人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册教学设计1：§8 3　列联表与独立性检验教案

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1§8.3列联表与独立性检验教学目标1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用．教学知识梳理知识点一分类变量为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示．知识点二2×2列联表1．2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数．2．定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如下表所示：XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d像这种形式的数据统计表称为2×2列联表．知识点三独立性检验1．定义：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”．简称独立性检验．2．χ2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d.3．独立性检验解决实际问题的主要环节(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释．(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较．(3)根据检验规则得出推断结论．(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．思考独立性检验与反证法的思想类似，那么独立性检验是反证法吗？〖答案〗不是．因为反证法不会出错，而独立性检验依据的是小概率事件几乎不发生．教学案例案例一等高堆积条形图的应用例1.某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张，作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类型是否有关系．解：作列联表如下：性格内向性格外向总计考前心情紧张332213545考前心情不紧张94381475总计4265941020相应的等高条形图如图所示：图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的人数的比例，从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向的人数占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向的人数占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．反思感悟等高堆积条形图的优劣点(1)优点：较直观地展示了eq\f(a,a＋b)与eq\f(c,c＋d)的差异性．(2)劣点：不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率．跟踪训练1.为考察某种药物预防疾病的效果进行动物试验，得到如下列联表：药物效果试验列联表患病未患病总计服用药104555未服用药203050总计3075105试用等高条形图分析服用药和患病之间是否有关系．解：根据列联表所给的数据可得出服用药患病的频率为eq\f(10,55)≈0.18，未服用药患病的频率为eq\f(20,50)＝0.4，两者的差距是|0.18－0.4|＝0.22，两者相差很大，作出等高条形图如图所示，因此服用药与患病之间有关系的程度很大．案例二由χ2进行独立性检验命题角度1有关“相关的检验”例2.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法附：P(χ2≥x0)0.0500.0100.001x03.8416.63510.828χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).解：(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”．由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P(C)的估计值为0.66.因此，事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.4092.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量<50kg箱产量≥50kg旧养殖法6238新养殖法3466χ2＝eq\f(200×（62×66－34×38）2,100×100×96×104)≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．反思感悟用χ2进行“相关的检验”步骤(1)零假设：即先假设两变量间没关系．(2)计算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．(3)查临界值：结合所给小概率值α查得相应的临界值xα.(4)下结论：比较χ2与xα的大小，并作出结论．跟踪训练2.吃零食是在中学生中普遍存在的现象，吃零食对中学生的身体发育有诸多不利影响，并影响他们的健康成长．下表是性别与喜欢吃零食的列联表：男女合计喜欢吃零食51217不喜欢吃零食402868合计454085试用等高条形图分析性别与吃零食是否有关系．解：根据列联表所给的数据，可得出男生中喜欢吃零食的频率为eq\f(5,45)≈0.11，女生中喜欢吃零食的频率为eq\f(12,40)＝0.3，两者差距是|0.3－0.11|＝0.19.两者相差较大，作出等高条形图如图所示，比较图中两个深色的条形可以发现，女生中喜欢吃零食的频率明显高于男生中喜欢吃零食的频率，因此可以认为性别与喜欢吃零食有关系．命题角度2有关“无关的检验”例3.为了研究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高一在校生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？解：问题是判断学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关．列出2×2列联表如下：理文合计有兴趣13873211无兴趣9852150合计236125361由公式得χ2＝eq\f(361×（138×52－73×98）2,236×125×211×150)≈1.871×10－4.因为1.871×10－4<2.706，故可以认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关．反思感悟独立性检验解决实际问题的主要环节(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释．(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较．(3)根据检验规则得出推断结论．(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．跟踪训练3.下表是某届某校本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时是否知道想学专业的调查表：知道想学专业不知道想学专业合计男生63117180女生4282124合计105199304根据表中数据，则下列说法正确的是________．(填序号)①性别与知道想学专业有关；②性别与知道想学专业无关；③女生比男生更易知道所学专业．〖答案〗②〖解析〗χ2＝eq\f(304×(63×82－42×117)2,180×124×105×199)≈0.041≤2.706＝x0.1，所以性别与知道想学专业无关．课堂小结1．知识清单：(1)分类变量．(2)2×2列联表．(3)等高堆积条形图．(4)独立性检验，χ2公式．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：对独立性检验的原理不理解，导致不会用χ2分析问题．随堂检测1．在独立性检验中，假设H0：变量x与变量y没有关系，则在H0成立的情况下，P(K2≥6.635)≈0.01表示()A．变量x与变量y有关系的概率是1%B．变量x与变量y有关系的概率是99%C．变量x与变量y没有关系的概率是0.1%D．变量x与变量y没有关系的概率是99.9%〖答案〗B〖解析〗因为P(K2≥6.635)≈0.01，所以两个变量有关系的可信度是99%，即两个变量有关系的概率是99%.故选B.2．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列联表：文化程度与月收入列联表(单位：人)由上表中数据计算得K2的观测值k＝eq\f(105×(10×30－20×45)2,55×50×30×75)≈6.109，请估计有多大把握认为“文化程度与月收入有关系”()A．1% B．99%C．2.5% D．97.5%〖答案〗D〖解析〗由于6.109>5.024，故在犯错误的概率不超过0.025的前提下，即有97.5%的把握认为“文化程度与月收入有关系”．3．如图是某地区男女中学生是否喜欢理科的等高条形图，从图中可以看出()A．是否喜欢理科与性别无关B．女生中喜欢理科的百分比约为80%C．男生比女生喜欢理科的可能性大D．男生中不喜欢理科的百分比约为60%〖答案〗C〖解析〗由等高条形图，可知女生中喜欢理科的百分比约为1－0.8＝0.2＝20%，男生中喜欢理科的百分比约为1－0.4＝0.6＝60%，因此男生比女生喜欢理科的可能性大．故选C.4．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球总计男生20525女生101525总计302050则在犯错误的概率不超过________的前提下认为喜爱打篮球与性别有关(请用百分数表示)．〖答案〗0.5%〖解析〗K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))＝eq\f(50×(20×15－5×10)2,25×25×30×20)≈8.333>7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关．5．某校在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下表所示(单位：人)：80及80分以上80分以下合计实验班351550对照班20m50合计5545n(1)求m，n；(2)根据表中数据能得到什么结论？解：(1)m＝45－15＝30，n＝50＋50＝100.(2)由表中的数据，得χ2＝eq\f(100×(35×30－15×20)2,50×50×55×45)≈9.091.因为9.091＞6.635，所以有99%的把握说“教学方式与成绩有关系”．6．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在〖29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：分组〖29.86，29.90)〖29.90，29.94)〖29.94，29.98)〖29.98，30.02)〖30.02，30.06)〖30.06，30.10)〖30.10，30.14)频数12638618292614乙厂：分组〖29.86，29.90)〖29.90，29.94)〖29.94，29.98)〖29.98，30.02)〖30.02，30.06)〖30.06，30.10)〖30.10，30.14)频数297185159766218(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？甲厂乙厂合计优质品非优质品合计附χ2＝eq\f(n(n11n22－n12n21)2,n1＋n2＋n＋1n