高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第04讲 事件的相互独立性（原卷版）

第04讲10.2事件的相互独立性课程标准学习目标①理解两个事件相互独立的概念。②能进行一些与事件独立有关的概念的计算。③通过对实例的分析，会进行简单的应用。1.数学抽象：两个事件相互独立的概念；2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算；知识点01：相互独立事件的概念对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutuallyindependent)，简称为独立．性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立则：，，知识点02：相互独立事件概率的求法已知两个事件，相互独立，它们的概率分别为，，则有事件表示概率，同时发生，都不发生，恰有一个发生，中至少有一个发生或，中至多有一个发生或知识点03：互斥事件与相互独立事件的区别与联系相互独立事件互斥事件判断方法一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生，即概率公式事件与相互独立等价于事件与互斥，则题型01相互独立事件的判断【典例1】（2024上·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期末）设、是两个事件，以下说法正确的是（

）．A．若，则事件与事件对立B．若，则事件与事件互斥C．若，则事件与事件互斥且不对立D．若，则事件与事件相互独立【典例2】（多选）（2024上·山东潍坊·高二统考期末）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（

）A．A与D相互独立. B．A与B相互独立C．B与D相互独立 D．A与C相互独立【典例3】（多选）（2024上·广东佛山·高二统考期末）有个相同的球，分别标有数字、、、、，从中有放回的随机取两次，每次取个球．记事件为“第一次取出的球的数字是奇数”，事件为“两次取出的球的数字相同”，事件为“两次取出的球的数字之和是”，则（

）A．与相互独立 B．与相互独立C．与相互独立 D．与相互独立【变式1】（多选）（2024上·辽宁大连·高一期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（

）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁不相互独立【变式2】（多选）（2024上·江西吉安·高一统考期末）某人连续掷两次骰子，表示事件“第一次掷出的点数是2”，表示事件“第二次掷出的点数是3”．表示事件“两次掷出的点数之和为5”，表示事件“两次掷出的点数之和为9”．则（

）A．与相互独立 B．与相互独立C．与不相互独立 D．与不相互独立【变式3】（2024上·上海·高二上海市行知中学校考期末）已知事件与事件相互独立，且，，则.题型02相互独立事件与互斥事件【典例1】（2024上·全国·高三专题练习）已知，，，则事件与的关系是（

）A．与互斥不对立 B．与对立C．与相互独立 D．与既互斥又独立【典例2】（2023上·湖南益阳·高三统考阶段练习）给定事件，且，则下列结论：①若，且互斥，则不可能相互独立；②若，则互为对立事件；③若，则两两独立；④若，则相互独立.其中正确的结论有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【典例3】（多选）（2023下·高一单元测试）下列四个命题中错误的是（

）A．若事件A，B相互独立，则满足B．若事件A，B，C两两独立，则C．若事件A，B，C彼此互斥，则D．若事件A，B满足，则A，B是对立事件【变式1】（2023·全国·高三专题练习）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件，“两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与间的关系是（

）A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立【变式2】（2023上·高二单元测试）若，，，则事件与的关系是（

）A．事件与互斥 B．事件与对立C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立【变式3】（2023下·高一单元测试）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码的概率.题型03独立事件的乘法公式【典例1】（2024上·江西九江·高一九江一中校考期末）某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，则甲、乙、丙三个家庭中恰好有2个家庭回答正确这道题的概率为.【典例2】（2024上·江西上饶·高一校考阶段练习）某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.【典例3】（2023下·全国·高一校联考开学考试）甲、乙两位同学独立地参加某高校的入学面试，入学面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对每道题目的概率依次为，，，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.(1)求乙3道题都回答且通过面试的概率；(2)求甲没有通过面试的概率；(3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率.【变式1】（2024上·湖北十堰·高二统考期末）甲、乙、丙三人独立地解答一道试题，各人能答对的概率分别为，其中．(1)若，求这三人中恰有一人答对该试题的概率；(2)当这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，求这三人中至少有两人答对该试题的概率．【变式2】（2024上·江西赣州·高一统考期末）我省从2024年开始，高考不分文理科，实行“”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知某高校临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门．(1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率；(2)假设甲、乙两人每人选择任意1个选科组合是等可能的且相互独立，求这两人中恰好有一人的选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率．【变式3】（2023上·河南安阳·高一校联考期末）甲、乙两人在某商场促销活动中各自获得了两轮抽奖机会，每轮由甲、乙各自抽取一次，假设每次抽奖的结果互不影响，已知每轮抽奖中，甲中奖的概率为，两人同时中奖的概率为．(1)求甲在两轮抽奖中，恰好中一次奖的概率；(2)求两人在两轮抽奖中，共有三次中奖的概率题型04独立事件的实际应用【典例1】（2024上·全国·高三期末）为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（

）A． B． C． D．【典例2】（2024上·北京石景山·高一统考期末）已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.(1)求丙投篮命中的概率；(2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；(3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率.【典例3】（2023下·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）甲､乙､丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为.因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束.(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；(2)请帮助甲进行第一局的决策（甲乙､甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大.【变式1】（2024上·上海·高二同济大学第一附属中学校考期末）某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为．【变式2】（2024上·上海·高二上海中学校考期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.(1)重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；(2)依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号；②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明.【变式3】（2023上·广东清远·高二校考阶段练习）作为世界乒坛本赛季收官战，首届世界乒乓球职业大联盟世界杯总决赛年月日在新加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．(1)求该局打个球甲赢的概率；(2)求该局打个球结束的概率．题型05相互独立事件的综合应用【典例1】（2023·全国·模拟预测）连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，设“第1次正面朝上”为事件，“第2次反面朝上”为事件，“2次朝上结果相同”为事件，有下列三个命题：①事件与事件相互独立；②事件与事件相互独立；③事件与事件相互独立．以上命题中，正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例2】（2023上·广东佛山·高二华南师大附中南海实验高中校考期中）如图，三个元件，，正常工作的概率分别为，，，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路正常工作的概率是（

）

A． B． C． D．【典例3】（2023上·河南新乡·高二河南师大附中校考阶段练习）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”．丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁相互独立【变式1】（2023上·湖北·高二宜昌市一中校联考阶段练习）已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则（

）A． B． C． D．1【变式2】（2023上·北京·高三北京八中校考期中）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．则哪种方案能通过考试的概率更大（

）A．方案一 B．方案二 C．相等 D．无法比较【变式3】（2023上·山西大同·高三统考阶段练习）已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示.能听到声音，当且仅当A与B至少有一个正常工作，C正常工作，D与E中至少有一个正常工作.则听不到声音的概率为（

）

A．0.19738 B．0.00018 C．0.01092 D．0.09828A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024上·陕西渭南·高一校考期末）天气预报元旦假期甲地下雪的概率为0.6，乙地下雪的概率为0.3，假定这段时间内两地是否下雪相互独立，则这段时间甲、乙两地至少有一个下雪的概率为（

）A．0.18 B．0.72 C．0.28 D．0.122．（2024上·广东清远·高二统考期末）2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．某高校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节．考生甲通过三个科目的笔试考核的概率分别为，且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为（

）A． B． C． D．3．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）已知事件与事件互斥，且，则（

）A． B． C． D．4．（2024上·上海·高二校考期末）袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是（

）A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件5．（2024上·全国·高三专题练习）若，，，则事件A与的关系是（

）A．事件A与互斥 B．事件A与对立C．事件A与相互独立 D．事件A与既互斥又相互独立6．（2024上·四川宜宾·高二统考期末）袋子中装有4个大小质地完全相同的球，其中2个白球，2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球．记事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“两个球颜色相同”（

）A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B独立C．事件A与事件B对立 D．事件C包含事件7．（2024上·山东淄博·高二校考期末）甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（

）A． B． C． D．8．（2024上·广东汕尾·高二统考期末）若事件满足，，，则下列说法不正确的是（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2024上·山东潍坊·高二统考期末）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（

）A．A与D相互独立. B．A与B相互独立C．B与D相互独立 D．A与C相互独立10．（2024上·河南焦作·高一统考期末）一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和3个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，则（

）A．“摸到2个红球”与“摸到2个白球”是互斥事件B．“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”是对立事件C．“摸出的球颜色相同”的概率为D．“摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立三、填空题11．（2024上·山东潍坊·高二统考期末）针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗.已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为，，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为.12．（2024上·江西赣州·高一统考期末）已知，是相互独立事件，但不是互斥事件，若，，则事件的概率为．四、解答题13．（2024上·上海·高二上海南汇中学校考期末）某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示：(1)求该公司员工年龄的平均数和第百分位数；(2)从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由.14．（2024上·上海·高二统考期末）（1）骰子是每一面上分别标注数字圆点1，2，3，4，5，6且质地均匀的小正方体，常被用来做等可能性试验，习惯上总是观察朝上的面和点数，请写出下列随机试验的样本空间；①单次掷一颗骰子，观察点数；②先后掷两颗骰子，观察点数之和为7且第二次点数大于第一次点数的可能结果；（2）掷一颗骰子，用分别表示事件“结果是偶数”与事件“结果不小于3”.请验证这两个随机事件是否独立，并请说明理由.B能力提升1．（2024上·四川成都·高二统考期末）某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成.如图所示，部件是由元件A与元件组成的串联电路，已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率为，且元件工作是相互独立的.(1)求部件正常工作的概率；(2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大.已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的.现设计以下三种方案：方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；方案二：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；方案三：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联.则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？2．（2024上·广东珠海·高二统考期末）某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了积分制的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、其他延迟情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖30分、奖0分、扣30分、扣60分、根据大数据统计，评定为等级A，B，C的概率分别是，，．(1)若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率；(2)若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为0分的概率．3．（2024上·北京房山·高一统考期末）一个问题，甲正确解答的概率为，乙正确解