高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第03讲 总体取值规律的估计（解析版）

第03讲9.2.1总体取值规律的估计课程标准学习目标①掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法。②掌握用频率分布直方图估计总体。收集数据是为了寻找数据中蕴含的信息．因为实际问题中数据多而且杂乱，往往无法直接从原始数据中发现规律，所以需要根据问题的背景特点，选择合适的统计图表对数据进行整理和直观描述．在此基础上，通过数据分析，找出数据中蕴含的信息，就可以用这些信息来解决实际问题了．知识点1：频率分布表与频率分布直方图（1）频数与频率将一批数据按要求分为若干个组，各组内数据的个数叫做该组的频数.每组数据的频数除以全体数据的个数的商叫做该组数据的频率.频率反映各个小组数据在样本量中所占比例的大小.（2）样本的频率分布及频率分布表根据随机抽取的样本量的大小，分别计算某一事件出现的频率，这些频率的分布规律（取值状况）就叫做样本的频率分布.为了能直观地显示样本的频率分布情况，通常将样本量、样本中出现该事件的频数以及计算所得的相应频率列在一张表中，这张表叫做频率分布表.分组、频数、频率是频率分布表中最基本也是必要的三列，在实际操作中，每组的频数是通过类似统计选票时的“唱票”的方式进行统计的，所以通常频率分布表中还会有“频数累计”一列.【即学即练1】5．（2023·高一课时练习）张老师为了分析一次数学考试情况，全班抽了50人，将分数分成5组，第一组到第三组的频数10，23，11，第四组的频率为，那么落在第五组的频数是多少？频率是多少？全校300人中分数在第五组中的约有多少人？【答案】频数为2；频率为；人．【详解】频率是每一小组的频数与数据总数的比值，第四组的频率是，则第四组的频数是，所以第五组的频数为，频率为，所以全校300人中分数在第五组中的约有人．（3）用样本的频率分布估计总体的分布在实际应用中，总体分布可以为合理决策提供依据（总体分布描述的是总体在各个范围内个体的百分比).总体分布一般不好直接获得，往往通过样本的频率分布估计总体分布.用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法误区.（4）样本的频率分布直方图为了将频率分布表中的结果直观形象地表现出来，常画出频率分布直方图.画图时，应以横轴表示分组、纵轴表示各组频率与组距的比值，以各个组距为底，以各频率除以组距的商为高，画成小长方形，这样得到的直方图就是频率分布直方图.（5）绘制频率分布直方图的步骤及频率分布直方图的性质①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差．②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．③将数据分组．④列频率分布表．计算各小组的频率，第组的频率是eq\f(第i组频数,样本容量).⑤画频率分布直方图．其中横轴表示分组，纵轴表示eq\f(频率,组距).eq\f(频率,组距)实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度．知识点2：统计图表（1）条形统计图用单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来，这样的统计图称为条形统计图.优点：条形统计图不但可以直观地反映数据分布的大致情况，还可以清晰地表示出各个区间的具体数目，易于比较数据间的差别.缺点：会损失数据的部分信息且不能明确显示部分与整体的关系.（2）折线统计图建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应点，然后用直线段顺次连接相邻点，得到一条折线，用这条折线表示样本数据情况，这种表达和分析数据的统计图称为折线统计图.优点：折线统计图不但可以表示数量的多少，而且能够用折线的起伏清楚直观地表示数量的增减变化的情况.缺点：不能直观反映数据的分布情况且不适合总体分布较多的情况.（3）扇形统计图扇形统计图中，用整个圆面积代表总体，圆内的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形面积的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小.优点：扇形统计图可以很清楚地表示各部分与总体之间的关系，即扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比.缺点：会丢失部分数据信息且不适合总体中部分较多的情况.【即学即练2】（2022·高一课前预习）某厂生产一种产品，图①是该厂第一季度三个月产量的统计图，图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图，统计员在制作图①，图②时漏填了部分数据．根据上述信息，回答下列问题：(1)该厂第一季度________月的产量最高．(2)该厂一月份产量占第一季度总产量的________%.(3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为98%.请你估计：该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品？(写出解答过程)【答案】(1)三(2)30%(3)4900【详解】（1）由条形图可知，三月的产量最高（2）该厂一月份产量占第一季度总产量的1－38%－32%＝30%.（3）该厂共生产(1900÷38%)＝5000件产品．因为合格率为98%，所以合格产品有5000×98%＝4900题型01列频率分布表、绘制频率分布直方图和频率分布折线图【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）下面是2016年我国部分主要城市的年平均气温（单位：℃）：城市年平均气温城市年平均气温城市年平均气温城市年平均气温北京13.8上海17.6武汉17.3昆明15.8天津13.8南京16.8长沙17.5拉萨9.5石家庄14.6杭州18.2广州21.9西安（泾河）15.8太原11.2合肥17.0南宁22.3兰州（皋兰）8.2呼和浩特7.1福州21.0海口24.6西宁6.6沈阳8.8南昌19.0重庆（沙坪坝）19.5银川10.7长春6.6济南15.4成都（温江）16.8乌鲁木齐8.4哈尔滨5.0郑州16.4贵阳15.3(1)将以上数据进行适当分组，并画出相应的频率分布直方图．(2)以上各城市年平均气温在，，，中，哪一个范围的最多？【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）由题意得，频率分布表如下：温度频数频率频率/组距，80.2580.051650.1610.0322140.4520.090440.1290.0258频率分布直方图如图：

（2）由图可知以上各城市年平均气温在的最多．【典例2】（2023·全国·高一课堂例题）下面是某城市公共图书馆在一年中通过随机抽样调查得到的60天读者借书量（单位：册），并排序如下：213

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584为估计图书馆每天借书量的分布情况，以便合理安排工作人员，试根据以上数据制作一个频率分布表以帮助分析．【答案】答案见解析【详解】（1）计算极差（即一组数据中最大值与最小值的差）样本数据中最小值是213，最大值是584．它们的极差是371．（2）确定组距和组数这60个数据散布在闭区间中．为了分组的方便，我们取一个略大的区间，然后将该区间分成若干组．若取组距为50，那么组数，因此可以将数据分为8组．（3）将数据分组将八等分，所分八组为：，，，，，，，．（4）列频率分布表当样本量是的观测数据中有个落入第组时，我们称是第组的频率．计算出数据落入各组中的频率为，，…，，列出频率分布表，如下表所示．分组发生天数（频数）频率321214121133总计60上表体现了样本数据落在各个小组的比例大小，从中可以看到，借书量在内的天数最多，在和内的天数次之，大部分借书量集中在之间．【典例3】（2023·全国·高一专题练习）有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：分组频数711154049412017(1)列出样本的频率分布表；(2)画出样本的频率分布直方图和折线图；(3)求样本数据不足0的频率.【答案】(1)频率分布表见解析(2)频率分布直方图和折线图见解析(3)0.365【详解】（1）解：根据表中数据，频率分布表如下：分组频数频率70.035110.055150.075400.200490.245410.205200.100170.085合计2001（2）解：结合频率分布表得直方图与折线图如下：（3）解：样本数据不足0的频率为.【典例4】（2023·全国·高一专题练习）有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：，6；，16；，18；，22；，20；，10；，8．(1)列出样本的频率分布表；(2)绘制频率分布直方图和频率折线图．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）根据已知数据，各段的频数依次为：6,16,18,22,20,10,8.所以各段的频率依次为：0.06,0.16,0.18,0.22,020,0.10,0.08,得到频率分布表如下：分组频数频率60.06160.16180.18220.22200.20100.1080.08合计1001（2）各段的频率/组距的值依次为：,,,,,,,∴频率直方图和折线图如图所示：【变式1】（2023·全国·高一课堂例题）某校高一年级共有450名男生，为了解他们的身高情况，从中随机抽查了50名学生，测得他们的身高数据（单位：cm）如下：151

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183(1)列出频率分布表并画出频率分布直方图；(2)估算该年级身高在内的男生人数；(3)估算该年级身高在170cm以下的男生人数．【答案】(1)答案见解析(2)126（人）(3)207（人）【详解】（1）这组数据的最大值为183，最小值为151，极差为32．为分组的方便，取略大的身高范围，同时取组距为5，分为7组．计算相应的分组频率，就得到下面的频率分布表．身高分段发生次数频率228111494总计50绘制频率分布直方图，如图．

（2）由频率分布表和频率分布直方图可以估计，总体中约有的男生身高在内．由于全年级共有450名男生，所以该年级身高在内的男生大约有（人）．（3）样本中身高在170cm以下的男生所占比例约为，所以该年级身高在170cm以下的男生大约有（人）．【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）某公司下属40个企业的年度销售收入数据（单位：万元）如下：某企业的年度销售收入为127万元，该企业的业绩是好还是差？【答案】年销售收入为127万元的企业业绩还是比较好的【详解】这就要看127在全部40个数据中所处的位置.为此，可以将这40个数据按每10（万）为一档（称为组距），用频率分布表表示如下：分组频数频率20.0530.07590.225120.370.17540.120.0510.025合计401从频率分布表可以看出，127位于一档，此档及比它高的档中的数据共14个，而低于这一档的数据有26个，故年销售收入为127万元的企业业绩还是比较好的.我们还可以将此表“直观化”，作出频数直方图.

频数直方图既能够反映分布状况，又可以表示变化趋势.【变式3】（2023·全国·高一专题练习）某校从高三学生中选取了50名学生参加数学质量检测，成绩（单位：分）分组及各组的频数如下：，2；，3；，10；，15；，12；，8．(1)列出频率分布表；(2)画出频率直方图及频率折线图．【答案】(1)表见解析(2)图见解析【详解】（1）解：频率分布表如下：分组频数频率20.0430.06100.20150.30120.2480.16合计501（2）频率直方图及频率折线图如图所示．【变式4】（2023下·全国·高一专题练习）美国历届总统中，就任时年龄最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年龄最大的是特朗普，他于2016年就任，当时70岁．下面按时间顺序（从1789年的华盛顿到2016年的特朗普，共45任）给出了历届美国总统就任时的年龄．57

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70(1)制作频率分布表，并绘制频率分布直方图和频率分布折线图；(2)描述历届美国总统就任时年龄的分布情况．【答案】(1)答案见解析(2)历届美国总统就任时年龄的范围集中在附近，年龄特别小或特别大的人数都比较少．【详解】（1）解：以4为组距，列频率分布表如下：分组频数频率[42,46)20.0444[46,50)70.1555[50,54)80.1778[54,58)160.3556[58,62)50.1111[62,66)40.0889[66,70)30.0667合计451.0000频率分布直方图及频率分布折线图如下：（2）结合（1）历届美国总统就任时年龄的范围集中在附近，年龄特别小或特别大的人数都比较少.题型02频率分布直方图的应用【典例1】（2023上·北京·高二中关村中学校考期中）某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计､发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数是（

）

A．30 B．45 C．60 D．100【答案】C【详解】由题意得，，解得，则学生成绩在区间的频率为，由共抽取200名学生，则成绩在区间的学生数为.故选：C.【典例2】（多选）（2023下·浙江舟山·高二统考期末）舟山某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（

）

A．B．该样本数据的中位数和众数均为85C．若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本我们认为该校食堂需要整改D．为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在的学生4人【答案】ACD【详解】由直方图可知：，A正确；设中位数为，则，即中位数为（分），B错误；平均分，故C正确；组有（人），同理组有15（人），组有20（人），根据分层抽样的原理，从组抽取的人数为（人），D正确；故选：ACD.【典例3】（2023上·全国·高一专题练习）某单位名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布图如图所示，下表是年龄的频率分布表.区间人数20(1)补全表格中的数据（不需要写过程）；(2)现要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取6人，求从第组分别抽取的人数；【答案】(1)答案见解析；(2)年龄第组人数分别是1人，1人，4人；【详解】（1）由频率分步直方图可知，，两组的人数与组的人数相等，均为人，第3组的人数是第一组人数的4倍，为人，第4组的人数是第一组人数的3倍，为人所以，表格中的数据为：第2组的人数为20人，第3组的人数为80人，第4组的人数为60人，第5组的人数为20人.（2）由频率分布表和频率分布直方图知：第1组的频率为，第2组的频率为，第3组的频率为，第组的人数比为，要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取6人，所以，年龄第组人数分别是1人，1人，4人.【典例4】（2023下·河北衡水·高一河北武强中学校考期末）杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人，高三180人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取120名．对抽出的120名同学某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在39.5至99.5分钟之间，其频率分布直方图如下：

(1)需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人；(2)请补全频率分布直方图．【答案】(1)高一抽取60人，高二抽取40人，高三抽取20人(2)答案见解析【详解】（1）报名的学生共有1080人，抽取的比例为，所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人；（2）第三组的频率为，故第三组的小矩形的高度为，补全频率分布直方图得

【变式1】（2023上·四川雅安·高三校联考期中）某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在的人数为10，则（

）

A．60 B．80 C．100 D．120【答案】C【详解】由图可知，，解得，则成绩在的频率为，由，得.故选：C【变式2】（2023下·陕西宝鸡·高一宝鸡中学校考阶段练习）某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩大于13.25秒的频率是.

【答案】0.63/【详解】由频率分布直方图中各矩形面积之和为1，可得，解得，故体能测试成绩大于13.25秒的频率是，故答案为：0.63【变式3】（2023下·浙江绍兴·高二统考期末）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩(单位:分)绘制成频率分布直方图，如图所示，成绩不低于85分的人数有人.

【答案】9【详解】由频率分布直方图的频率和为1，可得：，解得：.故成绩不低于85分的人的频率为，所以成绩不低于85分的人数有.故答案为：9.【变式4】（2023上·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x的值；(2)在被调查的用户中，求用电量落在区间内的户数；【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由频率分布直方图，可得：，解得.（2）解：由频率分布直方图中的数据，可得用电量落在区间内的频率为：，所以用电量落在区间内的户数为.题型03条形统计图的应用【典例1】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）如图是国家统计局发布的2022年5月至2023年5月全国煤炭进口走势图，每组数据中的增速是与上一年同期相比的增速，则图中X的值约为（

）A．90.2 B．90.8 C．91.4 D．92.6【答案】D【详解】由题得增速，故.故选：D.【典例2】（多选）（2023上·湖南·高二邵阳市第二中学校联考阶段练习）为了解各种APP的使用情况，将使用人数排名前5的数据整理得到如下的柱状图，则（

）A．APP使用人数最多的是微信B．微信APP的使用人数超过今日头条APP的使用人数的2倍C．微信APP的使用人数超过今日头条APP与快手APP的使用人数之和D．抖音APP的使用人数大于快手APP的使用人数的125%【答案】AD【详解】对于A中，根据数据的柱状图，可得APP使用人数最多的是微信，所以A正确；对于B中，微信APP的使用人数占7格，今日头条APP的使用人数占近4格，所以微信APP的使用人数小于今日头条APP的使用人数的2倍，所以B错误；对于C中，微信APP的使用人数占7格，今日头条APP的使用人数占近4格，快手APP的使用人数占4格，所以微信APP的使用人数小于今日头条APP与快手APP的使用人数之和，所以C错误；对于D中，抖音APP的使用人数占5格多，快手APP的使用人数占4格，则快手APP的使用人数的等于5格，所以抖音APP的使用人数大于快手APP的使用人数的，所以D正确.故选：AD.【典例3】（多选）（2023·湖北·高二统考学业考试）随着我国高水平对外开放持续提速，2022年货物进出口再创新高，首次突破42万亿元．根据下图判断，下列说法正确的是（

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A．从2018年开始，货物进口额逐年增大B．从2018年开始，货物进出口总额逐年增大C．从2018年开始，2020年的货物进出口总额增长率最小D．从2018年开始，2021年的货物进出口总额增长率最大【答案】BCD【详解】由图可知年的货物进口额小于年的货物进口额，故A错误；年货物进出口总额为，年货物进出口总额为，年货物进出口总额为，年货物进出口总额为，年货物进出口总额为，所以从年开始，货物进出口总额逐年增大，故B正确；其中年的货物进出口总额增长率为，年的货物进出口总额增长率为，年的货物进出口总额增长率为，年的货物进出口总额增长率为，所以从年开始，年的货物进出口总额增长率最小，故C正确；从年开始，年的货物进出口总额增长率最大，故D正确；故选：BCD【变式1】（2023下·四川宜宾·高二统考期末）下图是我国2012-2018年眼镜及其零件出口金额柱状图及同比增速折线图，则下列说法正确的是（

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A．2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额逐年增加B．2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额的极差为16.41C．2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速逐年减少D．2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速最大的是2013年【答案】D【详解】根据出口金额柱状图及同比增速折线图，可看出我国眼镜及其零件出口金额在2016年出现减少，选项A错误；2012年至2018年我国眼镜及其零件出口金额的极差为，选项B错误；2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速先减少，再增加，后又减少，选项C错误；从图中可知，2013年至2018年我国眼镜及其零件出口金额同比增速最大的是2013年，为，选项D正确.故选：D【变式2】（多选）（2023上·全国·高三专题练习）（多选）人口普查是当今世界各国广泛采用的搜集人口资料的一种最基本的科学方法，根据人口普查的基本情况制定社会、经济、科教等各项发展政策.截至2022年6月，我国共进行了七次人口普查，下图是这七次人口普查的城乡人口数和城镇人口比重情况，下列说法正确的是（）A．乡村人口数逐次增加B．历次人口普查中第七次普查城镇人口最多C．城镇人口数逐次增加D．城镇人口比重逐次增加【答案】BCD【详解】对于A，根据题中条形图，知乡村人口数在前四次普查中逐次增加，在后三次普查中逐次减少，故A不正确；对于B，从题中条形图，知在历次人口普查中第七次普查城镇人口最多，故B正确；对于C，根据题中条形图，知城镇人口数逐次增加，故C正确；对于D，从题中折线图对应的数据可得，七次人口普查中城镇人口比重依次为13.26，18.30，20.91，26.44，36.22，49.68，63.89，可知城镇人口比重逐次增加，故D正确.故选:BCD.【变式3】（多选）（2023下·河北石家庄·高三校联考期中）恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，它在一定程度上可以用来反映人民生活水平．恩格尔系数的一般规律：收入越低的家庭，恩格尔系数就越大；收入越高的家庭，恩格尔系数就越小．国际上一般认为，当恩格尔系数大于0.6时，居民生活处于贫困状态；在0.5-0.6之间，居民生活水平处于温饱状态；在0.4-0.5之间，居民生活水平达到小康；在0.3-0.4之间，居民生活水平处于富裕状态；当小于0.3时，居民生活达到富有．下面是某地区2022年两个统计图，它们分别为城乡居民恩格尔系数统计图和城乡居民家庭人均可支配收入统计图，请你依据统计图进行分析判断，下列结论错误的是（

）

A．农村居民自2017年到2021年，居民生活均达到富有B．近五年城乡居民家庭人均可支配收入差异最大的年份是2020年C．城乡居民恩格尔系数差异最小的年份是2019年D．2022年该地区城镇居民和农村居民的生活水平已经全部处于富有状态【答案】ABD【详解】对于A项，由图1可知2021年农村居民的恩格尔系数为0.316，居民生活水平处于富裕状态，故A项错误；对于B项，根据图2计算出的2017至2021年近五年城乡居民家庭人均可支配收入差分别为37270元，38344元，39285元，40360元，40915元，差异最大的年份是2021年，故B项错误；对于C项，根据图1计算出的2017至2021年近五年城乡居民恩格尔系数差（%）分别为5.6，4.3，3.9，4.3，5.5，差异最小的年份是2019年，故C项正确；对于D项，根据给出的数据不足以判断是否正确，故D项错误．故选：ABD.题型04折线统计图与扇形统计图的应用【典例1】（2023上·四川攀枝花·高二统考期末）2022年第24届冬奥会在北京和张家口成功举办，出色的赛事组织工作赢得了国际社会的一致称赞，经济效益方面，得到的数据如图所示．已知赛事转播的收入比政府补贴和特许商品销售的收入之和多27亿元，则估计2022年冬奥会这几项收入总和约为（

）

A．118亿元 B．143亿元 C．218亿元 D．223亿元【答案】C【详解】设2022年冬奥会收入的总和大约为亿元，由于赛事转播的收入比政府补贴和特许商品销售的收入之和多27亿元，故，解得（亿元）．故选：C．【典例2】（多选）（2023上·四川成都·高二统考期中）2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中正确的是（

）A．2017-2021年全国居民人均可支配收入逐年递增B．2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降C．2021年全国居民人均消费支出24000元D．2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过【答案】AC【详解】对于A，由图可知，年全国居民人均可支配收入分别为25974元，28228元，30733元，32189元，35128元，逐年递增，选项A正确；对于B，根据条形图知，2020年全国居民人均可支配收入较前一年是上升的，选项B错误；对于C，根据扇形图知，2021年全国居民人均消费支出为：元，选项C正确；对于，2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比：，选项D错误．故选：AC．【典例3】（多选）（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如图甲、乙所示统计图，下列说法中正确的是（

）A．2017～2021年全国居民人均可支配收入逐年递增B．2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降C．2021年全国居民人均消费支出24100元D．2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比不足【答案】ACD【详解】对于A，由图可知，2017～2021年全国居民人均可支配收入分别为25974元，28228元，30733元，32189元，35128元，逐年递增，故A正确；对于B，根据条形图知，2020年全国居民人均可支配收入较前一年是上升的，故B错误；对于C，根据扇形图知，2021年全国居民人均消费支出为：元，故C正确；对于D，2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比：，故D正确，故选:ACD.【典例4】（2023下·山西晋中·高一校考阶段练习）某制造商为运动会生产一批直径为40mm的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径（单位：mm，保留两位小数）如下：40.02

40.00

39.98

40.00

39.9940.00

39.98

40.01

39.98

39.9940.00

39.99

39.95

40.01

40.0239.98

40.00

39.99

40.00

39.96(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；分组频数频率合计

(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02mm为合格品，若这批乒乓球的总数为10000只，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格只数.【答案】(1)图表见详解(2)9000【详解】（1）频率分布表如下：分组频数频率20.10540.2010100.502540.2010合计201.0050频率分布直方图、频率分布折线图如图所示．

（2）因为抽样的20只产品中在范围内的有18只，所以合格率为．所以根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格只数为9000．【变式1】（2023·全国·模拟预测）某校为了将双减工作落到实处，加强了学校的社团建设，组建了篮球、乒乓球、羽毛球、合唱、朗诵五个社团，学校要求某年级每名同学根据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个．根据同学们的选择，绘制成的各个社团的人数比例的扇形图如图．现从这些同学中抽出200人进行调查，已知张同学选的是篮球，李同学选的是乒乓球，则下列说法不正确的是（

）

A．该问题中的样本容量为200B．采用分层抽样，李同学被抽到的可能性比张同学的大C．采用分层抽样比简单随机抽样更合理D．采用分层抽样，羽毛球社团和合唱社团应分别抽取54人和20人【答案】B【详解】由题意可知，该问题中的样本容量为200，故A不符合题意；采用分层抽样法抽样，李同学与张同学被抽到的可能性一样大，故B符合题意；由题图知，同学们选择各社团的差异性比较大，则采用分层抽样更合理，故C不符合题意；羽毛球社团应抽取的人数为，合唱社团应抽取的人数为，故D不符合题意．故选：B．【变式2】（多选）（2023上·山东潍坊·高一山东省高密市第一中学校考开学考试）年月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中生每天的书面作业时间不得超过分钟．某校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果制成如下不完整的统计图表．则下列说法正确的是（）

作业时间频数分布表组别作业时间（单位：分钟）频数A．调查的样本容量为B．频数分布表中的值为C．若该校有名学生，作业完成的时间超过分钟的约人D．在扇形统计图中组所对的圆心角是【答案】ABC【详解】对于A选项，由扇形统计图和频数分布表可知，调查的样本容量为，A对；对于B选项，由表格中的数据可得，B对；对于C选项，若该校有名学生，作业完成的时间超过分钟的人数约为人，C对；对于D选项，在扇形统计图中组所对的圆心角是，D错.故选：ABC.【变式3】（2023上·高一课时练习）下图是根据某市3月1目至3月10日的最低气温（单位：）的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市3月1日至3月10日最低气温（单位：℃）的扇形统计图．

【答案】答案见解析【详解】该城市3月1日至3月10日的最低气温（单位：）情况如下表：日期12345678910最低气温012022其中最低气温为的有1天，占，最低气温为的有1天，占，最低气温为的有2天，占，最低气温为的有2天，占，最低气温为的有1天，占，最低气温为的有3天，占.扇形统计图如图所示．

【变式4】（2023下·高二单元测试）有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：分组频数711154049412017分组频数频率合计(1)列出样本的频率分布表；(2)画出样本的频率分布直方图和折线图；(3)求样本数据不足0的频率．【答案】(1)频率分布表见解析(2)频率分布直方图和折线图见解析(3)0.365【详解】（1）根据表中数据，频率分布表如下：70.035110.055150.075400.200490.245410.205200.100170.085合计2001（2）结合频率分布表得直方图与折线图如下：（3）样本数据不足0的频率为．A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024上·天津南开·高三统考期末）某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则的值为（

）A．0.02 B．0.2 C．0.04 D．0.4【答案】A【分析】根据题意结合频率和为1列式求解.【详解】由频率分布直方图可知：每组频率依次为，则，解得.故选：A.2．（2024上·陕西汉中·高一南郑中学校联考期末）在统计学中，同比增长率一般是指和上年同期相比较的增长率.如图为我国2021年2月至12月及2022年3月至12月的原油产量同比增长率，则下列叙述正确的是（

）A．2022年8月的原油产量低于2021年8月的原油产量B．2021年9月至2021年12月的原油产量呈逐月下降趋势C．2022年3月至2022年11月，原油产量同比增长率最高的月份是6月D．2022年3月至2022年11月的原油产量同比增长率的平均数不超过2.5%【答案】A【分析】求得2022年8月的原油产量与2021年8月的原油产量的关系判断选项A；求得2021年9月至2021年12月的原油产量的变化趋势判断选项B；求得2022年3月至2022年11月，原油产量同比增长率最高的月份判断选项C；求得2022年3月至2022年11月的原油产量同比增长率的平均数判断选项D.【详解】A选项，2022年8月的原油产量同比增长率为负数，说明2022年8月原油产量低于2021年8月，故A正确；B选项，2021年9月至2021年12月的原油产量的同比增长率呈逐月下降趋势，但均大于0，则原油产量依然可能会增加，故B错误；C选项，2022年4月的原油产量同比增长率最高，故C错误；D选项，因为，所以2022年3月至2022年11月的原油产量同比增长率的平均数约为2.7%，故D错误.故选：A.3．（2024上·天津河西·高三统考期末）某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物.为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：cm）均在区间内，按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”.则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（

）A．20 B．40 C．60 D．80【答案】C【分析】根据频率分布直方图求出高度不低于16cm的频率，再乘以即可得解.【详解】高度不低于16cm的频率为，所以“优质苗”株数为.故选：C.4．（2024上·北京西城·高一期末）给出如图所示的三幅统计图及四个命题：①从折线图能看出世界人口的变化情况；②2050年非洲人口将达到大约15亿；③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢.其中命题正确的有（

）A．①② B．①③ C．①④ D．②④【答案】B【解析】根据所给折线图、扇形图及条形图,可依次判断各选项.【详解】①从折线图中能看出世界人口的变化情况,故①正确；②从条形图中可得到2050年非洲人口大约将达到18亿,故②错；③从扇形图中能够明显地得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多,故③正确；④由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢,故④错误.因此正确的命题有①③.故选:B.5．（2024·全国·高三专题练习）为了解某小区户主对楼层的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取40%的户主进行调查，已知该居民小区户主人数和户主对楼层的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的低层户主中满意的人数分别为（

）．A．240，32 B．320，32 C．240，80 D．320，80【答案】B【分析】根据图1得到小区的人数，结合图2，求得抽取的低层户主中满意的人数，得到答案.【详解】由图1所示，可得小区共有（人），则样本容量为（人）．低层户主共有400人，满意率为20%，故抽取的低层户主中满意的人数为（人）.故选：B．6．（2024上·四川成都·高三石室中学校考期末）下图是2023年1~12月份品种能源生产当月同比增长率情况变化图.下列说法错误的是（

）

A．4~7月，原煤及天然气当月同比增长率呈下降趋势B．9~12月，原煤及天然气当月同比增长率总体呈上升趋势C．7月份品种能源生产当月同比增长率最高的是原油加工量同比增长率D．2023年品种能源生产当月同比增长率波动最小的是发电量同比增长率【答案】D【分析】根据题意结合统计相关知识逐项分析判断.【详解】观察题中所给的折线图，可知：4~7月，原煤及天然气当月同比增长率是下降的，呈下降趋势，所以A项正确；9~12月，虽然天然气11月比10月偏低，但总体趋势仍为上升的，所以原煤及天然气当月同比增长率总体呈上升趋势，所以B正确；图中7月份，只有原煤加工上升，其他品种能源均比6月份低，所以C项正确；由图易知，相比发电量，原油的曲线波动幅度更小，所以D项错误；故选：D.7．（2024·全国·高三专题练习）某银行为客户定制了A，B，C，D，E共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图：

用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（

）A．44~56周岁人群理财人数最多B．18~30周岁人群理财总费用最少C．B理财产品更受理财人青睐D．年龄越大的年龄段的人均理财费用越高【答案】B【分析】A.由扇形图判断；B.设总人数为a，按照扇形图得到各段人数，再由折线图求解判断；C.利用条形图判断；D.利用折线图判断.【详解】A.44~56周岁人群理财人数所占比例是37%，是最多的，故正确；B.设总人数为a，则18~30周岁人群的人均理财费用约为，31~43周岁人群的人均理财费用约为，44~56周岁人群的人均理财费用约为，57周岁人群的人均理财费用约为，所以57周岁及以上人群的人均理财费用最少，故错误；C.由条形图可知：B理财产品更受理财人青睐，故正确；D.由折线图知：年龄越大的年龄段的人均理财费用越高，故正确，故选：B8．（2024·四川成都·四川省成都列五中学校考一模）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论错误的是（

）注：后指年及以后出生，后指年之间出生，前指年及以前出生.A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的C．互联网行业中从事运营岗位的人数后一定比前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数后一定比后多【答案】D【解析】根据整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、后从事互联网行业岗位分布条形图，对四个选项逐一分析，即可得出正确选项.【详解】对于选项A，因为互联网行业从业人员中，“后”占比为，其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为和，则“后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的.“前”和“后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，故选项A正确；对于选项B，因为互联网行业从业人员中，“后”占比为，其中从事技术岗位的人数占的比为，则“后”从事技术岗位的人数占总人数的.“前”和“后”中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过，故选项B正确；对于选项C，“后”从事运营岗位的人数占总人数的比为，大于“前”的总人数所占比，故选项C正确；选项D，“后”从事技术岗位的人数占总人数的，“后”的总人数所占比为，条件中未给出从事技术岗位的占比，故不能判断，所以选项D错误.故选：D.二、多选题9．（2024上·山东青岛·高三山东省青岛第十七中学校考期末）（多选）新式茶饮是指以上等茶叶通过萃取浓缩液，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2022年我国消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图．

根据所给统计图，下列结论中正确的是（）A．每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90%B．每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20%C．月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50%D．月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60%【答案】BC【分析】根据统计图一一分析选项即可.【详解】每周都消费新式茶饮的消费者占比,A错误；每天都消费新式茶饮的消费者占比，B正确；月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比，C正确；月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比,D错误．故选：BC10．（2024·全国·高三专题练习）小张于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小张选择了10年期的等额本息的还贷方式（每月还款数额相等），2021年底贷款购置了一辆小汽车，且截至2022年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2022年小张的家庭的各项支出占家庭收入的比例分配图．根据以上信息，判断下列结论中正确的是（

）

A．小张一家2022年的家庭收入比2018年增加了1倍B．小张一家2022年用于娱乐的支出费用为2018年的5倍C．小张一家2022年用于饮食的支出费用小于2018年D．小张一家2022年用于车贷的支出费用小于2018年用于饮食的支出费用【答案】AD【分析】根据统计图表所给信息，即可判断正误.【详解】对于A，设一年房贷支出费用为，年收入为，则年的收入为，比年增加了一倍，故A正确；对于B，年的娱乐支出费用为，年的娱乐支出费用为，相当于年的倍，故B错误；对于C，用于饮食费用的支出为，年的饮食费用支出为，显然年高，故C错误；对于D，年车贷的支出费用为，年饮食支出费用为，所以年用于车贷的支出费用小于年用于饮食的支出费用，故D正确.故选：AD.三、填空题11．（2024上·上海·高二上海中学校考期末）某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩不低于60分的学生人数为.【答案】【分析】直接根据频率计算人数即可.【详解】根据频率分布直方图得该校的学生成绩不低于60分的学生人数为.故答案为：12．（2024·全国·高三专题练习）2022年12月4日是第九个国家宪法日，主题为“学习宣传贯彻党的二十大精神，推动全面贯彻实施宪法”，某校由学生会同学制作了宪法学习问卷，收获了有效答卷2000份，先对其得分情况进行了统计，按照、、…、分成5组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，则图中.【答案】0.020【分析】根据频率分布直方图的性质列方程求即可.【详解】由频率分布直方图的性质可得，，故答案为：0.020四、解答题13．（2024上·甘肃庆阳·高一校考期末）某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是（单位：厘米），样本数据分组为.(1)求出的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出总样本量的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据及（2）中的条件，求出样本中身高位于的人数.【答案】(1)；(2)；(3)人.【详解】（1）由题意，解得.（2）设样本中身高小于100厘米的频率为，则.而，故.（3）样本中身高位于的频率，身高位于的人数（人）.14．（2024上·江西景德镇·高一景德镇一中校考阶段练习）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170cm及以上的学生人数；(2)将身高在[170，175），[175，180），[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数.【答案】(1)x＝0.06，60(2)A组3人；B组2人；C组1人【详解】（1）由频率分布直方图可知5×（0.07＋x＋0.04＋0.02＋0.01）＝1，解得x＝0.06，身高在170cm及以上的学生人数为100×5×（0.06＋0.04＋0.02）＝60.（2）A组人数为100×5×0.06＝30，B组人数为100×5×0.04＝20，C组人数为100×5×0.02＝10，由题意可知A组抽取人数为30×＝3，B组抽取人数为20×＝2，C组抽取人数为10×＝1，故A