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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知整数满足,记点的坐标为,则点满足的概率为()A. B. C. D.2.已知实数满足约束条件,则的最小值是A. B. C.1 D.43.已知复数z满足(i为虚数单位),则在复平面内复数z对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车,它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,桥隧全长55千米.桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100km/h,现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画出频率分布直方图(如图),根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为()A.300, B.300, C.60, D.60,5.数列满足,且,,则()A. B.9 C. D.76.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F且EF=,则下列结论中错误的是()A.AC⊥BE B.EF平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值 D.异面直线AE,BF所成的角为定值7.在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.高三珠海一模中,经抽样分析,全市理科数学成绩X近似服从正态分布,且.从中随机抽取参加此次考试的学生500名,估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为()A.40 B.60 C.80 D.1009.总体由编号为01,02,...,39,40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表(如表)第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为()A.23 B.21 C.35 D.3210.已知数列是公比为的等比数列,且,若数列是递增数列,则的取值范围为()A. B. C. D.11.一个陶瓷圆盘的半径为,中间有一个边长为的正方形花纹,向盘中投入1000粒米后,发现落在正方形花纹上的米共有51粒,据此估计圆周率的值为(精确到0.001)()A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.14712.已知向量,,,若,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某部门全部员工参加一项社会公益活动,按年龄分为三组,其人数之比为,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,若组中甲、乙二人均被抽到的概率是,则该部门员工总人数为__________.14.已知集合,,则_________.15.在四棱锥中,是边长为的正三角形,为矩形,,.若四棱锥的顶点均在球的球面上,则球的表面积为_____.16.已知向量,,若满足,且方向相同,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数,.(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)时,若,,求证:.18.(12分)已知函数.(1)若曲线存在与轴垂直的切线,求的取值范围.(2)当时,证明:.19.(12分)某商场为改进服务质量,随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查.调查后,就顾客“购物体验”的满意度统计如下:满意不满意男4040女8040(1)是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关?(2)为答谢顾客,该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动.据统计,在此期间顾客购买该商品的支付情况如下:支付方式现金支付购物卡支付APP支付频率10%30%60%优惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顾客按4折支付,1/2的顾客按6折支付,1/6的顾客按8折支付将上述频率作为相应事件发生的概率,记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为,求的分布列和数学期望.附表及公式:.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.(12分)已知点,且,满足条件的点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)是否存在过点的直线,直线与曲线相交于两点,直线与轴分别交于两点,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.21.(12分)如图所示,在四棱锥中,平面,底面ABCD满足AD∥BC,,,E为AD的中点,AC与BE的交点为O.(1)设H是线段BE上的动点,证明:三棱锥的体积是定值;(2)求四棱锥的体积;(3)求直线BC与平面PBD所成角的余弦值.22.(10分)如图,在四棱锥中,,,.(1)证明:平面;(2)若,,为线段上一点,且,求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
列出所有圆内的整数点共有37个,满足条件的有7个,相除得到概率.【详解】因为是整数,所以所有满足条件的点是位于圆(含边界)内的整数点,满足条件的整数点有共37个,满足的整数点有7个,则所求概率为.故选:.【点睛】本题考查了古典概率的计算,意在考查学生的应用能力.2.B【解析】
作出该不等式组表示的平面区域,如下图中阴影部分所示,设,则,易知当直线经过点时,z取得最小值,由,解得,所以,所以,故选B.3.D【解析】
根据复数运算,求得,再求其对应点即可判断.【详解】,故其对应点的坐标为.其位于第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数的运算,以及复数对应点的坐标,属综合基础题.4.B【解析】
由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间的频率即可得到车辆数,同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过的频率.【详解】由频率分布直方图得:在此路段上汽车行驶速度在区间的频率为,∴在此路段上汽车行驶速度在区间的车辆数为:,行驶速度超过的频率为:.故选:B.【点睛】本题考查频数、频率的求法,考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.5.A【解析】
先由题意可得数列为等差数列,再根据,,可求出公差,即可求出.【详解】数列满足,则数列为等差数列,,,,,,,故选:.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.6.D【解析】
A.通过线面的垂直关系可证真假;B.根据线面平行可证真假;C.根据三棱锥的体积计算的公式可证真假;D.根据列举特殊情况可证真假.【详解】A.因为,所以平面,又因为平面,所以,故正确;B.因为,所以,且平面,平面,所以平面,故正确;C.因为为定值,到平面的距离为,所以为定值,故正确;D.当,,取为,如下图所示:因为,所以异面直线所成角为,且,当,,取为,如下图所示:因为,所以四边形是平行四边形,所以,所以异面直线所成角为,且,由此可知:异面直线所成角不是定值,故错误.故选:D.【点睛】本题考查立体几何中的综合应用,涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算,难度较难.注意求解异面直线所成角时,将直线平移至同一平面内.7.B【解析】
化简复数为的形式,然后判断复数的对应点所在象限,即可求得答案.【详解】对应的点的坐标为在第二象限故选:B.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.8.D【解析】
由正态分布的性质,根据题意,得到,求出概率,再由题中数据,即可求出结果.【详解】由题意,成绩X近似服从正态分布,则正态分布曲线的对称轴为,根据正态分布曲线的对称性,求得,所以该市某校有500人中,估计该校数学成绩不低于110分的人数为人,故选:.【点睛】本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.9.B【解析】
根据随机数表法的抽样方法,确定选出来的第5个个体的编号.【详解】随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6,所以从这两个数字开始,由左向右依次选取两个数字如下46,64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,…其中落在编号01,02,…,39,40内的有:16,26,16,24,23,21,…依次不重复的第5个编号为21.故选:B【点睛】本小题主要考查随机数表法进行抽样,属于基础题.10.D【解析】
先根据已知条件求解出的通项公式,然后根据的单调性以及得到满足的不等关系,由此求解出的取值范围.【详解】由已知得,则.因为,数列是单调递增数列,所以,则,化简得,所以.故选:D.【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围,难度一般.已知数列单调性,可根据之间的大小关系分析问题.11.B【解析】
结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可【详解】如图,由几何概型公式可知:.故选:B【点睛】本题考查随机模拟的概念和几何概型,属于基础题12.A【解析】
根据向量坐标运算求得,由平行关系构造方程可求得结果.【详解】,,解得:故选:【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题,涉及到平面向量的坐标运算;关键是明确若两向量平行,则.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.60【解析】
根据样本容量及各组人数比,可求得C组中的人数;由组中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C组的总人数,即可由各组人数比求得总人数.【详解】三组人数之比为,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,则三组抽取人数分别.设组有人,则组中甲、乙二人均被抽到的概率,∴解得.∴该部门员工总共有人.故答案为:60.【点睛】本题考查了分层抽样的定义与简单应用,古典概型概率的简单应用,由各层人数求总人数的应用,属于基础题.14.【解析】
根据交集的定义即可写出答案。【详解】,,故填【点睛】本题考查集合的交集,需熟练掌握集合交集的定义,属于基础题。15.【解析】
做中点,的中点,连接,由已知条件可求出,运用余弦定理可求,从而在平面中建立坐标系,则以及的外接圆圆心为和长方形的外接圆圆心为在该平面坐标系的坐标可求,通过球心满足,即可求出的坐标,从而可求球的半径,进而能求出球的表面积.【详解】解:如图做中点,的中点,连接,由题意知,则设的外接圆圆心为,则在直线上且设长方形的外接圆圆心为,则在上且.设外接球的球心为在中,由余弦定理可知,.在平面中,以为坐标原点,以所在直线为轴,以过点垂直于轴的直线为轴,如图建立坐标系,由题意知,在平面中且设,则,因为,所以解得.则所以球的表面积为.故答案为:.【点睛】本题考查了几何体外接球的问题,考查了球的表面积.关于几何体的外接球的做题思路有:一是通过将几何体补充到长方体中,将几何体的外接球等同于长方体的外接球,求出体对角线即为直径,但这种方法适用性较差;二是通过球的球心与各面外接圆圆心的连线与该平面垂直,设半径列方程求解;三是通过空间、平面坐标系进行求解.16.【解析】
由向量平行坐标表示计算.注意验证两向量方向是否相同.【详解】∵,∴,解得或,时,满足题意,时,,方向相反,不合题意,舍去.∴.故答案为:1.【点睛】本题考查向量平行的坐标运算,解题时要注意验证方向相同这个条件,否则会出错.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】
(1)首先对函数求导,再根据参数的取值,讨论的正负,即可求出关于的单调性即可;(2)首先通过构造新函数,讨论新函数的单调性,根据新函数的单调性证明.【详解】(1),令,则,令得,当时,则在单调递减,当时,则在单调递增,所以,当时,,即,则在上单调递增,当时,,易知当时,,当时,,由零点存在性定理知,,不妨设,使得,当时,,即,当时,,即,当时,,即,所以在和上单调递增,在单调递减;(2)证明:构造函数,,,,整理得,,(当时等号成立),所以在上单调递增,则,所以在上单调递增,,这里不妨设,欲证,即证由(1)知时,在上单调递增,则需证,由已知有,只需证,即证,由在上单调递增,且时,有,故成立,从而得证.【点睛】本题主要考查了导数含参分类讨论单调性,借助构造函数和单调性证明不等式,属于难题.18.(1)(2)证明见解析【解析】
(1)在上有解,,设,求导根据函数的单调性得到最值,得到答案.(2)证明,只需证,记,求导得到函数的单调性,得到函数的最小值,得到证明.【详解】(1)由题可得,在上有解,则,令,,当时,单调递增;当时,单调递减.所以是的最大值点,所以.(2)由,所以,要证明,只需证,即证.记在上单调递增,且,当时,单调递减;当时,单调递增.所以是的最小值点,,则,故.【点睛】本题考查了函数的切线问题,证明不等式,意在考查学生的综合应用能力和转化能力.19.(1)有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关;(2)67元,见解析.【解析】
(1)根据表格数据代入公式,结合临界值即得解;(2)的可能取值为40,60,80,1,根据题意依次计算概率,列出分布列,求数学期望即可.【详解】(1)由题得,所以,有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关.(2)由题意可知的可能取值为40,60,80,1.,,,.则的分布列为4060801所以,(元).【点睛】本题考查了统计和概率综合,考查了列联表,随机变量的分布列和数学期望等知识点,考查了学生数据处理,综合分析,数学运算的能力,属于中档题.20.(1)(2)存在,或.【解析】
(1)由得看成到两定点的和为定值,满足椭圆定义,用定义可解曲线的方程.(2)先讨论斜率不存在情况是否符合题意,当直线的斜率存在时,设直线点斜式方程,由,可得,再直线与椭圆联解,利用根的判别式得到关于的一元二次方程求解.【详解】解:设,由,,可得,即为,由,可得的轨迹是以为焦点,且的椭圆,由,可得,可得曲线的方程为;假设存在过点的直线l符合题意.当直线的斜率不存在,设方程为,可得为短轴的两个端点,不成立;当直线的斜率存在时,设方程为,由,可得,即,可得,化为,由可得,由在椭圆内,可得直线与椭圆相交,,则化为,即为,解得,所以存在直线符合题意,且方程为或.【点睛】本题考查求轨迹方程及直线与圆锥曲线位置关系问题.(1)定义法求轨迹方程的思路:应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式,由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线,再设出标准方程,用待定系数法求解;(2)解决是否存在直线的问题时,可依据条件寻找适合条件的直线方程,联立方程消元得出一元二
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