高斯函数 的应用及其推广

高斯函数的应用及其推广郭胜红（甘肃建筑职业技术学院，甘肃兰州730050）摘要给出了高斯函数的定义、性质、函数图象的特征，讨论了其应用，并将其做了推广.关键词高斯函数,广义高斯函数(一)高斯函数的一些性质高斯函数,在数论中是一种极为重要的函数,但它的运用却并不仅限于在数论中,在数学的许多分支及其它学科领域中有广泛的应用,均显示了该函数的优越性.本文主要从高斯函数的定义出发类比讨论了广义高斯函数的一些基本性质及其有关的积分问题,并给了一些关于广义高斯函数的例子.定义1表示不超过的最大整数,则函数称为高斯函数.我们记称为小数部分,.由高斯函数的定义立刻可以得到如下简单的性质:定理1设,我们有(1).(2)若则.(3).(4)(5).(6)或.(7).下面再来讨论高斯函数的图像及的图像和性质.对于函数,如何做出它的图像呢?我们先来分析一下高斯函数的图像的基本性质和特征.(1)由的性质知的图形在的图形的下方.(2)由的性质知的图像是一组阶高为1的平行于轴的平行线段,这组平行线段呈阶梯形.可见函数是一个不减(非单调)的非周期的函数,其图像如下(a)(a)定理2设，则是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如(b).(b)(二)高斯函数的拓广下面讨论广义高斯函数的问题定义2假定函数为定义在区间I上的连续函数,我们用记号表示不大于的最大整数,叫做广义高斯函数,其中为自变量,为基函数.若=,则广义高斯函数便写成高斯函数了,可见高斯函数为广义高斯函数的特例.如果假定,为闭区间I上的连续函数,则有关高斯函数的性质就可以推广到广义高斯函数中来.定理3设任意的,,,,为上的连续函数,则有(1).(2)若则.(3).(4).(5)(6)或.(7)++.证明由定义可以直接得到.由定义知,即.(3)若时,若时令,则=.故.(4)+++,+<2.当+<1时,当+<2时,<.故(5)=====,其中.======,其中,,<1,.(6)同(4).+,其中<<1.当<<0时,=+1.当<<1时,=.(7)设,,<1,不妨设<,则====++以下再来讨论一下广义高斯函数的图像，首先来分析一下的图像的特征.(1)由函数的性质,所以广义高斯函数的图像在基函数图像的下方.(2)由函数的定义知的图像是一组阶高为1的平行线段.例3作出基函数为的广义高斯函数的图像.解某些广义高斯函数的积分问题及有关的其他问题1高斯函数的积分对于高斯函数的积分，由定义知高斯函数是一个具有第一类间断点的函数，只要在积分区间上有有限个这类间断点，则根据定积分的可积性知函数在积分区间上可积.例4求积分(为有限的自然数).解===.利用以上积分的结果很容易得到的积分,即====.例5求积分.解====.有关高斯函数的应用是比较多的,以上关于高斯函数和广义高斯函数的讨论只是一个开始,如果进一步对其进行讨论,会得到一些更好的结论.参考文献[1]新编高中数学大观.南京大学出版社,1992.[2]潘承洞,潘承彪.初等数论.北京大学出版社,1992.[3]华东师大数学系编.数学分析.(下册).高等教育出版社,1991.[4]钱吉林.数学分析题解精粹.崇文书局,2003.ApplicationofGaussFunctionandItsExtend(GUOSheng-hong)(GansuConstructionVocationalTechnicalCollege,Lanzhou730050,China)Abstract:Inthispaper,itgivesthedefinition、propeties、imagefecturesofGaussfunction,discusses