人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案：4 3 1 第二课时 等比数列的性质及实际应用

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE1第二课时等比数列的性质及实际应用课标要求素养要求1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.通过推导等比数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.自主梳理1.推广的等比数列的通项公式{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1＝am·qn－m(m，n∈N*).2.“子数列”性质对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，公比为qk.3.常用等比数列的性质(1)如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N*)，则有am·an＝ak·al.(2)如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则有am·an＝aeq\o\al(2,k).(3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列.(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列.(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(bn,an)))，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为eq\f(1,q1)，q1q2，eq\f(q2,q1)，|q1|.(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….自主检验1.思考辨析，判断正误(1)知道等比数列的某一项和公比，可以计算等比数列的任意一项.(√)(2)若{an}为等比数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am·an＝ap.(×)〖提示〗∵{an}为等比数列，m＋n＝p，∴am·an＝a1qm－1·a1qn－1＝aeq\o\al(2,1)qm＋n－2.又知ap＝a1qp－1，∴am·an≠ap.(3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列.(×)〖提示〗反例：{an}为：1，－1，1，－1，…，{bn}为－1，1，－1，1，…，则{an＋bn}为：0，0，0，0，…，显然不是等比数列.(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列.(×)〖提示〗反例：1，3，2，6，4，12，…显然满足条件，但不是等比数列.2.(多选题)若数列{an}是等比数列，则下面四个数列中也一定是等比数列的有()A.{can}(c为常数) B.{an＋an＋1}C.{an·an＋1} D.{aeq\o\al(3,n)}〖答案〗CD〖解析〗当c＝0时，{can}不是等比数列，当数列{an}的公比q＝－1时，an＋an＋1＝0，不是等比数列；由等比数列的定义，选项CD中的数列是等比数列.3.在等比数列{an}中，a4＝6，a8＝18，则a12＝()A.24 B.30C.54 D.108〖答案〗C〖解析〗由aeq\o\al(2,8)＝a4a12得a12＝eq\f(aeq\o\al(2,8),a4)＝54.4.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________.〖答案〗eq\f(1,2)〖解析〗设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得eq\f(28,q)，28，28q石，∴eq\f(28,q)＋28＋28q＝98，∴q＝2或eq\f(1,2).又0<q<1，∴q＝eq\f(1,2).题型一等比数列性质的应用〖例1〗已知{an}为正项等比数列.(1)若a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.解(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.〖迁移1〗在例1(1)中，添加条件a1a7＝4，求an.解由等比数列的性质得a1a7＝a3a5＝4，又由例1(1)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1，若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n－3；若a3＝4，a5＝1，则q＝eq\f(1,2)，an＝25－n.〖迁移2〗把例1(2)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.解a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300，即a1a2a3…a10＝1，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0.思维升华巧用等比数列的性质解题(1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法.①基本思路：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解；②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁.(2)利用等比数列的性质解题①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.〖训练1〗(1)在等比数列{an}中，a6·a12＝6，a4＋a14＝5，则eq\f(a25,a5)＝()A.eq\f(9,4)或eq\f(4,9) B.eq\f(3,2)C.eq\f(3,2)或eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)或eq\f(9,4)(2)公差不为零的等差数列{an}中，2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.〖答案〗(1)A(2)16〖解析〗(1)由a6·a12＝a4·a14＝6，且a4＋a14＝5，解得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2，若a4＝2，a14＝3，则q10＝eq\f(3,2)，即eq\f(a25,a5)＝eq\f(9,4)；若a4＝3，a14＝2，则q10＝eq\f(2,3)，即eq\f(a25,a5)＝eq\f(4,9).(2)由a3＋a11＝2a7，且2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝0，得4a7－aeq\o\al(2,7)＝0得a7＝4(a7＝0不合题意，舍去)，所以b6b8＝beq\o\al(2,7)＝aeq\o\al(2,7)＝16.题型二等差数列与等比数列的综合问题〖例2〗已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值.解(1)设数列{an}的公差为d，由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＋2d＝8，,2a1＋4d＝12，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝2，))所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.(2)由(1)可得Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝eq\f(n（2＋2n）,2)＝n(1＋n).因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以aeq\o\al(2,k)＝a1Sk＋2，从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.思维升华解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用.(2)对于解答题注意基本量及方程思想.(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题.(4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系.〖训练2〗有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.解法一设四个数依次为a－d，a，a＋d，eq\f(（a＋d）2,a)，由条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－d＋\f(（a＋d）2,a)＝16，,a＋a＋d＝12.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,d＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝9，,d＝－6.))所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1.故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.法二设四个数依次为eq\f(2a,q)－a，eq\f(a,q)，a，aq(q≠0)，由条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2a,q)－a＋aq＝16，,\f(a,q)＋a＝12，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝8，,q＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,q＝\f(1,3).))当a＝8，q＝2时，所求四个数为0，4，8，16；当a＝3，q＝eq\f(1,3)时，所求四个数为15，9，3，1.故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.题型三等比数列的实际应用〖例3〗从盛满aL(a>1)纯酒精的容器中倒出1L，然后加满水，再倒出1L混合溶液后又用水加满，如此继续下去…，第n次操作后酒精的浓度是多少？若a＝2，则至少倒几次后才能使酒精浓度低于10%?解第一次倒出纯酒精1L，加水后，浓度为eq\f(a－1,a)，记为a1＝eq\f(a－1,a)；第二次倒出再加水后，浓度为eq\f(a－1－\f(a－1,a),a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,a)))eq\s\up12(2)，记为a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,a)))eq\s\up12(2)；……依次类推，第n次倒出再加水后，浓度为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,a)))eq\s\up12(n)，记为an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,a)))eq\s\up12(n).当a＝2时，由an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)<10%，得n≥4.即至少倒4次后酒精的浓度低于10%.思维升华对于一个实际问题，首先要弄清题目所含的数量关系，观察是否可以转化为等比数列问题，基本思路清晰后再着手解题.要注意：(1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型；(2)合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出未知元素；(3)针对所求结果作出合理解释.〖训练3〗某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元.(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.1.掌握解决