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?标准答案：设链条的线密度为ρ，取x轴正向为垂直向下，设t时刻链条下垂x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段长度为(8一x)m，此时链条受到的重力为(10+x)ρg一(8一x)ρg=2(x+1)ρg．链条的总重量为18ρ，由牛顿第二定理F=ma得知识点解析：暂无解析24、质量为1g的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在t=10s时，速度等于50cm／s．外力为39．2cm／s2，问运动开始1min后的速度是多少?标准答案：知识点解析：暂无解析25、设非负函数f(x)当x≥0时连续可微，且f(0)=1．由y=f(x)，x轴，y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线围成的图形的面积与y=f(x)在[0，x]上弧的长度相等，求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析26、设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0，求f(x)．标准答案：因为x∫0xf(tx)dt=∫0xf(u)du，所以f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫0xf(tx)dt+e=0，可化为f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2∫0xf(t)dt+e1=0，两边对x求导得f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x，由λ2+3λ+2=0得λ1=一1，λ2=一2，则方程f"(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解为C1e-x+C2e-2x．今f"(x)+3f’(x)+2f(x)=e的一个特解为y0=axe-x，代入得a=1，则原方程的通解为f(x)=C1e-x+C2e-2x+xe-x．由f(0)=1，f’(0)=一1得C1=0，C2=1，故原方程的解为f(x)=e-2x+xe-x．知识点解析：暂无解析27、早晨开始下雪，整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午2点扫雪2km，到下午4点又扫雪1km，问降雪是什么时候开始的?标准答案：设单位面积在单位时间内降雪量为a，路宽为b，扫雪速度为c，路面上雪层厚度为H(t)，扫雪车前进路程为S(t)，降雪开始时间为T，则H(t)=a(t—T)，又b×H(t)×△s=c×△t，知识点解析：暂无解析28、设A从原点出发，以固定速度v0沿y轴正向行驶，B从(x0，0)出发(x0＜0)，以始终指向点A的固定速度v1朝A追去，求B的轨迹方程．标准答案：知识点解析：暂无解析29、飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为v0(m／s)，飞机与地面的摩擦系数为μ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为kx(kg．s2／m2)，在垂直方向的比例系数为ky(kg．s2／m2)．设飞机的质量为m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间．标准答案：水平方向的空气阻力Rx=kxv2，垂直方向的空气阻力Ry=kyv2，摩擦力为W=u(mg—Ry)，由牛顿第二定律，有知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(x)=则f{f[f(x)]}等于()．A、0B、1C、D、标准答案：B知识点解析：f[f(x)]=因为|f(x)|≤1，所以f[f(x)]=1，于是f{f[f(x)])=1，选(B)．2、函数f(x)=｜xsinx｜ecosx，一∞＜x＜+∞是()．A、有界函数B、单调函数C、周期函数D、偶函数标准答案：D知识点解析：显然函数为偶函数，选(D)．3、设f(x)=，g(x)=∫0xsin2(x一t)dt，则当x→0时，g(x)是f(x)的()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但非等价的无穷小D、等价无穷小标准答案：A知识点解析：故g(x)是f(x)的高阶无穷小，应选(A)．4、当x→0+时，下列无穷小中，阶数最高的是()．A、ln(1+x2)一x2B、+cosx一2C、ln(1+t2)dtD、—1—x2标准答案：C知识点解析：选(C)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)5、设a＞0，且=1，则a=__________，b=__________．标准答案：1，4知识点解析：6、若当，则a=__________，b=__________．标准答案：，1知识点解析：7、=__________．标准答案：知识点解析：8、=__________．标准答案：知识点解析：9、求=__________．标准答案：e知识点解析：10、=__________．标准答案：知识点解析：11、=__________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)12、求．标准答案：知识点解析：暂无解析13、求下列极限：标准答案：(7)由ln(1+x)=x一+o(x2)得ln(1—2x)=一2x—2x2+o(x2)，于是arctan2x[2x+ln(1—2x)]～一2x4；知识点解析：暂无解析14、求．标准答案：知识点解析：暂无解析15、求．标准答案：知识点解析：暂无解析16、求．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求．标准答案：知识点解析：暂无解析20、求．标准答案：知识点解析：暂无解析21、求．标准答案：知识点解析：暂无解析22、求．标准答案：知识点解析：暂无解析23、求．标准答案：知识点解析：暂无解析24、求下列极限：标准答案：知识点解析：暂无解析25、求．标准答案：知识点解析：暂无解析26、求．标准答案：知识点解析：暂无解析27、求．标准答案：知识点解析：暂无解析28、求．标准答案：知识点解析：暂无解析29、求．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第8套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x，则该微分方程为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1=λ2=1，λ3=一1，其特征方程为(λ一1)2(λ+1)=0，即λ3一λ2一λ+1=0，所求的微分方程为y"’-y"-y’+y=0，选(A)．2、设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为()．A、C[φ1(x)+φ2(x)]B、C[φ1(x)一φ2(x)]C、C[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x)D、[φ1(x)一φ2(x)]+Cφ2(x)标准答案：C知识点解析：因为φ1(x)，φ2(x)为方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以φ1(x)一φ2(x)为方程y’+P(x)y=0的一个解，于是方程y’+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x)，选(C)．3、微分方程y"一4y=e2x+x的特解形式为()．A、ae2x+bx+cB、ax2e2x+bx+cC、axe2x+bx2+cxD、axe2x+bx+c标准答案：D知识点解析：y"一4y=0的特征方程为λ2一4=0，特征值为λ1=一2，λ2=2．y"一4y=e2x的特解形式为y1=axe2x，y"一4y=x的特解形式为y2=bx+c，故原方程特解形式为axe2x+bx+c，应选(D)．4、微分方程y"一4y=x+2的通解为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：微分方程y"一4y=0的特征方程为λ2一4=0，特征值为一2，2，则方程y"一4y=0的通解为C1e-2x+C2e2x，显然方程y"一4y=x+2有特解，选(D)．二、填空题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)5、微分方程y’+ytanx=cosx的通解为_________．标准答案：知识点解析：6、设f(x)在[0，+∞)上非负连续，且，则f(x)=_______．标准答案：f(x)=2x知识点解析：7、设Y=y(x)可导，y(0)=2，令△y=y(x+△x)一y(x)，且，其中a是当△x→0时的无穷小量，则y(x)=_________．标准答案：知识点解析：8、标准答案：知识点解析：9、微分方程y2dx+(x2一xy)dy=0的通解为________．标准答案：知识点解析：10、连续函数f(x)满足，则f(x)=________．标准答案：2e3x知识点解析：11、微分方程(2x+3)y"=4y’的通解为_________．标准答案：知识点解析：12、yy"=1+y’2满足初始条件y(0)=1，y’(0)=0的解为________．标准答案：知识点解析：13、设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程y"一6y’+9y=e3x，则y(x)=_______．标准答案：知识点解析：14、微分方程2y"=3y2满足初始条件y(-2)=1，y’(一2)=1的特解为_______．标准答案：知识点解析：15、微分方程的通解为________．标准答案：ln｜x｜+C知识点解析：16、设二阶常系数非齐次线性微分方程y"+y’+qy=Q(x)有特解y=3e-4x+x2+3x+2，则Q(x)=_________，该微分方程的通解为_________．标准答案：Q(x)=2+2x+3—12(x2+3x+2)=一12x2一34x一19，y=C1e-4x+C2e3x+x2+3x+2(其中C1，C2为任意常数)．知识点解析：显然λ=一4是特征方程λ2+λ+q=0的解，故q=一12，即特征方程为λ2+λ一12=0，特征值为λ1=一4，λ2=3．因为x2+3x+2为特征方程y"+y’一12y=Q(x)的一个特解，所以Q(x)=2+2x+3—12(x2+3x+2)=一12x2一34x一19，且通解为y=C1e-4x+C2e3x+x2+3x+2(其中C1，C2为任意常数)．17、以y=C1e-2x+C2ex+cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为________。标准答案：y"+y’一2y=一sinx一3cosx．知识点解析：特征值为λ1=一2，λ2=1，特征方程为λ2+λ一2=0，设所求的微分方程为y"+y’一2y=Q(x)，把y=cosx代入原方程，得Q(x)=一sinx一3cosx，所求微分方程为y"+y’一2y=一sinx一3cosx．18、设y"一3y’+ay=一5e-x的特解形式为Axe-x，则其通解为__________．标准答案：Y=C1e-x+C2e4x+xe-x．知识点解析：因为方程有特解Axe-x，所以一1为特征值，即(一1)2一3×(一1)+a=0→a=一4，所以特征方程为λ2一3λ一4=0→λ1=一1，λ2=4，齐次方程y"一3y’+ay=0的通解为y=C1e-x+C2e4x，再把Axe-x代入原方程得A=1，原方程的通解为Y=C1e-x+C2e4x+xe-x．19、设f(x)连续，且，则f(x)=_________．标准答案：f(x)=e-x知识点解析：三、解答题(本题共34题，每题1.0分，共34分。)20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、求微分方程xy"+2y’=ex的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、求微分方程的满足初始条件y(1)=0的解．标准答案：知识点解析：暂无解析24、求微分方程(y—x3)dx一2xdy=0的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析25、求微分方程y2dx+(2xy+y2)dy=0的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析26、求微分方程的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析27、求微分方程满足初始条件y(e)=2e的特解．标准答案：知识点解析：暂无解析28、求微分方程x2y’+xy=y2满足初始条件y(1)=1的特解．标准答案：知识点解析：暂无解析29、求微分方程(xy2+y一1)dx+(x2y+x+2)dy=0的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析30、标准答案：知识点解析：暂无解析31、求微分方程的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析32、设y=ex为微分方程xy’+P(x)y=x的解，求此微分方程满足初始条件y(1n2)