考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷1（共234题）

考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷1（共7套）（共234题）考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，且f(x)在点x0处间断，则在点x0处必定间断的函数为()A、f(x)sinxB、f(x)+sinxC、f2(x)D、｜f(x)｜标准答案：B知识点解析：若f(x)+sinx在点x0处连续，则f(x)=If(x)+sinx]一sinx在点x0处也连续，与已知矛盾．连续．若设f(x)在点x=0处间断，但f2(x)=1，｜f(x)｜=1在x=0处都连续．故可排除A，C，D．2、设当x→x0时，α(x)，β(x)都是无穷小(β(x)≠0)，则当x→x0时，下列表达式中不一定为无穷小的是()A、B、C、ln[1+α(β).β2(x)]D、｜α(x)｜+｜β(x)｜标准答案：A知识点解析：有限个无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小量．3、设当x→0时，etanx—ex与xn是同阶无穷小，则n为A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：则n=3时，4、当x→0时，f(x)=x—sinax与g(x)=x2ln(1一bx)是等价无穷小，则()A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：由泰勒公式5、若在(一∞，+∞)上连续，且则()A、λ＜0，k＜0B、λ＜0，k＞0C、λ≥0，k＜0D、λ≤0，k＞0标准答案：D知识点解析：分母不为零，故λ≤0；，故k＞0．6、设当x→0时，有ax3＋bx2＋cx～，则()．A、a＝，b＝1，c＝0B、a＝，b＝1，c＝0C、a＝，b＝－1，c＝0D、a＝0，b＝2，c＝0标准答案：D知识点解析：因为x→0时，ax3＋bx2＋cx～，所以，显然c＝0，再由得a＝0，b＝2，选(D)．7、设f(x)＝，g(x)＝x3＋x4，当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、等价无穷小B、同阶但非等价无穷小C、高阶无穷小D、低阶无穷小标准答案：B知识点解析：因为，所以正确答案为(B)．8、设，则当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但非等价的无穷小标准答案：A知识点解析：二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、若当x→0时，有则α=________．标准答案：一3知识点解析：当x→0时，10、当x→0时，若有，则A=________，k=________．标准答案：知识点解析：故11、当x→π时，若有,则A=________，k=________．标准答案：知识点解析：当x→π时，12、若是(一∞，+∞)上的连续函数，则a=________．标准答案：1知识点解析：f(x)在零点处连续，可得13、已知数列标准答案：知识点解析：因为三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)14、设f(x)＝，求f(x)的间断点并指出其类型．标准答案：首先其次f(x)的间断点为x＝kπ(k＝0，±1，…)，因为＝e，所以x＝0为函数f(x)的第一类间断点中的可去间断点，x＝kπ(k＝±1，…)为函数f(x)的第二类间断点。知识点解析：暂无解析15、求函数的反函数．标准答案：知识点解析：暂无解析16、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析17、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析18、证明：标准答案：当x∈[1，2]时有当x∈[2，3]时有……当x∈[n，n＋1]时有从而有又当x∈[1，2]时，当x∈[2，3]时，……当x∈[n一1，n]时，从而有故于是由夹逼定理得知识点解析：暂无解析19、设f(x)＝a1ln(1＋x)＋a2ln(1＋2x)＋…＋anln(1＋nx)，其中a1，a2，…，an为常数，且对一切x有｜f(x)｜≤｜ex一1｜．证明：｜a1＋2a2＋…＋nan｜≤1．标准答案：当x≠0时，由｜f(x)｜≤｜ex一1｜得，知识点解析：暂无解析20、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析21、设函数f(x)可导且，对任意的x0，作xn＋1＝f(xn)(n＝0，1，2，…)，证明：存在且满足方程f(x)＝x．标准答案：xn＋1一xn＝f(xn)一f(xn－1)＝f’(ξn)(xn一xn－1)，因为f’(x)≥0，所以xn＋1一xn与xn一xn－1同号，故{xn}单调．即{xn}有界，于是存在，根据f(x)的可导性得f(x)处处连续，等式xn＋1＝f(xn)两边令n→∞，得，原命题得证．知识点解析：暂无解析22、56．设f(x)在[a，＋∞)上连续，且存在．证明：f(x)在[a，＋∞)上有界．标准答案：设＝A，取ε0＝1，根据极限的定义，存在X0＞0，当x＞X0时，｜f(x)一A｜＜1，从而有｜f(x)｜≤｜A｜＋1．又因为f(x)在[a，X0]上连续，根据闭区间上连续函数有界的性质，存在k＞0，当x∈[a，X0]，有｜f(x)｜≤k．取M＝max{｜A｜＋1，k)，对一切的x∈[a，＋∞)，有｜f(x)｜≤M．知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[a，b]上连续，任取xi∈[a，b](i＝1，2，…，n)，任取ki＞0(i＝1，2，…，n)，证明：存在ξ∈[a，b]，使得k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)＝(k1＋k2＋…＋kn)f(ξ)．标准答案：因为f(x)在[a，b]上连续，所以f(x)在[a，b]上取到最小值m和最大值M，显然有m≤f(xi)≤M(i＝1，2，…，n)，注意到ki＞0(i＝1，2，…，n)，所以有kim≤kif(xi)≤kiM(i＝1，2，…，n)，同向不等式相加，得(k1＋k2＋…＋kn)m≤k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)≤(k1＋k2＋…＋kn)M，即，由介值定理，存在ξ∈[a，b]，使得即k1f(x1)＋k2f(x2)＋…＋knf(xn)＝(k1＋k2＋…＋kn)f(ξ)．知识点解析：暂无解析24、求极限标准答案：原极限=知识点解析：暂无解析25、求极限标准答案：为了在使用洛必达法则时使求导变得简单，先做变量代换，令从而原式=知识点解析：暂无解析26、求极限标准答案：此题为型未定式，若用洛必达法则，则连续使用完两次法则，又回到了起点，法则失效，正确的做法是先对式子恒等变形．分子分母同乘知识点解析：暂无解析27、求极限;ai>0，且ai≠1，i=1，2，…，n，n≥2．标准答案：知识点解析：暂无解析28、求极限标准答案：原极限等价于求由拉格朗日中值定理可得知识点解析：暂无解析29、设标准答案：因为知识点解析：暂无解析30、设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又x(1)=a，a为常数，n为整数，则f(n)=__________．标准答案：m知识点解析：令x=一1，则f(1)=f(-1)+f(2)，因f(x)是奇函数，得到f(2)=f(1)一f(-1)=2f(1)一2a．再令x=1，则f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用数学归纳法证明f(n)=na．当n=1，2，3时，已知或者已证．假设n≤k时，有f(k)=ka．当n=k+1时，f(k+1)=f(k一1)+f(2)=(k一1)a+2a=(k+1)a，故对一切正整数n，有f(n)=na，令x=0，则f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0.a，又f(x)是奇函数，故对一切负整数n有f(n)=一f(-n)=一(一m)=na．所以对一切整数n，均有f(n)=na．考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷第2套一、选择题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)1、当x→1时，函数的极限()A、等于2．B、等于0．C、为∞．D、不存在，但不为∞．标准答案：D知识点解析：因为故当x→1时，函数极限不存在，也不是∞，应选D．2、函数f(x)=xsinx()A、当x→∞时为无穷大．B、在(一∞，+∞)内有界．C、在(一∞，+∞)内无界．D、当x→∞时有有限极限．标准答案：C知识点解析：由于当x→∞时，f(x)中含有“∞”因子x，而无确定的零因子，因而f(x)无界，故选C．3、设数列极限函数f(x)=，则f(x)的定义域I和f(x)的连续区间J分别是()A、I=(一∞，+∞)，J=(一∞，+∞)．B、I=(一1，+∞)，J=(一1，1)∪(1，+∞)．C、I=(一1，+∞)，J=(一1，+∞)．D、I=(一1，1)，J=(一1，1)．标准答案：B知识点解析：f(x)的连续区间是J=(一1，1)∪(1，+∞)．4、设f(x)可导，f(x)=0，f’(0)=2，F(x)=∫0xt2f(x3一t3)dt，g(x)=，则当x→0时，F(x)是g(x)的()A、低阶无穷小．B、高阶无穷小．C、等价无穷小．D、同阶但非等价无穷小．标准答案：D知识点解析：先改写5、设f(x)在点x0的某邻域内有定义，且f(x)在x0间断，则在点x0处必定间断的函数是()A、f(x)sinx．B、f(x)+sinx．C、f2(x)．D、｜f(x)｜．标准答案：B知识点解析：若f(x)+sinx在x=x0连续，则f(x)=(f(x)+sinx)一sinx在x=x0连续，与已知矛盾．因此f(x)+sinx在x0必间断．故选B．6、设当x→0时，(1一cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，xsinxn是比(一1)高阶的无穷小，则正整数n等于()A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：B知识点解析：因当x→0时，而由(1一cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，知4＞n+1，即n＜3；由xsinxn是比(一1)高阶的无穷小，知n+1＞2，即n＞1．因此取正整数n=2，故选B．7、设f(x)在x0点连续，且在x0一空心邻域中有f(x)＞0，则()A、f(x0)＞0．B、f(x0)≥0．C、f(x0)＜0．D、f(x0)=0．标准答案：B知识点解析：由f(x)在x0连续，有=f(x0)，又因在x0的一空心邻域中有f(x)＞0，由极限的保号性有f(x0)≥0，故选B．8、把x→0+时的无穷小量α=排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是()A、α，β，γ．B、α，γ，β．C、β，α，γ．D、β，γ，α．标准答案：B知识点解析：因为所以当x→0+时，α是x的一阶无穷小，β是x的三阶无穷小，γ是x的二阶无穷小，故选B．9、函数f(x)=的间断点及类型是()A、x=1为第一类间断点，x=一1为第二类间断点．B、x=±1均为第一类间断点．C、x=1为第二类间断点，x=一1为第一类间断点．D、x=±1均为第二类间断点．标准答案：B知识点解析：分别就｜x｜=1，｜x｜＜1，｜x｜＞1时求极限，得出f(x)的分段表达式：所以，x=±1为f(x)的第一类间断点，故选B．10、设f(x)=则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：用推演法．将题设条件f(x)中的所有自变量x都用(一x)替换，得故选D．11、设f(x)在R上连续，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是()①φ[x)]必有间断点．②[φ(x)]2必有间断点．③[φ(x)]没有间断点．A、0．B、1．C、2．D、3．标准答案：B知识点解析：①错误．举例：设φ(x)=，f(x)=ex，则φ[f(x)]=1在R上处处连续。②错误．举例：设φ(x)=，则[φ(x)]2=9在R上处处连续。③正确．因为f(x)在R上连续，而φ(x)的取值必定在R上．因此选B．12、设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且()A、存在且等于零．B、存在但不一定为零．C、一定不存在．D、不一定存在．标准答案：D知识点解析：取φ(x)=f(x)=g(x)=x，显然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且不存在，故A、B排除．再取φ(x)=f(x)=g(x)=1，同样有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且=1，可见C也不正确，故选D．13、设f(x)=2x+3x一2，则当x→0时()A、f(x)是x等价无穷小．B、f(x)与x是同阶，但非等价无穷小．C、f(x)是比x高阶的无穷小．D、f(x)是比x低阶的无穷小．标准答案：B知识点解析：利用洛必达法则求解．因=ln2+ln3=ln6，故选B．14、设=2，其中a2+c2≠0，则必有()A、b=4d．B、b=一4d．C、a=4c．D、a=一4c．标准答案：D知识点解析：当x→0时，由皮亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln(1—2x)均为x的一阶无穷小；而1一cosx，1一均为x的二阶无穷小，因此有15、当x→0时，ex一(ax2+bx+1)是比x2高阶的无穷小，则()A、a=，b=1．B、a=1，b=1C、a=，b=一1．D、a=一1，b=1标准答案：A知识点解析：因显然要使上式为x2高阶的无穷小(x→0时)，只要故选A．16、设函数f(x)==0，则常数a，b满足()A、a＜0，b＜0．B、a＞0，b＞0．C、a≤0，b＞0．D、a≥0，b＜0．标准答案：D知识点解析：因f(x)连续，故a+ebx≠0，因此只要a≥0即可．再由可知x→一∞时，a+ebx必为无穷大(否则极限必不存在)，此时需b＜0，故选D．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)17、=_________．标准答案：知识点解析：18、=_________．标准答案：2知识点解析：19、设a1，a2，…，am为正数(m≥2)，则=_________。标准答案：max{a1，a2，…，am}知识点解析：假设a1为最大值，则20、=_________．标准答案：知识点解析：21、[x]表示x的最大整数部分，则=_________．标准答案：2知识点解析：22、数列xn==_________。标准答案：知识点解析：利用等价无穷小因子代换，23、若f(x)=在(一∞，+∞)内连续，则a=_________．标准答案：0知识点解析：因为f(c)在(一∞，0)及(0，+00)内连续，所以需要确定数a，使f(x)在x=0处连续．当=a时，f(x)在x=0处连续，因此a=0时，f(x)在(一∞，+∞)内连续．24、设函数f(x)在x=1连续，且f(1)=1，则=_________．标准答案：ln3知识点解析：由题干可知25、设函数f(x)=f(x)在(一∞，+∞)上连续，则A=_________.标准答案：知识点解析：令函数f(x)=，其中g(x)，h(x)分别在[0，x0]，(x0，b]上是初等函数，因而是连续的．因为f(x)在(一∞，+∞)上连续，于是f(x)在x0连续，所以需g(x0)=h(x0)．对任意常数A，显然，x≠1时f(x)连续．仅当时，f(x)在x=1连续．因此，当A=时，f(x)在(一∞，+∞)上连续．26、=_________．标准答案：1知识点解析：原式==1。三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)27、设x1=a＞0，y1=b＜0，(a≤b)，且xn+1=，n=1，2，…，证明：标准答案：(1)由不等式及题设条件，有0＜xn+1≤yn+1(n=0，1，2，…)，所以于是可知数列{xn}单调增加，数列{yn}单调减少，又a=x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤yn+1≤yn≤…≤y1=b．所以数列{xn}有上界，数列{yn}有下界，根据单调有界准则，此二数列均收敛．知识点解析：暂无解析28、设函数f(x)在x=1的某邻域内连续，且有标准答案：由已知条件得又因为在x=0的某空心邻域内f(x+1)+3sin2x≠0，现利用等价无穷小替换：当x→0时，ln[1+f(x+1)+3sin2x]一f(x+1)+3sin2x，知识点解析：暂无解析29、求下列极限．标准答案：知识点解析：暂无解析30、计算：标准答案：知识点解析：暂无解析31、求标准答案：知识点解析：暂无解析32、求标准答案：知识点解析：暂无解析33、求标准答案：知识点解析：暂无解析34、求标准答案：知识点解析：暂无解析35、求标准答案：知识点解析：暂无解析36、设f(x)=，求常数a与b的值，使f(x)在(一∞，+∞)上处处连续．标准答案：当｜x｜＞1时，解得a=0，b=1．知识点解析：暂无解析考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷第3套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、函数f(x)=xsinx()A、在(-∞，+∞)内无界B、在(-∞，+∞)内有界C、当x→∞时为无穷大D、当x→∞时极限存在标准答案：A知识点解析：对于任意给定的正数M，总存在点，使｜f(xn)｜=｜2nπ+｜＞M，故f(x)在(-∞，+∞)内无界．(C)错，对于任意给定的正数M，无论x取多么大的正数，总有xn=｜2nπ｜＞x(只要｜n｜＞)，使f(xn)=xnsinxn=0＜M，故当x→∞时f(x)不是无穷大．千万不要将无穷大与无界混为一谈．2、极限的充要条件是()A、a＞1B、a≠1C、a＞0D、与a无关标准答案：B知识点解析：令3、设当x→x0时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是()A、设当x→x0时，g(x)是无穷小，则f(x)g(x)必是无穷小B、设当x→x0时，g(x)不是无穷小，则f(x)g(x)必不是无穷小C、设在x=x0的某邻域g(x)无界，则当x→x0时，f(x)g(x)必是无穷大D、设在x=x0的某邻域g(x)有界，则当x→x0时，f(x)g(x)必不是无穷大标准答案：D知识点解析：设f(x)=，当x→0时为无界变量，不是无穷大．令g(x)=x，当x→0时为无穷小，可排除(A)．设x→0时，令f(x)=x2，g(x)=可排除(B)，(C)．4、设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，且f(x)在点x0处间断，则在点x0处必定间断的函数为()A、f(x)sinxB、f(x)+sinxC、f2(x)D、｜f(x)｜标准答案：B知识点解析：方法一若f(x)+sinx在点x0处连续，则f(x)=[f(x)+sinx]-sinx在点x0处也连续，与已知矛盾．方法二排除法．设f(x)=则f(x)在点x=0处间断，f(x)sinx≡0在x=0处连续．若设f(x)=f(x)在点x=0处间断，但f2(x)=1，｜f(x)｜=1在x=0处都连续．故可排除(A)，(C)，(D)．5、设当x→x0时，α(x)，β(x)(β(x)≠0)都是无穷小，则当x→x0时，下列表达式中不一定为无穷小的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：有限个无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小量．6、设当x→0时，etanx-ex与xn是同阶无穷小，则n为()A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：7、若f(x)=在(-∞，+∞)上连续，且，则()A、λ＜0，k＜0B、λ＜0，k＞0C、λ≥0，k＜0D、λ≤0，k＞0标准答案：D知识点解析：分母不为零，故λ≤0；又f(x)=0，故k＞0．8、设f(x)=，则()A、x=0，x=1都是f(x)的第一类间断点B、x=0，x=1都是f(x)的第二类间断点C、x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点D、x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点标准答案：D知识点解析：由f(x)的表达式可知x=0，x=1为其间断点．故x=1是第一类间断点，x=0是第二类间断点，选(D)．9、设f(x)=，则f(x)有()A、1个可去间断点，1个跳跃间断点B、1个跳跃间断点，1个无穷间断点C、2个可去间断点D、2个无穷间断点标准答案：A知识点解析：x=0和x=1为f(x)的间断点，其余点连续．因x→1时，Inx=ln(1+x-1)～x-1，则x=1为跳跃间断点．答案选择(A)．10、若f(x)在(a，b)内单调有界，则f(x)在(a，b)内间断点的类型只能是()A、第一类间断点B、第二类间断点C、既有第一类间断点也有第二类间断点D、结论不确定标准答案：A知识点解析：不妨设f(x)单调增加，且｜f(x)｜≤M，对任一点x0∈(a，b)，当x→x0-时，f(x)随着x增加而增加且有上界，故存在；当x→x0+时，f(x)随着x减小而减小且有下界，故存在，故x0只能是第一类间断点．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、若当x→0时，有，则a=______标准答案：-3知识点解析：当x→0时，12、当x→0时，若有则A=_______，k=________标准答案：知识点解析：13、当x→π时，若有，则A=______，k=_______标准答案：知识点解析：当x→π时，14、若f(x)=是(-∞，+∞)上的连续函数，则a=______标准答案：1知识点解析：15、已知数列Fn==_______标准答案：知识点解析：因为三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)16、数列{xn}通项xn=标准答案：知识点解析：暂无解析17、设a1=2，an+1=存在并求其极限值．标准答案：因为，所以{an}有下界．下面再证明{an}单调递减．知识点解析：暂无解析18、设x1=1，xn+1=标准答案：即xn+1＞xn，由数学归纳法可知对一切n，都有xn+1＞xn．又xn+1=1+，所以{xn}单调增加且有上界，{xn}必收敛．记两边取极限，得a=1+知识点解析：暂无解析19、如果数列{xn}收敛，{yn}发散，那么{xnyn}是否一定发散?如果{xn}和(yn}都发散，那么{xnyn}的敛散性又将如何?标准答案：在题设两种情况下，{xnyn}的收敛性都不能确定．现在先就{xn}收敛，{yn}发散的情况来分析．利用这个恒等式，就可得到下述结论：若{xn}收敛且不收敛于零，{yn}发散，则{xnyn}必发散．这是因为若{xnyn}收敛，且又{xn}收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知{yn}收敛，这与假设矛盾．若，且{yn}发散，则{xnyn}可能收敛，也可能发散，如：①xn=，yn=n，则xnyn=1，于是{xnyn}收敛．②xn=，yn=(-1)nn，则xnyn=(-1)n，于是{xnyn}发散．现在再就{xn}和{yn}都发散的情况来分析{xnyn}的收敛性．有下面的结论：若{xn}和{yn}都发散，且两者至少有一个是无穷大，则{xnyn}必发散．这是因为如果{xnyn}收敛，而{xn}为无穷大，从等式便得到{yn}收敛于零，这与假设矛盾．若{xn}和{yn}都不是无穷大且都发散，则{xnyn}可能收敛，也可能发散，如③xn=yn=(-1)n有xnyn=1，于是{xnyn}收敛．④xn=(-1)n，yn=1-(-1)n，有xnyn=(-1)”-1，于是{xnyn}发散．知识点解析：暂无解析20、分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系?标准答案：不正确．初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式子表示的函数．分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定不能用一个表达式表示，因此，分段函数可能是初等函数，也可能不是初等函数，如φ(x)=｜x｜，通常写成分段函数的形式但也可以写成一个表达式，所以函数φ(x)=｜x｜是初等函数．而则不是初等函数．知识点解析：暂无解析21、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析已知数列{xn}的通项22、证明标准答案：知识点解析：暂无解析23、计算标准答案：知识点解析：暂无解析24、利用夹逼定理证明：标准答案：知识点解析：暂无解析25、设f(x)在x=0处二阶导数连续，且试求f(0)，f’(0)，f’’(0)以及极限标准答案：如果知识点解析：暂无解析26、设a＞0，x1＞0，xn+1=标准答案：知识点解析：暂无解析27、试讨论函数g(x)=在点x=0处的连续性．标准答案：g(0)=(ex+β)｜x=0=，所以：当a＞0且β=-1时，有g(0-)=g(0+)=g(0)=0，故g(x)在x=0处连续；当a＞0且p≠-1时，有g(0-)≠g(0+)，故点x=0是g(x)的跳跃间断点；当a≤0时，点x=0是g(x)的振荡间断点．知识点解析：暂无解析28、求函数F(x)=的间断点，并判断它们的类型．标准答案：对于函数F(x)的分段点x=0，因故x=0是函数F(x)的跳跃间断点．当x＞0时，不存在，故x=1是函数F(x)的振荡间断点．知识点解析：暂无解析29、设f(x)=，求f(x)的间断点并判定其类型．标准答案：知识点解析：暂无解析30、设函数f(x)连续可导，且f(0)=0，F(x)=标准答案：令知识点解析：暂无解析31、设f(x)=，为了使f(x)对一切z都连续，求常数a的最小正值．标准答案：当由此可见，f(x)在(-∞，-1]，(-1，1)，[1，+∞)内连续，故只需f(x)在x=-1，x=两点连续即可．因为知识点解析：暂无解析32、设f(x)=.求f(x)的间断点，并说明间断点的类型，如是可去间断点，则补充或改变定义使它连续．标准答案：f(x)存(-1，0)，(0，1)及(1，+∞)都是初等函数，是连续的f(0)无定义，故x=0是间断点．因为所以x=0为跳跃间断点.f(1)无定义，故x=1是间断点.因为不存在.所以x=1为无穷间断点.知识点解析：暂无解析33、设f(x；t)=((x-)(t-1)＞0，x≠t)，函数f(x)由下列表达式确定，求出f(x)的连续区间和间断点，并研究f(x)在间断点处的左右极限．标准答案：显然x=1为间断点，连续区间(-∞，1)∪(1，+∞)．所以x=1为无穷间断点．知识点解析：暂无解析34、设函数f(x)在[a，b]上连续，x1，x2，…，xn，…是[a，b]上一个点列，求标准答案：本题考虑夹逼准则．由f(x)在[a，b]上连续，知ef(x)在[a，b]上非负连续，且0＜m≤ef(x)≤M，其中M，m分别为ef(x)在[a，b]上的最大值和最小值，于是0＜m≤≤M，故知识点解析：暂无解析35、设函数f(x)在0＜x≤1时f(x)=xsinx，其他的x满足关系式f(x)+k=2f(x+1)，试求常数k使极限存在．标准答案：因求“00”型未定式极限的常用方法是将该类幂指数函数u(x)v(x)化为复合函数ev(x)lnu(x)，故其中，通过等价无穷小替换与洛必达法则求得：根据题设的关系式f(x)=2f(x+1)-k，得，由上述结果f(x)在x=0处右极限f(0+)=1；而其左极限由于极限是存在的，故2-k=f(0-)=f(0+)=1，则常数k=1知识点解析：暂无解析36、设f(x)对一切x1，x2满足f(x1+x2)-f(x1)+f(x2)，并且f(x)在x=0处连续．证明：函数f(x)在任意点x0处连续．标准答案：已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，令x2=0，则f(x1)=f(x1)+f(0)，可得f(0)=0，又f(x)在z=0处连续，则有f(△x)=f(0)=0，而f(x0+△x)-f(x0)=f(x0)+f(△x)-f(x0)-f(△x)，两边取极限得到，故函数f(x)在任意点x0处连续．知识点解析：暂无解析考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷第4套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、以下3个命题，①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A；②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A；③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．正确的个数为()A、0B、1C、2D、3标准答案：D知识点解析：对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{un}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有｜un一A｜＜ε．可知当ni＞N时，恒有｜uni一A｜＜ε．因此数列{uni}也收敛于A，可知命题正确．对于命题②，不妨设数列{xn}为单调增加的，即x1≤x2≤…≤xn≤…，其中某一给定子数列{xni}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当ni＞N时，恒有｜xni—A｜＜ε．由于数列{xn}为单调增加的数列，对于任意的n>N，必定存在ni≤n≤ni+1，有一εni一A≤xn一A≤xni+1一A＜ε，从而｜xn一A｜＜ε．可知数列{xn}收敛于A．因此命题正确．对于命题③，因，由极限的定义可知，对于任意给定的ε>0，必定存在自然数N1，N2：当2n＞N1时，恒有｜x2n一A｜＜ε；当2n+1＞N2时，恒有｜x2n+1一A｜＜ε．取N=max{N1，N2}，则当n＞N时，总有｜xn一A｜＜ε．因此．可知命题正确．故答案选择D．2、设f(x)是偶函数，φ(x)是奇函数，则下列函数(假设都有意义)中，是奇函数的是()A、f(φ(x))B、f(f(x))C、φ(f(x))D、φ(φ(x))标准答案：D知识点解析：令g(x)=φ(φ(x))，注意φ(x)是奇函数，有g(一x)=φ(φ(一x))=φ(一φ(x))=一φ(φ(x))=一g(x)．3、设f(x)=sin(cosx)，φ(x)=cos(sinx)，则在区间内()A、f(x)是增函数，φ(x)是减函数B、f(x)，φ(x)都是减函数C、f(x)是减函数，φ(x)是增函数D、f(x)，φ(x)都是增函数标准答案：B知识点解析：注意在内，sinx是增函数，cosx是减函数．任取x1，x2∈，且x12，有cosx1＞cosx2所以sin(cosx)>sin(cosx2)，即f(x)是减函数；由于sinx12，所以cos(sinx1)>cos(sinx2)，即φ(x)是减函数．4、设则当n＞1时，fn(x)=()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：5、设则f(一x)等于()A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：6、设f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)一v(x)，并设都不存在，下列论断正确的是()A、若不存在，则必存在B、若不存在，则必不存在C、若存在，则*]必不存在D、若存在，则必存在标准答案：C知识点解析：令，当x→0时可排除A；令当x→0时可排除B；令当x→0时可排除D．7、两个无穷小比较的结果是()A、同阶B、高阶C、低阶D、不确定标准答案：D知识点解析：如当x→0时，都是无穷小．但不存在，故α(x)和β(x)无法比较阶的高低．8、函数f(x)=xsinx()A、在(一∞，+∞)内无界B、在(一∞，+∞)内有界C、当x→∞时为无穷大D、当x→∞时极限存在标准答案：A知识点解析：对于任意给定的正数M，总存在着点故f(x)在(一∞，+∞)内无界．C错，对于任意给定的正数M，无论x取多么大的正数，总有xn=｜2nπ｜＞x(只要)，使f(xn)=xnsinxn=09、极限的充要条件是()A、α＞1B、α≠1C、α＞0D、与α无关标准答案：B知识点解析：令10、设当x→x0时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是()A、设当x+x0时，g(x)是无穷小，则f(x)g(x)必是无穷小B、设当x→x0时，g(c)不是无穷小，则f(x)g(x)必不是无穷小C、设在x=x0的某邻域g(x)无界，则当x→x0时，f(x)g(x)必是无穷大D、设在x=x0的某邻域g(x)有界，则当x→x0时，f(x)g(x)必不是无穷大标准答案：D知识点解析：设当x→0时为无界变量，不是无穷大，令g(x)=x，当x→0时为无穷小，可排除A．设x→0时，令f(x)=x2,可排除B，C．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又x(1)=a，a为常数，n为整数，则f(n)=__________．标准答案：m知识点解析：令x=一1，则f(1)=f(-1)+f(2)，因f(x)是奇函数，得到f(2)=f(1)一f(-1)=2f(1)一2a．再令x=1，则f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用数学归纳法证明f(n)=na．当n=1，2，3时，已知或者已证．假设n≤k时，有f(k)=ka．当n=k+1时，f(k+1)=f(k一1)+f(2)=(k一1)a+2a=(k+1)a，故对一切正整数n，有f(n)=na，令x=0，则f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0.a，又f(x)是奇函数，故对一切负整数n有f(n)=一f(-n)=一(一m)=na．所以对一切整数n，均有f(n)=na．12、对充分大的一切x，以下5个函数：100x，log10x100，e10x，，最大的是__________．标准答案：知识点解析：当x充分大时，有重要关系：eαx》xβ》lnγx，其中α，β，γ＞0，故本题填．13、标准答案：0知识点解析：14、极限标准答案：2知识点解析：15、设则α，β的值为_________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)16、设，求n，c的值．标准答案：知识点解析：暂无解析17、已知，求a，b的值．标准答案：知识点解析：暂无解析18、确定a，b，使得x一(a＋bcosx)sinx当x→0时为阶数尽可能高的无穷小．标准答案：令y＝x一(a＋bcosx)sinx，y’＝1＋bsin2x一(a＋bcosx)cosx，y"＝bsin2x＋sin2x＋(a＋bcosx)sinx＝asinx＋2bsin2x，y’’’＝acosx＋4bcos2x，显然y(0)＝0，y"(0)＝0，所以令y’(0)＝y’’’(0)＝0得故当时，x一(a＋bcosx)sinx为阶数尽可能高的无穷小．知识点解析：暂无解析19、设，求a，b的值．标准答案：ln(1＋x)－(ax＋bx2)＝x一＋o(x2)一(ax＋bx2)＝(1－a)x一(b＋)x2＋o(x2)，由得x→0时，，于是，故a＝1，b＝一2．知识点解析：暂无解析20、确定常数a，b，c，使得＝c.标准答案：由得b＝一1；由得a＝；于是c＝.知识点解析：暂无解析21、设，其中f(x)连续，求标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、设f’(x)连续，f(0)＝0，f’(0)≠0，F(x)＝，且当x→0时，F(x)～xn，求n及f’(0)．标准答案：知识点解析：暂无解析27、设f(x)在[1，＋∞)内可导，f’(x)＜0且＝a＞0，令an＝－.证明：{an}收敛且0≤≤f(1)．标准答案：因为f’(x)＜0，所以f(x)单调减少．又因为an＋1一an＝f(n＋1)一＝f(n＋1)一f(ξ)≤0(ξ∈[n，n＋1)，所以{an}单调减少．因为an＝[f(k)－f(x)]dx＋f(n)，而[f(k)－f(x)]dx≥0(k＝1，2，…，n－1)且＝a＞0，所以存在X＞0，当x＞X时，f(x)＞0．由f(x)单调递减得f(x)＞0(x∈[1，＋∞))，故an≥f(n)＞0，所以存在．由an＝f(1)＋，而f(k)一≤0(k＝2，3，…，n)，所以an≤f(1)，从而0≤≤f(1)．知识点解析：暂无解析28、设a＞0，x1＞0，且定义xn＋1＝(n＝1，2，…)，证明：存在并求其值．标准答案：因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有知识点解析：暂无解析29、设a1＝1，当n≥1时，an＋1＝，证明：数列{an}收敛并求其极限．标准答案：知识点解析：暂无解析30、设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)＝0，f(1)＝1．证明：(1)存在c∈(0，1)，使得f(c)＝1—2c；(2)存在拿∈[0，2]，使得2f(0)＋f(1)＋3f(2)＝6f(ξ)．标准答案：(1)令φ(x)＝f(x)一1＋2x，φ(0)＝一1，φ(1)＝2，因为φ(0)φ(1)＜0，所以存在c∈(0，1)，使得φ(c)＝0，于是f(c)＝1—2c．(2)因为f(x)∈C[0，2]，所以f(x)在[0，2]上取到最小值m和最大值M，由6m≤2f(0)＋f(1)＋3f(2)≤6M得由介值定理，存在ξ∈[0，2]，使得于是2f(0)＋f(1)＋3f(2)＝6f(ξ)．知识点解析：暂无解析31、设＝A，证明：数列{an}有界．标准答案：取ε0＝1，因为＝A，根据极限定义，存在N＞0，当n＞N时，有｜an一A｜＜1，所以｜an｜≤｜A｜＋1．取M＝max{｜a1｜，｜a2｜，…，｜aN｜，｜A｜＋1)，则对一切的n，有｜an｜≤M.知识点解析：暂无解析32、设f(x)在[0，1]上有定义，且exf(x)与e－f(x)在[0，1]上单调增加．证明：f(x)在[0，1]上连续．标准答案：对任意的x0∈[0，1]，因为exf(x)与e－f(x)在[0，1]上单调增加，所以当x＜x0时，有故f(x0)≤f(x)≤，令x→，由夹逼定理得f(x0一0)＝f(x0)；当x＞x0时，有故令x→，由夹逼定理得f(x0＋0)＝f(x0)，故f(x0一0)＝f(x0＋0)＝f(x0)，即f(x)在x＝x0处连续，由x0的任意性得f(x)在[0，1]上连续．知识点解析：暂无解析33、设f(x)在[a，＋∞)上连续，f(a)＜0，而存在且大于零．证明：f(x)在(a，＋∞)内至少有一个零点．标准答案：令＝k＞0，取ε0＝＞0，因为＝k＞0，所以存在X0＞0，当x≥X0时，有｜f(x)一k｜≤，从而f(x)≥＞0，特别地，f(X0)＞0，因为f(x)在[a，X0]上连续，且f(a)f(X0)＜0，所以存在ξ∈(a，X0)，使得f(ξ)＝0．知识点解析：暂无解析34、f(x)＝，求f(x)的间断点并分类．标准答案：x＝k(k＝0，一1，一2，…)及x＝1为f(x)的间断点．f(0—0)＝因为f(0—0)≠f(0＋0)，所以x＝0为跳跃间断点；由得x＝－2为可去间断点；当x＝k(k＝一1，一3，一4，…)时，由＝∞得x＝k(k＝一1，一3，一4，…)为第二类间断点；由＝∞得x＝1为第二类间断点．知识点解析：暂无解析35、求f(x)＝的间断点并判断其类型．标准答案：f(x)的间断点为x＝0，一1，一2，…及x＝1．当x＝0时，f(0—0)＝，f(0＋0)＝，则x＝0为函数f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点．当x＝一1时，，则x＝一1为f(x)的第一类间断点中的可去间断点．当x＝k(k＝一2，一3，…)时，，则x＝k(k＝一2，一3，…)为函数f(x)的第二类间断点．当x＝1时，因为limf(x)不存在，所以x＝1为f(x)的第二类间断点．知识点解析：暂无解析考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷第5套一、解答题(本题共27题，每题1.0分，共27分。)1、已知存在，且，求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析2、设f(x)是三次多项式，且有标准答案：因为所以f(2a)=f(4a)=0，从而得知x一2a，x一4a为f(x)的因式．又因为f(x)为三次多项式，可令f(x)=b(x一2a)(x一4a)(x—c)．于是知识点解析：暂无解析3、设，试求α，β的值．标准答案：显然由条件知β≠0，而知识点解析：暂无解析4、设函数，证明：存在常数A，B，使得当x→0+时，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常数A，B．标准答案：知识点解析：暂无解析5、计算标准答案：知识点解析：暂无解析6、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析7、数列{xn}通项标准答案：知识点解析：暂无解析8、设证明：存在并求其极限值．标准答案：因为所以{an}有下界．下面再证明{an}单调递减．知识点解析：暂无解析9、设标准答案：知识点解析：暂无解析10、如果数列{xn}收敛，{yn}发散，那么{xnyn}是否一定发散?如果{xn}和{yn}都发散，那么{xnyn}的敛散性又将如何?标准答案：在题设两种情况下，{xnyn}的收敛性都不能确定，现在先就{xn}收敛，{yn}发散的情况来分析．利用这个恒等式，就可得到下述结论：若{xn}收敛且不收敛于零，{yn}发散，则{xnyn}必发散．这是因为若{xnyn}收敛，且又{xn}收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知{yn}收敛，这与假设矛盾．若，且{yn}发散，则{xnyn}可能收敛，也可能发散，如：①yn=n，则xnyn=1，于是{xnyn}收敛．②,yn=(一1)nn，则xnyn=(一1)n，于是{xnyn}发散．现在再就{xn}和{yn}都发散的情况来分析{xnyn}的收敛性．有下面的结论：若{xn}和{yn}都发散，且两者至少有一个是无穷大，则{xnyn}必发散．这是因为如果{xnyn}收敛，而{xn}为无穷大，从等式便得到{yn}收敛于零，这与假设矛盾．若{xn}和{yn}都不是无穷大且都发散，则{xnyn}可能收敛，也可能发散，如③xn=yn=(一1)n有xnyn=1，于是{xnyn}收敛．④xn=(一1)n，yn=1一(一1)n，有xnyn=(一1)n一1，于是{xnyn}发散．知识点解析：暂无解析11、分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系?标准答案：不正确．初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式子表示的函数．分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定不能用一个表达式表示，因此，分段函数可能是初等函数，也可能不是初等函数，如φ(x)=｜x｜，通常写成分段函数的形式但也可以写成一个表达式，所以函数φ(x)=｜x｜是初等函数，而，则不是初等函数．知识点解析：暂无解析12、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析13、计算极限标准答案：知识点解析：暂无解析14、利用夹逼定理证明：标准答案：知识点解析：暂无解析15、设f(x)在x=0处二阶导数连续，且试求f(0)，f’(0)，f’’(0)以及极限标准答案：从而得F’(0)=0，F’’(0)=4,知识点解析：暂无解析16、计算标准答案：知识点解析：暂无解析17、设标准答案：知识点解析：暂无解析18、试讨论函数,在点x=0处的连续性．标准答案：所以：当a＞0且β=一1时，有g(0一0)一g(0+0)=g(0)=0，故g(x)在x=0处连续；当a＞0且β≠一1时，有g(0—0)≠g(0+0)，故点x=0是g(x)的跳跃间断点；当a≤0时，点x=0是g(x)的振荡间断点．知识点解析：暂无解析19、求函数的间断点，并判断它们的类型．标准答案：对于函数F(x)的分段点x=0，因故x=0是函数F(x)的跳跃间断点．当x＞0时，在x=1处没有定义，且极限不存在．故x=1是函数F(x)的振荡间断点．当x＜0时，在点列处没有定义，则这些点都是函数F(x)的间断点,特别对点，有故是函数F(x)的可去间断点；而点，显然是函数F(x)的无穷间断点．知识点解析：暂无解析20、设求f(x)的间断点并判定其类型．标准答案：故x=0为可去间断点．则x=一1为跳跃间断点．知识点解析：暂无解析21、设函数f(x)连续可导，标准答案：令xn一tn=u，则，于是知识点解析：暂无解析22、设为了使f(x)对一切x都连续，求常数a的最小正值．标准答案：当｜x｜＜1时，所以f(x)=sinax；知识点解析：暂无解析23、设求f(x)的间断点，并说明间断点的类型，如是可去间断点，则补充或改变定义使它连续．标准答案：f(x)在(一1，0)，(0，1)及(1，+∞)都是初等函数，是连续的，f(0)无定义，故x=0县间断点，因，所以x=0为跳跃间断点．f(1)无定义，故x=1是间断点．因为不存在，所以x=1为无穷间断点．知识点解析：暂无解析24、设函数f(x)由下列表达式确定，求出f(x)的连续区间和间断点，并研究f(x)在间断点处的左右极限．标准答案：显然x=1为间断点，连续区间(一∞，1)∪(1，+∞)．所以x=1为无穷间断点．知识点解析：暂无解析25、设函数f(x)在[a，b]上连续，x1，x2，…，xn，…是[a，b]上一个点列，求标准答案：本题考虑夹逼准则，由f(x)在[a，b]上连续，知ef(x)在[a，b]上非负连续，且0＜m≤ef(x)≤M，其中M，m分别为ef(x)在[a，b]上的最大值和最小值，于是故由，根据夹逼准则，得知识点解析：暂无解析26、设函数f(x)在0sinx，其他的x满足关系式f(x)+k=2f(x+1)，试求常数k使极限存在．标准答案：因求“00”型未定式极限的常用方法是将该类幂指数函数u(x)v(x)化为复合函数，其中，通过等价无穷小替换与洛必达法则求得：根据题设的关系式f(x)=2f(x+1)一k，得，由上述结果f(x)在x=0处右极限f(0+)=1；而其左极限由于极限是存在的，故2一k=f(0-)=f(0+)=1，则常数k=1．知识点解析：暂无解析27、设f(x)对一切x1，x2满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，并且f(x)在x=0处连续．证明：函数f(x)在任意点x0处连续．标准答案：已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，令x2=0，则f(x1)=f(x1)+f(0)，可得f(0)=0，又f(x)在x=0处连续，则有，而f(x0+△x)一f(x0)=f(x0)+f(△x)一f(x0)=f(△x)，两边取极限得到，故函数f(x)在任意点x0处连续．知识点解析：暂无解析考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设数列{xn}和{yn}满足，则当n→∞时，{yn}必为无穷小的充分条件是()A、{xn}是无穷小B、是无穷小C、{xn}有界D、{xn}单调递减标准答案：B知识点解析：若，故(B)正确．若取，且{xn}在n→∞时是无穷小、有界、单调递减的，但{yn}不是无穷小，排除(A)，(C)，(D)．2、以下3个命题，①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{unj}必定收敛于A；②若单调数列{xn}的某一子数列{xhj}收敛于A，则该数列必定收敛于A；③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A正确的个数为()A、0B、1C、2D、3标准答案：D知识点解析：对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{un}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有｜un-A｜＜ε．可知当ni＞N时，恒有｜uni-A｜＜ε因此数列{uni}也收敛于A，可知命题正确．对于命题②，不妨设数列{xn}为单调增加的，即x1≤x2≤…≤xn≤…，其中某一给定子数列{xni}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当ni＞N时，恒有｜xni-A｜＜ε由于数列{xn}为单调增加的数列，对于任意的n＞N，必定存在ni≤n≤ni+1，有从而｜xn-A｜＜ε可知数列{xn}收敛于A因此命题正确．对于命题③，因，由极限的定义可知，对于任意给定的e＞0，必定存在自然数N1，N2：当2n＞N1时，恒有｜x2n-A｜＜ε；当2n+1＞N2时，恒有｜x2n+1-A｜＜ε．取N=max{N1，N2)，则当n＞N时，总有｜xn-A｜＜ε．因此．可知命题正确．故答案选择(D)．3、设f(x)是偶函数，φ(x)是奇函数，则下列函数(假设都有意义)中，是奇函数的是()A、f[φ(x)]B、f[f(x)]C、φ[f(x)]D、φ[φ(x)]标准答案：D知识点解析：令g(x)=φ[φ(x)]，注意φ(x)是奇函数，有g(-x)=φ[φ(-x)]=φ[-φ(x)]=-φ[φ(x)]=-g(x)，因此φ[φ(x)]为奇函数，同理可得f[φ(x)]，f[f(x)]，φ[ff(x)]均为偶函数．答案选(D).4、设f(x)=sin(cosx)，φ(x)=cos(sinx)，则在区间(0，)内()A、f(x)是增函数，φ(x)是减函数B、f(x)，φ(x)都是减函数C、f(x)是减函数，φ(x)是增函数D、f(x)，φ(x)都是增函数标准答案：B知识点解析：注意在(0，)内，sinx是增函数，cosx是减函数．任取x1，x2∈，且x1＜x2，有cosx1＞cosx2，所以sin(cosx1)＞sin(cosx2)，即f(x)是减函数；由于sinx1＜sinx2，所以cos(sinx1)＞cos(sinx2)，即φ(x)是减函数．5、设f1(x)=，f2(x)=f1[f1(x)]，fk+1(x)=f1[fk(x)]，k=1，2，…，则当n＞1时，fn(x)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：6、设f(x)=则f(-x)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：7、设f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)-v(x)，并设都不存在，下列论断正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：令，当x→0时可排除(B)；令u(x)=，当x→0时可排除(D)．8、两个无穷小比较的结果是()A、同阶B、高阶C、低阶D、不确定标准答案：D知识点解析：如a(x)=不存在，故α(x)和β(x)无法比较阶的高低．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，a为常数，n为整数，则f(n)=_____标准答案：na知识点解析：令x=-1，则f(1)=f(-1)+f(2)，因f(x)是奇函数，得到f(2)=f(1)-f(-1)=2f(1)=2a．再令x=1，则f(3)=f(1)+f(2)-3f(1)=3a，现用数学归纳法证明f(n)=na．当n=1，2，3时，已知或者已证．假设n=k时，有f(k)=ka．当n=k+1时，f(k+1)=f(k-1)+f(2)=(k-1)a+2a=(k+1)a，故对一切正整数n，有f(n)=m，令x=0，则f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0.a，又f(x)是奇函数，故对一切负整数n有f(n)=-f(-n)=-(-m)=m．所以对一切整数n，均有f(n)=na．10、对充分大的一切x，以下5个函数：，最大的是_______标准答案：知识点解析：当x充分大时，有重要关系：eαx》xβ》lnγx，其中α，β，γ＞0，故本题填11、=_______标准答案：0知识点解析：12、极限=_______标准答案：2知识点解析：13、设，则α，β的值为_______标准答案：知识点解析：原式三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)14、设标准答案：本题考查分段函数的复合方法．下面用解析法求解．首先，广义化为尢g(x)]=由g(x)的表达式知，(1)当g(x)≤0，即(2ex-1≤0)∩{x≤0)或{x2-1≤0)∩{x＞0}，而{2ex-1≤0)∩{x≤0)={x≤-In2)∩{x≤0)={x≤-In2}，{x2-1≤0)∩(x＞0)={-1≤x≤1)∩{x＞0)={0＜x≤1)．(2)当g(x)＞0，即{2ex-1＞0)∩(x≤0)或{x2-1＞0)∩{x＞0)，而{2ex-1＞0)∩{x≤0)={x＞-ln2)∩{x≤0)={-In2＜x≤0)，{x2-1＞0)∩{x＞0)={x＞1或x＜-1)∩{x＞0)={x＞1)．综上，得f[g(x)]=知识点解析：暂无解析15、求f(x)=的表达式，x≥0；标准答案：知识点解析：暂无解析16、讨论f(x)的连续性．标准答案：因为f(x)在所以f(x)在[0，+∞)上连续．知识点解析：暂无解析17、计算极限标准答案：因为知识点解析：暂无解析18、求下列极限．标准答案：(1)当x→0时，(2)这是“1∞”型极限，可用公式来计算，事实上(3)这是“∞-∞”型未定式极限，首先通分变成型未定式，然后使用洛必达法则求极限．或利用等价无穷小代换ex-1～x(x→0)，则(4)是“1∞”型极限，可以使用洛必达法则求极限，也可以凑成第二个重要极限，还可以利用等价无穷小代换．(9)当x=0，原式=1；知识点解析：暂无解析19、设f(x)=x2+ax+b，证明：｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜中至少有一个不小于2．标准答案：用反证法．设｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜都小于2，即｜f(i)｜=｜a+b+1｜＜2，｜f(3)｜=3a+b+9｜＜2，｜f(5)｜=5a+b+25｜＜2，则｜f(1)-2f(3)+f(5)｜≤｜f(1)｜+2｜f(3)｜+｜f(5)｜＜2+2×2+2=8．而事实上，｜f(1)-2f(3)+f(5)｜=｜a+b+1-6a-2b-18+5a+b+25｜=8矛盾，故｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜中至少有一个不小于2．知识点解析：暂无解析20、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析21、求极限标准答案：因为x→0时知识点解析：暂无解析22、求极限标准答案：原式知识点解析：暂无解析23、求极限标准答案：原式知识点解析：暂无解析24、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析25、求极限标准答案：为了在使用洛必达法则时使求导变得简单，先做变量代换，令t=，从而原式=知识点解析：暂无解析26、求极限标准答案：此题为型未定式，若用洛必达法则，则连续使用完两次法则，又回到了起点，法则失效，正确的做法是先对式子恒等变形．分子分母同乘知识点解析：暂无解析27、求极限，ai＞0，且ai≠1，i=1，2，…，n，n≥2．标准答案：知识点解析：暂无解析28、求极限标准答案：方法一原极限等价于求知识点解析：暂无解析29、设标准答案：因为知识点解析：暂无解析30、已知标准答案：设知识点解析：暂无解析31、设f(x)是三次多项式，且有标准答案：因为，所以f(2a)=f(4a)=0，从而得知x-2a，x-4a为f(x)的因式．又因为f(x)为三次多项式，可令f(x)=b(x-2a)(x-4a)(x-c)．于是知识点解析：暂无解析32、设，试求α，β的值．标准答案：显然由条件知β≠0，而知识点解析：暂无解析33、设函数f(x)=，证明：存在常数A，B，使得当x→0+时，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常数A，B．标准答案：知识点解析：暂无解析34、计算标准答案：原式=知识点解析：暂无解析35、求极限标准答案：先看知识点解析：暂无解析考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷第7套一、选择题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)1、设f(x)=，则f(f(f(x)))等于()A、0．B、1．C、D、标准答案：B知识点解析：由题设可知｜f(x)｜≤1，因此f(f(f(x)))=1．故选B．2、下列各题计算过程中正确无误的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：A项错误，数列没有导数概念，不能直接用洛必达法则．B项错误，是定式，不能用洛必达法则．C项错误，用洛必达法则求不存在，也不为∞，法则失效，因此不能推出原极限不存在，事实上该极限是存在的．故选D．3、下列各式中正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由重要极限结论=e，可立即排除B、D．对于A、C选项，只要验算其中之一即可．对于C选项，因，故C不正确，选A．4、设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，则()A、x=0必是g(x)的第一类间断点．B、x=0必是g(x)的第二类间断点．C、x=0必是g(x)的连续点．D、g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关．标准答案：D知识点解析：因为又g(0)=0，所以当a=0时，有=g(0)．也就是说，此时g(x)在点x=0处连续，当a≠0时，≠g(0)，即x=0是g(x)的第一类间断点．因此，g(x)在x=0处的连续性与a的取值有关，故选D．5、设x→0时ax2+bx+c—cosx是比x2高阶无穷小，其中a，b，c为常数，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由题意得(ax2+bx+c—cosx)=0，得c=1，又因为6、设数列xn与yn满足=0，则下列判断正确的是()A、若xn发散，则yn必发散．B、若xn无界，则yn必无界．C、若xn有界，则yn必为无穷小．D、若为无穷小，则yn必为无穷小．标准答案：D知识点解析：取xn=n，yn=0，显然满足，由此可排除A、B．若取xn=0，yn=n，也满足，又排除C，故选D．7、设x→0时，(1+sinx)x一1是比xtanxn低阶的无穷小，而xtanxn是比(一1)ln(1+x2)低阶的无穷小，则正整数n等于()A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：B知识点解析：当x→0时，(1+sinx)x一1～ln[(1+sinx)x一1+1]=xln(1+sinx)～xsinx～x2，(一1)ln(1+x2)～sin2x.x2～x4，而xtanxn～x.xn=xn+1．因此2＜n+1＜4，则正整数n=2，故选B．8、设f(x)和φ(x)在(一∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则()A、φ(x))必有间断点．B、[φ(x)]2必有间断点．C、f(φ