人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案：4 3 2 第1课时 等比数列前n项和公式

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE14.3.2等比数列的前n项和公式第1课时等比数列前n项和公式学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)q≠1，,na1q＝1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1－anq,1－q)q≠1，,na1q＝1))知识点二等比数列前n项和的性质1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．1．等比数列前n项和Sn不可能为0.(×)2．若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.(√)3．若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝eq\f(1－an,1－a).(×)4．若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(√)一、等比数列前n项和公式的基本运算例1在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq\f(5,4)，求S5；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q.解(1)由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q＝30，,a11＋q＋q2＝155，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,q＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝180，,q＝－\f(5,6).))从而Sn＝eq\f(1,4)×5n＋1－eq\f(5,4)或Sn＝eq\f(1080×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))n)),11).(2)方法一由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝10，,a1q3＋a1q5＝\f(5,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,q＝\f(1,2)，))从而S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(31,2).方法二由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝eq\f(1,8)，从而q＝eq\f(1,2).又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(31,2).(3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根．从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＝64))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＝2，,a1＝64.))又Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)＝126，所以q＝2或eq\f(1,2).反思感悟等比数列前n项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，eq\f(a1,1－q)都可看作一个整体．(3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．跟踪训练1在等比数列{an}中．(1)若a1＝eq\r(2)，an＝16eq\r(2)，Sn＝11eq\r(2)，求n和q；(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.解(1)由Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)得，11eq\r(2)＝eq\f(\r(2)－16\r(2)q,1－q)，∴q＝－2，又由an＝a1qn－1得，16eq\r(2)＝eq\r(2)(－2)n－1，∴n＝5.(2)若q＝1，则S8＝2S4，不符合题意，∴q≠1，∴S4＝eq\f(a11－q4,1－q)＝1，S8＝eq\f(a11－q8,1－q)＝17，两式相除得eq\f(1－q8,1－q4)＝17＝1＋q4，∴q＝2或q＝－2，∴a1＝eq\f(1,15)或a1＝－eq\f(1,5)，∴an＝eq\f(1,15)·2n－1或－eq\f(1,5)·(－2)n－1.二、利用错位相减法求数列的前n项和例2求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,2n)))的前n项和．解设Sn＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(n,2n)，则有eq\f(1,2)Sn＝eq\f(1,22)＋eq\f(2,23)＋…＋eq\f(n－1,2n)＋eq\f(n,2n＋1)，两式相减，得Sn－eq\f(1,2)Sn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n＋1)，即eq\f(1,2)Sn＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))－eq\f(n,2n＋1)＝1－eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n＋1).∴Sn＝2－eq\f(1,2n－1)－eq\f(n,2n)＝2－eq\f(n＋2,2n)(n∈N*)．反思感悟错位相减法的适用范围及注意事项(1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．(2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．跟踪训练2已知等比数列{an}满足：a1＝eq\f(1,2)，a1，a2，a3－eq\f(1,8)成等差数列，公比q∈(0,1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)设等比数列{an}的公比为q，a1＝eq\f(1,2)，因为a1，a2，a3－eq\f(1,8)成等差数列，所以2a2＝a1＋a3－eq\f(1,8)，即得4q2－8q＋3＝0，解得q＝eq\f(1,2)或q＝eq\f(3,2)，又因为q∈(0,1)，所以q＝eq\f(1,2)，所以an＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq\f(1,2n).(2)根据题意得Sn＝1×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,22)＋…＋(2n－1)×eq\f(1,2n)，eq\f(1,2)Sn＝1×eq\f(1,22)＋3×eq\f(1,23)＋…＋(2n－3)×eq\f(1,2n)＋(2n－1)×eq\f(1,2n＋1)，两式相减得eq\f(1,2)Sn＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,22)＋…＋2×eq\f(1,2n)－(2n－1)×eq\f(1,2n＋1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1－\f(1,2n－1),1－\f(1,2))－(2n－1)×eq\f(1,2n＋1)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n－1)－eq\f(2n－1,2n＋1)，所以Sn＝3－eq\f(4,2n)－eq\f(2n－1,2n)＝3－eq\f(2n＋3,2n)，n∈N*.三、等比数列前n项和的性质例3(1)在等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，则S4＝________.(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝________.(3)若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝________.〖答案〗(1)28(2)2(3)eq\f(3,2)〖解析〗(1)∵数列{an}是等比数列，且易知公比q≠－1，∴S2，S4－S2，S6－S4也构成等比数列，即7，S4－7,91－S4构成等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.又S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2·(1＋q2)>0，∴S4＝28.(2)由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，∴S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝eq\f(S偶,S奇)＝2.(3)∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列，∴3－2k＝0，即k＝eq\f(3,2).延伸探究本例(3)中，若将条件改为“若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1＋5”，再求实数a的值．解由Sn＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1＋5，可得Sn＝3a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n＋5，依题意有3a＋5＝0，故a＝－eq\f(5,3).反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．跟踪训练3(1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于()A．8B．6C．4D．2〖答案〗C〖解析〗S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列．∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.(2)一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式．解设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(1,3).又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以aeq\o\al(3,1)·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为an＝12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1，n∈N*.1．在数列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，则数列{an}的前5项的和等于()A．－25B．25C．－31D．31〖答案〗D〖解析〗因为an＋1＝2an，且a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{an}的前5项的和为eq\f(25－1,2－1)＝31.2．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于()A.eq\f(1－xn,1－x) B.eq\f(1－xn－1,1－x)C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn,1－x)，x≠1且x≠0,n，x＝1)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn－1,1－x)，x≠1且x≠0,n，x＝1))〖答案〗C〖解析〗当x＝1时，Sn＝n；当x≠1且x≠0时，Sn＝eq\f(1－xn,1－x).3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于()A．3∶4 B．2∶3C．1∶2 D．1∶3〖答案〗A〖解析〗在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝eq\f(3,4)S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.4．已知在等比数列{an}中，a3＝eq\f(3,2)，S3＝eq\f(9,2)，则a1＝________.〖答案〗eq\f(3,2)或6〖解析〗方法一当q＝1时，a1＝a2＝a3＝eq\f(3,2)，满足S3＝eq\f(9,2).当q