人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案3：4 2 1 第1课时 等差数列的概念及通项公式

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE14.2.1第1课时等差数列的概念及通项公式新课程标准学业水平要求1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．3．体会等差数列与一元一次函数的关系．1.借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．(数学抽象)2．借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．(数学抽象)3．会求等差数列的通项公式，并能利用等差数列的通项公式解决相关的问题．(数学运算)4．能利用等差数列的通项公式解决相关的实际问题．(数学运算、数学建模)〖自主预习〗导思1.什么是等差数列？2．等差数列的通项公式是什么？3．什么是等差中项？1.等差数列的定义(1)条件：①从第项起．②每一项与它的的差都等于常数．(2)结论：这个数列是等差数列．(3)相关概念：这个常数叫做等差数列的，常用表示．〖思考〗(1)为什么强调“从第2项起”？(2)如何理解“每一项与前一项的差”？2．等差中项(1)前提：三个数a，A，b成等差数列．(2)结论：叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式：2A＝．〖思考〗等式“2A＝a＋b”有哪些等价形式？3．等差数列的通项公式递推公式通项公式＝d(n∈N*)an＝(n∈N*)〖思考〗1．怎样从函数角度认识等差数列？2．由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？〖基础小测〗1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．()(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．()(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝()A．4－2nB．2n－4C．6－2nD．2n－63．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d＝________．4．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则B等于________．〖合作学习〗类型一等差中项的应用(数学运算)〖典例〗1．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为()A．26 B．29 C．39 D．522．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是()A.a＝－b B．a＝3bC.a＝－b或a＝3b D．a＝b＝03．若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m和n的等差中项为________．〖解题策略〗等差中项的应用方法三数a，b，c成等差数列的条件是b＝eq\f(a＋c,2)(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*).〖跟踪训练〗在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．类型二等差数列的通项公式及其应用(数学运算)〖典例〗(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝eq\f(5,4)，a7＝－eq\f(7,4)，求a15的值．〖解题策略〗基本量法求通项公式根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就称为基本量．有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．〖跟踪训练〗1．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于()A．15 B．22 C．7 D．292．(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？类型三等差数列的判定与证明(数学运算、逻辑推理)〖典例〗已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2).(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由；(2)求an.〖变式探究〗将典例中的条件“a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)”换为“a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)”试判断数列{an}是否是等差数列．〖解题策略〗等差数列的判定方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列；(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．〖跟踪训练〗1．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－eq\f(4,an－1)(n>1)，记bn＝eq\f(1,an－2).求证：数列{bn}是等差数列．2．已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1.(1)证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,3n)))是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．〖课堂达标〗1．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1 B．0 C．1 D．62．等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为()A．a11 B．a10 C．a9 D．a83．已知数列{an}，对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为()A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列4．已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为________．5．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，则这三个数为________．

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁〖自主预习〗1.等差数列的定义(1)①2．②前一项 同一个(3)公差 d〖思考〗(1)〖提示〗：①第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；②定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．(2)〖提示〗：它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．2．等差中项(2)A(3)a＋b〖思考〗〖提示〗：2A＝a＋b⇔A－a＝b－A⇔A＝eq\f(a＋b,2).3．等差数列的通项公式an＋1－an a1＋(n－1)d〖思考〗1．〖提示〗：若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.2．〖提示〗：只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．〖基础小测〗1．〖提示〗：(1)×若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)√当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)√只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项．(4)√若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．2．〖解析〗an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.〖答案〗C3．〖解析〗(－3)－(－6)＝3，故d＝3.〖答案〗34．〖解析〗因为三内角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.〖答案〗60°〖合作学习〗类型一等差中项的应用(数学运算)〖典例〗1．〖解析〗因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项．所以5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝2y＝26，所以x＋y＋z＝39.〖答案〗C2．〖解析〗由等差中项的定义知：x＝eq\f(a＋b,2)，x2＝eq\f(a2－b2,2)，所以eq\f(a2－b2,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.〖答案〗C3．〖解析〗由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6，所以m和n的等差中项为eq\f(m＋n,2)＝3.〖答案〗3〖跟踪训练〗〖解〗因为－1，a，b，c，7成等差数列，所以b是－1与7的等差中项，所以b＝eq\f(－1＋7,2)＝3.又a是－1与3的等差中项，所以a＝eq\f(－1＋3,2)＝1.又c是3与7的等差中项，所以c＝eq\f(3＋7,2)＝5.所以该数列为－1，1，3，5，7.类型二等差数列的通项公式及其应用(数学运算)〖典例〗〖解〗(1)因为a4＝7，a10＝25，则得所以an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，所以通项公式an＝3n－5(n∈N*).(2)方法一：由得解得a1＝eq\f(11,4)，d＝－eq\f(3,4)，所以a15＝a1＋(15－1)d＝eq\f(11,4)＋14×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq\f(31,4).方法二：(利用an＝am＋(n－m)d求解)由a7＝a3＋(7－3)d，即－eq\f(7,4)＝eq\f(5,4)＋4d，解得d＝－eq\f(3,4)，所以a15＝a3＋(15－3)d＝eq\f(5,4)＋12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq\f(31,4).〖跟踪训练〗1．〖解析〗设{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得解得a1＝47，d＝－8，所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.〖答案〗A2．〖解〗设等差数列的首项为a1，公差为d，(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项．类型三等差数列的判定与证明(数学运算、逻辑推理)〖典例〗〖解〗(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，理由如下：因为a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)，公差为d＝eq\f(1,2)的等差数列．(2)由(1)可知eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)d＝eq\f(n,2)，所以an＝eq\f(2,n).〖变式探究〗〖解〗当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝eq\f(3,2)，但a2－a1＝1≠eq\f(3,2)，故数列{an}不是等差数列．〖跟踪训练〗〖证明〗(定义法)因为bn＋1＝eq\f(1,an＋1－2)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)))－2)＝eq\f(an,2（an－2）)，所以bn＋1－bn＝eq\f(an,2（an－2）)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an－2,2（an－2）)＝eq\f(1,2)，为常数(n∈N*).又b1＝eq\f(1,a1－2)＝eq\f(1,2)，所以数列{bn}是首项为eq\f(1,2)，公差为eq\f(1,2)的等差数列．(等差中项法)因为bn＝eq\f(1,an－2)，所以bn＋1＝eq\f(1,an＋1－2)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)))－2)＝eq\f(an,2（an－2）).所以bn＋2＝eq\f(an＋1,2（an＋1－2）)＝eq\f(4－\f(4,an),2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)－2)))＝eq\f(an－1,an－2).所以bn＋bn＋2－2bn＋1＝eq\f(1,an－2)＋eq\f(an－1,an－2)－2×eq\f(an,2（an－2）)＝0.所以bn＋bn＋2＝2bn＋1(n∈N*)，所以数列{bn}是等差数列．〖跟踪训练〗〖解〗(1)由an＋1＝3an＋3n，两边同时除以3n＋1，得eq\f(an＋1,3n＋1)＝eq\f(an,3n)＋eq\