新高考一轮复习核心考点讲与练考点10 平面向量原卷版

考点10平面向量（核心考点讲与练）一、平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)如a，eq\o(AB,\s\up6(→))零向量长度等于零的向量；其方向不确定记作0单位向量给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0a0＝eq\f(a,|a|)共线(平行)向量如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行向量a与b平行记作a∥b相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量如eq\o(AB,\s\up6(→))＝a相反向量与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量记作－a2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.二、向量的分解与向量的坐标运算1.平面向量的基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.平面向量的数量积及其应用1.两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉.(2)范围：向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则a与b垂直，记作a⊥b.2.向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量eq\o(O1A1,\s\up6(→))叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.eq\o(OA,\s\up6(→))＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos__θ.3.向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义：|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.②模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).③夹角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).4.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).1.向量线性运算的三要素向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.2.三个常用结论(1)O为△ABC的重心的充要条件是eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0；(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(EF,\s\up6(→))；(3)对于平面上的任一点O，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共线，满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.注意向量共线与三点共线的区别.3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.4.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.5.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.6.计算向量数量积的三种方法定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.7.求向量模的常用方法利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.8.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.平面向量的概念及线性运算及基本定理1.（2020安徽滁州市定远县育才学校月考）如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是（）A．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝0B．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝0C．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<02.（2020内蒙古鄂尔多斯市第一中学）下列结论正确的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线，则向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向相同B．向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上C．SKIPIF1<0中，D是BC中点，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0使SKIPIF1<03.（2020湖南省娄底市模拟）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.2 B.SKIPIF1<0 C.4 D.SKIPIF1<0平面向量的数量积及其应用1.（2022河北省沧州市高三9月教学监测）如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的三等分点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.2 C.3 D.62.（2022湖北省黄石市高三9月调研）已知向量SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．21C．3D．93.（2022贵州省贵阳第一中学高三月考卷）已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．2D．-24.（多选题）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）A．存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0C．对于任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．对于任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<05.（2022北京八一学校高三上学期开学考试）设函数SKIPIF1<0，其中向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求函数SKIPIF1<0的最小正周期与单调递减区间；（2）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对边，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，判断SKIPIF1<0的形状，并说明理由．1.（2021年全国高考乙卷）已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________．1.（2021年全国高考乙卷）已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．3.（2021年全国高考甲卷）若向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________.4.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0一、单选题1.（2022·全国·模拟预测）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形ABCDEFGH，如图所示，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02.（2022·全国·模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0，P为直线SKIPIF1<0上一点，过P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则SKIPIF1<0的最小值为（）A.SKIPIF1<0 B.-1 C.SKIPIF1<0 D.-23.（2022·山东济宁·一模）等边三角形ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则SKIPIF1<0的最大值为（）A.4 B.7 C.8 D.114.（2022·辽宁大东·模拟预测）SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D为AB的中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.0 B.2 C.-2 D.-45.（2022·山东临沂·一模）设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.－3 B.0 C.3 D.3或－36.（2022·全国·模拟预测）已知等边△SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<07.（2022·广东高州·二模）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则m的值为（）A.SKIPIF1<0 B.2 C.SKIPIF1<0 D.48.（2022·浙江·模拟预测）《跳舞的线》是一款音乐类游戏，要求玩家用双眼观察障碍物与陷阱，用双耳聆听节奏，根据音乐引线条通过多重地形，最终抵达终点．玩家每点击一次屏幕，线条将会旋转SKIPIF1<0，且为顺时针、逆时针交替转向．如图是游戏中“沙漠”一关的截图，线条从SKIPIF1<0点前进到SKIPIF1<0点有两条路径：①和②．假设转弯不改变线条的速度，则两条路径所需时间一定相同，这一点可以由某定理保证．这个定理是（）A.平面向量基本定理 B.共线向量基本定理C.有一内角为直角的平行四边形是矩形 D.两直线平行，同旁内角互补二、多选题9.（2022·全国·模拟预测）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）A.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0B.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0C.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0D.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为110.（2022·全国·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD中，SKIPIF1<0，E是BC的中点，连接AE，BD相交于点F，连接CF，则下列说法正确的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<011.（2022·广东深圳·一模）四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<012.（2022·广东韶关·一模）已知向量SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）A.若SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0可以表示平面内任一向量B.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D.若SK