人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案：4 2 2 第二课时 等差数列前n项和的最值及应用

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE1第二课时等差数列前n项和的最值及应用课标要求素养要求能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.通过利用等差数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.新知探究公元前二千多年的巴比伦人就提出了等差数列问题，“十兄弟分银子”就是其中之一.有100两银子要分给10个兄弟，按年龄的不同分给不同的数量，老大要比老二多，老二要比老三多，依次类推，都相差一级，每一级相差数都一样，但不知是多少，只知道老八分到的银子是6两.问题每一级的差额是多少？〖提示〗设十兄弟所分得的银子从多到少依次为a1，a2，…，a10，易知其为等差数列，且a8＝6，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S10＝10a1＋\f(1,2)×9×10d＝100，,a8＝a1＋7d＝6，))解得a1＝eq\f(86,5)，d＝－eq\f(8,5).故每一级的差额是eq\f(8,5)两.1.前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.2.等差数列前n项和的最值d的符号决定Sn有最大值还是最小值(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))确定.(2)因为Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值，且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值.拓展深化〖微判断〗1.若等差数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)，则其最大值或最小值一定在n＝－eq\f(B,2A)取得.(×)〖提示〗只有当－eq\f(B,2A)是正整数时才成立.2.若等差数列{an}的公差d>0，则{an}的前n项和一定有最小值.(√)3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sp＝Sq(p，q∈N*)，则Sn在n＝eq\f(1,2)(p＋q)处取得最大值或最小值.(×)〖提示〗当eq\f(1,2)(p＋q)是正整数，即p＋q是偶数时结论才成立.〖微训练〗1.等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－3n，则其最小值为________.〖解析〗由Sn＝n2－3n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(3,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(9,4)，可知当n＝1或2时，Sn的最小值为－2.〖答案〗－22.设an＝14－3n，则数列{an}的前n项和Sn有最________(填“大”或“小”)值为________.〖解析〗由于a1＝11>0，d＝－3<0，所以Sn有最大值.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＝14－3n≥0，,an＋1＝14－3（n＋1）≤0，))得n＝4，则其最大值为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝11＋8＋5＋2＝26.〖答案〗大26〖微思考〗1.在等差数列{an}中，若a1＞0，d＞0或a1＜0，d＜0时，Sn能否取得最值？〖提示〗当a1＞0，d＞0时，Sn的最小值为a1，无最大值；当a1＜0，d＜0时，Sn的最大值为a1，无最小值.2.若数列{an}的通项公式为an＝2n－37，则当n为何值时Sn取得最小值？〖提示〗∵an＝2n－37，an＋1－an＝2＞0，∴{an}为递增数列.由an＝2n－37≥0，得n≥18.5.∴a18＜0，a19＞0，∴S18最小，即当n＝18时，Sn取得最小值.题型一等差数列前n项和最值问题的判断〖例1〗(多选题)在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N*)，则下列命题正确的是()A.若S3＝S11，则必有S14＝0B.若S3＝S11，则S7是{Sn}中的最大项C.若S7>S8，则必有S8>S9D.若S7>S8，则必有S6>S9〖解析〗根据等差数列的性质，若S3＝S11，则S11－S3＝4(a7＋a8)＝0，则a7＋a8＝0，S14＝eq\f(14（a1＋a14）,2)＝7(a7＋a8)＝0；根据Sn的图象，当S3＝S11时，对称轴是eq\f(3＋11,2)＝7，且d<0，那么S7是最大值；若S7>S8，则a8<0，且d<0，所以a9<0，所以S9－S8<0，即S8>S9；S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，即S6>S9，所以ABCD都正确.〖答案〗ABCD规律方法一般地，在等差数列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，则①若p＋q为偶数，则当n＝eq\f(p＋q,2)时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝eq\f(p＋q－1,2)或n＝eq\f(p＋q＋1,2)时，Sn最大.〖训练1〗设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15>0，S16<0，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))的前15项中最大的项是()A.第1项 B.第8项C.第9项 D.第15项〖解析〗S15＝eq\f(15（a1＋a15）,2)＝15a8>0，S16＝eq\f(16（a1＋a16）,2)＝8(a8＋a9)<0，故a8>0，a9<0，公差d<0，所以数列{an}是递减数列，所以a1，…，a8均为正，a9，…，an均为负，且S1，…，S15均为正，S16，…，Sn均为负，则eq\f(S1,a1)>0，eq\f(S2,a2)>0，…，eq\f(S8,a8)>0，eq\f(S9,a9)<0，eq\f(S10,a10)<0，…，eq\f(S15,a15)<0.又S8>S7>…>S1>0，a1>a2>…>a8>0，所以eq\f(S8,a8)>eq\f(S7,a7)>…>eq\f(S1,a1)>0，所以最大的项是eq\f(S8,a8)，即第8项.〖答案〗B题型二等差数列前n项和最值的计算〖例2〗设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＋a5＝1，S15＝75，Tn为数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前n项和.(1)求Sn；(2)求Tn及Tn的最小值.解(1)设数列{an}的公差为d.依题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＋a1＋4d＝1，,15a1＋\f(15×14,2)d＝75，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝1，))∴Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝－2n＋eq\f(n（n－1）,2)＝eq\f(n2－5n,2).(2)法一由(1)知Sn＝eq\f(n2－5n,2)，∴eq\f(Sn,n)＝eq\f(n－5,2).设bn＝eq\f(Sn,n)＝eq\f(n－5,2)，则bn＋1－bn＝eq\f(（n＋1）－5,2)－eq\f(n－5,2)＝eq\f(1,2)，∴数列{bn}是公差为eq\f(1,2)的等差数列，首项b1＝eq\f(S1,1)＝a1＝－2.又Tn为数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前n项和，∴Tn＝－2n＋eq\f(n（n－1）,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(n2－9n,4)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(9,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(81,16).∴当n＝4或n＝5时，(Tn)min＝－5.法二易知bn＝eq\f(n－5,2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn≤0，,bn＋1≥0，))解得4≤n≤5.故Tn的最小值为T4＝T5＝－5.规律方法求等差数列前n项和的最值的方法有：(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解；(2)通项公式法，求使an≥0(an≤0)成立时最大的n即可.〖训练2〗已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？解(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)法一∵a1＝9，d＝－2，Sn＝9n＋eq\f(n（n－1）,2)×(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，Sn取得最大值.法二由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤eq\f(11,2).∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.∴当n＝5时，Sn取得最大值.题型三等差数列求和的实际应用〖例3〗7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件.(1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行几天？解(1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N*，1≤n≤31)，最多售出ak件.由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ak＝3＋3（k－1），,ak－2（31－k）＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝13，,ak＝39，))∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件.(2)设Sn是数列{an}的前n项和，∵an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n，1≤n≤13，,65－2n，14≤n≤31，))∴Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(（3＋3n）n,2)，1≤n≤13，,273＋（51－n）（n－13），14≤n≤31.))∵S13＝273>200，∴当1≤n≤13时，由Sn>200，得12≤n≤13，当14≤n≤31时，日销售量连续下降，由an<20，得23≤n≤31，∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).规律方法应用等差数列解决实际问题的一般思路：〖训练3〗某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；(2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？解(1)由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列{an}，所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋(10－1)×40＝400.从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390.(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为S10＝eq\f(10×（40＋400）,2)＝2200，9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列{bn}，又b20＝390－10×19＝200，所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为T20＝eq\f(20×（390＋200）,2)＝5900，所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2200＋5900＝8100(人).一、素养落地1.通过学习等差数列前n项和最值的求法，提升数学运算素养，通过学习利用等差数列前n项和解决实际问题，提升数学建模素养.2.求等差数列前n项和最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.(2)通项法：当a1>0，d<0，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))时，Sn取得最小值.3.解决与等差数列有关的实际应用题时，要抓住其反映等差数列的特征，仔细审题，用心联想.要明确该问题是求an还是求Sn？要特别注意弄清项数是多少.二、素养训练1.设an＝2n－9，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为()A.4 B.5C.4或5 D.5或6〖解析〗由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0，))解得eq\f(7,2)≤n≤eq\f(9,2)，故n＝4.〖答案〗A2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝S12，则()A.S9最大 B.S10最大C.S9与S10相等且最大 D.以上都不对〖解析〗由于不能明确公差的符号，所以S9与S10相等可能是最大值也可能是最小值.〖答案〗D3.若在数列{an}中，an＝43－3n，则当Sn取最大值时，n＝()A.13 B.14C.15 D.14或15〖解析〗∵数列{an}中，an＝43－3n，∴a1＝40，∴Sn＝eq\f(n（40＋43－3n）,2)是关于n的二次函数，函数图象是开口向下的抛物线上的一些横坐标为正整数的点，对称轴为n＝eq\f(83,6)，又n为正整数，与eq\f(83,6)最接近的一个正整数为14，故Sn取得最大值时，n＝14.故选B.〖答案〗B4.《算法