高考数学一轮复习 第十一章 第1讲 两个基本计数原理配套限时规范训练 理 苏教版

第十一章计数原理第1讲两个基本计数原理分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有________个．解析可用排除法，由0,1,2,3可组成的四位数共有3×43＝192(个)，其中无重复的数字的四位数共有3Aeq\o\al(3,3)＝18(个)，故共有192－18＝174(个)．答案1742．(·长春市三测)现有4名教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一道题没有被这4位选中的情况有________种．解析首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为Ceq\o\al(3,4)，而后再将获得同一道题目的2位老师选出，选法为Ceq\o\al(2,4)，最后将3道题目，分配给3组老师，分配方式为Aeq\o\al(3,3)，即满足题意的情况共有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝144(种)．答案1443．某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)．解析其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列共9个位置上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是30×20×12＝7200.答案72004.(·汕头模拟)如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有________种．解析从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．答案4805．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，三个班去何工厂可自由选择，但甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有________种．解析三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43－33＝37(种)．答案376．(·全国卷改编)4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法有________种．解析分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程甲．共有Ceq\o\al(2,4)种不同选法，第二步给第3位同学选课程，有2种选法．第三步给第4位同学选课程，也有2种不同选法．故共有Ceq\o\al(2,4)×2×2＝24(种)．答案24二、解答题(每小题15分，共30分)7.如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有多少种？解先涂A、D、E三个点，共有4×3×2＝24(种)涂法，然后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：一类是B与E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8(种)涂法；另一类是B与E或D不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3(种)涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264(种)．8．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？解可将星期一、二、三、四、五分给5个人，相邻的数字不分给同一个人．星期一：可分给5人中的任何一人有5种分法；星期二：可分给剩余4人中的任何一人有4种分法；星期三：可分给除去分到星期二的剩余4人中的任何一人有4种分法；同理星期四和星期五都有4种不同的分法，由分步计数原理共有5×4×4×4×4＝1280(种)不同的排法．分层训练B级创新能力提升1．(·无锡调研)将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1＜N2＜N3的所有排列的个数是________(用数字作答)．解析由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,5)＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)＝4，由分步计数原理满足条件的排列个数是240.答案2402.(·盐城检测)数字1,2,3，…，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有________种．解析必有1、4、9在主对角线上，2、3只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5只有两种填法．对于5的每一种填法，6、7、8只有3种不同的填法，由分步计数原理知共有22×3＝12(种)填法．答案123．(·上海)从集合U＝{a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1)∅，U都要选出；(2)对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或A⊇B.那么，共有________种不同的选法．解析将选法分成两类．第一类：其中一个是单元素集合，则另一集合为含两个或三个元素且含有单元素集合中的元素，有Ceq\o\al(1,4)×6＝24(种)．第二类：其中一个是两个元素集合，则另一个是含有这两个元素的三元素集合，有Ceq\o\al(2,4)×2＝12(种)．综上共有24＋12＝36(种)．答案364．(·揭阳一中检测)用n个不同的实数a1，a2，…，an可得到n！个不同的排列，每个排列为一行写成一个n！行的数阵，对第i行ai1，ai2，…，ain，记bi＝－ai1＋2ai2－3ai3＋…＋(－1)nn·ain，i＝1,2,3，…，n！.例如：用1,2,3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1＋b2＋…＋b6＝－12＋2×12－3×12＝－24.那么，在用1,2,3,4,5形成的数阵中，b1＋b2＋…＋b120等于________．解析在用1,2,3,4,5形成的数阵中，每一列的和为(1＋2＋3＋4＋5)×Aeq\o\al(4,4)＝360，∴b1＋b2＋…＋b120＝－360＋2×360－3×360＋4×360－5×360＝－3×360＝－1080.答案－10805．(·扬州调研一)用n种不同的颜色为两块广告牌着色(如图甲、乙所示)．要求在①，②，③，④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色．(1)若n＝6，为甲着色时共有多少种不同的方法？(2)若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值．解完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为①，②，③，④这四个区域着色时各自的方法数，再利用分步乘法计数原理确定出总的着色种数，因此有：(1)为①区域着色时有6种方法，为②区域着色时有5种方法，为③区域着色时有4种方法，为④区域着色时有4种方法，∴依据分步(乘法)计数原理，不同的着色方法为6×5×4×4＝480(种)．(2)由题意知，为①区域着色时有n种方法，为②区域着色时有(n－1)种方法，为③区域着色时有(n－2)种方法，为④区域着色时有(n－3)种方法，由分步计数原理得不同的着色数为n(n－1)(n－2)(n－3)．∴n(n－1)(n－2)(n－3)＝120.而120＝5×4×3×2，∴n＝5.6．(·镇江调研二)已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？(2)若B中的元素0无原象，这样的f有多少个？(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？解(1)显然对应是一一对应的，即a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．(2)0无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．所以不同的f共有34＝81(个)．(3)分为如下四类：第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有Ceq\o\al(2,