理财计算基础修改版

第七章理财计算基础

学习目标：

理财规划师通过本章学习，应能掌握货币时间价

值的相关计算，熟悉各种收益的含义和计算方法以及

风险的度量指标。在实际的理财规划过程中，知道如

何用统计表和统计图以及统计量，并能利用概率的相

关知识进行决策分析。

本章结构：

/概率基础

理

财J数据分析的方法和统计数据的分类

计统计基础Y统计表和统计图

算r常用的统计量

基

础

厂货币的时间价值

演与风险收益率的计算

风险的度量

本章重点和难点：

重点：1.利用等可能事件计算概率

2.互补事件的概率、概率的加法和乘法公式

3.会解读几种常见的统计表和统计图

4.计算几种常见的统计量

5.货币时间价值的计算（包括年金的计算）

6.投资风险和收益计算

难点：1.互补事件的概率、概率的加法和乘法公式

2.货币的时间价值（包括年金的计算）

3.风险和收益的计算

理财规划师不是理论家，而是实践家，有人将理财说成是

精打细算，虽然不准确，但是却反映了实际理财过程中计算的

重要性。

从理财的八大规划来看，几乎每个规划都或多或少地涉及

到计算，如果把理财的原理比作大厦的基石，那么理财计算就

好比大厦的钢筋结构，贯穿于整个大厦的始终。如果不会理财

当中的相关计算，那么理财规划师将无法给客户出具理财规划

建议书，更不用谈给客户提出合理的具有实践指导意义的理财

建议。

因此，掌握理财的相关计算是一名合格的理财规划师必须

具备的基本功，这一章列出了理财规划过程中常用的概率的相

关计算、统计量的相关计算、货币时间价值的相关计算以及风

险和收益率的计算方法以及应用。通过本章的学习，理财规划

师应能在实际工作中熟练地应用这些计算方法，为做好理财规

划打好基础。

第一节概率基础

例：①外汇的走势可能上涨也可能下跌；

②一只股票当日的收盘价可能高于开盘价,也可能低于开盘价;

③物价指数高位运行，央行有可能加息也有可能不加息；

④央行加息，股市可能上涨也可能下跌。

像这样带有不确定性的事件在日常生活中很多，这种不确定性

发生的可能性也就是本节所讲的概率。概率在理财规划中具有非常

重要的作用，因为，几乎所有的金融决策结果都是不确定的。

概率在理财规划中具有非常重要的作用，因为几乎所有的金融

决策都是与随机性连在一起的，具有不确定性。例如：证券市场的

价格上升与下跌，外汇市场的走势等就存在很大的不确定性。如何

去判断可能性大小，则需要对大量的不确定性数据进行整理，并运

用概率的原理来进行计算和得出结论。然后再利用该结论为客户提

供理财建议，出具理财方案。

一、随机事件

(-)基本术语

随机试验——为了研究随机现象,就需要对客观事物进行观察,

观察的过程就称为随机试验。随机试验的三个特点：

重复性——；明确性——；不确定性——0

随机事件：随机试验的结果称为随机事件。

样本点：随机试验的每一个基本结果—基本事件

样本空间：全体样本点的集合称为样本空间。

例：我们拿一枚均匀的硬币抛掷1次，观察出现的结果，这个

过程就称为随机试验。抛硬币出现正面是一个随机事件，出现反面

也是一个随机事件。如果考察的是抛2次硬币的随机试验，则出现

的结果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）四种，每一

个结果就是一个样本点，样本点的全体则为：｛（正，正），（正，反）,

（反，正），（反，反））,这个集合就是样本空间。

（二）事件的关系与运算

事件的包含：如果事件A出现，导致事件B一定出现，则称事

件B包含事件A；或者称事件A包含于事件B。Au8或BnA

互不相容事件：事件A和事件B不可能同时出现。4口3=。

对立事件：又称互补事件，事件A不出现，事件B一定出现。

A=与或3=Z。AUZ=O,APlX=0

s

A

独立事件:事件A的出现与否与和事件B的出现没有任何关系。

相互之间不产生影响。

例如：一次资格考试，考试成绩在90分以上为事件A,成绩在

60分以上为事件B。事件B包含事件A,BoAo

某银行职员都有订阅报纸的习惯，假设职员订《体坛周报》为

事件A,职员订《经济观察报》为事件B,那么订《体坛周报》或

者《经济观察报》的职员，称为事件A和事件B的和AU3。

一次资格考试，某学员考试成绩为95分为事件A,成绩为96

分为事件B。因此事件B和事件A是互不相容的。

假如抛掷一颗质体均匀的骰子，A表示出现偶数点，B表示出

现奇数点，C表示出现3点或5点。则A与B是对立事件，A与C

是互不相容的事件。

假如抛一枚硬币两次，第一次出现正面为事件A,第二次出现

正面为事件B,事件A和B是互为独立的事件。

事件的关系可以画图表示。

二、概率

概率是对某一随机事件发生的可能性大小的数值度量。它的值

介于0与1之间。概率分布是不确定事件发生的可能性的一种数学

模型（数值度量）。

（一）概率的应用方法

1.古典概率或先验概率方法

古典概率模型又称为等可能概型。具有如下特点：

（1）有限性，样本空间中基本事件的个数有限；

（2）等可能性，每一个基本事件出现的可能性相等。

=事件A所包含的基本事件数

（X等可能结果的总数

如掷一颗质体均匀的骰子，A——出现偶数点，B——出现点数

大于2,则尸(A)=W=4，P(B)=：=,。

o20J

2.统计概率方法

在包括金融等其他的很多领域中，我们不能依赖过程的精确性

来确定概率。金融资产的收益，涨跌率有时要依据统计资料。

Z出现的次数

P(Z)=频率（频数）

试验的总次数

当〃一＞8,它具有统计规律性，频率的稳定值（极限值）称

为统计概率。

例如，我们设定一个由股价的100次连续的日运动构成样本，

这里每次运动与一个单独的事件类似，这样可以进行一个总数为

100次的试验，从中寻找股价变化的规律。每次运动是一个事件，

样本空间是实际上发生的给定数值的股价变化的序列，用这种观察

发生频率地方法来寻找其内在的规律的方法被称为统计概率。

如在100次的统计中，有40天是上涨的,20天是持平的,40天是

下跌的，因此上涨、持平和下跌的统计概率分别为0.4,0.2,0.4o

【例】某投资者连续100个交易日对股票A的价格进行观察，

发现股票A的收盘价高于开盘价的天数有40天，收盘价等于开盘

价的天数有20天，那么可以说股票A的收盘价低于开盘价的概率

是(C)

(A)20%(B)30%(C)40%(D)60%

3.主观概率

一些概率不能由等可能性来计算，也不可能从试验得出。比如

某家上市公司明年盈利的概率和央行最近3个月加息的概率。但是

根据常识、经验和其他相关因素来判断，理财规划师给出一个大致

判断，都能说出一个概率，这种概率称为主观概率。比如我根据你

的学习态度判断你能拿到理财规划师资格证的概率就是主观概率。

(二)基本概率法则

1.对立事件的概率

P(A)+P(A)=1,P(A)=1-P(A)

如央行加息的概率尸⑷=20%,则不加息的概率

P(A)=l-P(A)=80%o

【例】某只股票今天上涨的概率34%,下跌的概率是40%,那

么该股票今天不会上涨的概率是(D)

(A)20%(B)34%(C)60%(D)66%

2、概率的加法

(1)非互不相容事件的加法法则

若AB手(/),P(AB)wO,那么

P(AU3)=P(A)+P(AB)

(2)互不相容事件概率的加法

A与3不可能同时发生，即4口3="，P(AB)=0则

尸(AU8)=尸(A)+尸(砂。

如某只股票价格今天上涨的概率30%,而同昨日持平的概率为

10%,那么这只股票价格不会下跌的概率为30%+10%=40%o

——注意使用本法则的前提是事件之间不能同时发生，否则就要使

用新的法则了。

例：假定金融时报100指数以0.55的概率上涨，还假定在同一

时间间隔标准普尔500指数能以0.35的概率上涨。再假定两个指数

可能以0.3的概率同时上升。那么在同一时间金融时报100指数或

标准普尔500指数上升的概率是多少？

假设金融时报100指数上涨为事件A,标准普尔500指数上涨

为事件3,尸(A)=0.55,P(B)=0.35,P(AB)=0.30,

P(AU或=尸(A)+P(B)-P(AB)=0.55+0.35-0.3=0.6

3.概率的乘法

(1)不独立事件的乘法

如果事件之间是不独立的，A和B的概率由A的概率P(A)和

给定A发生条件B发生的条件概率来计算，这个条件概率表示为

P(同A)。

P(A和3)=P(AB)=P(A)xP(B\A)(乘法公式)，

即P(网A)=号黑(条件概率的计算公式)

假如在接下来的一段时间内,金融时报100指数与标准普尔500

指数同时上涨的概率为0.3,那么，在给定金融时报100指数已经上

涨的条件下，标准普尔500指数上涨的概率是：

假设金融时报100指数上涨为A,标准普尔500指数上涨为事

件3,P(A)=0.55,P(B)=0.35,尸(Ax5)=0.30

因为：=P(AxB)=P(A)xP(B|A)

也就是：0.30=0.55xP(5|A)

因此，条件概率：P(b|A)=0.30/0.55=0.5454

(2)独立事件的乘法：

如果A与B两个事件是相互独立的(互相不产生影响)，那么

尸(A和5)=P(AB)=P(A)P(B)o

例：张先生和张太太夫妇准备进行基金投资，为了比较两人的

投资能力，夫妇二人各自挑选了一只基金。已知市场中有300只基

金可供选择，那么张先生和张太太挑选的基金的综合排名都在这

300只基金的前20名的概率是多少？

假设张先生挑选的基金的综合排名位于前20名为事件A,张太

太挑选的基金的综合排名位于前20名为事件B,则A与B相互独

立。

P(A)=—,P(B)=—,则

300300

那么张先生和张太太挑选的基金的综合排名都在这300只基金

的前20名的概率是

P(AB)=P(A)P(B)=29_x39_=0.0044

300300

【例】设A与B是相互独立的事件，已知P(A)=\,P(B)=J，

34

则P(AxB)=(A)

(A)1/12(B)l/4(C)l/3(D)7/12

【例】某客户购买了两只股票，假设这两只股票上涨的概率分

别为0.3和0.6,并且两只股票价格不存在任何关系，那么这两只股

票同时上涨的概率是(A)

(A)0.18(B)0.20(C)0.35(D)0.90

第二节统计基础

统计学是处理数据的一门科学，简单地讲，统计学是收集、处

理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学。以概率论为理论

基础，根据试验或者观察得到的数据来研究随机现象，对研究对象

的客观规律性作出各种合理的估计和推断、判断。对于理财规划师

而言，掌握好统计学基础知识是基本的要求。统计学的知识在分析

客户的财务信息、投资信息、撰写理财规划报告中具有重要的作用。

在统计学中，有几个基本的术语需要掌握：总体、个体、样本、

样本容量和统计量。

总体：在统计学中把研究对象的某项数值指标值的全体称为总

体。

个体：总体中的每一个元素称为个体。

样本：一般情况下研究总体的特征是不会调查到所有个体，因

此经常从总体中抽取一部分个体进行研究，这就是样本。抽样的目

的是根据样本提供的信息推断总体的特征。

样本容量：样本中所含个体的数目叫样本容量。

统计量：对于任何样本的函数，只要不含未知参数，就称为统

计量。用来描述样本特征的概括性数字度量。

例如：要研究2012年我国基金分红比率情况，从所有的基金公

司中抽取50家作为研究对象，这里该市所有的基金公司就是总体,

每一家基金公司就是个体，选取的50家就是样本，样本容量是50,

而这50家基金公司的平均分红比率就是一个统计量。

第一单元数据分析的方法和统计数据的分类

一、数据分析的方法

在统计中，数据分析所用的方法分为描述统计方法和推断统计

方法。描述统计研究的是数据收集、处理、汇总、图表描述、概括

与分析等统计方法。推断统计是研究如何利用样本数据来推断总体

特征的统计方法。比如，要了解一个国家人口的特征；对产品的质

量进行检验；抽样，推断。

二、统计数据的分类

按照所采用的计量尺度不同，可以将统计数据分为分类数据、

顺序数据和数值型数据。

按照统计数据的收集方法,可以将其分为观测数据和实验数据。

按照被描述的现象与时间的关系，可以将统计数据分为截面数

据和时间序列数据和面板数据。

第二单元统计表和统计图

统计表和统计图就是用图表的形式简单、直观、概括的描述统

计数据的相互关系和特征。比如某只股票自发行以来的价格走势图,

或者某家企业某年度的资产负债表。

当然，由于数据是从总体中产生的，其特征也反映了总体的特

征，对数据的描述也是对总体的近似描述。

一、统计表

根据统计表的维数可以分为二维统计表和高维统计表，三维或

三维以上的统计表都可以称为高维统计表，至于什么是统计表的维

数，可以通过以下的例子加以理解。

例：某理财规划师根据收集的130位客户的学历、性别和月收

入绘制成的统计表，三个因素，因此是三维的。

三维统计表

学历

月收入高中低

男女男女男女

2000元以下01791217

2000—8000元1515111064

8000元以上854321

也可以将男女合并，就是二乡隹统计）笈。

二维Z充计表

学历

月收入

高中低

2000元以下11629

2000—8000元302110

8000元以上1373

此外，在理财规划中应用比较多的是个人/家庭财务报表，如资

产负债表、收入一支出表，如P331-P333表7-3和表7-4就是家庭

的资产负债表.这些都属于统计表。（略）

二、统计图

（一）直方图

直方图的纵坐标通常为数据的大小，从直方图中可以看出数据

分布的疏密，各组数据的大小以及差异程度。直方图的纵坐标也可

以是百分比，即用频数除以样本容量，当然，频数直方图与用百分

比表示的直方图的形状是一样，只是计量单位不同而已。

直方图适用较多，如图7-6。

某家庭支出分析

住房按揭21148.00

物业管理费24000

生活费36000

保险65000

旅游5000

（二）散点图

散点图经常用来描述时间序列的数据，从图中可以看见多个时

期数据波动的情况，见图7-5。

年份国内生产总值年份国内生产总值

198610275.2199448197.9

198712058.6199560793.7

198815042.8199671176.6

198916992.3199778973

199018667.8199884402.3

199121781.5199989677.1

199226923.5200099214.6

199335333.92001109655.2

199448197.92002120332.7

199560793.72003135822.8

199671176.62004159878.3

1997789732005183217.4

199884402.32006211923.5

199989677.12007257305.6

200099214.62008314045

2001109655.22009335353

（三）饼状图（又称为饼分图）

饼状图通常用来描述总体中各个部分的比例。但是如果有太多

的类别，饼状图就不是很直观了。

图7-8就是某投资者资产配置的饼状图，图7-9为某家庭保险

的开支分析。

股票基金债券储蓄

5%15%18%62%

小病医疗保

女性醴

养老保险

35%

女性险小病医疗险重大疾病险养老保险万能人寿保险

1%4%20%35%40%

（四）K线图

以1990年元月至1993年12月4年的英国《金融时报》指数的

月度数据为例说明盒状图（见图7-8）,有关数据在表7-5中。

这里涉及几个概念：中位数——按大小排列后位于正中间的一

个数；

上、下四分位数：下四分位数是指位于四分之一处的数据；

上四分位数是指位于四分之三处的数据；

最小值和最大值。

盒形图在投资实践中被演变成著名的K线图。日K线是根据

股价（指数）一天的走势中形成的四个价位：开盘价、收盘价、最

高价、最低价绘制而成的。

当收盘价高于开盘价时，则开

I—1—收st价

盘价在下收盘价在上，二者之间的

长方柱用红色或空心绘出，称之为

阳线；其上影线的最高点为最高

收叁价

价，下影线的最低点为最低价。

当收盘价低于开盘价时，则开

最低价

盘价在上收盘价在下，二者之间的

长方柱用黑色或实心绘出，称之为

阴线，其上影线的最高点为最高价，下影线的最低点为最低价。

【例】统计图的主要类型包括（A、B、C、D）

（A）直方图（B）散点图（C）饼状图（D）盒状图（E）折线图

【例】一般来说，常用的统计图主要包括（ABDE）

（A）直方图（B）散点图（C）面积图（D）饼状图（E）盒形图

第三单元常用的统计量

本单元将介绍理财规划中常用的几个统计量：平均数、中位数、

众数、方差、标准差和样本标准差以及协方差和相关系数。

平均数是统计学中最常见的统计量，用来表明资料中各观测值

的平均值。在理财规划中，平均数被广泛应用于金融产品、证券市

场变化等市场分析。平均数主要有算术平均数、几何平均数、中位

数和众数。现分别介绍如下：

一、算术平均数

算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的

商，简称平均值或均值，记为无。计算元的方法有直接法（〃"30）,

加权法（对于分组数据）。

1.如果一组样本观测值为：%,%,•••,五，则样本平均数元为:

元=—（玉+x2H------Z七或简记为无=_£为

例：某只股票连续五天的收盘价分别为：7.25元，7.29元，7.36

元，7.26元，7.27元，那么该股票收盘价这五天的样本平均值为：

1/5（7.25+7.29+7.36+7.26+7.27）=7.286元。

2.加权法样本容量72230以上且已分组的资料，可以在次

数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：

X=W1X,+W2X2H-------FWkXk

例：投资者李先生持有两只股票，当天开盘时两只股票的市值

分别是70万元和30万元，由于当天大盘暴跌，两只股票受大盘的

影响，收盘时两只股票分别下跌了7.5%和6.8%。李先生的股票当

天平均下跌多少？

按照加权平均的计算公式求得：

7030

亍=7.5%x------------+6.8%x—：--------=7.29%

(70+30)(70+30)

即：李先生的股票当天平均下跌7.29%。

二、几何平均数

n个观测值相乘之积开n次方所得的方根，称为几何平均数，

记为Go它主要应用于股票、债券、基金等证券市场的统计分析，

对于增长率之类的数据，用几何平均比用算术平均更能代表平均水

平。其计算公式如下：

G==(%.♦…Z)"

1+广=[(1+4)(1+马)•••(1+/)

厂=《(1+4)(1+/)…(1+〃)-1

r几何平均数，?石,•••,5分别为第1,2,…，n期的增长率。

例：某国内股票市场1997-2000年各年度的股票数如下：

某国内股票市场各年度股票数与增长率

年度股票数(只)增长率(X)

1997140-

19982000.429

19992800.400

20003500.250

试求其年平均增长率:

=V1.429x1.4000x1.250-1=0.3573

即：年几何平均增长率为0.3573或35.73%。

【例】假设某只股票连续四年的每股收益分别是6.2元，7.4元,

8.5元和5.5元，那么该股票这四年每股收益的几何平均数为(D)

(A)6.04(B)6.22(C)6.56(D)6.81

G=-16.2X7.4X8.5X5.5=6.805«6.81

三、中位数

要衡量一组数据的相对集中位置，通常算术平均数能很好地解

决。但是，当一组数据中出现个别异常数据时，或者说数据是一个

偏态分布时，用算术平均数来衡量一组数据的相对集中位置，将不

能真实反映数据的情况。

例如：有两家基金公司各有7只同类型基金，4公司的7只基

金的收益分别是：17%,17%,18%,19%,19%,19%和20%。

而3公司的7只基金的收益率分别是10%,10%,12%,12%,13%,

14%和70%。要比较两个公司的收益率情况哪个更好些？

如果计算算术平均数，则A公司为18.43%,而B公司为

20.14%；这样B公司的收益率高，应该选B公司。但是事实上A

公司基金收益情况普遍比B公司好，因此要寻求一个新的统计量来

解决此类数据的中心位置问题。而中位数恰好能避免这个问题。

将资料内所有观测值从小到大依次排列，位于中间的那个观测

值，称为中位数。当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值

的平均数作为中位数。中位数简称中数。当所获得的数据资料呈偏

态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。

1、当〃为奇数时，中位数=XN

T)

2、当〃为偶数时，中位数=lxn+%/,x

4中M

例:王先生按照“不要将所有鸡蛋都放在同一个篮子里”的道理,

在去年认购了9只基金。一年后，王先生发现，各基金的收益情况

差别很大，收益率分别是65%,57%,32%,38%,46%,51%,

61%,23%和12%。那么，王先生的基金组合里，基金收益率的中

位数是多少？

首先将9只基金的收益率按照从大到小或者从小到大的顺序排

列如下：

12%,23%,32%,38%,46%,51%,57%,61%,66%

此例〃=9,为奇数，正中间的数为中位数=否5)=46%

例：某股票市场随机地抽取10只股票，其价格分别为7,8,8,

9,11,12,12,13,14,14元，求其中位数。

此例,n=10,为偶数，则,

中位数=+工⑹]=J。1+12)=11.5(元)

值得注意的是：计算中位数时，需先将得到的数据按从小到大

的顺序排序。

四、众数

样本中出现次数最多的数值称为众数。如：2、3、-1、2、1、3

中，2和3都是众数。

例:某理财规划师在过去一年里给客户做了共50份理财规划建

议书，部分客户做投资规划，部分客户做退休养老规划，部分客户

做综合理财规划等等。为了更好地开展下一年的工作，该理财规划

师想统计在过去一年里哪类规划做的最多。结果发现共有投资规划

25份，综合理财规划13份，退休养老规划4份，子女教育规划2

份和风险管理与保险规划2份，其他的规划每个1份。

很显然，该理财规划师可以看出在他的客户群里，做投资规划

的最多，在往后的工作中，可以有侧重地安排工作，以适应市场的

需求。

众数反映的信息不多，又不一定唯一，在有些情况下可能没有

众数。其使用的不如平均值和中位数普遍。

【例】众数和中位数都是用来描述平均水平的指标。某理财规

划师挑选了7只股票，其价格分别为6元，12元，15元，15元，

15.5元，17元和40元，这几只股票价格的众数为(B)

(A)6元(B)15元(C)15.5元(D)40元

【例】某理财规划师为客户挑选了五只股票作为资产配置，其

价格分别为3.2元，5.5元，6元，5.5元，5.6元，则这5只股票的

众数是(B)

(A)3.2元(B)5.5元(C)5.6元(D)6元

五、数学期望

分赌本问题又称为分点问题，在概率论中是一个极其著名的问

题，在历史上它对概率论这门学科的形成和发展曾起过非常重要的

作用。1654年法国有个叫梅耶(DeMere)的赌徒向法国天才的数

学家帕斯卡(BvlaisePascal)提出了如下的分赌本问题：甲、乙两

个赌徒下了赌注后，就按某种方式赌了起来，规定：甲、乙谁胜一

局就得一分，且谁先得到某个确定的分数就赢得所有的赌本。但是

在谁也没有得到确定的分数之前，赌博因故中止了，如果甲需再得

〃分才赢得所有赌注，乙需再得加分才赢得所有赌注，那么如何分

这些赌注呢？

离散型随机变量的数学期望等于随机变量的所有可能取值与其

对应概率的乘积之和。

如果用X表示离散型随机变量，其分布律为：

P{X=xk}=pk,E(X)是其数学期望，那么，

E(X)=YJXkPk=%1P1+%2P2

k

例如：掷一颗质体均匀的正六面体的骰子，得到点数X的数学

期望

X123456

111111

P

666666

L八八，1C1C1,1U1/121c-

E(X)—lx—F2x—F3x—F4x—F5x—i-6x—=—=3.5

6666666

例：理财规划师预计某种特定投资产品呈现20%的收益率是

0.25,出现10%收益率的概率是0.5,而出现-4%的收益率的概率是

0.25,那么该资产收益率的数学期望是多少？

解：20%x0.25+10%x0.5+(^%)x0.25=9%

【例】理财规划师预计某项目收益率15%的概率是0.4,

收益率为20%的概率为0.2,收益率为8%的概率为0.4,那么

该项目的预期收益率为(D)

(A)10.15%(B)12.45%(C)12.50%(D)13.20%

15%x0.4+20%x0.2+8%x0.4=13.20%

六、方差和标准差

1.方差

方差是随机变量的另一个重要特征，它度量随机变量的波动程

度，D(X)二司X-£(X)『

如果X是离散型随机变量，并且尸{X=%}="，那么

O(X)=ZN-E(X)『0

例：计算上例中预期收益率的方差

首先计算数学期望：

20%x0.25+10%x0.5+(T%)x0.25=9%

然后再计算方差：

(20%-9%)2x0.25+(10%-9%)2*0.5+(-4%-9%)2x0.25

=0.0073

这个结果是百分数的平方，看起来不是很直观，通常计算的是

方差的平方根，即标准差。

2.标准差

通常由于样本方差计算出来的数字比较小，看起来很不直观，

而且量纲也不一致。因此在实际应用时，通常先计算方差，然后再

计算方差的算术平方根，这就是标准差向处。

这个指标可以衡量预期收益率的波动程度，如果该值偏大说明

风险较大；如果该值偏小说明风险较小。所以，方差(标准差)一

般是衡量投资风险的一个数量指标。

0.0073的平方根是0.085或者说8.5%o

【例】如果李凌面临一个投资项目：有70%的概率在一年内让

自己的投资金额翻倍，30%的概率让自己的金额减半，则该项目的

标准差是(C)

(4)55.00%(3)47.25%(068.74%(0)85.91

X21/2

P0.70.3

E(X)=1.55D(X)=0.47251D(X)=68.74%

样本方差和样本标准差

1.样本方差与样本均值不同，样本方差是由各观测值到均值

距离的平方和除以样本容量减1,而不是直接除以样本量，这就与

随机变量中数字特征中方差的定义不同。

r.21/—\21--YIX2

sFf7)不

例：某只股票连续5天的收盘价分别为7.25元，7.29元，7.36

元，7.26元，7.27元。那么该股票这5天的样本方差为：

前面计算了样本均值无=7.286,

1

S2[(7.25-7286『+(7.29-7.286)2+(7.36-7.286)2

5-1

+(7.26-7.286)2+(7.27-7.286)1=0.00193

因此,该只股票连续五天收盘价的样本方差为0.00193o

2.样本标准差。样本标准差是样本方差的算术平方根，它度量

的是样本中各个数值到均值距离的一种平均。

S=士加-才

计算上例中股票连续五天收盘价的样本方差

先计算样本均值x=7.826

再计算样本方差：52=0.00193

然后计算样本标准差S=V0.00193=0.044=4.4%

【例】已知某只股票连续三天的收盘价分别为11.50元，11.28

元，11.75元，那么该股票这三天的样本方差为()

(A)0.24(B)0.23(C)0.11(D)0.06

元=11.51

52=1|^(11.50-11.51)2+(11.28-11.51)2+(11.75-11,51)2]

=0.0553«0.06

七、协方差

方差衡量的是变量的观察值如何围绕其均值分布，而协方差是

用来描述两个随机变量如何相互作用的。

在理财规划中，经常需要知道两个变量间如何相互作用。例如，

在投资组合管理中，为了度量资产的投资组合的风险，需要知道组

合中证券x的价格如何影响证券y的价格。换句话说，我们需要知

道每两种资产间的协方差和相关系数。

对于二元随机变量（x,v）,称后{[x—E（x）][y—E（y）]}为x

和y的协方差，记作QMX,y）,即

Cov（X,Y）=E{[X-E（x）][y-砂）]}=E（XY）_E（x）E（y）

如果证券X的价格通常随证券y的价格一起升（降），协方差

就是正的；如果证券x的价格通常随证券y的价格上升（下降），

反而下降（上升），协方差就是负的；如果两种证券的价格变动不相

关，则协方差等于0。

八、相关系数

相关系数是更广泛使用的度量两个随机变量之间的相关程度的

指标.它是对两个随机变量之间线性关系的强弱和方向的度量，相关

系数的大小不受观测值大小的影响，从而克服了协方差度量的弱点。

如果x和y的方差都不为零，即o（x）wo,。（丫）。0,则

可以定义它们的相关系数.为：

Cov（x,y）

"JD（X5JD（Y）

可以证明：|「|二1。如果夕=1,则x与y有完全的正线性相

关关系；如果夕=一1,则两者有完全的负线性相关关系，如果

夕=o,则称x和y不相关。相关系数的有关内容及应用后面还要

讲到。

Q=OoCov（x,y）=Oox与y不相关

因此，协方差或相关系数是描述随机变量x与y之间线性相关

程度的一个量。

在构建投资组合时，如果不同证券收益率的相关系数越小，风

险分散化效应也就越强。证券收益率之间的相关系数越大，风险分

散化效应就越低，完全正相关的投资组合，不具有风险分散化效应。

完全负相关的投资组合，分散风险的效果最好。

例：假设经过计算，两只股票收益率的协方差为16,而两只股

票的标准差分别为5和4,求这两只股票收益率的相关系数。

根据相关系数的计算公式得：

Cov（X»工=08

5X4

因此这两只股票的相关系数为0.8,说明这两只股票相关程度较

高，且呈正相关关系，即其中一只股票的价格上涨，另一只股票的

价格也上涨，反之亦然。

第三节收益与风险

理财的目的就是使资产保值和增值，而要使资产做到保值

和增值，收益率问题十分重要。如果资产要做到保值，则其收

益率应为多少？期望资产在多大的程度上增值？这都涉及到收

益率的计算问题。同时收益率的获得是有一定代价的，要么是

以延迟消费为代价，要么以承担一定的风险为代价，所以在考

虑收益率的同时也要衡量所承担的风险。

作为一名理财规划师，熟悉各种收益率的计算和风险的度

量方法，帮助客户选择投资产品是最基本的工作；同时，在给

客户做投资组合时，如何确定投资组合的风险和收益，也是作

为一名合格的理财规划师所需要具备的技能之一。

第一单元货币的时间价值

货币的时间价值非常重要，涉及几乎所有的理财活动，有

人称货币的时间价值为理财的“第一原则”。

一、货币时间价值的概念

货币的时间价值问题存在于我们日常生活的每一个角落，

我们经常会遇到这样的问题：我们是花30万元买一幢现房，还

是花27万元买1年后才能入住的期房？我们若想买1辆汽车，

是花20万元现金一次性购买，还是每月支付6000元，共付4

年更合算呢？所有这些都反映一个简单的道理，即货币是有时

间价值的，今天的1元比明天的1元更值钱。

L货币时间价值的定义

货币时间价值是指在不考虑通货膨胀和风险性因素的情况

下，作为资本使用的货币在其被运用的过程中随时间推移而带

来的一部分增值价值。它反映的是由于时间因素的作用而使现

在的一笔资金高于将来某个时期的同等数量的资金的差额或者

资金随时间推延所具有的增值能力。

资金在不同的时点上，其价值是不同的。例如，今天的100

元和一年后的100元是不等值的。今天将100元存入银行，在

银行利率10%的情况下，一年后会得到110元，多出的10元

利息就是100元经过一年时间投资所增加了的价值，即货币的

时间价值。显然，今天的100元和一年后的110元是等值的。

由于不同时间的资金时间价值不同，所以，在进行价值大小对

比时，必须将不同时间的资金折算为同一时间后才能进行比较。

2.货币时间价值的度量

衡量货币时间价值的大小通常是用利息，其实质内容是社

会资金的平均利润。但是，在日常生活中所接触到的利息，比

如银行存款、贷款利息，除了包含时间价值因素之外，还包括

通货膨胀等因素。所以，我们分析时间价值时，一般以社会平

均的资金利润为基础，而不考虑通货膨胀和风险因素。

需要明确的是货币时间价值是货币在无风险的条件下的增

值比率。什么叫无风险，就信用理论来看，国家信用最高，也

就是说贷款给国家是没有风险的。因此，美国短期国债利率被

作为货币时间价值的代表值。我国由于没有对外发行短期国债,

因此可以用银行存款利率代替。

国债利率，银行存、贷款利率，各种债券利率，都可以看

作投资报酬率，然而它们并非时间价值率，只有在没有风险和

通货膨胀的情况下，这些报酬才与时间价值率相同。由于国库

券信誉度最高、风险最小，所以如果通货膨胀率很低就可以将

国债利率视同时间价值率。为了便于说明问题，在研究、分析

时间价值时，一般以没有风险和通货膨胀的利息率作为货币的

时间价值。

二、货币时间价值的计算

货币的时间价值的计算方法有很多，如查表法、财务计算

器法(美国德州仪器(TI)BABAIIPLUS)、EXCEL表格法等。

这些计算各有优缺点，但是无论用哪一种方法进行计算，要搞

清楚相应的计算公式。

(-)单利终值和现值的计算

1.单利终值的计算

单利终值即指一定时期以后按照单利计算(只计算本金所

带来的利息)的本利和。

例：现在的I元钱，年利率为10%,如果按照单利进行计

算，那么这1元钱，在第一年末、第二年末和第三年末分别为

多少钱？

解：1元钱1年后的终值=lx(1+1O%X1)=1.1(元)

1元钱2年后的终值=lx(1+10%X2)=1.2(元)

1元钱3年后的终值=lx(1+10%X3)=1.3(元)

因此，可以推算出单利终值一般计算公式为：

Vn=Vox(l+ixn)

式中：乂为现值，匕为终值，，为利率，〃为计息期数。

2.单利现值的计算

单利现值指未来的一笔资金其现在的价值，即由终值倒求

现值。一般称之为贴现或折现，所使用的利率为折现率。

例：若年利率为10%,如果按照单利进行计算，那么第一

年末、第二年末和第三年末的1元钱的现值分别是多少？

解：第1年末1元钱的现值——!——=-1=0.909(元)

l+10%xl1.1

第2年末1元钱的现值——i——=—=0.833(元)

1+10%X21.2

第3年末1元钱的现值——-——=—=0.769(元)

1+10%X31.3

因此，可以推算出单利现值一般计算公式为：

Vo=---

(1+ix〃)

式中：匕为现值，匕为终值，，为利率，〃为计息期数。

(-)复利终值和现值的计算

所谓复利即本金能产生利息，利息在下期也转作本金并与

原来的本金一起再计算利息，如此随计息数不断下推，即通常

所说的“利滚利”。

L复利终值的相关计算

复利终值是在“利滚利”的基础上计算的现在一笔收付款项

在未来的本利和。

例：现在的1元钱，年利率为10%,如果按照复利进行计

算，那么这1元钱，在第一年末、第二年末和第三年末分别为

多少钱？

解：1元钱1年后的终值=1X（1+1O%）=1.1（元）

1元钱2年后的终值=1*（1+10%）2=1.21（元）

1元钱3年后的终值=卜（1+10%）3=1.331（元）

因此，可以推算出单利终值一般计算公式为：

一=%x（l+）

式中：％为现值，匕为终值，，为利率，〃为计息期数。

该式中，（1+。〃称为复利系数。当计息期数较多时，为简

化计算,在i,n已知的情况下，可以通过查复利终值系数表求得。

这样：

复利终值=复利现值x复利终值系数。

例：李先生现在存入账户5000元，年复利率10%,20年

后，该账户中的金额是多少？

解：匕=片（1+=5000x（l+10%y°=5000x6.7275=33637.5（元）

因此，20年后该账户中的金额为33637.5元。

2.复利现值的相关计算

复利现值是指未来发生的一笔收付款项其现在的价值。具

体地说，就是将未来的一笔收付款项按照复利折现率进行折现

而计算出来的现在的价值。

例：若年利率为10%,如果按照复利进行计算，那么第一

年末、第二年末和第三年末的1元钱的现值分别是多少？

解：第1年末1元钱的现值——1——=—=0.909（元）

l+10%xl1.1

第2年末1元钱的现值——1—-=­=0.8264（元）

（1+10%）21.21

第3年末1元钱的现值——1一7=—1—=0.7513（元）

（1+10%）31.331

因此，可以推算出单利现值一般计算公式为：

式中：匕为现值，匕为终值，，为利率，〃为计息期数。

称为复利现值系数。当计息期数较多时，为简化计算，

（1+疗

在i,〃已知的情况下，可以通过查复利现值系数表求得。这样：

复利现值=复利终值x复利现值系数。

例：如果客户希望20年后银行帐户中有20000元，年复利

率10%,那么客户现在应往银行存入多少钱？

匕2000020000

解：K=2972.87(元)

(1+h(1+1O%)20—6.7275

因此，客户现在应该往账户中存入2972.87元。

（三）年金

年金是指一定期限内每期相等金额的收付款项。按照付款

时点的不同分为后付年金和先付年金。

后付年金也称为普通年金，它是在每期期末等额的系列收

款、付款的年金；

先付年金也称为预付年金，它是在每期期初等额的系列收

款、付款的年金；

通常不加说明即指后付年金。

此外，还有永续年金和递延年金。

永续年金是指无限连续地等额系列收款、付款的年金。

递延年金是指在开始的若干期没有资金收付，然后有连续

若干期的等额资金收付的年金序列。

1.后付年金终值和现值的计算

(1)后付年金终值的相关计算

后付年金终值是一定时期内每期期末收付款项的复利终值

之和。其实，年金终值实质上是复利终值的特殊形式。

后付年金终值的一般计算公式为：

匕=4之(l+i)i=A支也X,A为每次收付款项相等

的数额，即：年金。£(1+，)1="匚二称作年金终值系数,

r=li

可以通过查表或通过财务计算器获得。

年金终值=年金X年金终值系数

银行储蓄存款中的零存整取即属于典型的年金终值计算。

此外，在保险、租赁等业务中，年金终值具有很广泛的应用。

例：某客户为了筹集购房款项，每年年末向银行存入10000

元，存期5年，年利率5%,其5年后到期的本利和为多少？

解：这是一个已知后付年金求终值的过程

51_1

匕=10000・Z(1+5%)1=10000X-----二55256.31

z=i0.05

因此，5年后该客户得到的本息和为55256.31元。

(2)后付年金现值的相关计算

后付年金现值是一定时期内每期期末收付款项的复利现值

之和。从这个意义上说，年金终值实质上是复利现值的特殊形

式。

后付年金现值的一般计算公式为：

a1C1A

外二4.工(1+"'=4二1--,A为每次收付款项相

t=\iv(1+，)>

等的数额，即：年金。y(i+zr=-1-一二称作年金现值

金人(i+zyj

系数，可以通过查表或通过财务计算器获得。

年金现值二年金X年金现值系数

年金现值在资产的估价、租金的确定及保险业务中有广泛

的用途。

例：某投资项目于2004年初动工，设当年投产，从投产之

日起每年得收益40000元，按年利率6%计算。预期该项目能

收益10年，那么这未来10年的收益现值为多少？

解：这是一个已知后付年金求现值的过程

n10

%=A.Z(1+尸=40000xZ(1+6%尸

t=lt=l

=40000x—(1——1—)=294403.5

0.061.O610

因此，这未来10年的收益的现值为294403.5元。

需要指出的是，上述复利终值、复利现值、普通年金终值

和普通年金现值的四个计算公式是时间价值计算的基本公式。

时间价值的大多数计算可以通过上述公式的变形应用或组合应

用得以实现。

①偿债基金

偿债基金是为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或集

聚一定数额资金而必须分次等额提取的存款准备金。每次提取

的等额存款金即为年金（亦称偿债基金），而应清偿的债务（或

应集聚的资金）即为年金终值，可见，偿债基金的计算也就是

年金终值的逆运算。

例：某企业有一笔5年后到期的借款，数额为2000万元，

为此设置偿债基金，年利率10%,到期一次还清借款。则每年

年末存入的金额应为多少？

解：这是一个已知终值求后付年金的过程

由匕=A・X（1+，）*=A，（（1+,）〃_1），可得，

71

A=匕/1（（1+[•）"—1）=2000.[（1.15-1）/0.1]=327.595

因此，为了在5年后能有2000万元的资金还债，企业从现

在开始连续5年，每年年末需要投入327.595万元的资金。

②年资本回收额

资本回收额是指在约定的年限内等额回收的初始投入资本

额或等额清偿所欠的