考研数学一（高等数学）模拟试卷1（共287题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷1（共9套）（共287题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、矩形闸门宽a米，高h米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：2、在曲线y=(x-1)2上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x轴及该曲线所围成的区域为D(y>0)，则区域D绕x轴旋转一周所成的几何体的体积为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：过曲线y=(x-1)2上点(2，1)的法线方程为，该法线与x轴的交点为(4，0)，则由该法线、x轴及该曲线所围成的区域D绕x轴旋转一周所得的几何体的体积为，选(D)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)3、标准答案：知识点解析：4、标准答案：知识点解析：5、标准答案：3知识点解析：6、标准答案：知识点解析：7、标准答案：1知识点解析：8、标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共28题，每题1.0分，共28分。)9、标准答案：知识点解析：暂无解析10、标准答案：知识点解析：暂无解析11、标准答案：知识点解析：暂无解析12、设f(x)连续且关于x=T对称，a标准答案：知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、设f(x)在区间[0，1]上可导，证明：存在ξ[(0，1)，使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．标准答案：令φ(x)=x2f(x)，由积分中值定理得，其中c∈，即φ(c)=φ(1)，显然φ(x)在区间[0，1]上可导，由罗尔中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=2xf(x)+x2f’(x)，所以2ξf(ξ)+ξ2f’(ξ)=0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析15、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得标准答案：知识点解析：暂无解析16、设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且证明：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且｜f’(x)｜≤2．证明：标准答案：知识点解析：暂无解析18、设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得标准答案：知识点解析：暂无解析19、设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．(1)证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；(2)设f(x)在(0，1)内可导，且，证明(1)中的c是唯一的．标准答案：知识点解析：暂无解析20、求曲线与x轴围成的区域绕x轴、y轴形成的几何体体积．标准答案：知识点解析：暂无解析21、求双纽线(x2+y2)2=a2(x2一y2)所围成的面积．标准答案：知识点解析：暂无解析22、抛物线y2=2x把圆x2+y2=8分成两个部分，求左右两个部分的面积之比．标准答案：知识点解析：暂无解析23、设C1，C2是任意两条过原点的曲线，曲线C介于C1，C2之间，如果过C上任意一点P引平行于x和y轴的直线，得两块阴影所示区域A，B有相等的面积，设C的方程是y=x2，C1的方程是，求曲线C2的方程．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设曲线y=a+x—x3，其中a<0．当x>0时，该曲线在x轴下方与y轴、x轴所围成图形的面积和在x轴上方与x轴所围成图形的面积相等，求a．标准答案：设曲线y=a+x—x3与x轴正半轴的交点横坐标为α，β(α<β)，由条件得知识点解析：暂无解析25、求曲线y=x2一2x、y=0、x=1、x=3所围成区域的面积S，并求该区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．标准答案：知识点解析：暂无解析26、设平面图形D由x2+y2≤2x与y≥x围成，求图形D绕直线x=2旋转一周所成的旋转体的体积．标准答案：知识点解析：暂无解析27、设L：y=e-x(x≥0)．(1)求由y=e-x、x轴、y轴及x=a(a＞0)所围成平面区域绕x轴一周而得的旋转体的体积V(a)．(2)设，求c．标准答案：知识点解析：暂无解析28、求由曲线y=4一x2与x轴围成的部分绕直线x=3旋转一周所成的几何体的体积．标准答案：知识点解析：暂无解析29、曲线y=x2(x≥0)上某点处作切线，使该曲线、切线与z轴所围成的面积为，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕x轴旋转一周所成立体的体积．标准答案：知识点解析：暂无解析30、求摆线的第一拱绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．标准答案：知识点解析：暂无解析31、设曲线与x轴、y轴所围成的图形绕z轴旋转所得立体体积为V1(a)，绕y轴旋转所得立体体积为V2(a)，问a为何值时，V1(a)+V2(a)最大，并求最大值．标准答案：知识点解析：暂无解析32、设一抛物线y=ax2+bx+C过点(0，0)与(1，2)，且a<0，确定a，b，c，使得抛物线与x轴所围图形的面积最小．标准答案：因为曲线过原点，所以C=0，又曲线过点(1，2)，所以a+b=2，b=2一a．因为a<0，所以b>0，抛物线与x轴的两个交点为，所以令S’(a)=0，得a=一4，从而b=6，所以当a=一4，b=6，c=0时，抛物线与x轴所围成的面积最小．知识点解析：暂无解析33、设直线y=kx与曲线所围平面图形为D1，它们与直线x=1围成平面图形为D2．(1)求k，使得D1与D2分别绕x轴旋转一周成旋转体体积V1与V2之和最小，并求最小值；(2)求此时的D1+D2．标准答案：知识点解析：暂无解析34、求摆线的长度．标准答案：知识点解析：暂无解析35、设曲线，过原点作切线，求此曲线、切线及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的表面积．标准答案：知识点解析：暂无解析36、一半径为R的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为1，求将球从水中取出所做的功．标准答案：以球顶部与水面相切的点为坐标原点，x轴铅直向下，取，由于球的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功，dω=(2R—x)×π[R2一(R—x)2]×1×gdx=πx(2R—x)2gdx，知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设f"(x)连续，f’(0)=0，=1，则()．A、f(0)是f(x)的极大值B、f(0)是f(x)的极小值C、(0，f(0))是y=f(x)的拐点D、f(0)非极值，(0，f(0))也非y=f(x)的拐点标准答案：B知识点解析：由=1及f"(x)的连续性，得f"(0)=0，由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，＞0，从而f"(x)＞0，于是f’(x)在(一δ，δ)内单调增加，再由f’(0)=0，得当x∈(一δ，0)时，f’(x)＜0，当x∈(0，δ)时，f’(x)＞0，x=0为f(x)的极小值点，选(B)．2、设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：3、设f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0，使得()．A、f(x)在(0，δ)内单调增加B、f(x)在(一δ，0)内单凋减少C、对任意的x∈(一δ，0)，有f(x)＞f(0)D、对任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)标准答案：D知识点解析：当x∈(一δ，0)时，f(x)f(0)，应选(D)．4、设函数f(x)=则在点x=0处f(x)()．A、不连续B、连续但不可导C、可导但导数不连续D、导数连续标准答案：D知识点解析：5、设f(x)=则在x=1处f(x)()．A、不连续B、连续但不可导C、可导但不是连续可导D、连续可导标准答案：D知识点解析：6、若f(—x)=—f(x)，且在(0，+∞)内f’(x)＞0，f"(x)＞0，则在(一∞，0)内()．A、f’(x)＜0，f"(x)＜0B、f’(x)＜0，f"(x)＞0C、f’(x)＞0，f"(x)＜0D、f’(x)＞0，f"(x)＞0标准答案：C知识点解析：因为f(x)为奇函数，所以f’(x)为偶函数，故在(一∞，0)内有f’(x)＞0．因为f"(x)为奇函数，所以在(一∞，0)内f"(x)＜0，选(C)．7、设f(x)，g(x)(a＜x＜b)为大于零的可导函数，且f’(x)g(x)一f(x)g’(x)＜0，则当a＜x＜b时，有()．A、f(x)g(b)＞f(b)g(x)B、f(x)g(a)＞f(a)g(x)C、f(x)g(x)＞f(b)g(b)D、f(x)g(x)＞f(a)g(a)标准答案：A知识点解析：二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)8、设函数y=y(x)由e2x+y一cos(xy)=e一1确定，则曲线y=y(z)在x=0对应点处的法线方程为___________．标准答案：知识点解析：当x=0时，y=1，9、设f(x)二阶连续可导，且=___________．标准答案：知识点解析：10、设f(u)可导，y=f(x2)在x0=一1处取得增量△x=0．05时，函数增量△y的线性部分为0．15，则f’(1)=___________．标准答案：知识点解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy|x=—1=一2f’(1)×0．05=一0．1f’(1)，因为△y的线性部分为dy，由一0．1f’(1)=0．15得f’(1)=一．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)11、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，且f(a)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=f’(ξ)．标准答案：令φ(x)=(b一x)af(x)，显然φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，因为φ(a)=φ(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，由φ’(x)=(b一x)a—1[(b一x)f(x)一af(x)]得(b一ξ)a—1[(b一ξ)f’(ξ)一af(ξ)]且(b一ξ)a—1≠0，故f(ξ)=．知识点解析：暂无解析12、设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g’(x)＜0，试证明存在ξ∈(a，b)，使=0．标准答案：令φ(x)=f(x)∫xag(t)dt+g(x)∫axf(t)dt，φ(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且φ’(x)=[f’(x)∫xbg(t)dt一f(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g’(x)∫axf(t)dt]=f’(x)∫xbg(t)dt+g’(x)∫axf(t)dt，因为φ(a)=φ(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)使φ(ξ)=0，即f’(ξ)∫ξbg(t)dt+g’(ξ)∫aξf(t)dt=0，由于g(b)=0及g’(x)＜0，所以区间(a，b)内必有g(x)＞0，从而就有∫xbg(t)dt＞0，于是有=0．知识点解析：暂无解析13、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．(2)存在η∈(a，b)，使得ηf’(η)+f(η)=0．标准答案：(1)令φ(x)=f(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=≠0，故f’(ξ)=2ξf(ξ)．(2)令φ(x)=xf(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理，存在η∈(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=xf’(x)+f(x)，故ηf’(η)+f(η)=0．知识点解析：暂无解析14、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g’(x)≠0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得。标准答案：令F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)—f(x)g(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，而F’(x)=f’(x)g(b)+f(a)g’(x)一f’(x)g(x)一f(x)g’(x)，所以知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0．标准答案：令φ(x)=x∫0xf(t)dt一∫0xf(t)dt．因为φ(0)=φ(1)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=∫0xf(t)dt+(x一1)f(x)，故∫0ξf(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0．知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，证明：存在ξ∈(1，2)，使得ξf’(ξ)一f(ξ)=f(2)一2f(1)．标准答案：令φ(x)=，则φ(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且φ(1)=φ(2)=f(2)一f(1)，由罗尔定理，存在ξ∈(1，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=，故ξf’(ξ)一f(ξ)=f(2)一2f(1)．知识点解析：暂无解析17、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，证明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=0．标准答案：因为f(0)=f(1)，所以f’(ξ)=一f’(η)，即f’(ξ)+f’(η)=0．知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得。标准答案：令F(x)=x2，F’(x)=2x≠0(a＜x＜b)，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得，再由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得。知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点A(a，f(a))，B(b，f(b))的直线与曲线y=f(x)交于点C(c，f(c))(其中a＜c＜b)．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=0．标准答案：由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得因为点A，B，C共线，所以f’(ξ1)=f’(ξ2)，又因为f(x)二阶可导，所以再由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得f"(ξ)=0．知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内三阶可导，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒为常数．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．标准答案：因为f(x)在[a，b]上不恒为常数且f(a)=f(b)，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)≠f(a)=f(b)，不妨设f(c)＞f(a)=f(b)，由微分中值定理，存在ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，使得知识点解析：暂无解析21、设b＞a＞0，证明：．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[a，b]上满足｜f"(x)｜≤2，且f(x)在(a，b)内取到最小值．证明：｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤2(b一a)．标准答案：因为f(x)在(a，b)内取到最小值，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)为f(x)在[a，b]上的最小值，从而f’(c)=0．由微分中值定理得两式相加得|f’(a)|+|f’(b)|≤2(b一a)．知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又｜f"(x)｜≤M，证明：｜f’(x)｜≤．标准答案：由泰勒公式得知识点解析：暂无解析24、证明：当x＞1时，．标准答案：令f(x)=(1+x)ln(1+x)一xlnx，f(1)=2ln2＞0，因为f’(x)=ln(1+x)+1—lnx一1=ln(1+)＞0(x＞1)，所以f(x)在[1，+∞)上单调增加。再由f(1)=2ln2＞0得当x＞1时，f(x)＞0，即．知识点解析：暂无解析25、证明：当x＞0时，x2＞(1+x)ln2(1+x)．标准答案：令f(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，f’(0)=0；知识点解析：暂无解析26、证明：当x＞0时，arctanx+．标准答案：知识点解析：暂无解析27、求y=∫0x(1一t)arctantdt的极值．标准答案：令y’=(1—x)arctanx=0，得x=0或x=1，y"=一arctanx+＜0，所以x=0为极小值点，极小值为y=0；x=1为极大值点，极大值为y(1)=∫01(1一t)arctantdt=∫01arctantdt—∫01tarctantdt知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、设场A={x3+2y，y3+2z，z3+2x}，曲面S：x2+y2+z2=2z内侧，则场A穿过曲面指定侧的通量为()．A、32πB、一32πC、D、一标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)2、设L为从点A(0，一1，1)到点B(1，0，2)的直线段，则∫L(x+y+z)ds=___________．标准答案：知识点解析：3、设曲线L：，则∮L(x2+2y2+z)ds=___________．标准答案：2πa3知识点解析：4、∫L｜y｜ds=___________，其中L：(x2+y2)2=a2(x2一y2)(a＞0)．标准答案：2a2(2—)知识点解析：5、设向量场A=2x3yzi—x2y2zj一x2yz2k，则其散度divA在点M(1，1，2)沿方向l={2，2，一1}的方向导数(divA)｜M=___________．标准答案：知识点解析：6、设L是从点(0，0)到点(2，0)的有向弧段y=x(2一x)，则∫L(yex—e-y+y)dx+(x-y+ex)dy=___________．标准答案：知识点解析：P(x，y)=yex—e-y+y，Q(x，y)=xe-y+ex，7、设f(u)连续可导，且∫04f(u)du=2，L为半圆周y=，起点为原点，终点为B(2，0)，则∫Lf(x2+y2)(xdx+ydy)=___________．标准答案：1知识点解析：P(x，y)=xf(x2+y2)，Q(x，y)=yf(x2+y2)，三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)8、计算I=围成．标准答案：知识点解析：暂无解析9、计算．标准答案：令知识点解析：暂无解析10、计算，其中D为单位圆x2+y2=1所围成的第一象限的部分．标准答案：知识点解析：暂无解析11、计算二重积分(x2+4x+y2)dxdy，其中D是曲线(x2+y2)2=a2(x2一y2)围成的区域．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设半径为R的球面S的球心在定球面x2+y2+z2=a2(a＞0)上，问R取何值时，球面S在定球面内的面积最大?标准答案：设球面S：x2+y2+(z一a)2=R2，知识点解析：暂无解析13、设f(x)在[a，b]上连续，证明：∫abf(x)dx∫abf(y)dy=[∫abf(x)dx]2．标准答案：令F(x)=∫axf(t)dt，则∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=∫abf(x)[F(b)一F(x)]dx=F(b)∫abf(x)dx—∫abf(x)F(x)dx=F2(b)一∫abF(x)dF(x)=F2(b)一[∫abf(x)dx]2．知识点解析：暂无解析14、设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，使得．标准答案：因为f(x，y)在D上连续，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M，又由g(x，y)≥0得mg(x，y)≤f(x，y)g(x，y)≤Mg(x，y)积分得知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[0，a](a＞0)上非负、二阶可导，且f(0)=0，f"(x)＞0，为y=f(x)，y=0，x=a围成区域的形心，证明：．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设函数f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D为区域a≤x≤b，a≤y≤b．证明dxdy≥(b—a)2．标准答案：因为积分区域关于直线y=x对称，知识点解析：暂无解析17、设f(x)连续，F(t)=[x2+f(x2+y2)]dv，其中V={(x，y，z)｜x2+y2≤t2，0≤z≤h}(t＞0)，求．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设Ω：x2+y2+z2≤1，证明：标准答案：令f(x，y，z)=x+2y一2z+5，因为f’x=1≠0，f’y=2≠0，f’z=—2≠0，所以f(x，y，z)在区域Ω的边界x2+y2+z2=1上取到最大值和最小值．令F(x，y，z，λ)=x+2y一2z+5+λ(x2+y2+z2一1)，知识点解析：暂无解析19、设f(x)为连续函数，计算+yf(x2+y2)]dxdy，其中D是由y=x2，y=1，x=一1围成的区域．标准答案：设f(x)的一个原函数为F(x)，则知识点解析：暂无解析20、交换积分次序并计算(a＞0)．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[0，1]上连续且单调减少，且f(x)＞0．证明：标准答案：等价于∫01f2(x)dx∫01xf(x)dx≥∫01f(x)dx∫01xf2(x)dx，等价于∫01f2(x)dx∫01yf(y)dy≥∫01f(x)dx∫01yf2(y)dy，或者∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)一f(y)]dy≥0令I=∫01dx∫01yf(x)f(y)[f(x)一f(y)]dy，根据对称性I=∫01dx∫01xf(x)y(y)[f(y)一f(x)]dy，2I=∫01dx∫01f(x)f(y)(y—x)[f(x)一f(y)]dy，因为f(x)＞0且单调减少，所以(y—x)[f(x)一f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0，所以知识点解析：暂无解析22、证明：用二重积分证明标准答案：令D1={(x，y)｜x2+y2≤R2，x≥0，y≥0}，S=((x，y)｜0≤x≤R，0≤y≤R}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2，x≥0，y≥0}知识点解析：暂无解析23、设f(x，y，z)连续，∑为曲面2z=x2+y2位于z=2与z=8之间部分的上侧，计算[yf(x，y，z)+x]dydz+[xf(x，y，z)+y]dzdx+[2xyf(x，y，z)+z]dxdy．标准答案：曲面2z=x2+y2上任一点(x，y，z)指向上侧的法向量为n={一x，一y，1}，法向量的方向余弦为知识点解析：暂无解析24、设f(x，y)dx+xcosydy=t2，f(x，y)有一阶连续偏导数，求f(x，y)．标准答案：因为曲线积分与路径无关，所以有cosy=f’y(x，y)，则f(x，y)=siny+C(x)，而tcosydy=t2，两边对t求导数得C(t)=2t—sint2一2t2cost2，于是f(x，y)=siny+2x—sinx2一2x2cosx2．知识点解析：暂无解析25、设L为曲线｜x｜+｜y｜=1的逆时针方向，计算．标准答案：P=，令C：x2+4y2=r2(r＞0)逆时针且C在曲线L内，则有知识点解析：暂无解析26、位于点(0，1)的质点A对质点M的引力大小为(其中常数k＞0，且r=｜AM｜)，质点M沿曲线L：y=自点B(2，0)到点(0，0)，求质点A对质点M所做的功．标准答案：知识点解析：暂无解析27、在变力F={yz，xz，xy}的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面=1上第一卦限的点M(ξ，η，ζ)，问ξ，η，ζ取何值时，F所做的功最大?求最大的功．标准答案：设原点O到点M(ξ，η，ζ)的直线为L，L的参数方程为知识点解析：暂无解析28、设f(x)二阶连续可导，且曲线积分∫[3f’(x)一2f(x)+xe2x]ydx+f’(x)dy与路径无关，求f(x)．标准答案：因为曲线积分与路径无关，所以有f"(x)=3f’(x)一2f(x)+xe2x，即f"(x)一3f’(x)+2f(x)=xe2x，由特征方程λ一3λ+2=0得λ1=1，λ2=2，则方程f"(x)一3f’(x)+2f(x)=0的通解为f(x)=C1ex+C2e2x，令特解f0(x)=x(ax+b)e2x，代入原微分方程得a=，b=一1，故所求f(x)=C1ex+C2e2x+(一x)e2x．知识点解析：暂无解析29、计算，其中S为圆柱x2+y2=a2(a＞0)位于z=—a与z=a之间的部分．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设x→0时ax2+bx+c-cosx是比x2高阶的无穷小，其中a，b，c为常数，则()A、a=，b=0，c=1。B、a=，b=0，c=0。C、a=，b=0，c=1。D、a=，b=0，c=0。标准答案：C知识点解析：由题意得(ax2+bx+c-cosx)=0，则c=1。又因为所以b=0，a=。故选C。2、设函数f(x)在(-∞，+∞)上存在二阶导数，且f(x)=f(-x)，当x＜0时有f’(x)＜0，f’’(x)＞0，则当x＞0时，有()A、f’(x)＜0，f’’(x)＞0。B、f’(x)＞0，f’’(x)＜0。C、f’(x)＞0，f’’(x)＞0。D、f’(x)＜0，f’’(x)＜0。标准答案：C知识点解析：由f(x)=f(-x)可知，f(x)为偶函数，因偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数，即f’(x)为奇函数，f’’(x)为偶函数，因此当x＜0时，有f’(x)＜0，f’’(x)＞0，则当x＞0时，有f’(x)＞0，f’’(x)＞0。故选C。3、函数y=f(x)在(-∞，+∞)上连续，其二阶导函数的图形如图1-2-2所示，则y=f(x)的拐点个数是()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：C知识点解析：只需考查f’’(x)=0的点与f’’(x)不存在的点。f’’(x1)=f’’(x4)=0，且在x=x1，x4两侧f’’(x)变号，故凹凸性相反，则(x1，f(x1))，(x4，f(x4))是y=f(x)的拐点。x=9处f’’(0)不存在，但f(x)在x=0连续，且在x=0两侧f’’(x)变号，由此(0，f(0))也是y=f(x)的拐点。虽然f’’(x3)=0，但在x=x3两侧f’’(x)＞0，y=f(x)是凹的。(x3，f(x3))不是y=f(x)的拐点。因此总共有三个拐点。故选C。4、由曲线y=1-(x-1)2与直线y=0围成的图形(如图1-3-1所示)绕y轴旋转一周而成的立体的体积1V是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据选项需把曲线表成x=x(y)，于是要分成两部分所求立体体积为两个旋转体的体积之差，其中5、设有直线L：及平面∏：4x-2y+z-2=0，则直线L()A、平行于∏。B、在∏上。C、垂直于∏。D、与刀斜交。标准答案：C知识点解析：直线L的方向向量为=-28i+14j-7k=-7{4，-2，1}，平面∏的法向量n={4，-2，1}，显然s与n平行，因此直线L与平面∏垂直，故选C。6、设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是()A、f(x0，y)在y=y0处的导数大于零。B、f(x0，y)在y=y0处的导数等于零。C、f(x0，y)在y=y0处的导数小于零。D、f(x0，y)在y=y0处的导数不存在。标准答案：B知识点解析：因可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，故有fx(x0，y0)=0，f(x0，y0)=0。又由fx(x0，y0)=，可知B正确。7、设有曲线从x轴正向看去为逆时针方向，则ydx+zdy+xdz等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：取∑为平面x+y+z=0包含球面x2+y2+z2=a2内的部分，法线方向按右手法则，由斯托克斯公式得其中cosα，cosβ，cosγ为平面x+y+z=0法线向量的方向余弦，且cosα=cosβ=cosγ=则，故选C。8、下列命题成立的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：若中至少有一个不成立，则级数中至少有一个发散，故选C。9、设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3。B、C1y1+C2y2-(C1+C2)y3。C、C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3。D、C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3。标准答案：D知识点解析：因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)线性无关的解，所以y1-y3，y2-y3都是齐次线性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=0的解，且y1-y3与y2-y3线性无关，因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)。比较四个备选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，应选D。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)10、=_________。标准答案：知识点解析：11、已知=________。标准答案：知识点解析：12、曲线xy=1在点D(1，1)处的曲率圆方程是_______。标准答案：(x-2)2+(y-2)2=2知识点解析：由题干可知，那么D点处的曲率设D点曲率中心的坐标为(α，β)，那么因此所求方程为(x-2)2+(y-2)2=2。13、=________。标准答案：ln2知识点解析：14、经过平面∏1：x+y+1=0与平面∏2：x+2y+2z=0的交线，并且与平面∏3：2x-y-z=0垂直的平面方程是________。标准答案：3x+4y+2z+2=0知识点解析：平面∏1与∏2的交线方程为其方向向量点P0(0，-1，1)在交线L上。所求平面∏过点P0，交线L的方向向量s与平面∏3的法向量，n=(2，-1，-1)垂直，因此故∏的方程为3x+4y+2z+2=0。15、已知曲线L的方程为y：1-｜x｜，x∈[-1，1]，起点是(-1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分xydx+x2dy=________。标准答案：0知识点解析：令16、无穷级数的收敛区间为________。标准答案：知识点解析：在原级数中令=t，原级数可化为的收敛半径和收敛区间即可。对于级数，由于所以的收敛半径为1，收敛区间为(-1，1)。由于的收敛区间为17、设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为_______。标准答案：y’’-2y’+2y=0知识点解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是r1,2=1±i，特征方程为(r-r1)(r-r2)=r2-(r1+r2)r+r1r2=r2-2r+2=0，故所求微分方程为y’’-2y’+2y=0。三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)18、设函数f(x)在x=1的某邻域内连续，且有标准答案：由已知条件得[f[x+1)+1+3sin2x]=0，因此有[f(x+1)+3sin2x]=f(1)+0=0，故f(1)=0。又因为在x=0的某空心邻域内f(x+1)+3sin2x≠0，现利用等价无穷小替换：当x→0时，ln[1+f(x+1)+3sin2x]～f(x+1)+3sin2x，知识点解析：暂无解析19、设奇函数f(x)在[-1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1；(Ⅱ)存在η∈(-1，1)，使得f’’(η)+f’(η)=1。标准答案：(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x，则F(0)=f(0)=0，F(1)=f(1)-1=0，由罗尔定理知，存在ξ∈(0，1)使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)=1。(Ⅱ)令G(x)=ex[f’(x)-1]，由(Ⅰ)知，存在ξ∈(0，1)，使C(ξ)=0，又因为f(x)为奇函数，故f’(x)为偶函数，知G(-ξ)=0，则存在η∈(-ξ，ξ)(-1，1)，使得G’(η)=eη(f’(η)-1)+eηf’’(η)=0，f’’(η)+f’(η)=1。知识点解析：暂无解析20、设函数f(x)在[0，π]上连续，且。试证明在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。标准答案：令F(x)=，0≤x≤π，则有F(0)=0，F(π)=0。又因为所以存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0，不然，则在(0，π)内F(x)sinx恒为正或恒为负，与矛盾，但当ξ∈(0，π)时sinξ≠0，故F(ξ)=0。再对F(x)在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔定理知，至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，即f(ξ1)=f(ξ2)=0。知识点解析：暂无解析21、设其中f和g具有一阶连续偏导数，且gz(x，y，z)≠0，求标准答案：本题确定两个因变量，三个自变量。由第一个方程来看，u是因变量，x，y，t是自变量，由第二个方程来看，z是因变量。因此确定x，y，t为自变量，u，z为因变量。于是将方程组对x求偏导数得同理，将方程组对y求偏导数可得知识点解析：暂无解析22、设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D=｜(x，y)｜x2+y2-xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75-x2-y2+xy。(Ⅰ)设M(x0，y0)为区域D上的一点，问h(x，y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(x0，y0)，写出g(x0，y0)的表达式；(Ⅱ)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说，要在D的边界线x2+y2-xy=75上找出使(Ⅰ)中g(x，y)达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。标准答案：(Ⅰ)函数h(x，y)在点M处沿该点的梯度方向(Ⅱ)求g(x，y)在条件x2+y2-xy-75=0下的最大值点与求g2(x，y)=(y-2x)2+(x-2y)2=5x2+5y2-8x)，在条件x2+y2-xy-75=0下的最大值点等价。这是求解条件最值问题，用拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数L(x，y，λ)=5x2+5y2-8xy+λ(x2+y2-xy-75)，则有联立(1)，(2)解得y=-x，λ=-6或y=x，λ=-2。若y=-x，则由(3)式得3x2=75，即x=±5，y=±5。若y=x，则由(3)式得x2=75，即。于是得可能的条件极值点M1(5，-5)，M2(-5，5)，。现比较f(x，y)=g2(x，y)=5x2+5y2-8xy在这些点的函数值，有f(M1)=f(M2)=450，f(M3)=f(M4)=150。因为实际问题存在最大值，而最大值又只可能在M1，M2，M3，M4中取到。所以g2(x，y)在M1，M2取得边界线D上的最大值，即M1，M2可作为攀登的起点。知识点解析：暂无解析23、设f(x)=标准答案：知识点解析：暂无解析24、已知积分与路径无关，f(x)可微，且(Ⅰ)求f(x)；(Ⅱ)对(Ⅰ)中求得的f(x)，求函数u=u(x，y)使得du=(x+xysinx)dx+(Ⅲ)对(Ⅱ)中的du求积分，其中积分路径为从A(π，1)到B(2π，0)的任意路径。标准答案：(Ⅰ)由题意可得这是一阶线性微分方程，通解为f(x)=x(sinx-xcosx+C)。由初始条件，得C=-1，于是f(x)=x(sinx-xcosx-1)。(Ⅱ)由(Ⅰ)中结论可得du=(x+xysinx)dx+=(x+xysinx)dx+(sinx-xcosx-1)dy，则=x+xysinx，两边对x积分得u=-xycosx+ysinx+φ(y)，于是=-ccosx+sinx+φ’(y)=sinx-xcosx-1，因此φ’(y)=-1，两边对y积分得φ(y)=-y+C，u=-xycosx+ysinx-y+C，其中C为任意常数。(Ⅲ)由于积分与路径无关，所以知识点解析：暂无解析25、求幂级数的收敛区间与和函数f(x)。标准答案：设an=，则当x2＜1时，原级数绝对收敛，当x2＞1时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为(-1，1)。知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、f(x)=2x+3x一2，当x→0时()．A、f(x)～xB、f(x)是x的同阶但非等价的无穷小C、f(x)是x的高阶无穷小D、f(x)是x的低阶无穷小标准答案：B知识点解析：因为，所以f(x)是x的同阶而非等价的无穷小，选(B)．2、设，则当x=0时，f(x)是g(x)的()．A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但非等价的无穷小标准答案：B知识点解析：当x→0时，g(x)～因为，所以f(x)是g(x)的高阶无穷小，选(B)．3、极限()．A、等于1B、为∞C、不存在但不是∞D、等于0标准答案：C知识点解析：因为当时，，当时，，所以极限不存在但不是∞，选(C)．4、当x→1时，的极限为()．A、2B、0C、∞D、不存在但不是∞标准答案：D知识点解析：显然，因为，而，所以不存在但不是∞，选(D)．5、设f(x)连续且，则为()．A、a2B、a2f(a)C、0D、不存在标准答案：B知识点解析：，选(B)．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、标准答案：知识点解析：7、标准答案：知识点解析：8、标准答案：知识点解析：9、标准答案：2知识点解析：10、标准答案：知识点解析：11、标准答案：知识点解析：12、标准答案：知识点解析：13、标准答案：知识点解析：14、设函数f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＞0，则=___________。标准答案：知识点解析：15、若=5，则a=__________，b=__________。标准答案：a=1，b=-4知识点解析：三、解答题(本题共24题，每题1.0分，共24分。)16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、标准答案：知识点解析：暂无解析27、标准答案：知识点解析：暂无解析28、标准答案：知识点解析：暂无解析29、标准答案：知识点解析：暂无解析30、标准答案：知识点解析：暂无解析31、设，当x→0时，比较这两个无穷小的关系。标准答案：知识点解析：暂无解析32、设f(x)连续，且，且f’(0)存在。求f’(0)。标准答案：知识点解析：暂无解析33、设f(x)二阶连续可导，f”(0)=4，，求。标准答案：知识点解析：暂无解析34、标准答案：知识点解析：暂无解析35、标准答案：知识点解析：暂无解析36、标准答案：知识点解析：暂无解析37、标准答案：知识点解析：暂无解析38、标准答案：知识点解析：暂无解析39、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、把x→0+时的无穷小量α=排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是()A、α，β，γ。B、α，γ，β。C、β，α，γ。D、β，γ，α。标准答案：B知识点解析：因为所以当x→0+时，α是x的一阶无穷小，β是x的三阶无穷小，γ是x的二阶无穷小，故选B。2、设函数f(x)对任意的x均满足等式f(1+x)=af(x)，且有f’(0)=b，其中a，b为非零常数，则()A、f(x)在x=1处不可导。B、f(x)在x=1处可导，且f’(1)=a。C、f(x)在x=1处可导，且f’(1)=b。D、f(x)在x=1处可导，且f’(1)=ab。标准答案：D知识点解析：因且由f’(0)=b可知3、设函数f(x)满足关系式f’’(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则()A、f(0)是f(x)的极大值。B、f(0)是f(x)的极小值。C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点。D、f(0)不是f(x)的极值，(x，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点。标准答案：C知识点解析：在题设等式两端对x求导，得f’’’(x)+2f’(x)f’’(x)=1。令x=0可得f’’’(0)=1(因由上式可推得f’’’(x)连续)。又f’’(0)=0，由拐点的充分条件可知，(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点。故选C。4、由曲线(0≤x≤π)与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由曲线y=f(x)绕x轴旋转一周所得旋转体的体积计算公式，得5、已知向量a，b的模分别为｜a｜=2，｜b｜=，且a.b=2，则｜a×b｜=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：a.b=｜a｜｜b｜cos＜a，b＞=cos＜a，b＞=2，则cos＜a，b＞=故｜a×b｜=｜a｜｜b｜sin＜a，b＞=6、函数f(x，y)在点(0，0)可微的充分条件是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由可知，f(x，y)的两个一阶偏导数fx(x，y)和fy(x，y)在点(0，0)处连续，则f(x，y)在点(0，0)处可微，故选D。7、设曲线积分-ex]sinydx-f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：曲线积分∫L[f(x)-ex]sinydx-f(x)cosydy与路径无关，则[f(x)-ex]cosy=-f’(x)cosy，即f’(x)+f(x)=ex。所以有8、设正项级数()A、绝对收敛。B、条件收敛。C、发散。D、敛散性与λ有关。标准答案：A知识点解析：因为而由正项级数收敛，再由比较审敛法极限形式知，原级数绝对收敛。9、已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为()A、y=Cy1(x)。B、y=Cy2(x)。C、y=C1y1(x)+C2y2(x)。D、y=C[y1(x)-y2(x)]。标准答案：D知识点解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，所以y1(x)-y2(x)为该方程的一个非零解，则y=C[y1(x)-y2(x)]为该方程的通解。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)10、设a＞0，a≠1，且，则p=_________。标准答案：2知识点解析：故取p=2。11、已知=________。标准答案：知识点解析：12、设y=y(x)由参数方程=________，y=y(x)在任意点处的曲率K=________。标准答案：知识点解析：由题干可知因此，y=y(x)的曲率13、=________。标准答案：1知识点解析：原式=14、两个平行平面∏1：2x-y-3z+2=0，∏2：2x-y-3z-5=0之间的距离是=_______。标准答案：知识点解析：在平面∏上任取一点P0(-1，0，0)，则平行平面∏1到∏2的距离转化为点P0到平面∏2的距离，利用点到平面的距离公式，则有15、设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分的值为=______。标准答案：知识点解析：正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，可表示为16、幂级数的收敛域为________。标准答案：[4，6)知识点解析：幂级数的系数为an=，则有因此幂级数的收敛半径为R=1。当x=4时，原级数为，该级数收敛，当x=6时，原级数为，该级数发散，故幂级数的收敛域是[4，6)。17、若函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex，则f(x)=________。标准答案：ez知识点解析：齐次微分方程f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0的特征方程为r2+r-2=0，特征根为r1=1，r2=-2，该齐次微分方程的通解为f(x)=C1ex+C2e-2x。再由f’’(x)+f(x)=2ex得2C1ex+5C2e-2x=2ex，比较系数可得C1=1，C2=0。故f(x)=ex。三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)18、证明：(Ⅰ)对任意正整数n，都有成立；(Ⅱ)设，证明{an}收敛。标准答案：(Ⅰ)令=x，则原不等式可化为先证明ln(1+x)＜x，x＞0。令f(x)=x-ln(1+x)。由于可知f(x)在0，+∞)上单调递增。又由于f(0)=0，所以当x＞0时f(x)＞f(0)=0。也即ln(1+x)＜x，x＞0。再证明＜ln(1+x)，x＞0。令g(x)=ln(1+x)-。由于可知g(x)在[0，+∞)上单调递增。又因g(0)=0，所以当x＞0时，g(x)＞g(0)=0。即再代入，即可得到所需证明的不等式。因此数列{an}是有界的。由单调有界收敛定理可知数列{an}收敛。知识点解析：暂无解析19、(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)；(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且f’(x)=A，则f’+(0)存在，且f’+(0)=A。标准答案：(Ⅰ)作辅助函数φ(x)=f(x)-f(a)-(x-a)，易验证φ(x)满足：φ(a)=φ(b)；φ(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且根据罗尔定理，可得至少有一点ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)=0，即所以f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)。(Ⅱ)任取x0∈(0，δ)，则函数f(x)在闭区间[0，x0]上连续，开区间(0，x0)内可导，因此由拉格朗日中值定理可知，存在(0，δ)，使得故f’+(0)存在，且f’+(0)=A。知识点解析：暂无解析20、设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。(Ⅰ)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积；(Ⅱ)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且f’(x)＞-，证明(Ⅰ)中的x0是唯一的。标准答案：(Ⅰ)本题可转化为证明x0f(x0)=，则φ(x)在闭区间[0，1]上是连续的，在开区间(0，1)上是可导的，又因为φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理可知，存在x0∈(0，1)，使得φ’(x0)=0，即(Ⅱ)令F(x)=xf(x)-有F’(x)=xf’(x)+f(x)+f(x)=2f(x)+xf’(x)＞0，即F(x)在(0，1)内是严格单调递增的，因此(Ⅰ)中的点x0是唯一的。知识点解析：暂无解析21、设z=f(x，y)，x=g(y，z)+，其中f，g，φ在其定义域内均可微，求标准答案：由z=f(x，y)，有dz=f’1dx+f’2dy。由x=g(y，z)+有解得代入出表达式中，得知识点解析：暂无解析22、过椭圆3x2+2xy+3y2=1上任意一点作椭圆的切线，试求该切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。标准答案：设(x，y)为所给椭圆上任一点，则可求得在(x，y)处的切线方程为(3x+y)(X-x)+(x+3y)(Y-y)=0，它与两坐标轴的交点为。所以切线与坐标轴围成的三角形面积为本题转化为求(3x+y)(z+3y)在条件3x2+2xy+3y2=1下的极值。设F(x，y，λ)=(3x+y)(x+3y)+λ(3x2+2xy+3y2-1)，所以该切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值知识点解析：暂无解析23、计算积分标准答案：如图所示，二重积分的积分区域为D，D1是D的第一象限部分，由对称性，得知识点解析：暂无解析24、设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都有f(tx，ty)=t-2f(，y)。证明对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有yf(x，y)dx-xf(x，y)dy=0。标准答案：在等式f(tx，ty)=t-2f(x，y)两边对t求导得xf’1(tx，ty)+yf’2(tx，ty)=-2t-3f(x，y)，令t=1，则xf’1(x，y)+xf’2(x，y)=-2f(x，y)，(*)设P(x，y)=yf(x，y)，Q(x，y)=-xf(x，y)，则由曲线积分与路径无关的定理可知，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有yf(x，y)dx-xf(x，y)dy=0。知识点解析：暂无解析25、求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。标准答案：因为所以收敛半径为R=3，相应的收敛区间为(-3，3)。当x=3时，由于且发散，所以原级数在点x=3处发散。当x=-3时，由于且都收敛，所以原级数在点x=-3处收敛。知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第7套一、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、微分方程的通解为___________．标准答案：知识点解析：暂无解析2、微分方程(y2+x)dx一2xydy=0的通解为____________．标准答案：y2=x(1n｜x｜+C)知识点解析：暂无解析3、微分方程的通解为___________．标准答案：知识点解析：暂无解析4、方程y"一3y’+2y=2x的通解为___________．标准答案：y=C1ex+C1e2x一2xex知识点解析：暂无解析二、解答题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)5、求微分方程的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析求下列方程的通解或满足给定初始条件的特解：6、y’+1=xex+y．标准答案：知识点解析：暂无解析7、标准答案：x(csc(x+y)-cot(x+y))=C知识点解析：暂无解析8、(y+2xy2)dx+(x一2x2y)dy=0标准答案：知识点解析：暂无解析9、(1+x)y"+y’=0标准答案：y=C1ln｜1+x｜+C2知识点解析：暂无解析10、yy"一(y’)2=y4，y(0)=1，y’(0)=0标准答案：知识点解析：暂无解析11、y"+4y’+1=0标准答案：知识点解析：暂无解析12、y"+9y=cos(2x+5)标准答案：知识点解析：暂无解析13、y’’’一3y"+9y’+13y=e2xsin3x标准答案：知识点解析：暂无解析14、设y=ex是微分方程xy’+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足条件y｜x=ln2=0的特解．标准答案：知识点解析：暂无解析15、设有微分方程y’一2y=φ(x)，其中，试求在(一∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(一∞，1)，(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0．标准答案：知识点解析：暂无解析16、已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+ex是二阶线性非齐次方程的解，求方程通解及方程．标准答案：所求方程(2x-x2)y"+(x2一2)y’+2(1一x)y=6(1一x)；通解为：y=C1x2+C2ex+3；知识点解析：暂无解析17、已知函数y=e2x+(x+1)ex是二阶常系数线性非齐次方程y"+ay’+by=cex的一个特解，试确定常数a，b，c及该方程的通解．标准答案：a=一3，b=2，c=一1，y=C1e2x+C2ex+xex知识点解析：暂无解析18、已知y"+(x+e2y)y’3=0，若把x看成因变量，y看成自变量，则方程化为什么形式?并求此方程的通解．标准答案：原方程化为xy"—x=e2y，通解为知识点解析：暂无解析求分别满足下列关系式的f(x)．19、，其中f(x)为连续函数；标准答案：f(x)≡0知识点解析：暂无解析20、f’(x)+xf’(一x)=x．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设f(x)连续且，求f(x)．标准答案：f(x)=Cx+2知识点解析：暂无解析22、设f(x)在x＞0上有定义，且对任意的正实数x，y，f(xy)=xf(y)+yf(x)，f’(1)=2，试求f(x)．标准答案：f(x)=2xlnx知识点解析：暂无解析23、设φ(x)连续，且，试求φ(x)．标准答案：φ(x)=ex+2xex+知识点解析：暂无解析24、已知与路径无关，且f(0)=0，试求f(x)及I的值．标准答案：f(x)=xex，I=e知识点解析：暂无解析25、设φ(x)有连续二阶导数，且φ(0)=φ’(0)=0，du=yφ(x)dx+[sinx一φ’(x)]dy，试求u(x，y)．标准答案：u(x，y)=知识点解析：暂无解析26、设f(x)在(0，+∞)上可导，f(1)=3求f(x)．标准答案：f(x)=31nx+3知识点解析：暂无解析27、设(r，θ)为极坐标，r＞0，0≤θ≤2π，设u=u(r，θ)具有二阶连续偏导数，并满足=0，求u(r，θ)．标准答案：u=C1+C2lnr知识点解析：暂无解析28、设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程求f(t)．标准答案：f(t)=知识点解析：暂无解析29、求方程y(4)一y"=0的一个特解，使其在x→0时与x3为等价无穷小．标准答案：y=一6x+3ex一3e-x知识点解析：暂无解析30、假设：(1)函数y=f(x)(0≤x＜+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1；(2)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别相交于点P1和P2；(3)曲线y=f(x)、直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度．求函数y=f(x)的表达式．标准答案：知识点解析：暂无解析31、设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为试求y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解．标准答案：3f2(t)=2tf(t)+t2f’(t)，知识点解析：暂无解析32、设曲线L的极坐标方程为r=r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M0(2，0)为L上一定点，若极径OM0，OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0，M两点间弧长值的一半，求曲线L的方程．标准答案：知识点解析：暂无解析33、以yOz坐标面上的平面曲线段y=f(z)(0≤z≤h)绕z轴旋转所构成的旋转曲面和xOy坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为16πcm2，如果以3cm3／s的速率把水注入容器，水表面的面积以πcm2／s增大，试求曲线y=f(z)的方程．标准答案：知识点解析：暂无解析34、要设计一形状为旋转体的水泥桥墩，桥墩高为h，上底面半径为a，要求桥墩在任一水平面上所受上部桥墩的平均压强为一常数P，设水泥比重为ρ，试求桥墩形状．标准答案：桥墩应为曲线段绕x轴旋转所成曲面与平面x=0和x=h所围成的旋转体．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第8套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设f(x)一阶连续可导，且f(0)=0，f’(0)=1，则=()．A、e-1B、eC、e2D、e3标准答案：B知识点解析：，选(B)．2、设，则x=0是f(x)的()．A、连续点B、第一类间断点C、第二类间断点D、不能判断连续性的点标准答案：B知识点解析：当x＞0时，f(x)=；当x=0时，；当x＜0时，f(x)=x，因为f(0+0)=1，f(0)=，f(0—0)=0，所以x=0为f(x)的第一类间断点，选(B)．3、设f(x)是不恒为零的奇函数，且f’(0)存在，则g(x)=()．A、在x=0处无极限B、x=0为其可去间断点C、x=0为其跳跃间断点D、x=0为其第二类间断点标准答案：B知识点解析：因为f’(0)存在，所以f(x)在x=0处连续，又因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0，显然x=0为g(x)的间断点，因为，所以x=0为g(x)的可去间断点，选(B)．4、设f(x)=，则f(x)()．A、无间断点B、有间断点x=1C、有间断点x=一1D、有间断点x=0标准答案：B知识点解析：当｜x｜＜1时，f(x)=1+x；当｜x｜>1时，f(x)=0；当x=一1时，f(x)=0；当x=1时，f(x)=1．于是显然x=1为函数f(x)的间断点，选(B)．5、设，其中a，b为常数，则()．A、a=1，b=1B、a=1，b=一1C、a=一1，b=1D、a=一1，b=一1标准答案：B知识点解析：因为，所以，