考研数学一（线性代数）模拟试卷7（共107题）

考研数学一（线性代数）模拟试卷7（共4套）（共107题）考研数学一（线性代数）模拟试卷第1套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设A=，且｜A｜=m，则｜B｜=()A、m。B、-8m。C、2m。D、-2m。标准答案：D知识点解析：将行列式｜A｜的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以2就可以得到行列式｜B｜。由行列式的性质知｜B｜=-2｜A｜=-2m。2、设A=E-2ξξT，其中ξ=(x1，x2，…，xn)T，且有ξTξ=1。则①A是对称矩阵；②A2是单位矩阵；③A是正交矩阵；④A是可逆矩阵。上述结论中，正确的个数是()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：D知识点解析：AT=(E-2ξξT)T=ET-(2ξξT)T=E-2ξξT=A，①成立。A2=(E-2ξξT)(E-2ξξT)=E-4ξξT+4ξξTξξT=E-4ξξT+4ξ(ξTξ)ξT=E，②成立。由①、②，得A2=AAT=E，故A是正交矩阵，③成立。由③知正交矩阵是可逆矩阵，且A-1=AT，④成立。故应选D。3、设A=，那么(P-1)2010A(Q2011)-1=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：P、Q均为初等矩阵，因为P-1=P，且P左乘A相当于互换矩阵A的第一、三两行，所以P2010A表示把A的第一、三行互换2010次，从而(P-1)2010A=P2010A=A。又(Q2011)-1=(Q-1)2011，且Q-1=，而Q-1右乘A相当于把矩阵A的第二列上各元素加到第一列相应元素上去，所以A(Q-1)2011表示把矩阵A第二列的各元素2011倍加到第一列相应元素上去，所以应选B。4、设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则必有()A、α1，α2，β1线性无关。B、α1，α2，β2线性无关。C、α2，α3，β1，β2线性相关。D、α1，α2，α3，β1+β2线性相关。标准答案：B知识点解析：由α1，α2，α3线性无关，且β2不能由α1，α2，α3线性表示知，α1，α2，α3，β2线性无关，从而部分组α1，α2，β2线性无关，故B为正确答案。下面证明其他选项的不正确性。取α1=(1，0，0，0)T，α2=(0，1，0，0)T，α3=(0，0，1，0)T，β2=(0，0，0，1)T，β1=α1，知选项A与C错误。对于选项D，由于α1，α2，α3线性无关，若α1，α2，α3，β1+β2线性相关，则β1+β2可由α1，α2，α3线性表示，而β1可由α1，α2，α3线性表示，从而β2可由α1，α2，α3线性表示，与假设矛盾，从而D错误。5、非齐次线性方程组Ax=b中未知量的个数为n，方程个数为m，系数矩阵的秩为r，则()A、r=m时，方程组Ax=b有解。B、r=n时，方程组Ax=b有唯一解。C、m=n时，方程组Ax=b有唯一解。D、r＜n时，方程组Ax=b有无穷多个解。标准答案：A知识点解析：对于选项A，r(A)=r=m。由于r(A：b)≥m=r，且r(a：b)≤min{m，n+1}=min{r，n+1}=r，因此必有r(A：b)=r，从而r(A)=r(A：b)，此时方程组有解，所以应选A。由B、C、D选项的条件均不能推得“两秩”相等。6、已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解是()A、k1α1+k2(α1+α2)+B、k1α1+k2(α1-α2)+C、k1α1+k2(β1+β2)+D、k1α1+k2(β1-β2)+标准答案：B知识点解析：对于A、C选项，因为所以选项A、C中不含有非齐次线性方程组Ax=b的特解，故均不正确。对于选项D，虽然β1-β2是齐次线性方程组Ax=0的解，但它与α1不一定线性无关，故D也不正确，所以应选B。事实上，对于选项B，由于α1，α1-α2与α1，α2等价(显然它们能够互相线性表示)，故α1，α1-α2也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由可知是齐次线性方程组Ax=b的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B选项正确。7、已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A2α线性无关，而A3α=3Aα-2A2α，那么矩阵A属于特征值λ=-3的特征向量是()A、α。B、Aα+2α。C、A2α-Aα。D、A2α+2Aα-3α。标准答案：C知识点解析：因为A3α+2A2α-3Aα=0。故(A+3E)(A2α-Aα)=0=0(A2α-Aα)。因为α，Aα，A2α线性无关，必有A2α-Aα≠0，所以A2α-Aα是矩阵A+3层属于特征值λ=0的特征向量，即矩阵A属于特征值λ=-3的特征向量。所以应选C。8、设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则()A、λE-A=λE-B。B、A与B有相同的特征值和特征向量。C、A和B都相似于一个对角矩阵。D、对任意常数t，tE-A与tE-B相似。标准答案：D知识点解析：因为由A与B相似不能推得A=B，所以选项A不正确。相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项B也不正确。对于选项C，因为根据题设不能推知A，B是否相似于对角阵，故选项C也不正确。综上可知选项D正确。事实上，因A与B相似，故存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，于是P-1(tE-A)P=tE-P-1AP=tE-B，可见对任意常数t，矩阵tE-A与tE-B相似。所以应选D。9、设A是n阶实对称矩阵，将A的第i列和第j列对换得到B，再将B的第i行和第j行对换得到C，则A与C()A、等价但不相似。B、合同但不相似。C、相似但不合同。D、等价，合同且相似。标准答案：D知识点解析：对矩阵作初等行、列变换，用左、右乘初等矩阵表示，由题设AEij=B，EijB=C，故C=EijB=EijAEij。因Eij=EijT=Eij-1，故C=EijAEij=Eij-1AEij=EijTAEij，故A与C等价，合同且相似，故应选D。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)10、设A为奇数阶矩阵，且AAT=ATA=E。若｜A｜＞0，则｜A-E｜=______。标准答案：0知识点解析：｜A-E｜=｜A-AAT｜=｜A(E-AT)｜=｜A｜.｜E-AT｜=｜A｜.｜E-A｜。由AAT=ATA=E，可知｜A｜2=1，因为｜A｜＞0，所以｜A｜=1，即｜A-E｜=｜E-A｜。又A为奇数阶矩阵，所以｜E-A｜=｜-(A-E)｜=-｜A-E｜=-｜E-A｜，故｜A-E｜=0。11、与矩阵A=可交换的矩阵为________。标准答案：，其中x2和x4为任意实数知识点解析：设矩阵B=与A可交换，则由AB=BA可得即x3=-2x2，x1=4x2+x4，所以B=，其中x2和x4为任意实数。12、设矩阵A=，则A3的秩为_______。标准答案：1知识点解析：依矩阵乘法直接计算得故r(A3)=1。13、设α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，-2)T，若β1=(1，3，4)T可以由α1，α2，α3线性表示，但是β2=(0，1，2)T不可以由α1，α2，α3线性表示，则a=______。标准答案：-1知识点解析：根据题意，β1=(1，3，4)T可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1有解，β2=(0，1，2)T不可以由α，α，α线性表示，则方程组x1α1+x2α2+x3α3=β2无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起作矩阵的初等变换，即因此可知，当a=-1时，方程组xα+xα+xα=β有解，方程组x1α1+x2α2+x3α3=β2无解，故a=-1。14、设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解，则r(A*)=_______。标准答案：0知识点解析：η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解。由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，可得n-r(A)≥2，即r(A)≤3。又因为A是五阶矩阵，所以｜A｜的四阶子式一定全部为零，则代数余子式Aij恒为零，即A*=O，所以r(A*)=0。15、设A是三阶矩阵，且各行元素的和都是5，则矩阵A一定有特征值_________。标准答案：5知识点解析：已知各行元素的和都是5，即化为矩阵形式，可得满足，故矩阵A一定有一个特征值为5。16、设矩阵A与B=相似，则r(A)+r(A-2E)=_______。标准答案：3知识点解析：矩阵A与B相似，则A-2E与B-2E相似，而相似矩阵具有相同的秩，所以r(A)+r(A-2E)=r(B)+r(B-2E)=2+1=3。17、二次型f(x1，x2，x3)=(x1+2x2+a3x3)(x1+5x2+b3x3)的合同规范形为______。标准答案：知识点解析：令，所以该线性变换是非退化的，则原二次型与变换之后的二次型f=y1y2是合同的，故有相同的合同规范形。二次型f=y1y2的矩阵为，所以原二次型的正、负惯性指数均为1，故原二次型的合同标准形为三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)18、已知A=，且AX+X+B+BA=0，求X2006。标准答案：由AX+X+B+BA=O可得(A+E)X=-B(E+A)，而A+E可逆的，所以X=-(A+E)-1B(E+A)，故X2006=(A+E)-1B2006(E+A)=(A+E)-1(E+A)=E。知识点解析：暂无解析19、设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置。证明：r(A)≤2。标准答案：因为A=ααT+ββT，A为3×3矩阵，所以r(A)≤3。因为α，β为三维列向量，所以存在三维列向量ξ≠0，使得αTξ=0，βTξ=0，于是Aξ=ααTξ+ββTξ=0，所以Ax=0有非零解，从而r(A)≤2。知识点解析：暂无解析20、设α1，α2，…，αn是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示。标准答案：必要性：a1，a2，…，an是线性无关的一组n维向量，因此r(a1，a2，…，an)=n。对任一n维向量b，因为a1，a2，…，an，b的维数n小于向量的个数n+1，故a1，a2，…，an，b线性相关。综上所述r(a1，a2，…，an，b)=n。又因为a1，a2，…，an线性无关，所以n维向量b可由a1，a2，…，an线性表示。充分性：已知任一n维向量b都可由a1，a2，…，an线性表示，则单位向量组：ε1，ε2，…，εn可由a1，a2，…，an线性表示，即r(ε1，ε2，…，εn)=n≤r(a1，a2，…，an)，又a1，a2，…，an是一组n维向量，有r(a1，a2，…，an)≤n。综上，r(a1，a2，…，an)=n。所以a1，a2，…，an线性无关。知识点解析：暂无解析21、设A=(Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；(Ⅱ)对(Ⅰ)中任意向量ξ2和ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关。标准答案：(Ⅰ)对增广矩阵(A：ξ1)作初等行变换，则得Ax=0的基础解系(1，-1，2)T和Ax=ξ1的特解(0，0，1)T。故ξ2=(0，0，1)T+k(1，-1，2)T，其中k为任意常数。A2=，对增广矩阵(A2：ξ1)作初等行变换，有得A2x=0的基础解系(-1，1，0)T，(0，0，1)T和A2x=ξ1的特解。故ξ3=+t1(-1，1，0)T+t2(0，0，1)T，其中t1，t2为任意常数。(Ⅱ)因为所以ξ1，ξ2，ξ3线性无关。知识点解析：暂无解析22、设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=tsαs+t2α1，其中t1，t2为实常数。试问t1，t2满足什么条件时，β1，β2，…，βs也为Ax=0的一个基础解系。标准答案：因为βi(i=1，2，…，s)是α1，α2，…，αs的线性组合，且α1，α2，…，αs是Ax=0的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知βi(i=1，2，…，s)均为Ax=0的解。从α1，α2，…，αs是Ax=0的基础解系知s=n-r(A)。以下分析β1，β2，…，βs线性无关的条件：设k1β1+k2β2+…+ksβs=0，即(t1k1+t2ks)α1+(t2k1+t1k2)α2+(t2k2+t1k3)α3+…+(t2ks-1+t1ks)αs=0，由于α1，α2，…，αs线性无关，所以又因系数矩阵的行列式当时，方程组(*)只有零解k1=k2=…=ks=0。因此当s为偶数且t1≠±t2，或当s为奇数且t1≠-t2时，β1，β2，…，βs线性无关。知识点解析：暂无解析23、设矩阵A=的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化。标准答案：矩阵A的特征多项式为｜λE-A｜==(λ-2)(λ2-8λ+18+3a)。如果λ=2是单根，则λ2-8λ+18+3a是完全平方，必有18+3a=16，即a=。则矩阵A的特征值是2，4，4，而r(4E-A)=2，故λ=4只有一个线性无关的特征向量，从而A不能相似对角化。如果λ=2是二重特征值，则将λ=0代入λ2-8λ+18+3a=0可得a=-2。于是λ2-8λ+18+3a=(λ-2)(λ-6)。则矩阵A的特征值是2，2，6，而r(2E-A)=1，故λ=2有两个线性无关的特征向量，从而A可以相似对角化。知识点解析：暂无解析24、设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5-4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。(Ⅰ)验证α1是矩阵β的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵B。标准答案：(Ⅰ)由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次递推，则有A3α1=α1，A5α1=α1，故Bα1=(A5-4A3+E)α1=A5α1-4A3α1+α1=-2α1，即α1是矩阵β的属于特征值-2的特征向量。由关系式B=A5-4A3+E及A的三个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2得B的三个特征值为μ1=-2，μ2=1，μ3=1。设α1，α2为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此α1与α2、α3正交，即。因此α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即得其基础解系为B的全部特征向量为k1，其中k1≠0，k2，k3不同时为零。(Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)=，于是知识点解析：暂无解析25、设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为，且Q的第三列为(Ⅰ)求A；(Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。标准答案：(Ⅰ)由题意知QTAQ=Λ，其中Λ=，则A=QΛQT,设Q的其他任一列向量为(x1，x2，x3)T。因为Q为正交矩阵，所以即x1+x3=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为α1=(=1，0，1)T，α2=(0，1，0)T。把α1单位化得β1=(-1，0，1)T，所以(Ⅱ)证明：因为(A+E)T=AT+E=A+E，所以A+E为实对称矩阵。又因为A的特征值为1，1，0，所以A+E特征值为2，2，1，都大于0，因此A+E为正定矩阵。知识点解析：暂无解析考研数学一（线性代数）模拟试卷第2套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设A是三阶矩阵，B是四阶矩降，且|A|=2，|B|=6，则为()．A、24B、一24C、48D、一48标准答案：D知识点解析：×24×6=一48，选(D)．2、设n维行向量α=()，A=E—αTα，B=E+2αTα，则AB为()．A、OB、一EC、ED、E+αTα标准答案：C知识点解析：由ααT=，得AB=(E—αTα)(E+2αTα)=E，选(C)．3、设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是()．A、若A，B可逆，则A+B可逆B、若A，B可逆，则AB可逆C、若A+B可逆，则A—B可逆D、若A+B可逆，则A，B都可逆标准答案：B知识点解析：若A，B可逆，则|A|≠0，|B|≠0，又|AB|=|A||B|，所以|AB|≠0，于是AB可逆，选(B)．4、设A，B为n阶对称矩阵，下列结论不正确的是()．A、AB为对称矩阵B、设A，B可逆，则A—1+B—1为对称矩阵C、A+B为对称矩阵D、kA为对称矩阵标准答案：A知识点解析：由(A+B)T=AT+BT=A+B，得A+B为列称矩阵；由(A—1+B—1)T=(A—1)T+(B—1)T=A—1+B—1，得A—1+B—1为对称矩阵；由(kA)T=kAT=kA，得kA为对称矩阵，选(A)．5、设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是()．A、AB=O的充分必要条件是A=O或B=OB、AB≠O的充分必要条件是A≠O且B≠OC、AB=O且r(A)=n，则B=OD、若AB≠O，则|A|≠O或|B|≠O标准答案：C知识点解析：取A=≠O，显然AB=O，故(A)、(B)都不对，取A=≠O，但|A|=O且|B|=O，故(D)不对；由AB=O得r(A)+r(B)≤n，因为r(A)=n，所以r(B)=O，于是B=O，所以选(C)．6、n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B，则()．A、|A|=|B|B、|A|≠|B|C、若|A|=0则|B|=0D、若|A|＞0则|B|＞0标准答案：C知识点解析：因为A经过若干次初等变换化为B，所以存在初等矩阵P1，…，Ps，Q1，…，Qt，使得B=Ps…P1AQ1…Qt，而P1，…Ps，Q1，…，Qt都是可逆矩阵，所以r(A)=r(B)，若|A|=0，即r(A)＜n，则r(B)＜n，即|B|=0，选(C)．7、设A为m×n阶矩阵，C为n阶矩阵，B=AC，且r(A)=r，r(B)=r1，则()．A、r＞r1B、r＜r1C、r≥r1D、r与r1的关系依矩阵C的情况而定标准答案：C知识点解析：因为r1=r(B)=r(AC)≤r(A)=r，所以选(C)．二、填空题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)8、设f(x)=，则x2项的系数为___________．标准答案：23知识点解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．9、设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，|A|的第二行元素的代数余子式分别为a+1，a一2，a一1，则a=___________．标准答案：1知识点解析：由(a+1)+2(a一2)+3(a一1)=0得a=1．10、设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且｜A｜=a，|B|=b，则=___________．标准答案：(—1)mnab知识点解析：将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则=(—1)mnab11、设α=(1，一1，2)T，β=(2，1，1)T，A=αβT，则An=___________．标准答案：3n—1知识点解析：βTα=3，A2=αβT．αβT=3αβT=3A，则An=3n—1A=3n—1．12、A=，且n≥2，则An一2An—1=___________．标准答案：O知识点解析：由A2=2A得An=2n—1A，An—1=2n—2A，所以An一2An—1=0．13、设A=，则(A+3E)—1(A2一9E)=___________．标准答案：知识点解析：(A+3E)—1(A2一9E)=(A+3E)—1(A+3E)(A一3E)=A一3E=14、A2一B2=(A+B)(A一B)的充分必要条件是___________．标准答案：AB=BA知识点解析：A2一B2=(A+B)(A—B)=A2+BA—AB—B2的充分必要条件是AB=BA．15、设A是三阶矩阵，且|A|=4，则=___________．标准答案：2知识点解析：|(A)—1|=|2A—1|=23|A|=216、设A为三阶矩阵，且|A|=4，则=___________．标准答案：知识点解析：由A*=|A|A—1=4A—1得．17、设A为四阶矩阵，|A*|=8，则=___________．标准答案：8知识点解析：因为A为四阶矩阵，且|A*|=8，所以|A*|=|A|3=8，于是|A|=2．又AA*=|A|E=2E，所以A*=2A—1，故18、若矩阵A=，B是三阶非零矩阵，满足AB=O，则t=___________．标准答案：1知识点解析：由AB=O得r(A)+r(B)≤3，因为r(B)≥1，所以r(A)≤2，又因为矩阵A有两行不成比例，所以r(A)≤2，于是r(A)=2．由A=得t=1．19、设A=，则A—1=___________．标准答案：知识点解析：20、设A=，则A—1=___________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)21、计算行列式标准答案：知识点解析：暂无解析22、计算D=标准答案：知识点解析：暂无解析23、设A，B为n阶矩阵，且A2=A，B2=B，(A+B)2=A+B．证明：AB=0．标准答案：由A2=A，B2=B及(A+B)2=A+B=A2+B2+AB+BA得AB+BA=O或AB=一BA，AB=—BA两边左乘A得AB=—ABA，再在AB=一BA两边右乘A得ABA=一BA，则AB=BA，于是AB=0．知识点解析：暂无解析24、设A=，且AX+|A|E=A*+X，求X．标准答案：由AX+|A|E=A*+X得(A—E)X=A*一|A|E=A*一AA*=(E—A)A*，因为|E—A|=一3≠0，所以E一A可逆，于是X=一A*，由|A|=6得X=一6A—1，知识点解析：暂无解析25、设四阶矩阵B满足，求矩阵B．标准答案：知识点解析：暂无解析26、设A，B满足A*BA=2BA一8E，且A=，求B．标准答案：由A*BA=2BA一8E得AA*BA=2ABA一8A，即一2BA=2ABA一8A，整理得(A+E)B=4E，所以B=4(A+E)—1=知识点解析：暂无解析27、设AX=A+2X，其中A=，求X．标准答案：由AX=A+2X得(A一2E)X=A，其中A一2E=因为|A一2E|=一1≠0，所以X=(A一2E)—1A，知识点解析：暂无解析28、设A=(ai≠0，i=1，2，…，n)，求A—1．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（线性代数）模拟试卷第3套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则①若A可逆，则B可逆；②若B可逆，则A+B可逆；③若A+B可逆，则AB可逆；④A-E恒可逆。上述命题中，正确的个数为()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：D知识点解析：由AB=A+B，有(A-E)B=A。若A可逆，则｜(A-E)B｜=｜A-E｜×｜B｜=｜A｜≠0，所以｜B｜≠0，即矩阵B可逆，从而命题①正确。同命题①类似，由B可逆可得出A可逆，从而AB可逆，那么A+B=AB也可逆，故命题②正确。因为AB=A+B，若A+B可逆，则有AB可逆，即命题③正确。对于命题④，用分组因式分解，即AB-A-B+E=E，则有(A-E)(B-E)=E，所以得A-E恒可逆，命题④正确。所以应选D。2、设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则()A、当m＞n，必有行列式｜AB｜≠0。B、当m＞n，必有行列式｜AB｜=0。C、当n＞m，必有行列式｜AB｜≠0。D、当n＞m，必有行列式｜AB｜=0。标准答案：B知识点解析：因为AB是m阶方阵，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，所以当m＞n时，必有r(AB)＜m，从而｜AB｜=0，所以应选B。3、设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论中不正确的是()A、若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关。B、若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs=0。C、α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s。D、α1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。标准答案：B知识点解析：对于选项A，因为齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xsαs=0只有零解，故α1，α2，…，αs线性无关，选项A正确。对于选项B，由α1，α2，…，αs线性相关知，齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xsαs=0存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项B是错误的。选项C是教材中的定理。由“无关组减向量仍无关”(线性无关的向量组其任意部分组均线性无关)可知选项D也是正确的。综上可知，应选B。4、已知四维向量组α1，α2，α3，α4线性无关，且向量β1=α1+α3+α4，β2=α2-α4，β3=α3+α4，β4=α2+α3，β5=2α1+α2+α3。则r(β1，β2，β3，β4，β5)=()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：C知识点解析：将表示关系合并成矩阵形式有(β1，β2，β3，β4)=(α1，α2，α3，α4)(α1，α2，α3，α4)C。因四个四维向量α1，α2，α3，α4线性无关，故｜α1，α2，α3，α4｜≠0，即A=(α1，α2，α3，α4)是可逆矩阵。A左乘C，即对C作若干次初等行变换，故有r(C)=r(AC)=r(β1，β2，β3，β4，β5)，而故知r(β1，β2，β3，β4，β5)=r(C)=3，因此应选C。5、某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为，则自由变量可取为①x4，x5；②x3，x5；③x1，x5；④x2，x3。那么正确的共有()A、1个。B、2个。C、3个。D、4个。标准答案：B知识点解析：因为系数矩阵的秩r(A)=3，则n-r(A)=5-3=2，故应当有两个自由变量。由于去掉x4，x5两列之后，所剩三阶矩阵为，因为其秩与r(A)不相等，故x4，x5不是自由变量。同理，x3，x5不能是自由变量。而x1，x5与x2，x3均可以是自由变量，因为行列式都不为0。所以应选B。6、设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(1)Anx=0和(2)An+1x=0，现有四个命题：①(1)的解必是(2)的解；②(2)的解必是(1)的解；③(1)的解不是(2)的解；④(2)的解不是(1)的解。以上命题中正确的是()A、①②。B、①④。C、③④。D、②③。标准答案：A知识点解析：若Anα=0，则An+1α=A(Anα)=A0=0，即若α是(1)的解，则α必是(2)的解，可见命题①正确。如果An+1α=0，而Anα≠0，那么对于向量组α，Aα，A2α，…，Anα，一方面有：若kα+k1Aα+k2A2α+…+knAnα=0，用An左乘上式的两边得kAnα=0。由Anα≠0可知必有k=0。类似地可得k1=k2=…=kn=0。因此，α，Aα，A2α，…，Anα线性无关。但另一方面，这是n+1个n维向量，它们必然线性相关，两者矛盾。故An+1α=0时，必有Anα=0，即(2)的解必是(1)的解。因此命题②正确。所以应选A。7、设三阶矩阵A的特征值是0，1，-1，则下列选项中不正确的是()A、矩阵A-E是不可逆矩阵。B、矩阵A+E和对角矩阵相似。C、矩阵A属于1与-1的特征向量相互正交。D、方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成。标准答案：C知识点解析：因为矩阵A的特征值是0，1，-1，所以矩阵A-E的特征值是-1，0，-2。由于λ=0是矩阵A-E的特征值，所以A-E不可逆。因为矩阵A+E的特征值是1，2，0，矩阵A+E有三个不同的特征值，所以A+E可以相似对角化。(或由A～+E～A+E而知A+E可相似对角化)。由矩阵A有一个特征值等于0可知r(A)=2，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n-r(A)=3-2=1个解向量构成。选项C的错误在于，若A是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般n阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不一定正交。8、下列选项中矩阵A和B相似的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：选项A中，r(A)=1，r(B)=2，故A和B不相似。选项B中，tr(A)=9，tr(B)=6，故A和B不相似。选项D中，矩阵A的特征值为2，2，-3，而矩阵B的特征值为1，3，-3，故A和B不相似。由排除法可知应选C。事实上，在选项C中，矩阵A和B的特征值均为2，0，0。由于A和B均可相似对角化，也即A和B均相似于对角矩阵，故由矩阵相似的传递性可知A和B相似。所以选C。9、n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是()A、二次型xTAx的负惯性指数为零。B、存在可逆矩阵P使P-1AP=E。C、存在n阶矩阵C使A=C-1C。D、A的伴随矩阵A*与E合同。标准答案：D知识点解析：选项A是必要不充分条件。这是因为r(A)=p+q≤n，当q=0时，有r(A)=p≤n。此时有可能p＜n，故二次型xTAx不一定是正定二次型。因此矩阵A不一定是正定矩阵。例如f(x1，x2，x3)=。选项B是充分不必要条件。这是因为P-1AP=E表示A与E相似，即A的特征值全是1，此时A是正定的。但只要A的特征值全大于零就可保证A正定，因此特征值全是1是不必要的。选项C中的矩阵C没有可逆的条件，因此对于A=CTC不能说A与层合同，也就没有A是正定矩阵的结论。例如显然矩阵不正定。关于选项D，由于A正定A-1正定A*正定A*与E合同，所以D是充分必要条件。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)10、设三阶行列式D3的第二行元素分别为1、-2、3，对应的代数余子式分别为-3、2、1，则D3=_________。标准答案：-4知识点解析：根据行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素与其相应的代数余子式乘积之和，故D3=a21A21+a22A22+a23A23=1×(-3)+(-2)×2+3×1=-4。11、设三阶方阵A与B相似，且｜2E+A｜=0。已知λ1=1，λ2=-1是方阵B的两个特征值，则｜A+2AB｜=________。标准答案：18知识点解析：由｜2E+A｜=0，可得｜-2E—A｜=0，即λ=-2是A的一个特征值。因A与B相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知，λ1=1，λ2=-1也是A的特征值，所以A、B的特征值均为λ1=1，λ2=-1，λ3=-2，则E+2B的三个特征值分别为3，-1，-3。从而可得｜A｜=λ1λ2λ3=2，｜E+2B｜=3×(-1)×(-3)=9，故｜A+2AB｜=｜A(E+2B)｜=｜A｜.｜E+2B｜=18。12、设A、B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=2A+3B，A=，则(B-2E)-1=_________。标准答案：知识点解析：利用已知条件AB=2A+3B，通过移、添加项构造出B-2E，于是有AB-2A-3B+6E=6E，则有(A-3E)(B-2E)=6E。从而13、已知A=，则秩r(AB+2A)=______。标准答案：2知识点解析：因为AB+2A=A(B+2E)，且是可逆矩阵，所以r(AB+2A)=r(A)。对A作初等行变换，则因此可得r(AB+2A)=2。14、从R2的基α1=的过渡矩阵为________。标准答案：知识点解析：根据定义，从R2的基α1=的过渡矩阵为P=(α1，α2)-1(β1，β2)15、设A=，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是________。标准答案：k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T，k1，k2是任意常数知识点解析：｜A｜=0，且r(A)=2，所以r(A*)=1，则由n-r(A*)=2可知，A*x=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，其通解形式为k1η1+k2η2。又因为A*A=｜A｜E=O，所以矩阵A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T。16、已知矩阵A=和对角矩阵相似，则a=________。标准答案：-2知识点解析：因为所以矩阵A的特征值分别为2，3，3。因为矩阵A和对角矩阵相似，所以对应于特征值3有两个线性无关的特征向量，即(3E-A)x=0有两个线性无关的解，因此矩阵3E-A的秩为1。可见a=-2。17、设x为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E-xxT的秩为_________。标准答案：2知识点解析：由题设知，矩阵xxT的特征值为0，0，1，故E-xxT的特征值为1，1，0。又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即r(E-xxT)=2。18、设A是三阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A-6E，且kE+A是正定阵，则k的取值范围是________。标准答案：k＞2知识点解析：根据题设条件，则有A3-2A2-5A+6E=O。设A有特征值λ，则A满足条件λ3-2λ2-5λ+6=0，将其因式分解可得λ3-2λ2-5λ+6=(λ-1)(λ+2)(λ-3)=0，因此可知矩阵A的特征值分别为1，-2，3，故kE+A的特征值分别为k+1，k-2，k+3，且当k＞2时，kE+A的特征值均为正数。故k＞2。三、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)19、设矩阵A的伴随矩阵A*=，且ABA-1=BA-1+3E，其中E为四阶单位矩阵，求矩阵B。标准答案：由AA*=A*A=｜A｜E，知｜A*｜=｜A｜n-1，因此有8=｜A｜=｜A｜3，于是｜A｜=2。在等式ABA-1=BA-1+3E两边先右乘A，再左乘A*，得2B=A*B+3A*A，即(2E-A*)B=6E。于是B=6(2E-A*)-1=知识点解析：暂无解析20、已知r(a1，a2，a3)=2，r(a2，a3，a4)=3，证明：(Ⅰ)a1能由a2，a3线性表示；(Ⅱ)a4不能由a1，a2，a3线性表示。标准答案：(Ⅰ)r(a1，a2，a3)=2＜3a1，a2，a3线性相关；假设a1不能由a2，a3线性表示，则a2，a3线性相关。而由r(a2，a3，a4)=3a2，a3，a4线性无关a2，a3线性无关，与假设矛盾。综上所述，a1必能由a2，a3线性表示。(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，a1可由a2，a3线性表示，则若a1能由a1，a2，a3线性表示a4能由a2，a3线性表示，即r(a2，a3，a4)＜3与r(a2，a3，a4)=3矛盾，故a4不能由a1，a2，a3线性表示。知识点解析：暂无解析21、设A=，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B，并求所有矩阵C。标准答案：令C=，则由AC-CA=B得该方程组是四元非齐次线性方程组，如果C存在，此线性方程组必须有解。对系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在C，使AC-CA=B。此时增广矩阵变换为所以通解为即C=(其中c1，c2为任意常数)。知识点解析：暂无解析22、设方程组与方程(2)x1+2x2+x3=a-1有公共解，求a的值及所有公共解。标准答案：把方程组(1)与(2)联立，得方程组则方程组(3)的解就是方程组(1)与(2)的公共解。对方程组(3)的增广矩阵作初等行变换，有因方程组(3)有解，所以(n-1)(a-2)=0。当a=1时，，此时方程组(3)的通解为k(-1，0，1)T(k为任意常数)，此即为方程组(1)与(2)的公共解。当a=2时，A→，此时方程组(3)有唯一解(0，1，-1)T，这也是方程组(1)与(2)的公共解。知识点解析：暂无解析23、设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。(Ⅰ)求矩阵A的特征值；(Ⅱ)求可逆矩阵P使得P-1AP=A。标准答案：(Ⅰ)由已知可得A(α1，α2，α3)=(α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+α3)=(α1，α2，α3)记P1=(α1，α2，α3)，B=，则有AP1=P1B。由于α1，α2，α3线性无关，即矩阵P1可逆，所以P1-1AP1=B，因此矩阵A与B相似，则｜λE-B｜==(λ-1)2(λ-4)，矩阵B的特征值是1，1，4，故矩阵A的特征值为1，1，4。(Ⅱ)由(E-B)x=0，得矩阵B对应于特征值λ=1的特征向量β1=(-1，1，0)T，β2=(-2，0，1)T；由(4E-B)x=0，得对应于特征值λ=4的特征向量β3=(0，1，1)T。令P2=(β1，β2，β3)=即当P=P1P2=(α1，α2，α3)=(-α1+α2，-2α1+α3，α2+α3)时，有P-1AP=Λ=知识点解析：暂无解析24、设A，B为同阶方阵。(Ⅰ)若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等；(Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立；(Ⅲ)当A，B均为实对称矩阵时，证明(Ⅰ)的逆命题成立。标准答案：(Ⅰ)若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则｜λE-B｜=｜λE-P-1AP｜=｜P-1λEP-P-1AP｜=｜P-1(λE-A)P｜=｜P-1｜｜λE-A｜｜P｜=｜λE-A｜。所以A、B的特征多项式相等。(Ⅱ)令A=，那么｜λE-A｜=λ2=｜λE-B｜。但是A，B不相似。否则，存在可逆矩阵P，使P-1AP=B=O，从而A=POP-1=O与已知矛盾。也可从r(A)=1，r(B)=0，知A与B不相似。(Ⅲ)由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵，若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ1，…，λn，则有所以存在可逆矩阵P，Q，使P-1AP==Q-1BQ。因此有(PQ-1)-1A(PQ-1)=B，矩阵A与B相似。知识点解析：暂无解析25、证明：二次型f(x)=xTAx在｜｜x｜｜=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。标准答案：A为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得QAQ-1=diag(λ1，λ2，…，λn)=A，其中λ1，λ2，…，λn为A的特征值，不妨设λ1最大。作正交变换y=Qx，即X=Q-1y=QTy，则f=xTAx=yTQAQTy=yTΛy=，因为y=Qx，所以当｜｜x｜｜=1时，有｜｜x｜｜2=xTx=yTQQTy=｜｜y｜｜2=1，又当y1=1，y2=y3=…=yn=0时，f=λ1，所以fmax=λ1。知识点解析：暂无解析考研数学一（线性代数）模拟试卷第4套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设A，B是n阶方阵，A，Y，b是n×1矩阵，则方程组有解的充要条件是()A、r(A)=r(A｜b)，r(B)任意B、AX=b有解，BY=0有非零解C、｜A｜≠0，b可由B的列向量线性表出D、｜B｜≠0，b可由A的列向量线性表出标准答案：A知识点解析：r(A)=r(A｜b)，r(B)任意(BY=0总有解，至少有零解，其余均错)．2、设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，k是任意常数，则方程组AX=b的通解是()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：方程组有齐次解：2α1一(α2+α3)=[2，3，4，5]T，故选C．3、设λ1，λ2是n阶矩阵A的特征值，α1,α2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，则()A、当λ1=λ2时，α1,α2对应分量必成比例B、当λ1=λ2时，α1,α2对应分量不成比例C、当λ1≠λ2时，α1,α2对应分量必成比例D、当λ1≠λ2时，α1,α2对应分量必不成比例标准答案：D知识点解析：当λ1=λ2时，α1与α2可以线性相关也可以线性无关，所以α1，α2可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除A，B．当λ1≠λ2时，α1，α2一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选D．4、已知α1=[一1，1，a，4]T，α2=[一2，1，5，a]T，α3=[a，2，10，1]T是4阶方阵A的3个不同特征值对应的特征向量，则a的取值为()A、a≠5B、a≠一4C、a≠一3D、a≠一3目a≠一4标准答案：A知识点解析：α1,α2,α3是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由知a≠5．故应选A．B：A与J石I相似，则A与B有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于C：A与B不一定能够相似对角化．5、设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则()A、λE-A=λE-BB、A与B有相同的特征值和特征向量C、A与B都相似于一个对角矩阵D、对任意常数t，tE-A与tE-B相似标准答案：D知识点解析：A与B相似，存在可逆矩阵P，使得P一1AP=B，则tE一B=tE一P一1AP一1(tE)P—P一1AP=P一1(tE一A)P，即tE一A与tE一B相似，选D．对于A：λE一A=λE－B→A=B；对于B：A与B相似，则A与B有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于C：A与B不一定能够相似对角化．6、设A为n阶矩阵，下列命题正确的是()A、若α为AT的特征向量，那么α为A的特征向量B、若α为A*的特征向量，那么α为A的特征向量C、若α为A2的特征向量，那么α为A的特征向量D、若α为2A的特征向量，那么α为A的特征向量标准答案：D知识点解析：(1)矩阵AT与A的特征值相同，但特征向量不一定相同，故A错误．(2)假设α为A的特征向量，λ为其特征值，当λ≠0时α也为A*的特征向量．这是由于Aα=λα→A*Aα=λA*α→A*α=λ｜A-1｜α．但反之，α为A*的特征向量，那么α不一定为A的特征向量．例如：当r(A)＜n一1时，A*=0，此时，任意n维非零列向量都是A*的特征向量，故A*的特征向量不一定是A的特征向量．可知B错误．(3)假设α为A的特征向量，λ为其特征值，则α为A2的特征向量．这是由于A2α=A(Aα)=λAα=λ*α．但反之，若α为A2的特征向量，α不一定为A的特征向量．例如假设Aβ1=1，Aβ2=一β2，其中β1，β2≠0．此时有A2(β1+β2)=A2β1+A2β2=β1+β2，可知β1+β2为A2的特征向量．但β1，β2是矩阵A两个不同特征值的特征向量，它们的和历+尼不是A的特征向量．故C错误．(4)若α为2A的特征向量，则存在实数λ使得2Aα=λα，此时有，因此α为A的特征向量．可知D是正确的．故选D．7、已知3阶矩阵A有特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3，则2A*的特征值是()A、1，2，3B、4，6，12C、2，4，6D、8，16，24标准答案：B知识点解析：2A*的特征值是，其中｜A｜=λ1λ2λ3，λi是A的特征值，分别为1，2，3，故2A*的特征值为4，6，12．8、已知A是3阶矩阵，r(A)=1，则λ=0()A、必是A的二重特征值B、至少是A的二重特征值C、至多是A的二重特征值D、一重、二重、三重特征值都可能标准答案：B知识点解析：A是三阶矩阵，r(A)=1，r(0E—A)=1．(0E—A)X=0有两个线性无关特征向量，故λ=0至少是二重特征值，也可能是三重，例如：是三重特征值．9、已知ξ1，ξ2是方程(λE-A)X=0的两个不同的解向量，则下列向量中必是A的对应于特征值λ的特征向量的是()A、ξ1B、ξ2C、ξ1一ξ2D、ξ1+ξ2标准答案：C知识点解析：因ξ1≠ξ2，故ξ1一ξ2≠0，且仍有关系A(ξ1一ξ2)=λξ1一λξ2=λ(ξ1一ξ2)，故ξ1一ξ2是特征向量．而Aξ1，Bξ2Dξ1+ξ2均有可能是零向量而不成为A的特征向量．10、设则下列向量中是A的特征向量的是()A、ξ1=[1，2，1]TB、ξ2=[1，一2，1]TC、ξ3=[2，1，2]TD、ξ4=[2，1，一2]T标准答案：B知识点解析：因故ξ2是A的对应于λ=…2的特征向量．其余的ξ1，ξ3，ξ4均不与Aξ1，Aξ3，Aξ4对应成比例，故都不是A的特征向量．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)11、已知α=[1，3，2]T，β=[1，一1，一2]T，A=E一αβT，则A的最大特征值为__________．标准答案：7知识点解析：由于矩阵αβT的秩为1，故αβT的特征值为0，0，tr(αβT)，其中tr(αβT)=βTα=一6．故A=E一αβT的特征值为1，1，7，故A的最大特征值为7．12、已知则r(A—E)+r(2E+A)=_________．标准答案：3知识点解析：存在可逆阵P，使得13、设A是3阶矩阵,ξ1，ξ2，ξ3是三个线性无关的3维列向量，满足Aξi=ξi，i=1，2，3，则A=______。标准答案：E知识点解析：因Aξ1=ξ1，Aξ1=ξ2，Aξ3=ξ3，合并成矩阵形式有[Aξξ1，Aξξ2，Aξ3]=A[ξ1，ξ2，ξ3，]=[ξ1，ξ2，ξ3，]，ξ1，ξ2，ξ3，线性无关，[ξ1，ξ2，ξ3，]是可逆阵，故A=[ξ1，ξ2，ξ3，][ξ1，ξ2，ξ3]一1=E．14、已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+x32+2tx1x2+tx2x3是正定的，则t的取值范围是____________.标准答案：知识点解析：f的对应矩阵f正定，A的顺序主子式＞0，即取公共部分，知t的取值范围是三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)15、求齐次线性方程组，的基础解系．标准答案：则方程组的解为令得方程组的基础解系ξ1=[一1，1，0，0，0]T，ξ2=[一1，0，一1，0，1]T．知识点解析：暂无解析16、问λ为何值时，线性方程组有解，并求出解的一般形式．标准答案：知识点解析：暂无解析17、λ为何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设四元齐次线性方程组(I)为又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1[0，1，1，0]T+k2[一1，2，2，1]T．(1)求线性方程组(I)的基础解系；(2)问线性方程组(I)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解．若没有，则说明理由．标准答案：x=一k2[0，1，1，0]T+k2[一1，2，2，1]T=k2[一1，1，1，1]T=k[-1，1，1，1]T，其中k为任意非零常数．知识点解析：暂无解析19、设γ1，γ2，…，γt和ηa，η2，…ηs分别是AX=0和BX=0的基础解系．证明：AX=0和BX=0有非零公共解的充要条件是γ1，γ2，…，γt，η1，η2，…，ηs线性相关．标准答案：“←”．由γ1，γ2，…，γt，η1，η2，…，ηs线性相关，知存在k1，k2，…，ks，l1，l2，…，ls不全为零，使得k1γ1+k2γ2+…+ktγt+l1η1+l2η2+…+lsηs=0．令ξ=k1γ1+k2γ2+…+ktγt，则ξ≠0(否则k1，k