2016-2017高三“三角函数”专题复习分析与指导(田正式版)

高三“三角函数”专题的复习分析与指导北京市第一0一中学田媛一、“三角函数”专题内容分析（一）“三角函数”专题知识体系的梳理1、地位与价值在教学中，三角函数是描述周期现象的重要数学模型，它具有十分重要的地位，由于其思考性、方法性、技巧性和目的性都较强，对于提高学生数学素养，培养学生思维能力都有很重要的作用。从三角函数的起源来看，三角函数起源于生活中的天文学，被广泛应用于解决航海通商问题，此后在自动控制、电子领域、工程领域等都有重要意义。从历年高考的情况来看，三角恒等变换、三角函数的图像和性质、正余弦定理与解三角形等都是高考的热点问题，并常与其他交汇以解答题的形式考查，难度适中。2、知识网络图3、核心知识①研究三角函数的概念、图像和性质，其突出特征是具有周期性的函数，尤其是正、余弦函数具有边界和零点；难点是函数的图像变换，的确定：；的确定：；的确定：；的确定：初始角，与平移单位有关.②三角恒等变换的综合应用，主要应用于两个方面：一是化简函数与三角函数的性质相结合；二是解三角形与正弦定理和余弦定理结合在平面几何图形中求解相关的几何量，解三角形就是有条件的恒等变换.（二）“三角函数”专题中研究的核心问题1、问题类型①三角函数的图像和性质综合问题，常涉及三角恒等变换、图像变换、周期性、单调性、对称性和最值等；②解三角形问题，只要涉及两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等；③三角函数性质与解三角形的综合问题，其本质是解决有条件的三角恒等变换问题，因此注意角的范围对变形过程的影响.2、问题研究与解决①三角函数求值与化简的常用方法：弦切互化：包括“切割化弦”、“齐次式化切”等；和积互化：包括“平方关系”、“降幂公式”和利用进行变形转化；巧用“1”的变换：②转化为与三角函数有关的基本类型：设，转化为一次函数；借助辅助角公式转化为；设，转化为二次函数（闭区间内）；设，则，转化为二次函数；，设，当时可用均值定理；③函数的奇偶性、对称性及图像变换对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定与函数零点有关；由的图像通过变换得到的图像有两种途径：“先平移后伸缩”或“先伸缩后平移”，可用“五点法”作为突破口.④通过三角恒等变换解决三角求值问题，做到三变：“变角——变名——变式”给角求值：关键是转化成特殊角或消去非特殊角；给值求值：现变同角再求值；给值求角：转化为“给值求值”，注意角的范围.⑤利用正、余弦定理解三角形的两种途径：“化边为角”通过三角恒等变换得出三角形内角之间的关系；“化角为边”通过解方程求边；都要注意三角函数值的符号与角的范围，防止出现增解、漏解.（三）“三角函数”专题蕴含的核心观点、思想和方法1、学生学习三角函数的主要困难（1）知识、技能方面：①解题时存在背景知识与技能的激活障碍；②解题时多知识点之间的联系存在障碍；③三角函数核心概念及方法理解有误.（2）方法、策略方面：①不能正确识别模式；②缺乏公式导致解题步骤增加，使可用的解题策略减少；③数形之间无法结合.（3）心理、习惯、态度方面：①解题差错无法自主发现；②方法知道但计算不对.2、三角函数知识的核心观点张景中院士认为，在数学课程中三角函数至关重要，它是几何与代数的一座桥梁，沟通初等数学与高等数学的一条通道，函数、向量、坐标、复数等许多重要数学知识与三角有关，大量实际问题的解决要用到三角知识.强调三角函数中的函数思想，三角函数已经不仅仅是解三角形的工具，而是一个重要的函数模型；数形结合解决三角函数的图形变换；加强三角函数的应用意识，特别是用于解三角形问题.3、核心思想方法与核心技能“三种思想”+“三个技能”：函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合思想；运算技能：对三角函数解析式的恒等变形以及转化为型函数的运算，正余弦定理公式的合理选择和化简运算等；作图技能：根据任务需求绘制相应要求精度的三角函数图象，五点法画图等；推理技能：依据三角函数解析式的结构进行推理判断运算方向，以及对三角形形状的判断二、“三角函数”专题的典型考题结构（一）近年北京高考题中三角函数考察的内容年份理科文科2016第7题：三角函数的图像和性质第15题：三角形中余弦定理、三角恒等变换第13题：三角形中正弦定理第16题：三角恒等变换、三角函数的性质2015第12题：三角形中三角函数第15题：正弦型函数性质第11题：解三角形第15题：正弦型函数性质2014第14题：正弦型函数图象性质第15题：解三角形第12题：解三角形第14题：正弦型函数图象性质2013第3题：正弦型函数图象性质第15题：解三角形第5题：解三角形第15题：恒等变形、正弦型函数图象性质、特殊角的函数值2012第11题：解三角形第15题：恒等变形、正弦型函数图象性质第11题：解三角形（姊妹题）第15题：同理科152011第9题：解三角形第15题：恒等变形、正弦型函数图象性质第9题：解三角形（姊妹题）第15题：同理科15试题特点：试题总体比较平稳，不管是位置还是考察的知识点和难度都是比较稳定的，高考降低了复杂的三角恒等变形公式的考察，回归到双基和通性通法的考察上，文科基本小题考察解三角形，大题就是用三角公式变形为正弦型函数，在讨论它的性质（特殊值、周期、值域）。理科2013、2014、2016年考察有些求变；小题考图象性质（灵活性增强）而大题考察解三角形，2011、2012、2015年考察双基和通性通法上。（二）海淀区三次统考中三角函数考察的内容第二次第三次第四次14、新定义、理解与应用三角函数的性质“友好”三角形7、分段函数、函数的奇偶性、两角和与差的正弦与余弦4、同角三角函数关系、三角恒等变换15、三角恒等变换（求周期）、三角函数的性质、运算能力（提斜公式）15、正弦定理、余弦定理、诱导公式、数学计算能力、等价转化能力15、三角恒等变换、三角函数的性质、运算能力、分析问题解决问题的能力（三）典型考题举例（近年北京高考文、理科真题）1、（2016北京理7）将函数y=sin（2x）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（A）A．t=，s的最小值为 B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为 D．t=，s的最小值为2、（2016北京理15）在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（B=）（Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．（1）3、（2016北京文13）在△ABC中，，a=c，则=___1______.4、（2016北京文16）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（）（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.（的单调递增区间为（））5、（2015年北京文11）在中，，，，则．（）6、（2015年北京文15）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（）（Ⅱ）求在区间上的最小值．（）7、（2015年北京理科12）在中，，，，则 ．（1）8、（2015年北京理科15）已知函数．(Ⅰ)求的最小正周期；（）(Ⅱ)求在区间上的最小值．9、（2014年北京文16）函数f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的部分图像如图所示．(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,12)))上的最大值和最小值．10、（2014·北京文12）在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝eq\f(1,4)，则c＝________；sinA＝________．11、（2014·北京理14）设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有单调性，且，则f(x)的最小正周期为_______．12、（2014·北京理15）如图1­2，在△ABC中，∠B＝eq\f(π,3)，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝eq\f(1,7).(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．13、（2013北京文5）在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝eq\f(1,3)，则sinB＝()A．eq\f(1,5)B．eq\f(5,9)C．eq\f(\r(5),3)D．114、（2013北京文15）已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋eq\f(1,2)cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且f(α)＝eq\f(\r(2),2)，求α的值．15、（2013北京理3）“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16、（2013北京理15）在△ABC中，a＝3，b＝2eq\r(6)，∠B＝2∠A．(1)求cosA的值；(2)求c的值．三、“三角函数”专题的教学目标的分析与定位（一）高考考试要求考试内容要求层次ABC三角函数任意角的概念和弧度制√弧度与角度的互化

√任意角的正弦、余弦、正切的定义√√诱导公式√同角三角函数的基本关系式√周期函数的定义、三角函数的周期性√函数，，的图象和性质√函数的图象√用三角函数解决一些简单的实际问题

√三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式√二倍角的正弦、余弦、正切公式√简单的恒等变换√解三角形正弦定理、余弦定理√解三角形√（二）数学核心素养的培养1、同角关系下的函数名的转化——“齐次式”化切的训练例1、已知为三角形的内角，且，则探究1：求探究2：求探究3：求探究4：求2、运用函数思想解决三角问题例2、①若，，则（C）A．B．C．D．②若，则与的大小关系（D）A．B．C．D．与的取值有关③已知函数，则的值为1④若函数的图像上存在两点，使函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质，下列函数具有T性质的是（A）A．B．C．D．⑤若函数，时单增，则的取值范围是（C）A．B．C．D．3、关注相位变换，研究的图像与性质例3、①若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为（B）A．B．C．D．②将函数的图像上的点向左平移个单位长度得到点，若位于函数的图像上则（A）A．B．C．D．③已知函数，为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值是（B）A．11B．9C．7D．5④已知，函数，在上是减函数，则的取值范围是4、三角恒等变换的一般步骤：变角——变名——变式例4、①若是偶函数，则__0__②函数的最大值（B）A．4B．5C．6D．7③1④设，，且，则5、解三角形及其应用例5、①在△ABC中，a2+c2=b2+ac．求cosA+cosC的最大值1．②在平行四边形ABCD中，，，求的取值范围是③在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（1）求证：；（2）求的最小值.（=）四、“三角函数”专题的教学实施建议（一）复习课时参考1、角的概念的推广及任意角的三角函数（1课时）2、同角基本关系式和诱导公式（1课时）3、两角和与差的正弦、余弦和正切（1课时）4、二倍角公式（1课时）5、三角函数的图象与性质（2课时）6、函数的图象及性质（1课时）7、利用正弦定理、余弦定理解三角形（1课时）8、三角函数综合（2课时）（二）教学建议及示范注：由李老师提供五、“三角函数”专题的教学资源2015——2016海淀区四次统考试题（三角部分）理科文科第一次5.已知函数，下列结论中错误的是A.B.函数的图像关于直线对称C.的最小正周期为D.的值域为6.“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.已知函数.若的图像向左平移个单位所得的图像与的图像向右平移个单所得图像位重合，则的最小值为