考研数学一（高等数学）模拟试卷9（共269题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷9（共9套）（共269题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设f(x)为可导函数，F(x)为其原函数，则()．A、若f(x)是周期函数，则F(x)也是周期函数B、若f(x)是单调函数，则F(x)也是单调函数C、若f(x)是偶函数，则F(x)是奇函数D、若f(x)是奇函数，则F(x)是偶函数标准答案：D知识点解析：令f(x)=cosx一2，F(x)=sinx一2x+C，显然f(x)为周期函数，但F(x)为非周期函数，(A)不对；令f(x)=2x，F(x)=x2+C，显然f(x)为单调增函数，但F(x)为非单调函数，(B)不对；令f(x)=x2，F(x)=x3+2，显然f(x)为偶函数，但F(x)为非奇非偶函数，(c)不对；若f(x)为奇函数，F(x)=∫axf(t)dt，因为F(—x)=∫a—xf(t)dt∫—axf(—u)(一du)=∫—axf(u)du=∫—aaf(u)du+∫axf(u)du=∫axf(u)du=F(x)，所以F(x)为偶函数，选(D)．2、设∫f(x)dx=x2+C，则∫xf(1一x2)dx等于()．A、(1一x2)2+CB、一(1一x2)2+CC、2(1一x2)2+CD、一2(1一x2)2+C标准答案：B知识点解析：∫xf(1一x2)dx=—(1一x2)2+C，选(B)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)3、设f(x)连续，则∫0xxf(x—t)dt=___________．标准答案：∫0xf(u)du+xf(x)知识点解析：4、=___________．标准答案：知识点解析：5、=___________．标准答案：知识点解析：6、=___________．标准答案：知识点解析：7、=___________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)8、求下列不定积分：标准答案：知识点解析：暂无解析9、求标准答案：知识点解析：暂无解析10、求标准答案：知识点解析：暂无解析11、求标准答案：知识点解析：暂无解析12、求标准答案：由A(x一4)(x—3)2+B(x一2)(x一3)2+C(x一2)(x一3)(x一4)+D(x一2)(x一4)知识点解析：暂无解析13、求标准答案：知识点解析：暂无解析14、求标准答案：知识点解析：暂无解析15、求∫arcsin2xdx．标准答案：知识点解析：暂无解析16、求标准答案：知识点解析：暂无解析17、求标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、求标准答案：知识点解析：暂无解析20、求标准答案：知识点解析：暂无解析21、求标准答案：知识点解析：暂无解析22、设f(x)=sin3x+∫—ππxf(x)dx，求∫0πf(x)dx。标准答案：令∫—ππxf(x)dx=A，则f(x)=sin3x+A，=xf(x)=xsin3x+Ax两边积分得∫—ππxf(x)dx=∫—ππxsin3xdx+∫—ππAxdx，即A=∫—ππxsin3xdx=2∫0πxsin3xdx=π∫0πsin3xdx知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析24、求标准答案：知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、求标准答案：因为(3+sinxcosx)’=cos2x，所以知识点解析：暂无解析27、求标准答案：知识点解析：暂无解析28、求标准答案：知识点解析：暂无解析29、求标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、当x→0时，下列四个无穷小中，比其他三个高阶的无穷小是()A、x2B、1-cosx。C、D、x-tanx。标准答案：D知识点解析：利用等价无穷小代换。由于x→0时，，所以当x→0时，B、C与A是同阶的无穷小，由排除法知选D。2、设函数f(u)可导，y=f(x2)。当自变量x在x=-1处取得增量△x=-0．1时，相应的函数增量△y的线性主部为0．1，则f’(1)等于()A、-1。B、0．1。C、1。D、0．5。标准答案：D知识点解析：由微分的定义可知，函数f(x)在x0点处的增量△y的线性主部即为函数f(x)在该点处的微分=f’(x0)△x，所以有0．1=y’(-1)△x=-0．1y’(-1)，即y’(-1)=-1。而y’(-1)=[f(x)2]’｜x=-1=f’(x2).2x｜x=-1=-2f’(1)，因此f’(1)=0．5，故选D。3、已知函数y=f(x)对一切x均满足xf(x)+3x[f’(x)]2=1-e-x，若f’(x0)=0(x0≠0)，则()A、f(x0)是f(x)的极大值。B、f(x0)是f(x)的极小值。C、(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点。D、f(x0)不是f(x)的极值，(x0，f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点。标准答案：B知识点解析：由f’(x0)=0知，x=x0是y=f(x)的驻点。将x=x0代入方程，得x0f’’(x0)+3x0[f’(x0)]2=(分x0＞0与x0＜0讨论)，由极值的第二判定定理可知，f(x)在x0处取得极小值，故选B。4、曲线y=e-xsinx(0≤x≤3π)与x轴所围成的平面图形的面积可表示为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：当0≤x≤π或2π≤x≤3π时，y≥0；当π≤x≤2π时，y≤0。所以y=e-xsinx(0≤x≤3π)与x轴所围成的平面图形的面积为5、已知a，b均为非零向量，(a+3b)⊥(7a-5b)，(a-4b)⊥(7a-2b)，则向量a与b的夹角为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由题设知(1)-(2)得(1)×8+(2)×15得从而有｜a｜=｜b｜，cos＜a，b＞=，故选B。6、设，则f(x，y)在点(0，0)处()A、不连续。B、连续但两个偏导数不存在。C、两个偏导数存在但不可微。D、可微。标准答案：D知识点解析：由由微分的定义可知f(x，y)在点(0，0)处可微，故选D。7、已知曲线积分+[f(x)-x2]dy与路径无关，其中f(x)有连续一阶导数，f(0)=1，则+[f(x)-x2]dy等于()A、3e+1。B、3e+5。C、3e+2。D、3e-5。标准答案：D知识点解析：曲线积分+[f(x)-x2]dy与路径无关，则f(x)=f’(x)-2x，即f’(x)-f(x)=2x。f(x)=e∫dx[∫2xe-∫dxdx+C]=ex[∫2xe-xdx+C]=ex[-2e-x-2xe-x+C]，由f(0)=1知，C=3，故f(x)=3ex-2x-2。因此8、如果级数都发散，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于｜an｜发散，而｜an｜≤｜an｜+｜bn｜，故(｜an｜+｜bn｜)必发散，故选D。9、设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，du(x，y)=f(x)ydx+[sinx-f(x)]dy，则f(x)等于()A、cosx+sinx-1。B、(cosx+sinx-e-x)。C、cosx-sinx+xex。D、cosx-sinx+xe-x。标准答案：B知识点解析：由du(x，y)=f(x)ydx+[sinx-f(x)]d)，知f(x)=cosx-f’(x)，即f’(x)+f(x)=cosx。因此f(x)=e-∫dx(∫cosxe∫dxdx+C)=e-x(∫cosxexdx+C)=(cosxe+sinxex+C)由f(0)=0得C=-1，所以f(x)=(cosx+sinx-e-x)，故选B。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)10、=_________。标准答案：0知识点解析：因为x→0时，11、已知=__________。标准答案：知识点解析：12、曲线的斜渐近线方程为_______。标准答案：知识点解析：设所求斜渐近线方程为y=ax+b。因为所以所求斜渐近线方程为13、设f(x)=max{1，x2}，则=_______。标准答案：知识点解析：由题意可知f(x)=当x＜-1时，当-1≤x≤1时，当x＞1时，所以14、点M1(1，2，3)到直线的距离为_______。标准答案：知识点解析：直线L过点M0(0，4，3)，方向向量l={1，-3，-2}，={1，-2，0}，则点M1到直线L的距离为且有因此点M1到L的距离为15、已知曲线L为曲面z=与x2+y2=1的交线，则x2y2z2ds=________。标准答案：知识点解析：将x2+y2=1代入z=，得z=1。则曲线L的参数方程为16、幂级数的收敛半径R=_____。标准答案：知识点解析：根据收敛半径的判断方法，有由于该幂级数缺奇数项，所以R=17、微分方程y’’-4y=e2x的通解为________。标准答案：知识点解析：对应齐次微分方程的特征方程为r2-4=0，解得r1=2，r2=-2。故y’’-4y=0的通解为y1=C1e-2x+C2e2x。由于非齐次项f(x)=e2x，α=2为特征方程的单根，所以原方程的特解可设为y*=Axe2x，代入原方程可求出A=故所求通解为三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)18、设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinn(n=1，2，…)。(Ⅰ)证明存在，并求该极限；(Ⅱ)计算标准答案：(Ⅰ)0＜x1＜π，则0＜x2=sinx1≤1＜π。由数学归纳法知0＜xn+1=sinxn≤1＜π，n=1，2，…，即数列{xn}有界。于是(因当x＞0时，sinx＜x)，则有xn+1＜xn，可见数列{xn}单调减少，故由单凋减少有下界数列必有极限知，极限存在。设，在xn+1=sinxn两边令n→∞，得l=sinl，解得l=0，即=0。(Ⅱ)因，由(Ⅰ)知该极限为1∞型。令t=xn，则n→∞，t→0，而知识点解析：暂无解析19、设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)。标准答案：构造辅助函数F(x)=f(x)-g(x)，由题设有F(a)=F(b)=0。又f(x)，g(x)在(a，b)内具有相等的最大值，不妨设存在x1≤x2，x1，x2∈(a，b)使得若x1=x2，令c=x2，则F(c)=0。若x1＜x2，因F(x1)=f(x1)-g(x1)≥0，F(x2)=f(x2)-g(x2)≤0，从而存在c∈[x1，x2](a，b)，使F(c)=0。在区间[a，c]，[c，b]上分别利用罗尔定理知，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，再对F’(x)在区间[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理，知存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使F’’(ξ)=0，即f’’(ξ)=g’’(ξ)。知识点解析：暂无解析20、设f(x)在区间[a，b]上可导，且满足。证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ).tanξ。标准答案：由f(x)在区间[a，b]上可导，知f(x)在区间[a，b]上连续，从而F(x)=f(x)cosx在[a，]上连续，由积分中值定理可知存在一点c∈使得在[c，b]上，由罗尔定理得至少存在一点ξ∈(c，b)(a，b)，使F’(ξ)=f’(ξ)cosξ-f(ξ)sinξ=0，即f’(ξ)=f(ξ)tanξ，ξ∈(a，b)。知识点解析：暂无解析21、设y=y(z)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和r(x，y，z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求标准答案：分别在z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0的两端对x求导，得整理后得解得知识点解析：暂无解析22、求｜z｜在约束条件下的最大值与最小值。标准答案：｜z｜的最值点与z2的最值点一致，用拉格朗日乘数法，令F(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+9y2-2z2)+μ(x+3y+3z-5)，由当x=1，y=时，｜z｜=1最小；当x=-5，y=时，｜z｜=5最大。知识点解析：暂无解析23、计算二重积分，其中D={(x，y)｜0≤y≤1，标准答案：积分区域D的图形如图1-6-6所示。知识点解析：暂无解析24、设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数。(Ⅰ)证明对右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有(Ⅱ)求函数φ(y)的表达式。标准答案：(Ⅰ)如图1-6-12所示，将C分解为：C=l1+l2，另作一条曲线l3围绕原点且与C相接，根据题设条件则有(Ⅱ)设P=，P，Q在单连通区域x＞0内，具有一阶连续偏导数。由(Ⅰ)知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当x＞0时，总有比较(1)、(2)两式的右端，得由(3)得φ(y)=-y2+C，将q(y)代入(4)得2y5-4Cy3=2y5，所以C=0，从而φ(y)=-y2。知识点解析：暂无解析25、设有正项级数是它的部分和。(Ⅰ)证明收敛；(Ⅱ)判断级数是条件收敛还是绝对收敛，并给予证明。标准答案：(Ⅰ)设Tn为的部分和，则(Ⅱ)对已知级数取绝对值因正项级数的部分和数列{Sn}单调上升，将上式放缩由(Ⅰ)可知收敛，因此原级数绝对收敛。知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是()．A、f(x0，y)在y=y0处导数为零B、f(x0，y)在y=y0处导数大于零C、f(x0，y)在y=y0处导数小于零D、f(x0，y)在y=y0处导数不存在标准答案：A知识点解析：可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则有f’x(x0，y0)=0，f’y(x0，y0)=0，于是f(x0，y)在y=y0处导数为零，选(A)．2、在曲线x=t，y=一t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z一4=0平行的切线有()．A、只有一条B、只有两条C、至少有三条D、不存在标准答案：B知识点解析：T={1，一2t，3t2}，平面的法向量为n={1，2，1}，令1—4t+3t2=0，解得t=1，t=，故曲线x=t，y=一t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z一4=0平行的切线有两条，选(B)．3、f(x，y)=arctan在(0，1)处的梯度为()．A、iB、一iC、jD、一j标准答案：A知识点解析：由，得gradf|(0，1)={1，0}=i，选(A)．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)4、设z=f(x2+y2+z2，xyz)且f一阶连续可偏导，则=___________．标准答案：知识点解析：z=f(x2+y2+z2，xyz)两边对x求偏导得5、设z=z(x，y)由z+ez=xy2确定，则dz=___________．标准答案：知识点解析：6、设z=f(x，y)是由e2yz+x+y2+z==___________．标准答案：知识点解析：7、设y=y(x)由=___________．标准答案：e—1知识点解析：8、由方程xyz+确定的隐函数z=z(x，y)在点(1，0，一1)处的微分为dz=___________．标准答案：知识点解析：9、设f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则f’x(0，1，一1)=___________．标准答案：1知识点解析：解得f’(0，1，一1)=1．10、曲线L：绕y轴一周所得旋转曲面在点(0，—1，2)处指向外侧的单位法向量为___________．标准答案：知识点解析：曲线L：绕y轴一周所得的旋转曲面为4x2+9y2+4z2=25，n={8x，18y，8z}(0，—1，2)={0，一18，16}，所求的单位法向量为e=．11、曲面z=1一z2一y2上与平面x+y—z+3=0平行的切平面为___________．标准答案：π：2x+2y—2z+3=0知识点解析：设切点坐标为(x0，y0，1一x0一y0)，则n=±{2x0，2y0，1}∥(1，1，一1}，12、设f(x，y)可微。且f’1(一1，3)=一2，f’2(一1，3)=1，令z=f(2x—y，)，则dz｜(1，3)=___________．标准答案：—7dx+3dy知识点解析：三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)13、设z=f[x+φ(x—y)，y]，其中f二阶连续可偏导，φ二阶可导，求．标准答案：z=f[x+φ(x—y)，y]两边关于y求偏导得=一f’1．φ’1+f’2，=一(一f"11φ’+f"12)φ’+f’1φ"一f"21φ’+f"22=f"11(φ’)2—2φ’f"12+f’1φ"+f"22．知识点解析：暂无解析14、设u=f(z)，其中z是由z=y+xφ(z)确定的x，y的函数，其中f(z)与φ(z)为可微函数．证明：．标准答案：知识点解析：暂无解析15、设xy=xf(z)+yg(z)，且xf’(z)+yg’(z)≠0，其中z=z(x，y)是x，y的函数．证明：[x—g(z)]．标准答案：xy=xf(z)+yg(z)两边分别对x，y求偏导，得知识点解析：暂无解析16、设z=f(x，y)由方程z一y—z+zez—y—x=0确定，求dz．标准答案：对z—y—x+xez—y—x=0两边求微分，得dz—dy一dy+ez—y—x+xez—y—x(dz—dy—dx)=0，解得dz=+dy．知识点解析：暂无解析17、设u=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程exy一y=0与ez一xz=0确定，求．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设f(x+y，x—y)=x2—y2+．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设y=f(x，t)，其中t是由G(x，y，t)=0确定的x，y的函数，且f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求．标准答案：将y=f(x，t)与G(x，t，t)=0两边对x求导得知识点解析：暂无解析20、设=z一xy。标准答案：知识点解析：暂无解析21、设变换，求常数a。标准答案：知识点解析：暂无解析22、求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．标准答案：二元函数f(x，y)的定义域为D={(x，y)|y＞0}，知识点解析：暂无解析23、试求z=f(x，y)=x3+y3一3xy在矩形闭域D={(x，y)｜0≤x≤2，一1≤y≤2}上的最大值、最小值．标准答案：当(x，y)为区域D内时，由=一1；在L1：y=一1(0≤x≤2)上，z=x3+3x一1，因为z’=3x2+3＞0，所以最小值为z(0)=一1，最大值为z(2)=13；在L2：y=2(0≤x≤2)上，z=x3一6x+8，由z’=3x2一6=0得x=，z(2)=4；在L3：x=0(一1≤y≤2)上，z=y3，由z’=3y2=0得y=0，z(一1)=一1，z(0)=0，z(2)=8；在L4：x=2(一1≤y≤2)上，z=y3一6y+8，由z’=3y2一6=0得y=，z(2)=4，故z=x2+y2一3xy在D上的最小值为一1，最大值为13．知识点解析：暂无解析24、求u=x2+y2+z2在=1上的最小值。标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、若正项级数()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性不确定标准答案：C知识点解析：2、设级数()．A、发散B、收敛于C、收敛于0D、敛散性不确定标准答案：B知识点解析：3、级数(a＞0)()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、收敛性与a有关标准答案：C知识点解析：即原级数绝对收敛，选(C)．4、若级数un收敛(un＞0)，则下列结论正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：令S=u1，u2，…，un，因为=0，令S’n=(u1+u2)+(u2+u3)+…+(un+un+1)=2Sn一u1+un+1，于是一u1存在，选(C)，(A)、(B)、(D)都不对．5、设un收敛，则下列正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：6、设常数k＞0，则级数()．A、发散B、绝对收敛C、条件收敛D、敛散性与k有关标准答案：C知识点解析：7、设un=(一1)nln(1+)，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由交错级数审敛法，发散，选(C)．8、设an＞0(n=1，2，…)且()．A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性与k有关标准答案：A知识点解析：令un=(一1)n绝对收敛，选(A)．9、设un收敛，则下列级数必收敛的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：10、下列说法正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：11、下列结论正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)12、设=___________．标准答案：8知识点解析：13、级数的收敛域为___________，和函数为___________．标准答案：[—2，2)；—ln(1—)(—2≤x＜2)知识点解析：由，得收敛半径为R=2，当x=—2时级数收敛，当x=2时级数发散，14、设f(x)=，则f(n)(0)=___________．标准答案：知识点解析：15、函数f(x)=展开成x的幂级数为___________．标准答案：知识点解析：16、级数在一1＜x＜1内的和函数为___________．标准答案：Xln(1—x2)+x3—x3ln(1—x2)(—1＜x＜1)知识点解析：三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)17、判别级数的敛散性，若收敛求其和．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设f(x)=S0=∫02f(x)e—xdx，S1=∫24f(x—2)e—xdx，…，Sn=∫2n2n+2f(x一2n)e—xdx，求Sn．标准答案：S0=∫02f(x)e—xdx=∫01xe—xdx+∫12(2一x)e—xdx=(1一)，令t=x一2，则S1=e—2∫02f(t)e—tdt=e—2S0，令t=x一2n，则Sn=e—2n∫02f(t)e—tdt=e—2nS0，S=．知识点解析：暂无解析19、判断级数的敛散性．标准答案：知识点解析：暂无解析20、判断级数的敛散性．标准答案：因为当x≥0时sinx≤x，所以0≤sin收敛．知识点解析：暂无解析21、判断级数的敛散性．标准答案：知识点解析：暂无解析22、判断级数的敛散性．标准答案：知识点解析：暂无解析23、判断级数的敛散性．标准答案：由收敛．知识点解析：暂无解析24、判断级数的敛散性．标准答案：因为发散．知识点解析：暂无解析25、判断级数的敛散性．标准答案：由收敛．知识点解析：暂无解析26、判断级数的敛散性．标准答案：因为收敛．知识点解析：暂无解析27、判断级数的敛散性．标准答案：知识点解析：暂无解析28、判断级数的敛散性．标准答案：因为n→∞时，收敛．知识点解析：暂无解析29、判断级数的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛．标准答案：知识点解析：暂无解析30、判断级数的敛散性．若收敛是绝对收敛还是条件收敛．标准答案：知识点解析：暂无解析31、设级数收敛．标准答案：由an≤bn≤cn，得0≤bn一an≤cn一an．因为(cn一an)收敛，根据正项级数的比较审敛法得收敛．知识点解析：暂无解析32、设正项级数收敛，并说明反之不成立．标准答案：因为0≤(un+un+1)，而收敛，反之不一定成立，如级数1+0+1+0+…发散，因为unun+1=0(n=1，2，…)，所以收敛．知识点解析：暂无解析33、设收敛．标准答案：知识点解析：暂无解析34、标准答案：(1)因为an+1=所以{an}n=1∞单调减少，而an≥0，即{an}n=1∞是单调减少有下界的数列，根据极限存在准知识点解析：暂无解析35、设un＞0(n=1，2，…)，Sn=u1+u2+…+un．证明：收敛．标准答案：知识点解析：暂无解析36、若正项级数都收敛，证明下列级数收敛：标准答案：知识点解析：暂无解析37、判断级数的敛散性，若级数收敛，判断其是绝对收敛还是条件收敛．标准答案：知识点解析：暂无解析38、标准答案：(1)取ε0=1，由=0，根据极限的定义，存在N＞，当n＞N时，收敛(收敛级数去掉有限项不改变敛散性)，由比较审敛法得收敛(收敛级数添加有限项不改变敛散性)．(2)根据(1)，当n＞N时，有0≤an＜bn，因为发散．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、下列结论正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：2、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：3、下列命题正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：4、A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性与常数口有关标准答案：B知识点解析：5、下列正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：6、A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性不确定标准答案：B知识点解析：7、A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性与k的取值有关标准答案：C知识点解析：8、A、R0=R2B、R0=R1C、R0＜R2D、R0＞R2标准答案：B知识点解析：暂无解析9、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：10、A、条件收敛B、绝对收敛C、发散D、敛散性不确定标准答案：B知识点解析：11、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)12、标准答案：知识点解析：13、标准答案：(0，4)知识点解析：14、标准答案：2知识点解析：15、设函数f(x)=πx+x2(一π＜x＜π)的傅里叶级数为，则b3=________.标准答案：知识点解析：16、标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)17、求幂级数的收敛区间．标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、标准答案：知识点解析：暂无解析27、求幂级数的收敛域及和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析28、求幂级数的收敛域，并求其和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析29、求级数的收敛域与和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析30、求幂级数的和函数S(x)及其极值．标准答案：知识点解析：暂无解析31、标准答案：知识点解析：暂无解析32、将f(x)=arctanx展开成x的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析33、标准答案：知识点解析：暂无解析34、将f(x)=lnx展开成x-2的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析35、标准答案：知识点解析：暂无解析36、设有幂级数(1)求该幂级数的收敛域；(2)证明此幂级数满足微分方程y"一y=一1；(3)求此幂级数的和函数：标准答案：知识点解析：暂无解析37、标准答案：知识点解析：暂无解析38、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、若f’(x)=sinx，则f(x)的原函数之一是A、1+sinxB、1—sinxC、1+cosxD、1一cosx标准答案：B知识点解析：暂无解析2、设函数f(x)连续，，则F’(x)=A、f(x2)一f(e-x)．B、f(x2)+f(e-x)．C、2xf(x2)一e-xf(e-x)．D、2xf(x2)+e-xf(e-x)．标准答案：D知识点解析：暂无解析3、设f(x)，φ(x)在点x=0的某邻域内连续，且x→0时，f(x)是φ(x)的高阶无穷小，则x→0时，的()无穷小．A、低阶．B、高阶．C、同阶非等价．D、等价．标准答案：B知识点解析：暂无解析4、设f(x)有一阶连续导数，f(0)=0，当x→0时，与x2为等价无穷小，则f’(0)等于A、0．B、2．C、D、标准答案：D知识点解析：暂无解析5、设f(x)在[a，b]上连续，φ(x)=，则存在ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)等于A、1．B、0．C、D、2．标准答案：B知识点解析：暂无解析6、设等于A、0．B、1．C、D、一1．标准答案：A知识点解析：暂无解析7、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续且g(x)＜f(x)＜m，则由曲线y=f(x)，y=g(x)与直线x=a，x=b围成的平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积V等于A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：暂无解析8、下列广义积分中发散的是A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)9、=_____________标准答案：知识点解析：暂无解析10、设，则=__________标准答案：x一(1+e-x)ln(1+ex)+c知识点解析：暂无解析11、设∫xf(x)dx=ln(1+x2)+c，则=___________标准答案：知识点解析：暂无解析12、=___________标准答案：2(e2+1)知识点解析：暂无解析13、设f(x)连续，且，则=___________标准答案：知识点解析：暂无解析14、设，则=___________标准答案：知识点解析：暂无解析15、=____________标准答案：ln3知识点解析：暂无解析16、设f(x)连续，且，则=__________标准答案：6知识点解析：暂无解析17、=__________标准答案：知识点解析：暂无解析18、设函数f(x)连续，则=___________标准答案：xf(x2)知识点解析：暂无解析19、曲线y=xex与直线y=ex所围成图形的面积是_________．标准答案：知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、标准答案：知识点解析：暂无解析27、标准答案：知识点解析：暂无解析28、已知f(x)的一个原函数为，求∫xf’(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析29、标准答案：知识点解析：暂无解析30、标准答案：知识点解析：暂无解析31、标准答案：知识点解析：暂无解析32、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、曲线y=x(x一1)(2一x)与x轴所围成的图形面积可表示为()．A、一∫02x(x一1)(2一x)dxB、∫01x(x一1)(2一x)dx—∫12x(x一1)(2一x)dxC、一∫01x(x一1)(2—x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dxD、∫02x(x一1)(2一x)dx标准答案：C知识点解析：曲线y=x(x一1)(2一x)与x轴的三个交点为x=0，x=1，x=2，当0＜x＜1时，y＜0；当1＜x＜2时，y＞0，所以围成的面积可表示为(C)的形式，选(C)．2、双纽线(x2+y2)2=x2一y2所围成的区域面积可表示为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：双纽线(x2+y2)2=x2一y2的极坐标形式为r2=cos2θ，再根据对称性，有A=4×cos2θdθ，选(A)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)3、设f(x)∈C[1，+∞)，广义积分∫1+∞f(x)如收敛，且满足f(x)=f(x)dx，则f(x)=___________．标准答案：知识点解析：4、设f(x)==___________．标准答案：e—1知识点解析：5、设f(x)二阶连续可导，且y(0)=1，f(2)=3，f’(2)=5，则∫01xf"(2x)dx=___________。标准答案：2知识点解析：6、设f(x)=则∫—15f(x—1)dx=___________．标准答案：知识点解析：7、=___________(其中a为常数)．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)8、设f(x)∈C[—π，π]，且f(x)=+∫—ππf(x)sinxdx，求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析9、设f(x)=∫1xdt，求∫01x2f(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析10、求标准答案：知识点解析：暂无解析11、求标准答案：知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、设f(2)=，f’(2)=0，∫02f(x)dx=1，求∫01x2(2x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析14、设f(x)=．标准答案：知识点解析：暂无解析15、设y’=arctan(x一1)2，y(0)=0，求∫01y(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设f(t)=∫12dx，求∫01t2f(t)dt．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求∫013x2arcsinxdx．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求函数f(x)=(2一t)e—tdt的最大值与最小值．标准答案：因为f(x)为偶函数，所以只研究f(x)在[0，+∞)内的最大值与最小值即可．因为f(+∞)=f(—∞)=∫0+∞(2一t)e—tdt=1及f(0)=0，所以最小值为0．知识点解析：暂无解析19、求标准答案：知识点解析：暂无解析20、计算．标准答案：知识点解析：暂无解析21、∫—11(2+sinx))dx．标准答案：知识点解析：暂无解析22、计算．标准答案：x=1为被积函数的无穷间断点，则知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．标准答案：令g(x)=∫axf(x)dt—∫xbf(t)dt，因为f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，所以g(a)=一∫abf(t)dt＜0，g(b)=∫abf(t)dt＞0，由零点定理，存在ξ∈(a，b)，使得g(ξ)=0，即∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．知识点解析：暂无解析24、设f(x)为连续函数，证明：标准答案：(1)令I=∫0πxf(sinx)dx，则I=∫0πxf(sinx)dx∫π0(π—dt)f(sint)(—dt)=∫0π(π—t)f(sint)dt=∫0π(π一x)f(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx一∫0πxf(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx—I，则I=∫0πxf(sinx)dx=f(sinx)dx．(2)∫02πf(|sinx|)dx=∫—ππf(|sinx|)dx=2∫0πf(|sinx|)dx=2∫0πf(sinx)dx=4f(sinx)dx．(3)知识点解析：暂无解析25、证明：．标准答案：知识点解析：暂无解析26、设f(x)连续，证明：∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x一t)dt．标准答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，则F’(x)=f(x)，于是∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xF(t)dt，∫0xf(t)(x—t)dt=x∫0xf(t)dt一∫0xtf(t)dt=xF(x)一∫0xtdF(t)=xF(x)一tF(t)|0x+∫0xF(t)dt=∫0xF(t)dt．命题得证．知识点解析：暂无解析27、设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，｜f(x)一f(y)｜≤｜arctanx—arctany｜，又f(1)=0，证明：｜∫01f(x)dx｜≤ln2．标准答案：知识点解析：暂无解析28、设f(a)=f(b)=0，∫abf2(x)dx=1，f’(x)∈C[a，b]．(1)求∫abxf(x)f’(x)dx；(2)证明：∫abf’2(x)dx∫abx2f2(x)dx≥．标准答案：知识点解析：暂无解析29、设f(x)在区间[0，1]上可导，f(1)=2x2f(x)dx．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．标准答案：令φ(x)=x2f(x)，由积分中值定理得f(1)=，即φ(c)=φ(1)，显然φ(x)在区间[0，1]上可导，由罗尔中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=2xf(x)+x2f’(x)，所以2ξf(ξ)+ξ2f’(ξ)=0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第8套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(x)，g(x)是连续函数，当x→0时，f(x)与g(x)是等价无穷小，令F(x)=∫0xf(x—t)dt，G(x)=∫01xg(xt)出，则当x→0时，F(x)是G(x)的()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但非等价无穷小D、等价无穷小标准答案：D知识点解析：2、设F(x)=∫xx+2πesintsintdt，则F(x)()．A、为正常数B、为负常数C、为零D、取值与z有关标准答案：A知识点解析：由周期函数的平移性质，F(x)=∫xx+2πesintsintdt一∫-ππesintsintdt，再由对称区间积分性得F(x)=∫0π(esintsint—e-sintsint)dt=∫0π(esint一e-sint)sintdt，又(esint一e-sint)sint连续、非负、不恒为零，所以F(x)＞0，选(A)．3、设α=，则当x→0时，两个无穷小的关系是()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶非等价无穷小D、等价无穷小标准答案：C知识点解析：因为≠1，所以两无穷小同阶但非等价，选(C)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)4、设f(sin2x)=___________。标准答案：arcsin2+C知识点解析：5、设f(lnx)=，则∫f(x)dx=___________．标准答案：——ln(1+e-x)+C知识点解析：6、设∫xf(x)dx=arcsinx+C，则=___________。标准答案：知识点解析：7、设f(x)为连续函数，且满足∫01f(xt)dt=f(x)+xsinx，则f(x)=___________．标准答案：f(x)=cosx—xsinx+C知识点解析：由∫01f(xt)dt=f(x)+xsinx，得∫01f(xt)d(xt)=xf(x)+x2sinx，即∫0xf(t)dt=xf(x)+x2sinx，两边求导得f’(x)=一2sinxxcosx，积分得f(x)=cosx—xsinx+C．8、=___________．标准答案：知识点解析：9、=___________．标准答案：知识点解析：10、=___________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)11、设f(x)=，求∫01x2f(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设f(x)连续，且f(x)=2∫0xf(x一t)dt+ex，求f(x)．标准答案：∫0xf(x—t)dt∫x0f(u)(一du)=∫0xf(u)du，f(x)=2∫0xf(u)du+ex两边求导数得f’(x)一2f(x)=ex，则f(x)=(∫ex．e∫—2dxdx+C)e=Ce2x—ex，因为f(0)=1，所以C=2，故f(x)=2e2x一ex．知识点解析：暂无解析13、求．标准答案：知识点解析：暂无解析14、计算标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、标准答案：=ln｜x2lnx｜+C知识点解析：暂无解析17、标准答案：因为(x2ex)’=(xx+2x)ex，知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)连续，且∫0xtf(2x—t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析20、计算标准答案：知识点解析：暂无解析21、计算标准答案：知识点解析：暂无解析22、设F(x)为f(x)的原函数，且当x≥0时，f(x)F(x)=，又F(0)=1，F(x)＞0，求f(x)．标准答案：两边积分得F2(x)=知识点解析：暂无解析23、设f’(lnx)=，求f(x)．标准答案：令lnx=t，则f’(t)=，当t≤0时，f(t)=t+C1；当t＞0时，f(t)=et+C2．显然f’(t)为连续函数，所以f(t)也连续，于是有C1=1+C2，故f(x)=知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、设f(x)=∫0xecostdt，求∫0πf(x)cosxdx．标准答案：∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx｜0π—∫0πf’(x)sinxdx=—∫0πecosxsinxdx=ecosx｜0π=e-1—e知识点解析：暂无解析26、标准答案：知识点解析：暂无解析27、设f(x)连续，∫0xtf(x一t)dt=1—cosx，求f(x)dx．标准答案：由∫0xtf(x—t)dt∫x0(x一u)f(u)(一du)=∫0x(x—u)f(u)du=x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du，得x∫0xf(u)du—∫0xuf(u)du=1一cosx，两边求导得∫0xf(u)du=sinx，令x=f(x)dx=1．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第9套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设直线及平面π：4x一2y+z一6=0，则直线L()．A、平行于平面πB、在平面π上C、垂直于平面πD、与平面π斜交标准答案：C知识点解析：直线L的方向向量为s={1，3，2)×{2，一1，一10)={一28，14，一7)，因为s∥n，所以直线L与平面π垂直，正确答案为(C)．2、设直线则直线L1，L2的夹角为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：s1={1，一2，1)，s2={1，一1，0)×{0，2，1)={一1，一1，2)，设直线L1，L2的夹角为θ，则，从而，正确答案为(C)．3、在曲线x=t，y=一t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线()．A、只有1条B、只有2条C、至少3条D、不存在标准答案：B知识点解析：在t=t0处曲线的切向量为T={1，一2t0，3t02)，切线与平面x+2y+z=4垂直的充分必要条件是n×T=0，即1—4t0+3t02=0，解得或t0=1，选(B)．二、填空题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)4、标准答案：知识点解析：由｜a+b｜2=(a+b)(a+b)=｜a｜2+｜b｜2+2ab=13+19+2ab=24，得ab=一4，则｜a—b｜2=(a一b)(a一b)=｜a｜2+｜b｜2一2ab=13+19+8=40．则｜a—b｜=．5、过点(2，0，一3)且与直线垂直的平面方程为_________·标准答案：一16x+14y+11z+65=0知识点解析：s1={1，一2，4)，s2={3，5，一2)，所求平面的法向量n=s1×s2={一16，14，11)，则所求平面方程为一16x+14y+11z+65=0．6、过原点及点(6，一3，2)且与平面4x—y+2z=8垂直的平面方程为_________．标准答案：2x+2y一3z=0知识点解析：设所求平面为π：Ax+By+Cz+D=0，因为π经过原点，所以D=0，即π：AX+By+Cz=0，又因为π经过点(6，一3，2)且与4x—y+2z=8