天津市塘沽一中2025届高三下学期第一次综合检测试题数学试题含解析

天津市塘沽一中2025届高三下学期第一次综合检测试题数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的一条渐近线倾斜角为，则（）A．3 B． C． D．2．已知直线是曲线的切线，则（）A．或1 B．或2 C．或 D．或13．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A．72种 B．144种 C．288种 D．360种4．已知集合，，，则集合()A． B． C． D．5．已知、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线交于、两点，为坐标原点，若，，则的离心率为（）A．2 B． C． D．6．已知集合，，则=()A． B． C． D．7．已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（）A． B．C． D．8．设非零向量，，，满足，，且与的夹角为，则“”是“”的（）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（）A．6里 B．12里 C．24里 D．48里10．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，B＝{3，4}，则＝（）A．{3，5，6} B．{1，5，6} C．{2，3，4} D．{1，2，3，5，6}11．已知函数，，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．12．已知复数z，则复数z的虚部为（）A． B． C．i D．i二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知等差数列的各项均为正数，，且，若，则________.14．两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线方向相同．如图所示，一列圆(an>0，rn>0，n=1，2…)逐个外切，且均与曲线y=x2相切，若r1=1，则a1=___，rn=______15．已知点为双曲线的右焦点，两点在双曲线上，且关于原点对称，若，设，且，则该双曲线的焦距的取值范围是________.16．记实数中的最大数为，最小数为.已知实数且三数能构成三角形的三边长，若，则的取值范围是.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在，使得不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．18．（12分）已知，且满足，证明：.19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线交于点，将射线绕极点逆时针方向旋转交曲线于点.（1）求曲线的参数方程；（2）求面积的最大值．20．（12分）已知函数，将的图象向左移个单位，得到函数的图象.（1）若，求的单调区间；（2）若，的一条对称轴是，求在的值域.21．（12分）在中，内角的对边分别是，满足条件．（1）求角；（2）若边上的高为，求的长．22．（10分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于，两点，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果.【详解】由双曲线方程可知：，渐近线方程为：，一条渐近线的倾斜角为，，解得：.故选：.本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于的范围的要求.2．D【解析】

求得直线的斜率，利用曲线的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得的值.【详解】直线的斜率为，对于，令，解得，故切点为，代入直线方程得，解得或1.故选：D本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.3．B【解析】

利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.选.本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题4．D【解析】

根据集合的混合运算，即可容易求得结果.【详解】，故可得.故选：D.本题考查集合的混合运算，属基础题.5．D【解析】

作出图象，取AB中点E，连接EF2，设F1A＝x，根据双曲线定义可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，进而得到e的值【详解】解：取AB中点E，连接EF2，则由已知可得BF1⊥EF2，F1A＝AE＝EB，设F1A＝x，则由双曲线定义可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a，所以x＝2a，则EF2＝2a，由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2，所以c2＝7a2，则e故选：D．本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率.6．C【解析】

计算，，再计算交集得到答案.【详解】，，故.故选：.本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.7．A【解析】

点的坐标为，，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.【详解】不妨设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值，因为，，所以，当且仅当，即当时，等号成立，此时最大，此时的外接圆面积取最小值，点的坐标为，代入可得，．所以双曲线的方程为．故选：本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.8．C【解析】

利用数量积的定义可得，即可判断出结论．【详解】解：，，，解得，，，解得，“”是“”的充分必要条件．故选：C．本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．9．C【解析】

设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得，求出（里，由此能求出该人第四天走的路程．【详解】设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得：，解得（里，（里．故选：C．本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．10．B【解析】

按补集、交集定义，即可求解.【详解】＝{1，3，5，6}，＝{1，2，5，6}，所以＝{1，5，6}.故选：B.本题考查集合间的运算，属于基础题.11．B【解析】

可判断函数在上单调递增，且，所以.【详解】在上单调递增，且，所以.故选：B本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.12．B【解析】

利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【详解】，则复数z的虚部为.故选：B.本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

设等差数列的公差为，根据，且，可得，解得，进而得出结论.【详解】设公差为，因为，所以，所以，所以故答案为：本题主要考查了等差数列的通项公式、需熟记公式，属于基础题.14．【解析】

第一空：将圆与联立，利用计算即可；第二空：找到两外切的圆的圆心与半径的关系，再将与联立，得到，与结合可得为等差数列，进而可得.【详解】当r1=1时，圆，与联立消去得，则，解得；由图可知当时，①，将与联立消去得，则，整理得，代入①得，整理得，则.故答案为：；.本题是抛物线与圆的关系背景下的数列题，关键是找到圆心和半径的关系，建立递推式，由递推式求通项公式，综合性较强，是一道难度较大的题目.15．【解析】

设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，故，由双曲线定义可得，再求的值域即可.【详解】如图，设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，故.在中，由双曲线的定义可得，.故答案为：本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.16．【解析】试题分析：显然，又，①当时，，作出可行区域，因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是（1，1）和，从而②当时，，作出可行区域，因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是（1，1）和，从而综上所述，的取值范围是．考点：不等式、简单线性规划.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)时，根据绝对值不等式的定义去掉绝对值，求不等式的解集即可；(Ⅱ)不等式的解集为，等价于，求出在的最小值即可．【详解】(Ⅰ)当时，时，不等式化为，解得，即时,不等式化为，不等式恒成立，即时,不等式化为，解得，即综上所述，不等式的解集为(Ⅱ)不等式的解集为对任意恒成立当时，取得最小值为实数的取值范围是本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型．18．证明见解析【解析】

将化简可得，由柯西不等式可得证明.【详解】解：因为，，所以，又，所以，当且仅当时取等号.本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.19．（1）（为参数）；（2）.【解析】

（1）根据伸缩变换结合曲线的参数方程可得出曲线的参数方程；（2）将曲线的方程化为普通方程，然后化为极坐标方程，设点的极坐标为，点的极坐标为，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程，得出和关于的表达式，然后利用三角恒等变换思想即可求出面积的最大值．【详解】（1）由于曲线的参数方程为（为参数），将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线，则曲线的参数方程为（为参数）；（2）将曲线的参数方程化为普通方程得，化为极坐标方程得，即，设点的极坐标为，点的极坐标为，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得，，的面积为，当时，的面积取到最大值.本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考查了伸缩变换，同时也考查了利用极坐标方程求解三角形面积的最值问题，要熟悉极坐标方程所适用的基本类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．（1）增区间为，减区间为；（2）.【解析】

（1）由题意利用三角函数图象变换规律求得的解析式，然后利用余弦函数的单调性，得出结论；（2）由题意利用余弦函数的图象的对称性求得，再根据余弦函数的定义域和值域，得出结论．【详解】由题意得（1）向左平移个单位得到，增区间：解不等式，解得，减区间：解不等式，解得.综上可得，的单调增区间为，减区间为；（2）由题易知，，因为的一条对称轴是，所以，，解得，.又因为，所以，即.因为，所以，则，所以在的值域是.本题主要考查三角函数图象变换规律，余弦函数图象的对称性，余弦函数的单调性和值域，属于中档题．21．（1）．（2）【解析】

（1）利用正弦定理的边角互化可得，再根据，利用两角和的正弦公式即可求解.（2）已知，由知，在中，解出即可.【详解】（1）由正弦定理知由己知，而∴，（2）已知，则由知先求∴∴∴本题主要考查了正弦