人教A版高中数学必修（第一册）教案：5.1.1任意角

教案

学科：数学年级：高一教师：授课时间：

教学内容5.1.1任意角

四基：理解任意的概念，了解正角、负角和零角，掌握终边相同的角、象限

角、区间角、终边在坐标轴上的角.会建立直角坐标系讨论任意角，能判断象限

角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写.

教

学四能：通过本节知识的学习和经历，能够发现角的终边相同的角不是唯一的，它

目们可以用一个集合来表示，并能根据所给的范围找到终边相同的角。

标

数学核心素养：在对例题及习题的讲解与探究中培养学生思维的严谨性，通过

本节内容的学习，不但可以教会学生如何表达终边相同的角来表述世界，同时可

以进一步培养学生对数学知识的应用意识。同时培养学生的交流能力、合作意识

等。

地位与联系：三角函数是一类最典型的周期函数。通过任意角之终边相同的角的

教学可以使学生初步认识角终边变化的周期性，为后续学习三角函数的周期性铺

垫。

教

材

分重点：理解任意角的概念，掌握终边相同角的表示法，区间角的集合的书写.

析

难点：理解任意角的概念，掌握终边相同角的表示法.

本节知识是三角知识的基础，既把初中的知识推广与深化，又为后面的学习打下

学情分析了基础，起到了承上启下的作用。

教法模式教师主导学生主体，师生探索性学习

媒体运用多媒体平台，三角板

备注引导学生回忆.举例和互相交流.与此同时.，教师对学生的活动给予评价.

教学过程

知识师生活动设计思路

一、创设情景、引入新课：教师首先提出问

1.问题1:初中所学的角是如何定义？角的范围？题

（角可以看成平面内一条射线

绕着端点从一个位置旋转到一/

个位置所成的图形；0°〜ZA由己学过的初中知

360°）I/a\引导学生回忆.识和生活中接触过

2问题2：讨论：实际生活中是[O—学生互相交流的与角有关的情

否有些角度超出初中所学的范\J景，引导

围？一说明研究推广角概念

X_____/学生分析思考，

的必要性引入新内容

（如钟表；体操，体操中有

教师讲解

“前空翻转体540____

度”“后空翻转体

720度”这样的动

作名称，；自行车J

车轮；螺丝扳手）1

被动轮主动轮

IS5.1-2

二、讲授新课：

1.教学角的概念：

问题3：定义正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成的

角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何

旋转所形成的角叫零角.

教师指引数形结合，增加

如：

学生记忆对数学的理解

尸―约

/B

((

Bi、-----•

(1)(2)

图5.1-3

②讨论：推广后角的大小情况怎样？（包括任意大小的

教师组织引导学引导学生更加深

正角、负角和零角）

生思考以下问刻的理解正负角

题：学生讨论思的概念

考

学生讨论理解

③示意几个旋转例子，写出角的度数.

学生举例说明，

④注意：学会对数学的表

⑴在不引起混淆的情况下，''角a"或“/a”可以简化成述

“a”；

⑵零角的终边与始边重合，如果。是零角。=0°;

⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角

2.角的加减法与互为相反角的概念：

学生为主体，自

BiB2学生自学，教师己能经历完成的

指导和强调方向必须发挥学生的

自主能力

O—---------BAO—--------5-A

(1)(2)

图5.1-4

问题4：①设a,B是任意两个角.我们规定，把角a的终边

旋转角B，这时终边所对应的角是a+p.

②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的

两个角叫做互为相反角.

3.象限角的概念：

问题5：如何将角放入坐标系中？一定义第几象限的角.

(概念：角的顶点与原点重合，角的始边与X轴的非负半教师引导学生独使学生经历数学

轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说立自学的生成过程

这个角是第儿象限角.)

教师布置，学生理解数学，数形

练习：试在坐标系中表示300°、390°、―330°角，并判别

在第几象限？独立完成结合表示数学

问题6：讨论：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？

结论：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何

一个象限，称为非象限角.

问题7：锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别

就直角、钝角来回答这两个问题.

4.终边相同角的表示

问题8讨论：与60°终边相同的角有哪些？都可以用什么代

数式表示？与a终边相同的角如何表示？

引导学生，学习有特殊到一般，

结论：与a角终边相同的角，都可用式子女义360°+a表示，

k&Z,写成集合呢？新知，是问题一数学问题的一般

般化化

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合

S={p1B=a+k-360。，kSZ},即任一与角a终边相同的

角，都可以表示成角a与整数个周角的和

④讨论：给定顶点、终边、始边的角有多少个？

注意：终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定

相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍

5.教学例题：

例1：在0°〜360°间，找出下列终边相同角：一150°、教师组织，学生数学概念的理解

1040°、-940°.

独立完成

（讨论计算方法：除以360求正余数一试练一订正）

例2：写出与下列终边相同的角的集合，并写出一720°〜教师先示范，学教师的示范作

360°间角.

生在模仿完成，用，学生经历数

120°、-270°、1020°

最后独立完成学的过程

（讨论计算方法：直接写，分析/的取值f试练f订正）

③讨论：上面如何求k的值？（解不等式法）

6.能力提升：

例3：写出终边在x轴上的角的集合,y轴上呢？坐标轴上呢？

第一象限呢？学生讨论完成，分层教学，各取

能力提高所需，

例4：写出终边直线在产x上的角的集合S,并把S中适合不

等式-360"4a<720°

的元素夕写出来.（师生共练一小结）

三、巩固练习

1、已知A=｛第一象限角｝,B=｛锐角｝,C=｛小于90°的角｝,

那么A、B、C关系是（）学生独立完成检测本节内容的

掌握请你赶快，

A.B=AACB.BUC=CC.AuCD.A=B=C

及时反馈

2、下列结论正确的是（）

A.三角形的内角必是一、二象限内的角B.第一象

限的角必是锐角C.不相等的角终边一定不同

D｛a|a=h36（J±90',kez｝=｛2|。=左•18（1+90°,左ez｝

3、若角a的终边为第二象限的角平分线，则a的集合为

4、在0°到360°范围内，与角一60°的终边在同一条直线

上的角为___________.

5、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小

正角，最大负角：

(1)-21Q；(2)一148437'.

1、B2、D3、C；4、(^£=-36(1+135,及eZ}；

5、(i)v-2ia=-36。+150,

/.与一2i(y终边相同的角的集合为

{a|e=H36Cf+150,kGZ}

其中最小正角为150,最大负角为-210°。

(2)-148437=-5-36Q+315,23',

与