人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案：5 1 2 第1课时 导数的概念

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE15．1.2导数的概念及其几何意义第1课时导数的概念学习目标1.了解导数概念的实际背景.2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．导语同学们，经过上节课的学习，我们把物理中的平均速度和瞬时速度对应到了几何中的割线斜率和切线斜率，在解决问题时，都采用了由“平均变化率”无限逼近“瞬时变化率”的思想方法，从此也可看出，现实中的瞬时速度实际上是不存在的，比如大家在经过红绿灯路口时，容易发现，测速探头会在极短时间内拍两次，然后看你发生的位移，原理也是极限的思想，但在几何上，曲线的切线斜率却是存在的，今天我们继续研究更一般的问题．一、导数的概念问题瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？〖提示〗瞬时变化率的几何意义是曲线的切线斜率．实际上，上节课我们通过研究抛物线的切线斜率就有了瞬时变化率在数学中的意义．知识梳理1．平均变化率对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．2．导数如果当Δx→0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).注意点：(1)曲线切线的斜率即函数y＝f(x)在x＝x0处的导数；(2)瞬时变化率、曲线切线的斜率、函数在该点的导数，三者等价．例1已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01；(2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间〖1,1＋Δx〗上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3.①当Δx＝2时，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②当Δx＝1时，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；③当Δx＝0.1时，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；④当Δx＝0.01时，eq\f(Δy,Δx)＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.(2)当Δx越来越小时，函数f(x)在区间〖1,1＋Δx〗上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.反思感悟求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.(3)得平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).跟踪训练1求函数f(x)＝3x2＋2在区间〖x0，x0＋Δx〗上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．解函数f(x)＝3x2＋2在区间〖x0，x0＋Δx〗上的平均变化率为eq\f(fx0＋Δx－fx0,x0＋Δx－x0)＝eq\f(6x0·Δx＋3Δx2,Δx)＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间〖2,2.1〗上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.二、导数定义的直接应用例2求函数y＝x－eq\f(1,x)在x＝1处的导数．解∵Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx)，∴eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2.从而y′|x＝1＝2.反思感悟用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．(2)求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(3)求极限eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).跟踪训练2(1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为()A．2xB．2C．2＋ΔxD．1〖答案〗B〖解析〗eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1＋2Δx＋Δx2－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2＋Δx)＝2.(2)已知f(x)＝eq\f(2,x)，且f′(m)＝－eq\f(1,2)，则m的值等于()A．－4B．2C．－2D．±2〖答案〗D〖解析〗因为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fm＋Δx－fm,Δx)＝eq\f(\f(2,m＋Δx)－\f(2,m),Δx)＝eq\f(－2,mm＋Δx)，所以f′(m)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－2,mm＋Δx)＝－eq\f(2,m2)，所以－eq\f(2,m2)＝－eq\f(1,2)，m2＝4，解得m＝±2.三、导数在实际问题中的意义例3(教材P65例2改编)航天飞机升空后一段时间内，第ts时的高度为h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.(1)h(0)，h(1)，h(2)分别表示什么？(2)求第2s内的平均速度；(3)求第2s末的瞬时速度．解(1)h(0)表示航天飞机发射前的高度；h(1)表示航天飞机升空后第1s时的高度；h(2)表示航天飞机升空后第2s时的高度．(2)航天飞机升空后第2s内的平均速度为eq\x\to(v)＝eq\f(h2－h1,2－1)＝eq\f(5×23＋30×22＋45×2＋4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×13＋30×12＋45×1＋4)),1)＝170(m/s)．(3)第2s末的瞬时速度为eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δh,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(h2＋Δt－h2,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(52＋Δt3＋302＋Δt2＋452＋Δt＋4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×23＋30×22＋45×2＋4)),Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(5Δt3＋60Δt2＋225Δt,Δt)＝225(m/s)．因此，第2s末的瞬时速度为225m/s.反思感悟导数的物理意义是：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即为它的瞬时变化率．跟踪训练3一只昆虫的爬行路程s(单位：米)是关于时间t(单位：分)的函数：s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2，0≤t<3,15＋3t－12，t≥3，))求s′(1)与s′(4)，并解释它们的实际意义．解当0≤t<3时，s(t)＝3t2，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋Δt))－s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1)),Δt)＝eq\f(31＋Δt2－3,Δt)＝6＋3Δt，∴s′(1)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))(6＋3Δt)＝6.当t≥3时，s(t)＝15＋3(t－1)2，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋Δt))－s\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4)),Δt)＝eq\f(15＋34＋Δt－12－[15＋3×\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(4－12)),Δt)＝18＋3Δt，∴s′(4)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))(18＋3Δt)＝18.s′(1)＝6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分，s′(4)＝18说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度为18米/分．1．知识清单：(1)导数的概念．(2)导数定义的直接应用．(3)导数在实际问题中的意义．2．方法归纳：定义法．3．常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位．1．函数y＝1在〖2,2＋Δx〗上的平均变化率是()A．0B．1C．2D．Δx〖答案〗A〖解析〗eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1－1,Δx)＝0.2．若函数f(x)可导，则eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1－Δx－f1,2Δx)等于()A．－2f′(1) B.eq\f(1,2)f′(1)C．－eq\f(1,2)f′(1) D．f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))〖答案〗C〖解析〗eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1－Δx－f1,2Δx)＝－eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f[1＋－Δx]－f1,－Δx)＝－eq\f(1,2)f′(1)．3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)等于()A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2〖答案〗C〖解析〗eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝