高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第02讲 古典概型 （解析版）

第02讲10.1.3古典概型课程标准学习目标①理解古典概型的两个特征，掌握古典概型的计算公式。②能判断一个实验是否为古典概型，分清古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数。①通过古典概型的学习，进一步理解随机事件和样本点的关系、事件和样本空间的关系、概率的意义，掌握研究概率模型的一般性思路。②通过实例体会古典概型的抽象过程，理解古典概型的两个特征，掌握古典概型的计算公式。③掌握通过放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样模型两种古典概型问题。知识点1：古典概型1.1古典概型的定义试验具有如下共同特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．1.2古典概型的判断一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．下列三类试验都不是古典概型：①样本点个数有限，但非等可能．②样本点个数无限，但等可能．③样本点个数无限，也不等可能．【即学即练1】（2024上·全国·高三专题练习）以下试验不是古典概型的有（

）A．从6名同学中，选出4名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性大小B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率C．近三天中有一天降雪的概率D．3个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率【答案】C【详解】A选项，从6名同学中，选出4名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性相等，满足有限性和等可能性，是古典概型；B选项中，同时同时掷两枚骰子，点数和为7的事件是不可能事件，有限性和等可能性，是古典概型；C选项中，不满足等可能性，不是古典概型；D选项中，3个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率，满足有限性和等可能性，是古典概型．故选：C．知识点2：古典概型的概率计算公式2.1古典概型的概率计算公式一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．【即学即练2】（2024上·江西九江·高一九江一中校考期末）某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面分别记为，两位参赛博主任选一个主题的试验的样本空间，共25个样本点，两位参赛博主抽到不同主题的事件，共20个样本点，所以两位参赛博主抽到不同主题的概率为.故选：D2.2古典概型的解题步骤求古典概型概率的步骤：（1）判断试验的事件是否是古典概型，并用字母表示所求事件（如事件）（2）确定样本空间的样本点的总数（3）确定所求事件包含的样本点的个数（4）用公式求出事件发生的概率.题型01古典概型的判断【典例1】（2024上·全国·高三专题练习）下列概率模型中，是古典概型的个数为（

）（1）从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率；（2）从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；（3）在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率；（4）向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限性”．第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性；第3个概率模型不是古典概型，在一个正方形ABCD内画一点P，有无数个点，不满足“有限性”；第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等．故选：A.【典例2】（2023下·新疆·高一校考期末）下列实验中，是古典概型的有（

）A．某人射击中靶或不中靶B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个C．四名同学用抽签法选一人参加会议D．从区间上任取一个实数，求取到1的概率【答案】C【详解】由古典概型性质：基本事件的有限性及它们的发生是等可能的，A：基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不满足；B：基本事件坐标系中整数点是无限的，不满足；C：基本事件是四名同学是有限的，且抽到的概率相等，满足；D：基本事件是区间上所有实数是无限的，不满足；故选：C【典例3】（多选）（2023·全国·高一专题练习）下列是古典概型的有（

）A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B．同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和为7的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率【答案】ABD【详解】古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等.显然A､B､D符合古典概型的特征，所以A､B､D是古典概型；C选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选：ABD.【变式1】（2024上·全国·高三专题练习）下列概率模型中不是古典概型的为（

）A．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小B．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10人站成一排，其中甲，乙相邻的概率【答案】C【详解】解：古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等.显然A､B､D符合古典概型的特征，所以A､B､D是古典概型；C选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选：C.【变式2】（2023下·高一课时练习）下列概率模型中，是古典概型的个数为（

）①从区间内任取一个数，求取到1的概率；②从1，2，3，…，10中任取一个数，求取到1的概率；③在正方形ABCD内画一点P，求点P恰好为正方形中心的概率；④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本点发生的可能性相等，故②是古典概型；①和③中的样本空间中的样本点个数不是有限的，故不是古典概型；④由于硬币质地不均匀，因此样本点发生的可能性不相等，故④不是古典概型.故选：A.【变式3】（2023·全国·高一专题练习）下列试验是古典概型的是（

）A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽【答案】C【详解】对于A，横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限样本空间特征，故该选项错误；对于B，命中0环，1环，2环…，10环的概率不相同，不满足等可能性特征，故该选项错误；对于C，人数有限，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的，故该选项正确；对于D，“发芽”与“不发芽”的概率不一定相等，不满足等可能性特征，故该选项错误；故选：C.题型02用列举法确定样本空间的样本点的总数【典例1】（2023上·湖北荆州·高一洪湖市第一中学校联考阶段练习）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数.为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（

）A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜C．取出的两个数乘积不小于20时甲得5分，否则乙得3分，游戏结束后，累计得分高的人获胜D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜【答案】A【详解】画树状图如下：对于A：由树状图可知，共有种等可能的结果，其中所确定的点在直线上的点有共个，所确定的点在直线上的点有共个，故两种情况下的基本事件个数不一样，即两种情况下概率不一样，选项A符合题意；对于B：由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两个数乘积大于15的有共8种，则两个数乘积不大于15的也有8种，故两种情况下的基本事件个数一样，即两种情况下概率一样，选项B不符合题意；对于C：由树状图可知，共有种等可能的结果，其中取出的两个数乘积不小于20的有共6种，则取出的两个数乘积小于20的有10种，，选项C不符合题意；对于D：由树状图可知，共有种等可能的结果，其中取出的两个数相加和为奇数的有共8种，则取出的两个数相加和为偶数的有8种，故两种情况下的基本事件个数一样，即两种情况下概率一样，选项D不符合题意；故选：A.【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）写出下列随机试验的样本空间：(1)连续抛掷一枚硬币5次，记录正面出现的次数；(2)从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，记录它的花色．【答案】(1)；(2)黑桃，红心，方块，梅花【详解】（1）连续抛掷一枚硬币5次，记录正面出现的次数为0，1，2，3，4，5，样本空间是；（2）从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，记录它的花色只能是黑桃、红心、方块、梅花中的一个，样本空间是黑桃，红心，方块，梅花．【典例3】（2023·全国·高一随堂练习）在试验“连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，设事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，试用样本点表示事件A和事件B．【答案】见解析【详解】解：，，，，，；，，，，．【变式1】（2023上·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考阶段练习）A,B两个元件组成一个串联电路，每个元件可能正常或失效.设事件“元件正常”，“B元件正常”，用分别表示A,B两个元件的状态，用表示这个串联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效.下列说法正确的个数是（

）①样本空间；

②事件；③事件“电路是断路”可以用（或）表示；④事件“电路是通路”可以用（或）表示，共包含3样本点.A．0 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】因为分别取值0和1，因此的取值为，①正确；事件中，而任取，因此②正确；事件“电路是断路”中，至少有一个取0，因此事件“电路是断路”，，，，从而“电路是断路”可表示为，③错；事件“电路是通路”中，两个都取1，因此事件“电路是通路”，，从而“电路是通路”可表示为，其中只有一个样本点，④错．正确的个数是2，故选：B．【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）在试验“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为，．设事件A表示随机事件“第一次摸出的是黑球”，事件B表示随机事件“至少有一次摸出的是黑球”，试用样本点表示事件A和事件B．【答案】答案见解析【详解】.【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）拋掷一枚骰子，用1，2，3，4，5，6表示掷出的点数，写出试验的样本点和样本空间．【答案】答案见解析【详解】解：试验一共有6个样本点，它们是1，2，3，4，5，6．所以该试验的样本空间．题型03用列举法求古典概型的概率【典例1】（2024上·江西九江·高一九江一中校考期末）某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面分别记为，两位参赛博主任选一个主题的试验的样本空间，共25个样本点，两位参赛博主抽到不同主题的事件，共20个样本点，所以两位参赛博主抽到不同主题的概率为.故选：D【典例2】（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为.【答案】【详解】由从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的总数为个，则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件为：，共有15个，所以抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为.故答案为：.【典例3】（2024上·辽宁朝阳·高二统考期末）2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，中国跳水运动小将全红婵备受大家关注.某调研机构为了了解杭州市民对亚运会跳水项目的认知程度，举办了一次“亚运会跳水项目”知识竞赛，随机抽取了1000名参赛者，发现他们的成绩都在40～100分之间，将他们的成绩分成，，，，，六组，并制成如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值以及这1000人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）；(2)用比例分配的分层随机抽样方法，从，中抽取6人，并从这6人中随机抽取2人进行采访，求接受采访的2人中有人成绩在的概率.【答案】(1)，平均数为分(2)【详解】（1）依题意，，解得，平均数为.（2）的频率为，的频率为，所以从中抽取人，记为，在中抽取人，记为，从中任选人，基本事件有：，，共种，其中接受采访的2人中有人成绩在的有，共种，所以接受采访的2人中有人成绩在的概率为.【典例4】（2024上·吉林长春·高二校考期末）某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩,并分成五组：第一组,第二组,第三组,第四组,第五组,绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7,第一组和第五组的频率相同.

(1)求a,b的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的中位数（精确到0.1）；(3)在第四,第五两组志愿者中,采用分层抽样的方法从中抽取5人,然后再从这5人中选出2人,求选出的两人来自同一组的概率.【答案】(1)，(2)69.4(3)【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以，解得，所以前两组的频率之和为1-0.7=0.3，即，所以（2）前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以中位数在65和75之间,即为，所以中位数为69.4；（3）第四、第五两组志愿者分别有20人、5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a,b,c,d,第五组志愿者人数为1,设为e，这5人中选出2人，所有情况有，,,,,,,,,共有10种情况,记事件A：选出的两人来自同一组,则A中有,,,,,.共6种情况,故.【变式1】（2024上·江苏苏州·高三统考期末）2023年9月28日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设8座车站（如图）.为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛､武进､江阴､张家港中的一站下车，乙随机选择金坛､武进､江阴､张家港､常熟中的一站下车.已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设金坛站､武进站､江阴站､张家港占、常熟站用，甲、乙两人用字符对表示下车的站，于是有以下情形：共有16种情形，其中甲比乙晚下车的情况是，共有6种情形，所以甲比乙晚下车的概率为，故选：D【变式2】（2024上·山东淄博·高二统考期末）从2至6的5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为.【答案】/0.6【详解】从2至6的5个整数中随机取2个不同数的试验的样本空间为：（交换数字位置算一种情况），共10个样本点，所取2个数互质的事件，共6个样本点，所以这2个数互质的概率为.故答案为：【变式3】（2024上·北京昌平·高一统考期末）为促进更多人养成良好的阅读习惯，某小区开展了“我读书，我快乐”的活动.为了解小区居民最近一个月的阅读时间（单位：小时），随机抽取个居民作为样本，得到这个居民的阅读时间，整理得到如下数据分组及频数、频率分布表和频率分布直方图：分组区间频数频率合计(1)求出表中，及图中的值；(2)若本小区有人，试估计该小区阅读时间在区间内的人数；(3)在所取样本中，从阅读时间不少于小时的居民中，按分层抽样的方法选取人，并从这人中选人去参加社区知识竞赛，求至多有人阅读时间在区间内的概率.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）依题意，，所以，.（2）阅读时间在区间内的人数为.（3）抽取人，记为，抽取人，记为.从这人中选人去参加社区知识竞赛，基本事件有：，共个，至多有人阅读时间在区间内包含的基本事件有：，共个，所以至多有人阅读时间在区间内的概率为.【变式4】（2024上·广西桂林·高一统考期末）2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动.(1)写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；(2)求选出的2名教师中至多有1名男教师的概率.【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）将2位男教师记为，3位女教师记为，则样本空间，共10个样本点.（2）设事件表示“选出的2名教师中至多有1名男教师”,则，中包含9个样本点,所以.题型04有放回与无放回的概率【典例1】（2024·全国·高三专题练习）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】记“抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数”为事件A，则事件A共包含以下10种情况：，而有放回的连续抽取2张卡片共有（种）不同情况，则故选：D【典例2】（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校联考期中）从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，基本事件总数种情况，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：共6种情况，故所求概率为：，故选：B.【典例3】（2024上·广西北海·高一统考期末）从分别写有1，2，3，4，5，6，7的7张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为．【答案】【详解】记“抽得的第一张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字”为事件，事件包括以下种情况：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，而有放回地连续抽取2张卡片共有（种）不同情况，则．故答案为：.【典例4】（2023上·河南信阳·高二统考期中）从三名男生（记为，，）、两名女生（记为，）中任意选取两人.(1)在有放回的选取中，写出样本空间，并计算选到两人都是男生的概率；(2)在不放回的选取中，写出样本空间，并计算选到至少有一名女生的概率.【答案】(1)样本空间见解析，(2)样本空间见解析，.【详解】（1）样本空间，记抽到两人都是男生的事件为A，事件A包含的基本事件有:共9个，则.（2）样本空间，记抽到至少有一名女生的事件为B，事件B包含的基本事件有：，共7个，则.【变式1】（2023上·四川成都·高二统考期中）袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2个红球，2个绿球，甲摸一个后不放回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（

）A．8 B．9 C．12 D．16【答案】C【详解】设4个小球分别为，，，，则试验结果为．故选：C【变式2】（2024·四川绵阳·统考二模）甲、乙二人用7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张）玩游戏．他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．则甲、乙二人抽到花色相同的概率为．【答案】【详解】因为一共有7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张），甲先抽，乙后抽，所以甲、乙二人抽到花色相同的情况有：①甲先抽到红桃，乙后抽到红桃，②甲先抽到方片，乙后抽到方片，所以甲、乙二人抽到花色相同的概率为.故答案为：.【变式3】（2024上·山东潍坊·高三山东省昌乐第一中学校考阶段练习）从分别标有数字的张卡片中不放回地随机抽取次，每次抽取张，则抽到的两张卡片上数字的奇偶性不同的概率是.【答案】.【详解】若第一张卡片上的数字为奇数，第二张卡片上的数字为偶数，则，若第一张卡片上的数字为偶数，第二张卡片上的数字为奇数，则，故抽到的两张卡片上数字的奇偶性不同的概率是.故答案为：.【变式4】（2024·全国·高三专题练习）已知不透明的袋中装有三个黑球（记为，和）、两个红球（记为和），从中不放回地依次随机抽取两球．(1)用集合的形式写出试验的样本空间；(2)求抽到的两个球都是黑球的概率．【答案】(1)答案见详解(2)【详解】（1）试验的样本空间；（2）设事件“抽到两个黑球”，则对于不放回简单随机抽样，．因为样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．因此．所以抽到的两个球都是黑球的概率为题型05根据古典概型的概率求参数【典例1】（2023上·浙江·高二温州中学校联考期中）有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】由于总资金100元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半.刮第1张卡前，下注50元：若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少；若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少；中奖资金增加；所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少；所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于即可，由5张卡片中任取2张的方法数有10种，n张“中奖”卡中取到2张的方法数有种，所以且，故或5，即n至少为4.故选：C【典例2】（2023上·广东佛山·高二统考期末）一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（

）A．4 B．5 C．12 D．15【答案】A【详解】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，个绿球，从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是，则，解得（负值舍去）.故选：A．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器件，其中甲工厂生产了件，乙工厂生产了件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取件样品，已知该精密仪器按照质量可分为四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的等级产品的概率为，则抽取的三个等级中甲工厂生产的产品共有件．【答案】【详解】由分层抽样原则知：从甲工厂抽取了件样品，设抽取甲工厂生产的等级产品有件，则，解得：，抽取的三个等级中，甲工厂生产的产品共有件.故答案为：.【典例4】（2023·全国·高一专题练习）一个袋子中有3个红球，4个白球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．(1)求两次取到的球颜色相同的概率．(2)如果是3个红球，n个白球，已知第二次取到红球的概率为，求n的值．【答案】(1)(2)5【详解】（1）若取出的两个球均为红球，则概率为：，若取出的两个球均为白球，则概率为：，所以两次取到的球颜色相同的概率为：．（2）第二次取出红球的概率为：，即，解得：或（舍去），故n的值为5．【变式1】（2023下·重庆·高一统考期末）在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，则.故选：B【变式2】（2023上·浙江·高一阶段练习）在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，己知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为．【答案】10【详解】根据题意，从袋中随机摸出一个红球的概率是，所以.故答案为：10【变式3】（2023下·全国·高一专题练习）一个袋子中有大小和质地相同的4个红球和n个绿球，采用有放回方式从中依次随机地取出2个球，若取出的2个球颜色不同的概率为，则n的所有可能取值为．【答案】2或8【详解】由题意知，取出的2个球颜色不同的概率为，化简得，解得或8.故答案为：2或8.【变式4】（2023·高一课时练习）袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中红色小球1个，黄色小球1个，蓝色小球个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到蓝色小球为事件，且事件发生的概率是.(1)求的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，若每次取到红色小球得0分，取到黄色小球得1分，取到蓝色小球得2分，设第一次取出小球后得分为，第二次取出小球后得分为，记事件为“”，求事件发生的概率.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，从袋子中随机抽取1个小球，共有个结果，每个结果可能性相同，其中事件发生有种结果，所以，解得.（2）把红色小球记为；黄色的小球记为；蓝色小球记为，；则两次不放回地取出小球的组合情况可用表格表示为××××共12个样本点，其中事件包含的样本点有，，，，共4个，所以.题型06古典概型与其他知识的综合应用【典例1】（2024上·云南昆明·高二校考期末）《青年大学习》是共青团中央组织的以“学习新思想，争做新青年”为主题的党史团课学习行动，年已开展到第期．团县委为了解全县青年每周利用“青年大学习”了解国家动态的情况，从全县随机抽取名青年进行调查，统计他们每周利用“青年大学习”进行学习的时长（单位：分钟），根据调查结果绘制的频率分布直方图如图所示：(1)求被抽取的青年每周利用“青年大学习”进行学习的时长的第百分位数；(2)县宣传部门拟从被抽取青年中选出部分青年参加座谈会．办法是：采用分层抽样的方法从学习时长在和的青年中共抽取人，且从参会的人中又随机抽取人发言，求学习时长在中至少有人被抽中发言的概率．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由频率之和为，即，解得，频率直方分布图中从左到右的个小矩形面积面积依次记为、、、，因为，，所以设第百分位数为，则，则，解得，即样本第百分位数为．（2）解：学习时长在和的青年人数之比为．从中抽人，则学习时长在的抽取人，记为、，学习时长在的抽取人，记为、、，从人中随机再抽人的方法为：、、、、、、、、、，共种，其中学习时长在中至少有人被抽中的方法有：、、、、、、，共种，故学习时长在中至少有人被抽中发言的概率为．【典例2】（2024上·辽宁丹东·高一统考期末）国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宜传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.(1)求这组数据的分位数（精确到0.1）：(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人.①再从第二组和第五组中抽取的人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率；②若第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，第3组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为40和6，据此估计这次参与调查的人中第2组和第3组所有人的年龄的方差.【答案】(1)(2)①；②27【详解】（1）由表中数据可得，解得，设第30百分位数为，，，位于第三组：内，；（2）①由题意得，第2组和第5组的频率分别为，故第2组和第5组所抽取的人数之和为，且第2组和第5组抽取人数之比为，即第2组3人，记为，，，第5组2人，记为甲，乙，对应的样本空间为：，甲，乙，甲，乙，甲乙，甲，乙，甲乙，甲乙，共10个样本点，设事件为“至2人被选上”，则有，甲，乙，甲，乙，甲，乙，共有7个样本点，；②设第2组的宣传使者的年龄平均数分为，方差为，设第3组的宣传使者的年龄平均数为，方差为，第2组和第3组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，则，即第2组和第3组所有宣传使者的年龄平均数为37，．即第2组和第3组所有宣传使者的年龄方差为27．【典例3】（2024上·北京昌平·高一统考期末）为促进更多人养成良好的阅读习惯，某小区开展了“我读书，我快乐”的活动.为了解小区居民最近一个月的阅读时间（单位：小时），随机抽取个居民作为样本，得到这个居民的阅读时间，整理得到如下数据分组及频数、频率分布表和频率分布直方图：分组区间频数频率合计(1)求出表中，及图中的值；(2)若本小区有人，试估计该小区阅读时间在区间内的人数；(3)在所取样本中，从阅读时间不少于小时的居民中，按分层抽样的方法选取人，并从这人中选人去参加社区知识竞赛，求至多有人阅读时间在区间内的概率.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）依题意，，所以，.（2）阅读时间在区间内的人数为.（3）抽取人，记为，抽取人，记为.从这人中选人去参加社区知识竞赛，基本事件有：，共个，至多有人阅读时间在区间内包含的基本事件有：，共个，所以至多有人阅读时间在区间内的概率为.【变式1】（2024上·湖北恩施·高二恩施土家族苗族高中校考阶段练习）某校为调查学生对食堂的满意度（满分100），并随机抽取了100名学生的评分，以此为样本，分成五组，得到如下图所示频率分布直方图.(1)求图中的值并估计该校学生对食堂满意度的平均数；(2)为进一步了解实际情况，从评分不超过70分的学生中按比例分配的分层随机抽样抽取6名学生，再从这6名学生中任取2名，求此2名学生的评分分数都在的概率.【答案】(1)，；(2).【详解】（1）由，解得；该校学生对食堂满意度的平均数为.（2）分层抽样抽取的人中，的有人，记为，的有人，记为，从6人中任取2人，基本事件有，共种，其中2人分数都在的有，共种，所以从6人中任取2人，分数都在的概率为.【变式2】（2024上·广东广州·高二统考期末）某大型连锁超市为了解客户去年在该超市的消费情况，随机抽取了100位客户进行调查.经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.(1)求该频率分布直方图中的值，并估计这100位客户去年到该超市消费金额的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作为代表）(2)为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间和内的客户中，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再从访谈的5人中随机抽取2人作为“幸运客户”，求“幸运客户”中恰有1人来自区间的概率.【答案】(1)，万元(2)【详解】（1）由题可知，即，所以.由频率分布直方图可得，因此，这100位客户去年到该超市消费金额的平均数为万元.（2）记“幸运客户中恰有1人来自区间”为事件.因为区间与频率之比为，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，故从分组区间中抽取2人，分别记为，从分组区间中抽取3人，分别记为，从这5个人中随机选择2人作为“幸运客户”，样本点表示“选出”（余类推），则样本空间为.所以.答：幸运客户中恰有1人来自区间的概率为.【变式3】（2024上·北京西城·高一期末）某企业从领导干部、员工中按比例随机抽取50人组成一个评审团，对、两个员工作为后备干部的竞聘演讲及个人技术能力展示进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分为5组：，，，，，得到员工的频率分布直方图和员工的频数分布表：分数区间频数23121815(1)在评审团的50人中，求对员工的评分不低于80分的人数；(2)从对员工的评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在范围内的概率；(3)该企业决定：若评审团给员工评分的中位数大于82分，则推荐这名员工作为后备干部人选，请问评审团将推荐哪一位员工作为后备干部人选？【答案】(1)27人；(2)；(3)员工．【详解】（1）由员工评分的频率分布直方图得：，所以对员工的评分不低于80分的人数为：（人）．（2）对员工的评分在内有5人，将评分在内的2人记为，，评分在内的3人记为，，，从5人中任选2人的情况有：，，，，，，，，，，共10种，它们等可能，2人评分均在范围内的有：，，，共3种，所以2人评分均在范围内的概率．（3）由员工评分的频率分布直方图得：，，则员工评分的中位数，有，解得，由员工的频数分布表得：，，则员工评分的中位数，有，解得，所以评审团将推荐员工作为后备干部人选．A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为，则这6个点数的中位数为4的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据的六种取值情况分别得出中位数，再利用古典概型概率公式即得.【详解】当时，这6个点数的中位数为3，当时，这6个点数的中位数为4，当时，这6个点数的中位数为4.5，故由古典概型概率公式可得：.故选：A.2．（2024上·四川凉山·高二统考期末）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不大于10的素数中，选两个不同的数，和为偶数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出不大于10的所有素数，再利用列举法求出古典概率即得.【详解】不大于10的素数有2，3，5，7，从中任取两个数的试验的样本空间，共6个样本点，其中和为偶数的样本点有，其3个，所以和为偶数的概率为.故选：D3．（2024·广东·高三学业考试）如图，一只转盘，均匀标有8个数，现转动转盘，则转盘停止转动时，指针指向偶数的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用概率公式计算即可得.【详解】共有8个数，其中偶数的个数为4个，故.故选：A.4．（2024上·江西九江·高一九江一中校考期末）某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率公式求解即得.【详解】九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面分别记为，两位参赛博主任选一个主题的试验的样本空间，共25个样本点，两位参赛博主抽到不同主题的事件，共20个样本点，所以两位参赛博主抽到不同主题的概率为.故选：D5．（2024上·北京房山·高一统考期末）在信息论中，设某随机事件发生的概率为，称为该随机事件的自信息.若按先后顺序抛掷两枚均匀的硬币，则事件“恰好出现一次正面”的自信息为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】依题意计算出事件“恰好出现一次正面”的概率为，代入计算可得结果.【详解】根据题意可知，按先后顺序抛掷两枚均匀的硬币共有“正正、反反、正反、反正”四种情况，则事件“恰好出现一次正面”的概率为，所以“恰好出现一次正面”的自信息为.故选：B6．（2024上·四川宜宾·高二统考期末）抛掷一个骰子，将得到的点数记为，则，4，5能够构成三角形的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出基本事件总数，然后根据三角形三边之间的关系求出，4，5能够构成三角形的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解即可【详解】由题意可知，抛掷一个骰子，得到的点数可能为1，2，3，4，5，6，基本事件的总数为6，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可知，故，4，5能够构成三角形的取值可以为2，3，4，5，6共5种可能，根据古典概型概率公式，所以，4，5能够构成三角形的概率是为.故选：A7．（2023上·北京·高二校考期末）某比赛为甲、乙两名运动员制定下列发球规则，规则一：投掷1枚质地均匀的硬币，出现正面向上，甲发球，否则乙发球；规则二：从装有质地均匀的2个红球与2个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；规则三：从装有质地均匀的3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球．则对甲、乙公平的发球规则是（

）A．规则一和规则二 B．规则二和规则三C．规则一和规则三 D．只有规则一【答案】C【分析】分别计算每种规则下甲乙发球的概率，找到概率均为的规则即可得.【详解】对于规则一，每人发球的概率都是，是公平的，对于规则二，记2个红球分别为红1，红2，2个黑球分别为黑1，黑2，则随机取出2个球的所有可能的情况有：（红1，红2），（红1，黑1），（红1，黑1），（红1，黑2），（红2，黑1），（红2，黑2），（黑1，黑2），共6种，其中同色的情况有2种，∴甲发球的可能性为，不公平；对于规则三，记3个红球分别为红1，红2，红3，则随机取出2个球所有可能情况有：（红1，红2），（红1，红3），（红1，黑），（红2，红3），（红2，黑），（红3，黑），共6种，其中同色的情况有3种，∴两人发球的可能性均为，是公平的，∴对甲、乙公平的有规则一和规则三．故选：C．8．（2023上·湖北黄石·高二阳新县第一中学校联考期中）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量，的夹角为，则为钝角的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据已知求出满足条件的满足的关系式，然后分别令，求得满足条件的.然后即可根据古典概型概率公式，得出答案.【详解】由可得，，所以.因为为钝角，所以，且不共线，所以，即，且.当时，有且，所以可取1，3，4，5，6；当时，有，可取3，4，5，6；当时，有，可取5，6；当，，时，，此时无解.综上所述，满足条件的有11种可能.又先后抛掷两次，得到的样本点数共36种，所以为钝角的概率故选：D.二、多选题9．（2023上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（

）A．事件A与事件B的样本点数分别为12，8 B．事件A，B间的关系为C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为【答案】CD【分析】计算出所有结果数，分别列举出事件A、B的结果情况，即可判断选项A、B；根据古典概型的概率计算公式即可判断选项C、D.【详解】解：由题用表示甲罐、乙罐中取小球标号的情况，则所有的情况有：，，，，共20种，其中满足事件A的结果有：，，，，共11种，其中满足事件B的结果有：，，，共8种，故选项A错误；因为事件B的结果均在事件A中包含，故，故选项B错误；因为，所以的结果数有11种，所以，故选项C正确；因为，所以的结果数有8种，故，故选项D正确.故选：CD10．（2023·全国·高三专题练习）某人决定就近打车前往目的地前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”他决定按如下两种方案打车．方案一：不乘第一辆车，若第二辆车好于第一辆车就乘此车，否则直接乘坐第三辆车：方案二：直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为，，则下列判断不正确的是（

）A． B． C．， D．，【答案】ABD【分析】用列表法列举基本事件，分别求概率，即可判断.【详解】记“车况好、中、差”分别为，，，方案一包含的基本事件数为，方案二包含的基本事件数为，列表如下由表中所列事件数可知，，，所以选项C正确．123ABC√ACB√BAC√BCA√CAB√CBA故选：ABD.三、填空题11．（2023上·浙江·高一阶段练习）有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为，计算，则其结果恰为2的概率是．【答案】【分析】根据古典概型概率公式计算求解.【详解】由题意得，任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为，共有6种可能结果，若，则或，共有2种可能结果，所以所求概率为.故答案为：12．（2023上·广东清远·高二校联考期中）某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子，其中4个盒中各装有一个变形金刚玩具，另外1个盒中装有一套积木玩具.这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物，则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为.【答案】/【分析】先罗列出所有情况，再罗列出符合要求的情况，最后算概率即可.【详解】设装变形金刚玩具的盒子分别为，装积木玩具的盒子为.则从这5个盒子中选出2个盒子的不同选法有，共10种不同方法；恰好选到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的不同选法有，共4种不同方法，故所求概率，故答案为：四、解答题13．（2023上·甘肃庆阳·高二校考学业考试）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一新生中进行了抽样调查.已知在被调查的新生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品.现在从这5名学生中随机抽取3人，求抽到的3人中至多有1人喜欢甜品的概率．【答案】0.7【分析】根据古典概型公式计算可得答案.【详解】记2名喜欢甜品的学生分别为，3名不喜欢甜品的学生分别为，从这5名学生中任取3人的样本点共有10个，分别为，，，，，，，，，.记事件A表示“至多有1人喜欢甜品”，则事件A包含的样本点有7个，分别为，，，，，，，根据古典概型公式，得至多有1人喜欢甜品的概率为.14．（2023上·湖南·高二校联考期中）长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题：

(1)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率.【答案】(1)平均分约为66.8；第71百分位数为75；(2).【分析】（1）利用平均数定义计算出平均数，再判断出第71百分位数位于，设出未知数，得到方程，求出百分位数；（2）求出第5组和第6组的人数，利用列举法求解概率.【详解】（1），所以本次考试成绩的平均分约为66.8；因为成绩在的频率为，成绩在的频率为，所以第71百分位数位于，设其为，则，解得，所以第