人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案：5 2 1 基本初等函数的导数

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE1§5.2导数的运算5．2.1基本初等函数的导数学习目标1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．导语同学们，前面我们学习了求简单函数的导函数，回想我们一共学习了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类基本初等函数，而对于大家所熟悉的一次函数、二次函数并不是基本初等函数，而是幂函数的线性组合，那么对于这四类基本初等函数的导函数是否存在呢，今天让我们一探究竟．一、基本初等函数的求导公式问题1回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？〖提示〗幂函数，指数函数，对数函数，三角函数．问题2如何求常函数f(x)＝c的导数？〖提示〗因为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\f(c－c,Δx)＝0，所以f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))0＝0，即(c)′＝0.我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数：f(x)＝x⇒f′(x)＝1＝1x1－1；f(x)＝x2⇒f′(x)＝2x＝2x2－1；f(x)＝x3⇒f′(x)＝3x2＝3x3－1；f(x)＝eq\f(1,x)＝x－1⇒f′(x)＝－x－2＝－x－1－1；f(x)＝eq\r(x)＝⇒f′(x)＝.通过观察上面几个式子，我们发现了这几个幂函数的规律，即(xα)′＝αxα－1.知识梳理基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα，(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)注意点：对于根式f(x)＝eq\r(n,xm)，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝.例1求下列函数的导数：(1)y＝x0(x≠0)；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x；(3)y＝lgx；(4)y＝eq\f(x2,\r(x))；(5)y＝2cos2eq\f(x,2)－1.解(1)y′＝0.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xln

eq\f(1,3)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xln3.(3)y′＝eq\f(1,xln10).(4)∵y＝eq\f(x2,\r(x))＝，∴y′＝＝eq\f(3,2)eq\r(x).(5)∵y＝2cos2eq\f(x,2)－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.反思感悟(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数〖解析〗式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对〖解析〗式进行化简或变形后求导．(3)要特别注意“eq\f(1,x)与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数区别．跟踪训练1求下列函数的导数：(1)y＝2021；(2)y＝eq\f(1,\r(3,x2))；(3)y＝4x；(4)y＝log3x.解(1)因为y＝2021，所以y′＝(2021)′＝0.(2)因为y＝eq\f(1,\r(3,x2))＝，所以y′＝.(3)因为y＝4x，所以y′＝4xln4.(4)因为y＝log3x，所以y′＝eq\f(1,xln3).二、导数公式的应用例2某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15＝1.611，ln1.1＝0.095)解由题意得p′(t)＝1.1tln1.1，所以p′(5)＝1.15ln1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)，所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年．反思感悟由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数．跟踪训练2从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cost表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)．解由q＝cost得q′＝－sint，所以q′(5)＝－sin5，q′(7)＝－sin7，即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin5安，－sin7安．三、利用导数研究曲线的切线方程例3已知曲线y＝lnx，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．解∵y′＝eq\f(1,x)，∴k＝y′|x＝e＝eq\f(1,e)，∴切线方程为y－1＝eq\f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.延伸探究1．已知y＝kx＋1是曲线y＝lnx的一条切线，则k＝.〖答案〗eq\f(1,e2)〖解析〗设切点坐标为(x0，y0)，由题意得＝eq\f(1,x0)＝k，又y0＝kx0＋1，y0＝lnx0，解得y0＝2，x0＝e2，所以k＝eq\f(1,e2).2．求曲线y＝lnx过点O(0,0)的切线方程．解∵O(0,0)不在曲线y＝lnx上．∴设切点为Q(x0，y0)，则切线的斜率k＝eq\f(1,x0).又切线的斜率k＝eq\f(y0－0,x0－0)＝eq\f(lnx0,x0)，∴eq\f(lnx0,x0)＝eq\f(1,x0)，即x0＝e，∴Q(e,1)，∴k＝eq\f(1,e)，∴切线方程为y－1＝eq\f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.反思感悟(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤跟踪训练3(1)函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为()A．y＝12x－16 B．y＝12x＋16C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16〖答案〗A〖解析〗因为y′＝3x2，当x＝2时，y′＝12，故切线的斜率为12，切线方程为y＝12x－16.(2)已知曲线y＝lnx的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为．〖答案〗－1〖解析〗设切点为(x0，lnx0)，由y＝lnx得y′＝eq\f(1,x).因为曲线y＝lnx在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.所以＝eq\f(1,x0)＝1，即x0＝1，所以切点为(1,0)．所以1－0＋c＝0，所以c＝－1.1．知识清单：(1)常用函数的导数．(2)基本初等函数的导数公式及应用．(3)利用导数研究曲线的切线方程．2．方法归纳：方程思想、待定系数法．3．常见误区：不化简成基本初等函数．1．(多选)下列选项正确的是()A．y＝ln2，则y′＝eq\f(1,2)B．y＝eq\f(1,x2)，则y′|x＝3＝－eq\f(2,27)C．y＝2x，则y′＝2xln2D．y＝log2x，则y′＝eq\f(1,xln2)〖答案〗BCD〖解析〗对于A，y′＝0，故A错；对于B，∵y′＝－eq\f(2,x3)，∴y′|x＝3＝－eq\f(2,27)，故B正确；显然C，D正确．2．一质点的运动方程为s＝cost，则t＝1时质点的瞬时速度为()A．2cos1B．－sin1C．sin1D．2sin1〖答案〗B〖解析〗s′＝－sint，当t＝1时，s′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝1＝－sin1))，所以当t＝1时质点的瞬时速度为－sin1.3．已知f(x)＝eq\r(x)，则f′(8)等于()A．0B．2eq\r(2)C.eq\f(\r(2),8)D．－1〖答案〗C〖解析〗f