人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册学案：4 1 第二课时 数列的递推公式

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE1第二课时数列的递推公式课标要求素养要求1.理解数列的递推公式是数列的表示方法的一种形式.2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法.通过由数列的递推公式归纳或者推导数列的通项公式，提升学生的数学运算素养和逻辑推理素养.新知探究历史上有一个有名的关于兔子的问题：假设有一对兔子(一雄一雌)，长两个月它们就算长大成年了.然后每个月都会生出1对兔子，生下来的兔子也都是长两个月就算成年，然后每个月也都会生出1对兔子.这里假设兔子不会死，且每次都是只生1对兔子.第一个月，只有1对兔子；第二个月，小兔子还没长成年，还是只有1对兔子；第三个月，兔子长成年了，同时生了1对小兔子，因此有两对兔子；第四个月，成年兔子又生了1对兔子，加上自己及上月生的小兔子，共有3对兔子；第五个月，成年兔子又生了1对兔子，第三月生的小兔子现在已经长成年了且生了1对小兔子，加上本身两只成年兔子及上月生的小兔子，共5对兔子；问题1过了一年之后，会有多少对兔子？〖提示〗我们可以把这些兔子的数量以对为单位列出数字就能得到一组数字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.所以，过了一年之后，总共会有233对兔子.问题2兔子的对数所组成的数列为1，1，2，3，5，8，13，…这个数列的第n项an，第n＋1项an＋1，第n＋2项an＋2有何关系？〖提示〗an＋an＋1＝an＋2.1.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.2.数列的前n项和(1)数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.(2)数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.3.an与Sn的关系式an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))拓展深化〖微判断〗1.数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N*，则a2＝2a1.(√)2.利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}.(×)〖提示〗只有给出a1的值，才可以确定数列{an}.3.设数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1.(×)〖提示〗an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))〖微训练〗1.已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋1，则数列的第5项a5＝________，由此归纳出{an}的一个通项公式为________，可以求得a8＝________.〖解析〗∵a1＝3，∴a2＝2a1＋1＝7，a3＝2a2＋1＝15，a4＝2a3＋1＝31，a5＝2a4＋1＝63，∴a5＝63.可以看出an＝2n＋1－1，∴a8＝29－1＝511.〖答案〗63an＝2n＋1－15112.设数列{an}的前n项和为Sn＝2n－3，则an＝________.〖解析〗当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－〖2(n－1)－3〗＝2，又a1＝S1＝2×1－3＝－1，故an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，n＝1，,2，n≥2.))〖答案〗eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，n＝1，,2，n≥2.))〖微思考〗1.利用数列的递推公式确定一个数列，必须给出哪些条件？〖提示〗(1)“基础”，即第1项(或前几项)；(2)递推关系，即递推公式.2.数列的递推公式与其通项公式有何异同？〖提示〗相同点不同点通项公式均可确定一个数列，求出数列中的任意一项给出n的值，可求出数列中的第n项an递推公式由前一项(或前几项)，通过一次(或多次)运算，可求出第n项an题型一由数列的递推公式求数列的项〖例1〗若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，n∈N*，求a2021.解a2＝eq\f(1＋a1,1－a1)＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3，a3＝eq\f(1＋a2,1－a2)＝eq\f(1－3,1＋3)＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1＋a3,1－a3)＝eq\f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)，a5＝eq\f(1＋a4,1－a4)＝eq\f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3))＝2＝a1，∴{an}是周期为4的数列，∴a2021＝a4×505＋1＝a1＝2.规律方法递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律.〖训练1〗(多选题)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－eq\f(1,an＋1)，能使an＝3的n可以为()A.22 B.24C.26 D.28〖解析〗由a1＝3，an＋1＝－eq\f(1,an＋1)，得a2＝－eq\f(1,4)，a3＝－eq\f(4,3)，a4＝3.所以数列{an}是周期为3的数列，故a22＝a28＝3.〖答案〗AD题型二由递推公式求数列的通项〖例2〗(1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N*，求通项an；(2)若数列{an}中各项均不为零，则有a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝an(n≥2，n∈N*)成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n)(n≥2，n∈N*)，求通项an.解(1)当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)a1＝1也符合上式，所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1，n∈N*.(2)当n≥2时，an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝1×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×…×eq\f(n－1,n)＝eq\f(1,n).a1＝1也符合上式，所以数列{an}的通项公式是an＝eq\f(1,n)，n∈N*.规律方法形如an＋1－an＝f(n)的递推公式，可以利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式；形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的递推公式，可以利用a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式.以上方法分别叫累加法和累乘法.〖训练2〗设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝________.〖解析〗法一(累乘法)：把(n＋1)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1an＝0分解因式，得〖(n＋1)an＋1－nan〗(an＋1＋an)＝0.∵an＞0，∴an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，∴eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(n－1,n)，∴eq\f(an,a1)＝eq\f(1,n).又∵a1＝1，∴an＝eq\f(1,n)a1＝eq\f(1,n).法二(迭代法)：同法一，得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，∴an＋1＝eq\f(n,n＋1)an，∴an＝eq\f(n－1,n)·an－1＝eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)·an－2＝eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)·eq\f(n－3,n－2)·an－3…＝eq\f(n－1,n)·eq\f(n－2,n－1)·eq\f(n－3,n－2)·…·eq\f(1,2)a1＝eq\f(1,n)a1.又∵a1＝1，∴an＝eq\f(1,n).法三(构造特殊数列法)：同法一，得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，∴(n＋1)an＋1＝nan，∴数列{nan}是常数列，∴nan＝1·a1＝1，∴an＝eq\f(1,n).〖答案〗eq\f(1,n)题型三由Sn与an的关系求an〖例3〗已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋eq\f(1,2)n，求这个数列的通项公式.解根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N*)，当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋eq\f(1,2)n－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（n－1）2＋\f(1,2)（n－1）))＝2n－eq\f(1,2)，①当n＝1时，a1＝S1＝12＋eq\f(1,2)×1＝eq\f(3,2)，也满足①式.∴数列{an}的通项公式为an＝2n－eq\f(1,2)，n∈N*.〖迁移1〗把例3中数列{an}的前n项和改为Sn＝n2＋eq\f(1,2)n＋1，求数列{an}的通项公式.解当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n2＋\f(1,2)n＋1))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（n－1）2＋\f(1,2)（n－1）＋1))＝2n－eq\f(1,2).①当n＝1时，a1＝S1＝12＋eq\f(1,2)＋1＝eq\f(5,2)不符合①式.∴an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，n＝1，,2n－\f(1,2)，n≥2，n∈N*.))〖迁移2〗把例3中数列{an}的前n项和改为Sn＝2n－1，求数列{an}的通项公式.解∵Sn＝2n－1，∴当n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1.当n＝1时，a1＝1符合上式，∴an＝2n－1.规律方法已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个〖解析〗式表示，不符合则分段表示.〖训练3〗已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋n＋3，求数列{an}的通项公式.解∵Sn＝2n2＋n＋3，∴当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋1＋3＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n＋3－〖2(n－1)2＋(n－1)＋3〗＝4n－1.当n＝1时，a1不符合上式，∴an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,4n－1，n≥2.))一、素养落地1.通过学习由数列的递推公式求数列的项或通项公式，提升逻辑推理素养和数学运算素养.2.由数列的递推公式求数列的通项公式的方法有：(1)归纳法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)迭代法.3.利用an与Sn的关系求通项所应用公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))注意其步骤有三：①求n＝1时的项，即a1；②求n≥2时an的表达式；③验证a1是否满足n≥2时的表达式.二、素养训练1.已知数列{an}中的首项a1＝1，且满足an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2n)，则此数列的第三项是()A.1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(5,8)〖解析〗由题知a2＝eq\f(1,2)×1＋eq\f(1,2)＝1，a3＝eq\f(1,2)×1＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).〖答案〗C2.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是()A.an＝an－1＋2(n≥2)B.an＝2an－1(n≥2)C.a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)D.a1＝2，an＝2an－1(n≥2)〖解析〗A，B中没有说明某一项，无法递推；D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意.〖答案〗C3.已知数列{an}中，an＋1＝2an对∀n∈N*成立，且a3＝12，则a1＝________.〖解析〗∵a3＝2a2＝12，∴a2＝6，a2＝2a1＝6，∴a1＝3.〖答案〗34.已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝eq\f(