新高考数学一轮复习精讲精练8.6 分布列与其他知识综合运用（提升版）（解析版）

8.6分布列与其他知识综合运用（精讲）（提升版）考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一与数列综合【例1】（2022·福建·三明一中模拟预测）（多选）已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第SKIPIF1<0次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第SKIPIF1<0次取出的球是红球的概率为SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．第5次取出的球是红球的概率为SKIPIF1<0 D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是SKIPIF1<0【答案】AC【解析】依题意SKIPIF1<0，设第SKIPIF1<0次取出球是红球的概率为SKIPIF1<0，则白球概率为SKIPIF1<0，对于第SKIPIF1<0次，取出红球有两种情况．①从红箱取出的概率为SKIPIF1<0，②从白箱取出的概率为SKIPIF1<0，对应SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故B错误；所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0为等比数列，公比为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故选项A，C正确；第1次取出球是红球的概率为SKIPIF1<0，第2次取出球是红球的概率为SKIPIF1<0，第3次取出球是红球的概率为SKIPIF1<0，前3次取球恰有2次取到红球的概率是SKIPIF1<0，故D错误；故选：AC．【一隅三反】1．（2022·广东·高三阶段练习）足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到2SKIPIF1<02列联表如下：喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第SKIPIF1<0次触球者是甲的概率记为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（i）求SKIPIF1<0（直接写出结果即可）；（ii）证明：数列SKIPIF1<0为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．【答案】(1)喜爱足球运动与性别有关(2)（i）SKIPIF1<0；（ii）证明见解析，甲的概率大【解析】（1）假设SKIPIF1<0：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关．根据列联表数据，经计算得SKIPIF1<0根据小概率值SKIPIF1<0的独立性检验，我们推断SKIPIF1<0不成立，即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001．（2）（i）由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．（ii）第SKIPIF1<0次触球者是甲的概率记为SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，第SKIPIF1<0次触球者是甲的概率为SKIPIF1<0，第SKIPIF1<0次触球者不是甲的概率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，公比为SKIPIF1<0的等比数列．则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故第19次触球者是甲的概率大2．（2022·四川绵阳·三模（文））随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展．以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：年份201620172018201920202021年份代码x123456新能源乘用车年销售y（万辆）5078126121137352(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程；（结果保留整数）(2)若用SKIPIF1<0模型拟合y与x的关系，可得回归方程为SKIPIF1<0，经计算该模型和第（1）问中模型的SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为相关指数）分别为0.87和0.71，请分别用这两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值；(3)你认为（2）中用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由．参考数据：设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01444.788415.70380528参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据SKIPIF1<0，其回归直线SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案见解析(3)SKIPIF1<0越大，模型的拟合效果越好，用SKIPIF1<0模型得到的预测值更可靠【解析】(1)SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的线性回归方程为SKIPIF1<0.(2)若利用线性回归模型,可得2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为SKIPIF1<0（万辆）若利用模型SKIPIF1<0,可得2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为SKIPIF1<0（万辆）(3)SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0越大,反映残差平方和越小,模型的拟合效果越好,SKIPIF1<0用模型SKIPIF1<0得到的预测值更可靠.3．（2022·重庆·二模）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和数学期望；(2)为验证抽球试验成功的概率不超过SKIPIF1<0，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记SKIPIF1<0表示成功时抽球试验的轮次数，SKIPIF1<0表示对应的人数，部分统计数据如下：SKIPIF1<012345SKIPIF1<023298604020求SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的回归方程SKIPIF1<0，并预测成功的总人数（精确到1）；(3)证明：SKIPIF1<0．附：经验回归方程系数：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．【答案】(1)分布列见解析，数学期望为SKIPIF1<0(2)回归方程为SKIPIF1<0，预测成功的总人数为465(3)证明见解析【解析】(1)由题知，SKIPIF1<0的取值可能为1，2，3所以SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<0123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以数学期望为SKIPIF1<0.(2)令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由题知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故所求的回归方程为：SKIPIF1<0，所以，估计SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；估计SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；估计SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；预测成功的总人数为SKIPIF1<0.(3)由题知，在前SKIPIF1<0轮就成功的概率为SKIPIF1<0又因为在前SKIPIF1<0轮没有成功的概率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.考点二与函数结合【例2】（2022·西南名校模拟）某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果如下表所示：质量指标值SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0频数163040104试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）（1）由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0近似为样本平均数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0近似为样本的标准差s，并已求得SKIPIF1<0，记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间SKIPIF1<0之外的个数，求SKIPIF1<0及X的数学期望（精确到0.001）；（2）已知每个产品的质量指标值k与利润y（单位：万元）的关系如下表所示SKIPIF1<0质量指标值kSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0利润ySKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0tSKIPIF1<0假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由.参考数据：若随机变量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】见解析【解析】（1）由题意知，样本的平均数为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以质量指标k在区间SKIPIF1<0之外的概率为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由题意知，每件产品的平均利润为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知函数SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0，且二次函数开口向下，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，且SKIPIF1<0因为该生产线的年产量为100万个，所以该生产线的年盈利的最大值为SKIPIF1<0万元，因为845SKIPIF1<0500，所以该厂能在一年之内通过销售该产品收回投资.【一隅三反】1．（2021高三上·威海期末）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于SKIPIF1<0份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验SKIPIF1<0次.二是混合检验，将SKIPIF1<0份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这SKIPIF1<0份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这SKIPIF1<0份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则SKIPIF1<0份血液检验的次数共为SKIPIF1<0次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为SKIPIF1<0，而且各体检人是否患该疾病相互独立.（1）若SKIPIF1<0，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率;（2）某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案:方案一:采用混合检验;方案二:平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验.若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由.【答案】见解析【解析】（1）解：该混合样本阴性的概率是SKIPIF1<0，根据对立事件可得，阳性的概率为SKIPIF1<0（2）解：方案一:混在一起检验，方案一的检验次数记为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其分布列为:SKIPIF1<017SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，方案二:由题意分析可知，每组3份样本混合检验时，若阴性则检测次数为1，概率为SKIPIF1<0，若阳性，则检测次数,4，概率为SKIPIF1<0，方案二的检验次数记为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0;其分布列为:SKIPIF1<0258SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，所以方案一更“优”当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，所以方案一、二一样“优”当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，所以方案二更“优”.2．（2022·临沂模拟）在疫情防控常态化的背景下，山东省政府各部门在保安全，保稳定的前提下有序恢复生产，生活和工作秩序，五一期间，文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表：旅游类别城市展馆科技游乡村特色游齐鲁红色游登山套票游园套票观海套票套票价格x（元）394958677786购买数量y（万人）16.718.720.622.524.125.6在分析数据、描点绘图中，发现散点SKIPIF1<0集中在一条直线附近，其中SKIPIF1<0附：①可能用到的数据；SKIPIF1<0．②对于一组数据SKIPIF1<0，其回归直线ω=bv+a的斜率和截距的最小二乘估计值分别为b（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程；（2）按照文旅部门的指标测定，当购买数量y与套票价格x的比在区间SKIPIF1<0上时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”，现有三位同学从以上六款旅游套票中，购买不同的三款各自旅游．记三人中购买“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．【答案】见解析【解析】（1）解：SKIPIF1<0散点SKIPIF1<0集中在一条直线附近，设回归直线方程为ω=bv+a由v=1SKIPIF1<0变量SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的回归方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上，y关于x的回归方程为SKIPIF1<0（2）解：由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0乡村特色游，齐鲁红色游，登山套票，游园套票为“热门套票”则三人中购买“热门套票”的人数X服从超几何分布，SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03．（2022·湖北模拟）象棋属于二人对抗性游戏的一种，在中国有着悠久的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动.马在象棋中是至关重要的棋子，“马起盘格势，折冲千里余.江河不可障，飒沓入敌虚”将矩形棋盘视作坐标系SKIPIF1<0，棋盘的左下角为坐标原点，马每一步从SKIPIF1<0移动到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（1）若棋盘的右上角为SKIPIF1<0，马从SKIPIF1<0处出发，等概率地向各个能到达（不离开棋盘）的方向移动，求其4步以内到达右上角的概率.（2）若棋盘的右上角为SKIPIF1<0，马从SKIPIF1<0处出发，每一步仅向SKIPIF1<0方向移动，最终到达棋盘右上角，若选择每一条可行的道路是等概率的，求马停留在线段SKIPIF1<0上次数SKIPIF1<0的数学期望.【答案】见解析【解析】（1）解：从SKIPIF1<0出发4步以内到达SKIPIF1<0且不出棋盘的走法共有8种，其中SKIPIF1<0种为：另外4种与以上4种关于直线SKIPIF1<0对称.对于以上4种，记第SKIPIF1<0种路线的概率为SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因此总概率为SKIPIF1<0.（2）解：设马有SKIPIF1<0步从SKIPIF1<0走到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0步走到SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.即马共走了SKIPIF1<0步，总路径数为SKIPIF1<0路径上经过的点可能在线段上的有SKIPIF1<0，共5个.因此SKIPIF1<0.因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以马停留在线段SKIPIF1<0上次数SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<012345SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0的数学期望SKIPIF1<0.考点三与导数综合【例3】（2022·云南·昆明一中高三开学考试）甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为SKIPIF1<0，甲赢的概率为SKIPIF1<0，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲贏了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比SKIPIF1<0分配奖金.(1)若SKIPIF1<0，则乙应该得多少奖金；(2)记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率SKIPIF1<0，并判断当SKIPIF1<0时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于SKIPIF1<0，则称随机事件为小概率事件）【答案】(1)252（元）(2)事件A是小概率事件，理由见解析.【解析】（1）设游戏再继续进行下去X局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.由题知，当SKIPIF1<0时，乙以SKIPIF1<0赢，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，乙以SKIPIF1<0赢，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，乙以SKIPIF1<0赢，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，乙以SKIPIF1<0赢，所以SKIPIF1<0，所以乙赢得全部奖金的概率为SKIPIF1<0，所以乙应该得多少奖金为SKIPIF1<0（元）.（2）设游戏继续进行Y局甲获得全部奖金，则最后一局必然甲赢.由题知，当SKIPIF1<0时，甲以SKIPIF1<0赢，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，甲以SKIPIF1<0赢，所以SKIPIF1<0，甲获得全部奖金的概率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，故事件A是小概率事件.【一隅三反】1．（2022·佛山模拟）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望SKIPIF1<0；（2）若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【答案】见解析【解析】（1）解：由题意可知，随机变量X的可能取值为0、1、2、3，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0随机变量X的分布列如下：X0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0（2）解：甲队只胜一场的概率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增；则SKIPIF1<02．（2022·湖南模拟）中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数SKIPIF1<0为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车､机器人､增材制造､医疗设备､高铁､电力装备､船舶､无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布SKIPIF1<0，并把质量差在SKIPIF1<0内的产品称为优等品，质量差在SKIPIF1<0内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：（1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数SKIPIF1<0作为SKIPIF1<0的近似值，用样本标准差SKIPIF1<0作为SKIPIF1<0的估计值，记质量差SKIPIF1<0，求该企业生产的产品为正品的概率P；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)（2）假如企业包装时要求把2件优等品和SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为SKIPIF1<0，否则该箱产品记为B.①试用含SKIPIF1<0的代数式表示某箱产品抽检被记为SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0；②设抽检5箱产品恰有3箱被记为SKIPIF1<0的概率为SKIPIF1<0，求当SKIPIF1<0为何值时，SKIPIF1<0取得最大值，并求出最大值.参考数据：若随机变量SKIPIF1<0服从正态分布SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】见解析【解析】（1）解：由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，样本方差SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则优等品为质量差在SKIPIF1<0内，即SKIPIF1<0，一等品为质量差在SKIPIF1<0内，即SKIPIF1<0，所以正品为质量差在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0内，即SKIPIF1<0，所以该企业生产的产品为正品的概率：SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）解：①从SKIPIF1<0件正品中任选两个，有SKIPIF1<0种选法，其中等级相同有SKIPIF1<0种选法，∴某箱产品抽检被记为B的概率为：SKIPIF1<0.②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为SKIPIF1<0，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，最大值为SKIPIF1<0.此时SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为SKIPIF1<0.3．（2022·佛山模拟）甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望SKIPIF1<0；（2）若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【答案】见解析【解析】（1）解：由题意可知，随机变量X的可能取值为0、1、2、3，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0随机变量X的分布列如下：X0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0（2）解：甲队只胜一场的概率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增；则SKIPIF1<0考点四与其他知识综合运用【例4】（2022·重庆模拟）在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽，因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手．奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．奉节县种植的某品种脐橙果实按果径X（单位：mm）的大小分级，其中SKIPIF1<0为一级果，SKIPIF1<0为特级果，一级果与特级果统称为优品．现采摘了一大批此品种脐橙果实，从中随机抽取1000个测量果径，得到频率分布直方图如下：参考数据：若随机变量X服从正态分布SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）由频率分布直方图可认为，该品种脐橙果实的果径X服从正态分布SKIPIF1<0，其中μ近似为样本平均数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0近似为样本标准差s，已知样本的方差的近似值为100．若从这批脐橙果实中任取一个，求取到的果实为优品的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（2）这批采摘的脐橙按2个特级果和n（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）个一级果为一箱的规格进行包装，再经过质检方可进入市场．质检员质检时从每箱中随机取出两个果实进行检验，若取到的两个果实等级相同，则该箱脐橙记为“同”，否则该箱脐橙记为“异”．①试用含n的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率p；②设抽检的5箱脐橙中恰有3箱被记为“异”的概率为SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的最大值，及取最大值时n的值．【答案】见解析【解析】（1）解：由分布图：SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0内为优品则SKIPIF1<0（2）解：①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由对勾函数知识可知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0最大值在SKIPIF1<0时取得，可求得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2022·联合模拟）在检测中为减少检测次数，我们常采取“SKIPIF1<0合1检测法”，即将SKIPIF1<0个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均末感染病毒；若为阳性，则还需对本组的每个人再做检测.现有SKIPIF1<0人，已知其中有2人感染病毒.（1）若SKIPIF1<0，并采取“20合1检测法”，求共检测25次的概率；（2）设采取“10合1检测法”的总检测次数为SKIPIF1<0，采取“20合1检测法”的总检测次数为SKIPIF1<0，若仅考虑总检测次数的期望值，当SKIPIF1<0为多少时，采取“20合1检测法”更适宜？请说明理由.【答案】见解析【解析】（1）解：对100个人采取“20合1检测法”需平均分为5组，先检测5次，因为共检测25次，即2个感染者分在同一组；只需考虑其中某位感染者所在的小组，原题等价于：从99人中任选19人与他组成一组，求选到的19人中有另一位感染者的概率，此概率为SKIPIF1<0；（2）解：若2个感染者分在同一组，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若2个感染者分在不同小组，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，综上，当SKIPIF1<0时，采取“20合1检测法”更适宜.2．（2022·邵阳模拟）某跳绳训练队需对队员进行限时的跳绳达标测试.已知队员的测试分数y与跳绳个数x满足如下关系SKIPIF1<0.测试规则：每位队员最多进行两次测试，每次限时1分钟，若第一次测完，测试成绩达到60分及以上，则以此次测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行两次，根据以往的训练效果，教练记录了队员甲在一分钟内时测试的成绩，将数据按SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分成4组，并整理得到如下频率分布直方图：（1）计算a值，并根据直方图计算队员甲在1分钟内跳绳个数的平均值；（同一组中的数据用该组区间中点值作为代表）（2）将跳绳个数落入各组的频率作为概率，并假设每次跳绳相互独立，X表示队员甲在达标测试中的分数，求X的分布列与期望.【答案】见解析【解析】（1）解：由题可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.队员甲在1分钟内跳绳个数的平均值为SKIPIF1<0.（2）解：X可能的取值为0，50，80，100.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0X的分布列为X06080100P0.010.220.440.33SKIPIF1<03．（2021·洛阳模拟）一商场为了解某商品的销售情况，对该商品30天的销售量统计后发现每天的销售量x（单位：件）分布在SKIPIF1<0内，其中SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且n为偶数）的销售天数为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且n为奇数）的销售天数为SKIPIF1<0．（1）求实数a的值；（2）当一天销售量不小于700时，则称该日为销售旺日，其余为销售不景气日．将销售天数按照销售量属于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分成3组，在销售旺日的3组中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，如果这3天来自X个组，求随机变量X的分布列与数学期望．【答案】见解析【解析】（1）解：因为每天的销售量x（单位：件）分布在SKIPIF1<0内，其中SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且n为偶数）的销售天数为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且n为奇数）的销售天数为SKIPIF1<0．所以当SKIPIF1<0时的销售天数为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时的销售天数为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时的销售天数为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时的销售天数为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时的销售天数为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0（2）解：因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时的销售天数为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时的销售天数为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时的销售天数为SKIPIF1<0，若在销售旺日的3组中用分层抽样的方法随机抽取8天，则这8天中有2天的销售量属于SKIPIF1<0，有3天的销售量属于SKIPIF1<0，有3天的销售量属于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值为1，2，3，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以随机变量X的分布列为：SKIPIF1<0123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<08.6分布列与其他知识综合运用（精练）（提升版）题组一题组一与数列综合1．（2022·重庆市模拟）为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定数量的民航局对其发出“熔断”指令，暂停该公司该航线的运行（达到5个暂停运行1周，达到10个暂停运行4周），并规定“熔断期”的航班量不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周1班航班计划.已知某国际航空公司A航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是SKIPIF1<0，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是SKIPIF1<0，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是SKIPIF1<0.一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司A航线的第n次航班被熔断的概率为SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）证明：SKIPIF1<0为等比数列；（3）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，并说明SKIPIF1<0的实际意义.【答案】见解析【解析】（1）解：SKIPIF1<0；（2）证明：由题得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项、SKIPIF1<0为公比的等比数列；（3）解：由（2）知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0可以理解为第SKIPIF1<0次航班平均被熔断的次数，∴SKIPIF1<0表示前SKIPIF1<0次航班一共被熔断的次数.2．（2021·高州模拟）为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得SKIPIF1<0分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为SKIPIF1<0，乙每次踢球命中的概率为SKIPIF1<0，且各次踢球互不影响．（1）经过1轮踢球，记甲的得分为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的数学期望；（2）若经过SKIPIF1<0轮踢球，用SKIPIF1<0表示经过第SKIPIF1<0轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．①求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②规定SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，请根据①中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，并求出数列SKIPIF1<0的通项公式．【答案】见解析【解析】（1）记一轮踢球，甲命中为事件SKIPIF1<0，乙命中为事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相互独立．由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，甲的得分SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0，0，1．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，∴X的分布列为：X-101PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）①由（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得-1分．∴SKIPIF1<0，②∵规定SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0是等比数列，公比为SKIPIF1<0，首项为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<03．（2022·廊坊模拟）有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋向前跳一站（从k到SKIPIF1<0），若掷出反面，棋向前跳两站（从k到SKIPIF1<0），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n站概率为SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；（2）求证：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的值.【答案】见解析【解析】（1）解：棋子开始在第0站为必然事件，∴SKIPIF1<0.第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：①前两次掷硬币都出现正面，其概率为SKIPIF1<0；②第一次掷硬币出现反面，其概率为SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.（2）证明：棋子跳到第n（SKIPIF1<0）站的情况是下列两种，而且也只有两种：①棋子先到第SKIPIF1<0站，又掷出反面，其概率为SKIPIF1<0；②棋子先到第SKIPIF1<0站，又掷出正面，其概率为SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.（3）解：由（2）知，当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0.以上各式相加，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.4．（2022·太原二模）足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，其中守门员扑点球和传球是足球训练中的两个重要训练项目．（1）假设发点球时，球员等可能地选择左、中、右三个方向射门，守门员等可能地选择左、中、右三个方向扑点球，且守门员方向判断正确时有SKIPIF1<0的可能将球扑出球门外．在一次点球战中，求守门员在前三次点球中，把球扑出球门外的个数X的分布列和数学期望；（2）某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练，从甲开始传球，等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，如此一直进行．假设每个球都能被接住，记第n次传球后球又回到甲脚下的概率为SKIPIF1<0．求证：数列SKIPIF1<0为等比数列，并求SKIPIF1<0．【答案】见解析【解析】（1）解：每个点球能被守门员扑出球门外的概率为SKIPIF1<0，由题知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，X的分布列为：X0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（2）证明：由已知第SKIPIF1<0次传球后球又回到甲脚下的概率为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<05．（2022·湖北模拟）2022年2月SKIPIF1<0日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战SKIPIF1<0惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇.（1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有SKIPIF1<0的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次