高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第01讲 有限样本空间与随机事件、事件的关系和运算（解析版）

第01讲10.1.1有限样本空间与随机事件+10.1.2事件的关系和运算课程标准学习目标①理解随机试验的概念及特点。②理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间。③理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，并会判断某一事件的性质。1.数学建模：随机实验及样本空间的概念2.逻辑推理：分析随机实验的样本空间3.数学运算：计算随机实验的样本空间4.数据分析：会求所给试验的样本点和样本空间；知识点1：有限样本空间1.1．随机试验(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．1.2．样本点和样本空间(1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间．(2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间．【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）袋中装有形状与质地相同的个球，其中黑色球个，记为，白色球个，记为，从袋中任意取个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间：.【答案】（答案不唯一）【详解】从袋中任取个球，共有如下情况.其中一个不等可能的样本空间为，此样本空间中两个黑球的情况有1个，一黑一白的情况有2个，是不等可能的样本空间.故答案为：.(答案不唯一)知识点2：事件的分类(1)随机事件：①我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．②随机事件一般用大写字母，，，…表示．③在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生．(2)必然事件：作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．(3)不可能事件：空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件．知识点3：事件的关系3.1包含关系一般地，若事件发生，则事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件)，记作：(或)图示3.2相等关系如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等，记作：；图示知识点4：事件的运算4.1并事件(或和事件)一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中，我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件)，记作：(或).图示：4.2交事件(或积事件)一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件)，记作：(或).图示：【即学即练2】（2023上·高一课时练习）掷一枚骰子，下列事件：掷出奇数点，掷出偶数点，点数小于.则①；②.【答案】掷出点掷出点【详解】因为掷出奇数点，掷出偶数点，点数小于，所以掷出点，掷出点.故答案为：掷出点；掷出点.知识点5：互斥事件与对立事件5.1互斥事件一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：.图示：5.2对立事件一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且.图示：【即学即练3】（2023·全国·高一专题练习）若，则互斥事件和B的关系是（

）A． B．是对立事件C．不是对立事件 D．【答案】B【详解】由题意，事件与是互斥事件，则，则是对立事件.故选：B知识点6：事件的关系或运算的含义及符号表示事件的关系或运算含义符号表示包含发生导致发生并事件(和事件)与至少一个发生或交事件(积事件)与同时发生或互斥(互不相容)与不能同时发生互为对立与有且仅有一个发生，题型01事件类型的判断【典例1】（2023上·新疆·高二八一中学校考阶段练习）对掷一粒骰子的试验，在概率论中把“出现零点”称为（）A．样本空间 B．必然事件 C．不可能事件 D．随机事件【答案】C【详解】解：对掷一粒骰子的试验，出现的点数分别为：1，2，3，4，5，6，所以在掷一枚骰子的试验中，出现零点是不可能事件，故选：C．【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）在12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件．其中为必然事件的是（

）．A．3件都是正品 B．至少有1件是次品C．3件都是次品 D．至少有1件是正品【答案】D【详解】12件同类产品中，有10件正品和2件次品，从中任意抽出3件，次品的个数可能为，正品的个数分别为，因此只有“至少有1件正品”一定会发生，它是必然事件，ABC三个选项中的事件都有可能不发生．故选：D．【典例3】（多选）（2024上·陕西汉中·高一统考期末）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是（

）A．5件都是正品 B．至少有1件次品C．有3件次品 D．至少有3件正品【答案】AB【详解】在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，“5件都是正品”、“至少有1件次品”，都是随机事件，A、B正确，在25件同类产品中，有2件次品，所以不可能取出3件次品，则“有3件次品”不是随机事件，是不可能事件，C错误；在25件同类产品中，有2件次品，从中取5件，则“至少有3件正品”为必然事件，不是随机事件，D错误.故选：AB【变式1】（2024·全国·高三专题练习）以下事件是随机事件的是（

）A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯C．长和宽分别为的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根【答案】B【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；C．长和宽分别为的矩形，其面积为是必然事件；故本选项不符合题意；D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．故选：B．【变式2】（2023·全国·高一专题练习）一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机从袋子中摸出4个球，则下列事件是必然事件的是（

）A．摸出的4个球中至少有一个是白球B．摸出的4个球中至少有一个是黑球C．摸出的4个球中至少有两个是黑球D．摸出的4个球中至少有两个是白球【答案】B【详解】因为袋中有大小、质地完全相同的5个黑球和3个白球，所以从中任取4个球共有：3白1黑，2白2黑，1白3黑，4黑四种情况.故事件“摸出的4个球中至少有一个是白球”是随机事件，故A错误；事件“摸出的4个球中至少有一个是黑球”是必然事件，故B正确；事件“摸出的4个球中至少有两个是黑球”是随机事件，故C错误；事件“摸出的4个球中至少有两个是白球”是随机事件，故D错误.故选：B.【变式3】（2024·全国·高三专题练习）下列现象中，随机现象有哪些？（1）某射手射击一次，射中10环；（2）同时掷两颗骰子，都出现6点；（3）某人购买福利彩票未中奖；（4）若x为实数，则.【答案】（1）（2）（3）【详解】某射手射击一次，射中10环是随机事件；同时掷两枚骰子，都出现6点是随机事件；某人购买福利彩票未中奖是随机事件；若为实数，则是必然事件．题型02样本点与样本空间【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）写出下列试验的样本空间：(1)连续抛掷一枚硬币2次，观察正面、反面出现的情况；(2)甲、乙、丙、丁四位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果；(3)连续抛掷一枚骰子2次，观察2次掷出的点数之和；(4)设袋中装有4个白球和6个黑球，从中不放回地逐个取出，直至白球全取出，记录取球的次数．【答案】(1)正面，正面，正面，反面，反面，正面，反面，反面(2)答案见解析；(3)；(4)．【详解】（1）第一次硬币向上面与第二次硬币向上的面构成一个样本点，样本空间为：正面，正面，正面，反面，反面，正面，反面，反面（2）四个同学的一个排列构成一个样本点，样本空间为：甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙，乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙丁乙甲，丙丁甲乙，丁乙丙甲，丁乙甲丙，丁丙乙甲，丁丙甲乙，丁甲乙丙，丁甲丙乙；（3）第一枚骰子和第二枚骰子的点数和构成一个样本点，样本空间为：；（4）白球全部取出，至少取4次，最多取10次，样本空间为：．【典例2】（2023上·高一课时练习）做投掷2枚均匀骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．写出：(1)试验的样本空间Ω；(2)事件“出现点数之和大于8”包含的样本点；(3)事件“出现点数相等”包含的样本点；(4)事件“出现点数之和等于7”包含的样本点．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)(4)(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)【详解】（1）试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．（2）“出现点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).（3）“出现点数相等”包含以下6个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).（4）“出现点数之和等于7”包含以下6个样本点：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1).【典例3】（2022·高一课时练习）指出下列试验的样本空间：(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；(2)从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)作差．【答案】(1){红球，白球}，{红球，黑球}，{白球，黑球}(2)【详解】（1）由题意可得：{红球，白球}，{红球，黑球}，{白球，黑球}.（2）由题意可知：；；；；；；即试验的样本空间．【变式1】（2023·全国·高一课堂例题）“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是偶数”记为事件A，试分别写出样本空间及事件A所包含的样本点．【答案】答案见解析【详解】记“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是k”为，则，．【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）抛掷两枚硬币，用H表示正面朝上，用T表示反面朝上，写出试验的样本点和样本空间．【答案】答案见解析【详解】解将第一枚硬币视为硬币1，第二枚硬币视为硬币2，则试验有4个样本点，它们分别是HH：硬币1正面朝上，硬币2正面朝上；HT：硬币1正面朝上，硬币2反面朝上；TH：硬币1反面朝上，硬币2正面朝上；TT：硬币1反面朝上，硬币2反面朝上．因此，样本空间．【变式3】（2023·高一课时练习）从两名男生（记为和）和两名女生（记为和）这四人中依次选取两名学生．(1)请写出有放回简单随机抽样的样本空间；(2)请写出不放回简单随机抽样的样本空间．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）有放回简单随机抽样时，样本空间为：,共16个样本点.（2）不放回简单随机抽样时，样本空间为：,共12个样本点.题型03事件的关系【典例1】（2023上·河南信阳·高二潢川一中校考阶段练习）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有()A． B． C． D．与之间没有关系【答案】C【详解】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}，所以.故选：C.【典例2】（2022下·高一课时练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.（1）与互斥；（2），为对立事件；（3）；（4）；（5），；（6）；（7）；（8）E，F为对立事件；（9）；（10）【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）正确；（7）正确；（8）正确；（9）正确；（10）正确.【详解】解：该试验的样本空间可表示为,由题意知,,,,,.（1）,,满足,所以与互斥,故正确；（2）,,满足但不满足.所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误；根据对应的集合易得,（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）,所以,故正确；（7）,故正确；（8）因为,,所以E,F为对立事件,故正确；（9）正确；（10）正确.【变式1】（2022下·高一课时练习）同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N，则有（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】事件N包含两种结果：“向上面都是正面”和“向上面是一正一反”.所以当M发生时,事件N一定发生,则有.故选：A.【变式2】（2022下·天津和平·高一校考阶段练习）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】记事件{1枚硬币正面朝上}，{2枚硬币正面朝上}，{3枚硬币正面朝上}，则，，显然，，，C不含于A.故选：D题型04事件的运算【典例1】（2024上·上海黄浦·高二统考期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若A表示事件“点数大于3”，B表示事件“点数为偶数”，则事件“点数为5”可以表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】表示“点数为2”，表示“点数5”，表示“点数为3或2或1或4或6”，表示“点数为1或3或4或5或6”，故选：B【典例2】（2022上·海南省直辖县级单位·高二校考期末）设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来．(1)三个事件都发生；(2)三个事件至少有一个发生；(3)A发生，B，C不发生；(4)A，B，C中恰好有两个发生．【答案】(1)ABC(2)(3)(4)【详解】解：（1）三个事件都发生表示为ABC；（2）三个事件至少有一个发生表示为；（3）A发生，B，C不发生表示为；（4）恰好有两个发生表示为．【典例3】（2023·全国·高一随堂练习）盒中有标号1~3的同样白球各1个，标号1~2的同样黑球各1个，从中倒出3个，观察结果，写出样本空间.(1)用集合A表示事件“3个都是白球”；(2)用集合B表示事件“至少2个白球”；(3)用集合C表示事件“至少1个白球”；(4)计算，，，（其中表示属于集合，且不属于集合），并解释它们的含义.【答案】(1)；(2)，，，，，，；(3)，，，，，，，，，；(4)答案见解析.【详解】（1）记标号的白球为，，，标号的黑球为，，则样本空间，，，，，，，，，，所以.（2）由（1）得，，，，，，.（3）由（1）得，，，，，，，，，.（4）“至少2个白球”，“3个都是白球”，“不可能事件”，“1个白球”．【变式1】（2023上·四川凉山·高二宁南中学校联考期中）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意可得：事件A表示表示“两次都投中”；事件B表示“两次都未投中”；事件C表示“恰有一次投中”；事件D表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故，所以选项A正确；事件B和事件D是对立事件，故，所以选项B正确；事件表示“两次都投中”或“两次都未投中”，而事件表示“两次都未投中”、“两次都投中”或“恰有一次投中”，故选项C错误；事件表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故，所以选项D正确；故选：C.【变式2】（2023上·新疆·高二八一中学校考期中）连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件{两次出现的点数相同}，事件{两次出现的点数之和为4}，事件{两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件{两次出现的点数之和为6}.(1)用样本点表示事件，；(2)若事件，则事件E与已知事件是什么运算关系？【答案】(1)，(2)【详解】（1）由题意得，事件，事件，事件，事件.则，；（2）由（1）知，事件，，因为，所以.【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）抛掷两枚骰子，一枚是红色的，一枚是蓝色的．设“红骰子的点数是2”，“蓝骰子的点数是3”．(1)写出样本空间，并用样本点表示事件A，B；(2)计算；(3)计算．【答案】(1)答案见解析；(2)“红骰子是2点，蓝骰子是3点”；(3)“红骰子是2点或蓝骰子是3点”.【详解】（1）用表示红骰子的点数是i，蓝骰子的点数是j，则试验的样本空间是．依题意，.（2）“红骰子是2点，蓝骰子是3点”．（3）“红骰子是2点或蓝骰子是3点”．题型05互斥事件与对立事件的判定【典例1】（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）掷一枚骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数；：落地时向上的点数是3的倍数；：落地时向上的点数是2；：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是（

）A．和有可能同时发生 B．和是对立事件C．和是对立事件 D．和是互斥事件【答案】C【详解】依题意，事件，对于A，事件和有相同的基本事件：点数3，A正确；对于B，事件和不能同时发生，但必有一个发生，则和是对立事件，B正确；对于C，事件和不能同时发生，但可以同时不发生，则和不是对立事件，C错误；对于D，事件和不能同时发生，它们是互斥事件，D正确.故选：C【典例2】（多选）（2024上·四川攀枝花·高二统考期末）某人打靶时连续射击两次，记事件为“第一次中靶”，事件为“至少一次中靶”，事件为“至多一次中靶”，事件为“两次都没中靶”.下列说法正确的是（

）A． B．与是互斥事件C． D．与是互斥事件，且是对立事件【答案】AD【详解】由题意可知，事件为“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都中靶”“两次都没有中靶”；事件为“至少一次中靶”，即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都中靶”；事件为“至多一次中靶”，即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“两次都没有中靶”；事件为“两次都没中靶”；故，与不是互斥事件，与是互斥事件，且是对立事件，.故选:：AD.【典例3】（2024·全国·高三专题练习）某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”.试判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，判断它们是不是对立事件.（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C.【答案】（1）不互斥；（2）既互斥也对立；（3）不互斥；（4）不互斥；【详解】（1）由于事件C“至多订一种报纸”中，有可能“只订甲报”，即事件A与C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.（2）事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件，又因市民要么“至少订一种报纸”，要么“一种也不订”，故B与E是对立事件.（3）事件B“至少订一种报纸”中，有可能“只订乙报纸”，即有可能“不订甲报纸”，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件.（4）事件B“至少订一种报纸”中，有这些可能：“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”；事件C“至多订一种报纸”中，有这些可能：“什么报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件.【变式1】（2024·广东·高三学业考试）已知事件表示“3粒种子全部发芽”，事件表示“3粒种子都不发芽”，则和（

）A．是对立事件 B．不是互斥事件C．互斥但不是对立事件 D．是不可能事件【答案】C【详解】事件表示“3粒种子全部发芽”，事件表示“3粒种子都不发芽”，所以事件和事件不会同时发生，是互斥事件，因为3粒种子可能只发芽1粒，所以事件和事件可以都不发生，则和不是对立事件.故选：C【变式2】（2024上·辽宁铁岭·高一校考期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”.则下列结论不正确的是（

）A．E，F为对立事件 B．G，H为互斥不对立事件C．E，G不是互斥事件 D．G，R是互斥事件【答案】B【详解】E，F是对立事件，选项A正确；G，H为互斥且对立事件，选项B不正确；E，G不互斥，选项C正确；G，R为互斥事件，选项D正确.故选：B.【变式3】（多选）（2024·全国·高三专题练习）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少1名女生”与事件“全是男生”（

）A．是互斥事件 B．不是互斥事件 C．是对立事件 D．不是对立事件【答案】AC【详解】从3男2女中人选2名同学，一共会出现的抽取情况为：2男，或者2女，或者1男1女，至少一名女生包括一名或两名女生，全是男生相当于女生数为零，两者间是互斥事件也是对立事件.故选：ACA夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024上·山东潍坊·高二临朐县第一中学期末）一个口袋中装有个白球和个黑球，下列事件中，是独立事件的是（

）A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球B．摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球C．摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球【答案】B【详解】解：对于选项A，第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，是互斥事件不是独立事件；对于选项B，摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，两者不受影响，是独立事件；对于选项C，摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不是独立事件；对于选项D，一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，有影响，不是独立事件，故选：B.2．（2024上·辽宁辽阳·高一统考期末）一副扑克牌（含大王、小王）共54张，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4张，从该副扑克牌中随机取出两张，事件“取出的牌有两张6”，事件“取出的牌至少有一张黑桃”，事件“取出的牌有一张大王”，事件“取出的牌有一张红桃6”，则（

）A．事件A与事件互斥 B．事件与事件互斥C．事件与事件互斥 D．事件A与事件互斥【答案】D【详解】ABC选项，因为事件A与事件，事件与事件，事件与事件都可以同时发生，所以A，B，C错误.D选项，因为取出的牌有两张6的同时不可能再有一张大王，所以事件A与事件C互斥.故选：D3．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高二统考期末）将一枚均匀硬币连续抛掷两次，下列事件中与事件“至少一次正面向上”互为对立事件的是（

）A．至多一次正面向上 B．两次正面都向上C．只有一次正面向上 D．两次都没有正面向上【答案】D【详解】将一枚均匀硬币连续抛掷两次，有：正正，正反，反正，反反，共4种可能，事件“至少一次正面向上”包括：正正，正反，反正，对A：事件“至多一次正面向上”包括：正反，反正，反反，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件；对B：事件“两次正面都向上”即：正正，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件；对C：事件“只有一次正面向上”包括：正反，反正，与事件“至少一次正面向上”不是对立事件；对D：事件“两次都没有正面向上”即：反反，与事件“至少一次正面向上”是对立事件.故选：D.4．（2024·全国·高三专题练习）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红､黑球各一个 D．恰有一个白球；一个白球一个黑球【答案】C【详解】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是；对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是；对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是；对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是.故选：C5．（2024上·上海黄浦·高二统考期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若A表示事件“点数大于3”，B表示事件“点数为偶数”，则事件“点数为5”可以表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】表示“点数为2”，表示“点数5”，表示“点数为3或2或1或4或6”，表示“点数为1或3或4或5或6”，故选：B6．（2023下·内蒙古包头·高二校考期末）从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，记“这个三角形是等腰三角形”为事件，则下列推断正确的是（

）A．事件发生的概率等于 B．事件发生的概率等于C．事件是不可能事件 D．事件是必然事件【答案】D【详解】根据正五边形的性质，可知任取三个顶点连成的三角形一定是等腰三角形，所以事件是必然事件．故选：D．

7．（2023·江苏·高一专题练习）对满足的非空集合、，有下列四个命题：①“若任取，则”是必然事件；

②“若，则”是不可能事件；③“若任取，则”是随机事件；

④“若，则”是必然事件.其中正确命题的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【详解】①：因为，，所以，因此“若任取，则”是必然事件，故本命题是真命题；②：当集合是集合的真子集时，显然存在一个元素在集合中，不在集合中，因此“若，则”是随机事件，故本命题是假命题；③：任取，当集合是集合的真子集时，有可能成立，也可能不成立，因此“若任取，则”是随机事件,故本命题是真命题；④：因为，所以一定有，显然“若，则”是必然事件，故本命题是真命题．因此①③④为真命题.故选：B8．（2023下·全国·高一随堂练习）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件：向上的点数为奇数；事件：向上的点数是6，则事件与事件（

）A．既互斥又对立 B．互斥但不对立 C．对立但不互斥 D．既不互斥也不对立【答案】B【详解】由题意知事件：向上的点数为奇数；事件：向上的点数是6，则事件与事件不会同时发生，故二者互斥，当M不发生时，N也不一定发生，因为可能是投掷出向上的点数为2或4，故二者不对立，故选：B二、多选题9．（2023上·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考期中）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“记下的点数为3”，事件“记下的点数为偶数”，事件“记下的点数小于3”，事件“记下的点数大于2”，则（

）A．事件与互斥 B．事件与互斥C．事件与对立 D．事件与对立【答案】ABD【详解】依题意骰子面朝上的点数可能为、、、、、共个基本事件，则事件“记下的点数为偶数”包含、、共个基本事件，事件“记下的点数小于3”包含、共个基本事件，事件“记下的点数大于2”包含、、、共个基本事件，所以事件与互斥，故A正确；事件与互斥，故B正确；事件与不互斥也不对立，故C错误；事件与互斥且对立，故D正确；故选：ABD10．（2023上·广东湛江·高二校考开学考试）下列四个命题中，是真命题的是（

）A．若事件是互斥事件，则是对立事件B．若事件是对立事件，则是互斥事件C．若事件是必然事件，则D．若事件是互斥事件，则【答案】BC【详解】对于A，互斥事件不一定是对立事件，故A选项不符合题意，对于B，对立事件一定是互斥事件，故B选项符合题意，对于C，因为事件是必然事件，所以，故C选项符合题意，对于D，若事件是互斥事件，则只有当事件是对立事件时才有，故D选项不符合题意.故选：BC.三、填空题11．（2023·全国·高一随堂练习）从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取1张，记录它的花色．事件A表示随机事件“抽出的牌是黑桃”，事件B表示随机事件“抽出的牌是红心”，事件C表示随机事件“抽出的牌是方片”，事件D表示随机事件“抽出的牌是草花”，下列说法中正确的序号是．（1）A，B，C，D彼此互斥；（2）A与D，B与C是对立事件；（3）A的对立事件是；（4）的对立事件为；（5）与为互斥事件，但不是对立事件．【答案】（1）（3）（4）．【详解】（1）A，B，C，D四个事件只能发生一个，不可能有两个同时发生，它们彼此互斥，（1）正确；（2）当发生时，和都不发生，因此不是对立事件，（2）错；（3）事件A和事件不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（3）正确；（4）事件和事件不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（4）正确；（5）事件和事件不可能同时发生，但一定有一个发生，它们是对立事件，（5）错误．故答案为：（1）（3）（4）．12．（2023下·全国·高一专题练习）电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝.(用B，C，D间的运算关系式表示)

【答案】(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)【详解】灯亮必须形状开关I闭合，开关II和III中至少有一个闭合，因此．故答案为：．也可写成：．四、解答题13．（2023下·全国·高一随堂练习）设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来．(1)三个事件都发生；(2)三个事件至少有一个发生；(3)A发生，B，C不发生；(4)A，B，C中恰好有两个发生．【答案】(1)ABC(2)(3)(4)【详解】解：（1）三个事件都发生表示为ABC；（2）三个事件至少有一个发生表示为；（3）A发生，B，C不发生表示为；（4）恰好有两个发生表示为．14．（2023下·山东菏泽·高一校考阶段练习）已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为180，120，120．现采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学去敬老院参加献爱心活动．(1)应从高一、高二、高