人教A版必修第一册高一数学2.1等式性质与不等式性质同步培优题典(含详细解析)

人教A版必修第一册高一数学2.1等式性质与不等式性质同步培优题典(原卷版)姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示()A．v≤120(km/h)或d≥10(m)B.C．v≤120(km/h)D．d≥10(m)2．已知0<a1<1，0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．M<N B．M>NC．M＝N D．M≥N3（2020·浙江高一课时练习）有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是，已知，，，则这四个小球由重到轻的排列顺序是（）．A． B． C． D．4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是()A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<15．（2020·内蒙古宁城高二期末（文））设a>b>0，c<d<0，则下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．（2020·安徽金安六安一中高一期中（文））已知二次函数的图象过原点，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．11．(多选)若<0，则下列结论中正确的是()A．a2<b2 B．ab<b2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|12．(多选)设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是()A. B．ac<bcC．a(b－c)>b(a－c) D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）6．给出四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.能推得成立的是________(填序号)．7．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.8．已知三个不等式①ab>0；②；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．13．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________．三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）9．已知a，b∈R，a＋b>0，试比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小．10．设x≥1，y≥1，证明x＋y＋＋xy.14．已知0<a<b且a＋b＝1，试比较：(1)a2＋b2与b的大小；(2)2ab与的大小．15．（2019·山东省泰安第四中学高一月考）若，(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：；(Ⅲ)在(Ⅱ)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.人教A版必修第一册高一数学2.1等式性质与不等式性质同步培优题典(解析版)姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示()A．v≤120(km/h)或d≥10(m)B.C．v≤120(km/h)D．d≥10(m)【答案】B【解析】最大限速与车距是同时的，故选B.2．已知0<a1<1，0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．M<N B．M>NC．M＝N D．M≥N【答案】B【解析】∵0<a1<1，0<a2<1，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N.3（2020·浙江高一课时练习）有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是，已知，，，则这四个小球由重到轻的排列顺序是（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】，，即．．又，．综上可得，．故选：A4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是()A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1【答案】A【解析】由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.5．（2020·内蒙古宁城高二期末（文））设a>b>0，c<d<0，则下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知a>b>0，c<d<0，,故A不正确；因为c<d<0，所以,故.故B正确。C不对。因为c<d<0，故,a>b>0,故,故D不对。故答案为：B。（2020·安徽金安六安一中高一期中（文））已知二次函数的图象过原点，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】二次函数的图像过原点，设二次函数为：，，，……①，……②，则3①+6②得：即，故选：B.11．(多选)若<0，则下列结论中正确的是()A．a2<b2 B．ab<b2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|【答案】ABC【解析】因为<0，所以b<a<0，所以b2>a2，ab<b2，a＋b<0，所以A、B、C均正确，因为b<a<0，所以|a|＋|b|＝|a＋b|，故D错误．故选A、B、C.12．(多选)设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是()A. B．ac<bcC．a(b－c)>b(a－c) D.【答案】ABC【解析】对于A，∵a>b>1，c<0，∴>0，∴，故A正确；对于B，∵－c>0，∴a·(－c)>b·(－c)，∴－ac>－bc，∴ac<bc，故B正确；对于C，∵a>b>1，∴a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)>0，∴a(b－c)>b(a－c)，故C正确；对于D，∵<0，a>b>0，∴，故D错误．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）6．给出四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.能推得成立的是________(填序号)．【答案】①②④【解析】，所以①②④能使它成立．7．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.【答案】＞【解析】a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0，故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4.8．已知三个不等式①ab>0；②；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．【答案】3【解析】①②⇒③，③①⇒②.(证明略)由②得，又由③得bc－ad>0，所以ab>0⇒①.所以可以组成3个正确命题．13．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________．【答案】3≤z≤8【解析】∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，∴z的取值范围是3≤z≤8.三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）9．已知a，b∈R，a＋b>0，试比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小．【解析】因为a＋b>0，(a－b)2≥0，所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)(a－b)(a＋b)＝(a－b)2(a＋b)≥0，所以a3＋b3≥ab2＋a2b.10．设x≥1，y≥1，证明x＋y＋＋xy.【解析】因为x≥1，y≥1，所以xy≥1，所以x＋y＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上面不等式中的右端减左端，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．因为x≥1，y≥1，xy≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．14．已知0<a<b且a＋b＝1，试比较：(1)a2＋b2与b的大小；(2)2ab与的大小．【解析】(1)因为0<a<b且a＋b＝1，所以0<a<<b，则a2＋b2－b＝a2＋b(b－1)＝a2－ab＝a(a－b)<0，所以a2＋b2<b.(2)因为2ab－＝2a(1－a)－＝－2a2＋2a－＝－2，所以2ab<.15．（2019·山东省泰安第四中学高一月考）若，(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：；(Ⅲ