人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案：4 3 2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE1第2课时等比数列前n项和的性质及应用学习目标1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．导语同学们，前面我们就用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质．一、等比数列前n项和公式的灵活应用问题1类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？〖提示〗若等比数列{an}的项数有2n项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有eq\f(S偶,S奇)＝q.＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶．知识梳理若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶．例1(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝________.〖答案〗2〖解析〗由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，∴S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝eq\f(S偶,S奇)＝2.(2)若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为________．〖答案〗300〖解析〗由eq\f(S偶,S奇)＝2，S偶－S奇＝100可知S偶＝200，S奇＝100，故S2n＝300.反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住eq\f(S偶,S奇)＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．跟踪训练1(1)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为________，项数为________．〖答案〗29〖解析〗由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2，S2n＋1＝eq\f(1－22n＋1,1－2)＝341＋170＝511，解得n＝4，即这个等比数列的项数为9.(2)一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝________.〖答案〗12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1，n∈N*〖解析〗设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(1,3).又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以aeq\o\al(3,1)·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为an＝12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1，n∈N*.二、等比数列中的片段和问题问题2你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n?〖提示〗思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn.思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm.问题3类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？〖提示〗Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下：思路一：当q＝1时，结论显然成立；当q≠1时，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，S2n＝eq\f(a11－q2n,1－q)，S3n＝eq\f(a11－q3n,1－q).S2n－Sn＝eq\f(a11－q2n,1－q)－eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1qn1－qn,1－q)，S3n－S2n＝eq\f(a11－q3n,1－q)－eq\f(a11－q2n,1－q)＝eq\f(a1q2n1－qn,1－q)，而(S2n－Sn)2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a1qn1－qn,1－q)))2，Sn(S3n－S2n)＝eq\f(a11－qn,1－q)×eq\f(a1q2n1－qn,1－q)，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．知识梳理1．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．2．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.例2在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.解方法一∵S2n≠2Sn，∴q≠1，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝48，①,\f(a11－q2n,1－q)＝60，②))②÷①得1＋qn＝eq\f(5,4)，即qn＝eq\f(1,4)，③③代入①得eq\f(a1,1－q)＝64，∴S3n＝eq\f(a11－q3n,1－q)＝64eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,43)))＝63.方法二∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，∴S3n＝eq\f(S2n－Sn2,Sn)＋S2n＝eq\f(60－482,48)＋60＝63.方法三由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn，得qn＝eq\f(1,4)，∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝63.反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算．(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．跟踪训练2已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于()A．8B．6C．4D．2〖答案〗C〖解析〗S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列．∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.三、等比数列前n项和公式的实际应用例3《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．那么该人第1天所走路程里数为()A．96B．126C．192D．252〖答案〗C〖解析〗由题意得，该人每天走的路程形成以a1为首项，以eq\f(1,2)为公比的等比数列，因为该人6天后到达目的地，则有S6＝eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6)),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，所以该人第1天所走路程里数为192.反思感悟(1)解应用问题的核心是建立数学模型．(2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．(3)注意问题是求什么(n，an，Sn)．跟踪训练3我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为________．〖答案〗3〖解析〗设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}是公比为2的等比数列，∴S7＝eq\f(a11－27,1－2)＝381，解得a1＝3.1．知识清单：(1)奇数项和、偶数项和的性质．(2)片段和性质．(3)等比数列前n项和的实际应用．2．方法归纳：公式法、分类讨论．3．常见误区：应用片段和性质时易忽略其成立的条件．1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于()A．3∶4 B．2∶3C．1∶2 D．1∶3〖答案〗A〖解析〗在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝eq\f(3,4)S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.2．在等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n等于()A．2n－1 B.eq\f(4n－1,3)C.eq\f(1－－4n,3) D.eq\f(1－－2n,3)〖答案〗B〖解析〗由a1a2a3＝1得a2＝1，又a4＝4，故q2＝4，a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝eq\f(1－4n,1－4)＝eq\f(4n－1,3).3．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A．6秒钟 B．7秒钟C．8秒钟 D．9秒钟〖答案〗C〖解析〗根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列，设需要n秒细菌可将病毒全部杀死，则1＋2＋22＋